2022-2023學(xué)年山西省忻州市代縣八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年山西省忻州市代縣八年級第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）

1.計算〃2?爐的結(jié)果是（）

A.drB.C.D.a6

2.為了直觀地表示世界七大洲的面積各占全球陸地面積的百分比，最適合使用的統(tǒng)計圖是

（）

A.扇形統(tǒng)計圖B.條形統(tǒng)計圖C.折線統(tǒng)計圖D.以上都可以

3.已知一組數(shù)據(jù)：7T,-4,0.1010010001,二巨，門-,其中無理數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)是（）

320-2

A.2B.3C.4D.5

4.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）

A.x2-xB.x2+2x-1C.N+yD.x2-1

5.在△ABC中，若AC2-BG=AB2,貝lj（）

A.ZA=90°B.ZB=90°C.ZC=90°D.不能確定

6.在測量一個小口圓形容器的內(nèi)徑時，小明用“X型轉(zhuǎn)動鉗”按如圖所示的方法進行測量,

其中04=0。，OB=OC,因此可得△A。8g△OOC,從而測得A8的長，就可以得到圓

形容器的內(nèi)徑CD的長，其中判定△AO8也△OOC的依據(jù)是（)

B.HLC.ASAD.SSS

7.估計我的值（)

A.在6和7之間B.在5和6之間C.在4和5之間D.在3和4之間

8.關(guān)于原命題''