2019-2020學年人教A版河北省衡水市武邑中學高一第一學期期末數(shù)學試卷 含解析

2019-2020學年高一第一學期期末數(shù)學試卷

一、選擇題

1.下列四個集合中，是空集的是（）

A.{x|A+3=3}B.{(x,y)|y=-x,x,y￡R)

C.{x|fwo}D.{x|x-A+1=0,XGR}

2.若1弧度的圓心角所對的弧長為6,則這個圓心角所夾的扇形的面積是（）

A.3B.6C.18D.9

3.已知數(shù)列｛aj是首項初=4,公比°于1的等比數(shù)列，且4日，建，-2a成等差數(shù)列，則

公比g等于（）

A.—B.-1C.-2D.2

2

4.設(shè)向量（1,cos6）與芯=（-1,2cos9）垂直，則cos26等于（）

B

A?券-iC.0D.-1

5.集合5={y|y=3",xGR},T={y\y=^-\,xGR},則SD7是()

A.SB.TC.0D.有限集

1

6.已知函數(shù)f(x)={，那么7F（M2）的值是（）

lnx,x>l

A.0B.1C.In(M2)D.2

7.幕函數(shù)的圖象過點（2,1）,則它的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.(0,+oo)B.[0,+8)C.(一8,0)D.(-8,+oo)

8.已知a=,0.3,b=203,c=0.3°2,則a,b,c三者的大小關(guān)系是（）

A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>a

9.函數(shù)尸（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，5（x）=-A+1,則當xVO時，2（x）

等于（）

A.-A+1B.-x-1C.A+1D.x-1

=

10.21og6Iog6'?/3()

2

A.1B.0C.6D.Iog—

63

11.已知x,yFR,且547-~5'+7二則()

A.4)X<4)yB.X02

C.3W3'D.logj_xylc

22

12.如果函數(shù)A(x)對任意的實數(shù)x,都有2(x)=f(1-x),

log2(3x-1),那么函數(shù)A(x)在［-2,0］的最大值為(

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

13.已知函數(shù)r(2A+1)=4X,則f(5)=.

14.在圖中，G、H、M、〃分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線袱腑是異

面直線的圖形有.(填上所有正確答案的序號)

H

15.在三棱錐P-4%中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=A/11，則三棱錐P-48C的外接

球的表面積為.

16.某同學在研究函數(shù)f(x)=—―(xGR)時，分別給出下面幾個結(jié)論：

①等式fx)=-f(x)在xGR時恒成立；

②函數(shù)2(X)的值域為(-1,1)；

③若木手及，則一定有f(X、)#=f(.X2,)；

④方程2(x)=x在R上有三個根.

其中正確結(jié)論的序號有.(請將你認為正確的結(jié)論的序號都填上)

三.解答題：(共80分.寫出必要的文字說明、過程、步驟)

17.已知/i：/的+6=0,/2:(.m-2)A+3y+2/w=0,分別求m的值，使得4和/2:

(1)垂直;

(2)平行；

(3)重合；

(4)相交.

18.設(shè)全集Q/?,集合/={x|2—e1},B={x\x-4x-5<0].

(I)求/D5,(C/)U(CUB);

(II)設(shè)集合餐｛x|府1VxV2〃-1｝,若Bnc=c,求實數(shù))的取值范圍.

19.如圖，在三棱柱48C-48G中，側(cè)棱44i_L底面48C,AC=3,BC=4,AB=5,AA^=4,

點。是48的中點.

(I)求證：4G〃平面GDBy

(II)求證：ACLBG

(III)求直線45與平面即CC所成的角的正切值.

20.已知函數(shù)f(x)=log,(A+1)-Ioga(1-x),a>0且a#=1.

(1)求,(x)的定義域；

(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；

(3)當a>1時，求使尸(x)>0的x的取值范圍.

21.已知A(x)=Iog3x.

(1)作出這個函數(shù)的圖象；

(2)若5(a)<f(2),利用圖象求a的取值范圍.

22.已知正項數(shù)列｛a〃｝的前"項和為￡,且當和￡滿足：4￡=(a?+1)2(/7=1,2,3…)，

(1)求｛&｝的通項公式；

(2)設(shè)&=-----,求｛4｝的前"項和乙;

an，arH-l

(3)在(2)的條件下，對任意"GN*,都成立，求整數(shù)加的最大值.

參考答案

選擇題

1.下列四個集合中，是空集的是()

A.{x|x+3=3}B.{(x,y)|y=-x,x,yGR)

C.{x|x^O}D.{x|x2-A+1=O,XGR}

解：根據(jù)題意，由于空集中沒有任何元素，對于選項4x=O；

對于選項8,(0,0)是集合中的元素；

對于選項C,由于x=0成立;

對于選項。，方程無解.

故選：D.

2.若1弧度的圓心角所對的弧長為6,則這個圓心角所夾的扇形的面積是()

A.3B.6C.18D.9

解：由1弧度的圓心角所對的弧長為6,利用弧度定義得&=工，

r

所以r=6,

所以S=—/<=—?6*6=18.

22

故選：C.

3.已知數(shù)列{&}是首項留=4,公比g豐1的等比數(shù)列，且4臺，%,-2a成等差數(shù)列，則

公比g等于()

A.—B.-1C.-2D.2

2

解：?.?數(shù)列{a.}是首項3=4,公比牛#1的等比數(shù)列，且4a“全，-2備成等差數(shù)列，

.\2a5=4ai-2a3,

：.2(4<7)=4X4-2(4</2),

解得q=1(舍)或q=-1.

故選：B.

4.設(shè)向量；=(1,cos0)與己=(-1,2cos0)垂直，則cos2。等于()

A.返B.—C.0D.-1

22

解：,.?W=(1,cos0),1=(-1,2cos0),且兩向量垂直,

]=0,-1+2cos20=0,

則cos20=2cos20-1=0.

故選：C.

5.集合5={y|y=3",xGR},T={y\y=^-},xGR},貝SD7是()

A.SB.TC.0D.有限集

解：由集合S中的函數(shù)y=3'>0,得到集合5=bdy>0};

由集合7■中的函數(shù)y=f得到集合r={y|y>-1},

貝"5DT=S.

故選：A.

x--i

6.已知函數(shù)f(x)=(,那么/(/成)的值是()

lnx,x>l

A.0B.1C.In(/〃2)D.2

解：V//72<1,：.f(//72)=e/n2-1=2-1=1,

故選：B.

7.賽函數(shù)的圖象過點(2,-),則它的單調(diào)遞增區(qū)間是()

4

A.(0,+8)B.[0,+8)C.(-8,0)D.(-OO,+8)

解：設(shè)賽函數(shù)f(x)=x,

則2'=工，得a=-2;

4

(x)=x2

.I它的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,0).

故選：C.

8.已知且=而§,2>=203,c=0.3°2,則a,b,c三者的大小關(guān)系是()

A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>a

解：,??g=0?37co.3°-2<1<2°-3，

故選：A.

9.函數(shù)2(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=-A+1,則當xVO時，f(x)

等于()

A.-A+1B.-X-\C.A+1D.x-1

解：設(shè)xVO,則-x>0,

,當x>0時，f(x)=-A+1,/.f(-x)=A+1

又?.,r(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

.../(x)=-f(-x)=-(A+1)=-x-1

故選：B.

=

10.21og6Iog6\［2()

2

A.1B.0C.6D.Iog6-1

o

,r23

解：2log6；2<-3log6^/3=log6(V2)+log6

=Iog62+1og63=Iog66=1.

故選：A.

11.已知x,ySR,且5*+7-"W5"+77,則()

A.B.

C.3，W3"D.logj_x<logj

22

解：?函數(shù)y=5*-7-'為增函數(shù)，

.?.5'+77W5'+77,即5,-77W5"-7:可得后y,

：.A,B,〃錯誤，C正確，

故選：C.

12.如果函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x,都有f(x)=f(1-x),且當x

log2(3x-1),那么函數(shù)f(x)在［-2,0］的最大值為()

A.1B.2C.3D.4

解：函數(shù)f（X）對任意的實數(shù)X,都有f（x）=2（1-X）,

可得r（X）的圖象關(guān)于直線x=￡對稱，

當x■時，f（x）=Iog2（3x-1）,且為遞增函數(shù)，

可得xV告時，5（x）為遞減函數(shù)，

函數(shù)A（x）在［-2,0］遞減，可得"-2）取得最大值，

由2(-2)=5(3)=log2(9-1)=3,

則"x）在［-2,0］的最大值為3.

故選：C.

二、填空題：（每小題5分，共20分）

13.已知函數(shù)r(2A+1)=4x,則f(5)=16.

解：已知函數(shù)尸(2A+1)=4X,令1=2A+1,貝"x=±L故有r(力)=4(上L

2,2

故f(5)=4(5-L)2=)6,

'2'

故答案為16.

14.在圖中，G、H、M、”分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線皈腑是異

面直線的圖形有（2）、（4）.（填上所有正確答案的序號）

【解答】解析：如題干圖（1）中，直線〃的；

圖（2）中，G、H、〃三點共面，但腑面GHN,因此直線0/與掰V異面;

圖（3）中，連接斷?，GM//HN,因此，加與做共面；

圖（4）中，G、M、〃共面，但肉面GMN,二郎/與獨異面.

所以圖（2）、（4）中斷與做異面.

故答案為：（2）、（4）

15.在三棱錐戶-4仇7中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=V11，則三棱錐P-48c的外接

球的表面積為26n.

解：二?三棱錐中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=VT1，

二構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為4,5,小五，

則長方體的對角線長等于三棱錐P-48C外接球的直徑.

設(shè)長方體的棱長分別為x,y,z,則f+/=16,y+z=25,x+z2=11,

：.x+y+z=26

三棱錐夕-48C外接球的直徑為每，

...三棱錐Q-48C外接球的表面積為4n?（壯生）2=26n.

故答案為：26n.

16.某同學在研究函數(shù)f(x)=——(xGR)時，分別給出下面幾個結(jié)論：

1+lx|

①等式，(-x)=-f(x)在x￡R時恒成立；

②函數(shù)f(%)的值域為(-1,1);

③若￥手工2,則一定有f(%1)#=f(x2)；

④方程r(x)=x在R上有三個根.

其中正確結(jié)論的序號有①②③.(請將你認為正確的結(jié)論的序號都填上)

解：對于①，任取x￡R,都有，(-x)=--,A,=---r5(x),...①正確;

l+|-x|l+l：

對于②，當x>0時，f(%)=-^-=1--e(0,1),

1+x1+x

根據(jù)函數(shù)5(x)的奇偶性知xVO時，f(x)e(-1,0),

且x=0時，f(x)=0,f(x)G(-1,1),②正確;

1

對于③，則當x>0時，f(x)=］二，

由反比例函數(shù)的單調(diào)性知，f(x)在(0,+8)上是增函數(shù),

再由f(x)的奇偶性知，f(x)在(-8,0)上也是增函數(shù),

二汨手X2時，一定有f(%1)=#f(%2),③正確；

對于④，由③知F(x)的圖象與尸、只有(0,0)一個交點,

...方程f(x)=*在R上有一個根，④錯誤.

正確結(jié)論的序號是①②③.

故答案為：①②③.

三.解答題：(共80分.寫出必要的文字說明、過程、步驟)

17.已知A：/磔+6=0,/2:(.m-2)A+3J<+2OT=0,分別求加的值，使得4和/2:

(1)垂直；

(2)平行；

(3)重合；

(4)相交.

解：若(1)4和“垂直，則〃-2+3行0

??.7177=-1

2

(2)若4和/?平行，則見之=旦力啰

1mm6

?1m^-2m_3:::0

卉±3

:?m=-1

(3)若人和。重合，則匹2△犁

lmb

ttr—3

(4)若，和/2相交，則由(2)(3)可知加#3且加#-1

18.設(shè)全集Q/?,集合/={x|2—》1},Q{x|f-4x-5V0}.

(I)求/ns,([5)U([而;

(II)設(shè)集合G={x|而1VxV2m-1},若BnC=C,求實數(shù)〃的取值范圍.

解：(I)..?全集Q/?,集合力={x|2—21}={x|xm1},

8={x\x-4x-5<0}={x|-1<x<5},

.?./nQ{x|lWxV5},

(CM)U([?={%|x<1或x》5}；

(II).集合”{x|府1VxV2。-1},BC\C=C,

：.CtB,

當C=z時，2m-1,

解得后2,

'm+l<2m-1

當存。時，由匿8得卜+1》-1,解得：2V慶3,

.2mT45

綜上所述,：加的取值范圍是(-8,3].

19.如圖，在三棱柱48C-48G中，側(cè)棱〃■!"底面46C,4a3,BC=4,4ff=5,4,=4,

點〃是48的中點.

(I)求證：4G〃平面CDBy

(II)求證：AC2-Ba

(III)求直線48與平面能GC所成的角的正切值.

解：(I)如圖：

設(shè)BGC&XO,則0為能的中點，連接

；。為48的中點、,：.OD//Aa,

又；a七平面CDB,AG1平面CDB,

二/G〃平面CD民.

(II)?:A@+B@=A南,:.ACLBC.

又；GC〃〃，AAJ底面ABC,:CL氐面ABC,：.AC±CG.

又senca=c,rjcj?平面BC&&,

而BGu平面BCCyR,：.AC2.Ba.

(Ill)由(II)得ACL平面&BCG,

...直線SC是斜線48在平面8BCG上的射影,

二N/SC是直線48與平面88CG所成的角，

在A7A/5C中，&0=4近,AC=3,

20.已知函數(shù)f(x)=log,(A+1)-Ioga(1-x),a>0且a#1.

(1)求f(x)的定義域；

(2)判斷尸(x)的奇偶性并予以證明；

(3)當a>1時，求使尸(x)>0的x的取值范圍.

(x+l>0

解：(1)A(x)=1陽(妙1)-log,(1-x)，則.解得-1VxV1.

故所求定義域為｛x|-1VxV1｝.

(2)/(x)為奇函數(shù)

由(1)知/(x)的定義域為｛x|-1VxV1｝,

且f(-X)=loga(-A+1)-loga(1+x)=-[IOga(A+1)-IOga(1-X)]=-A(X)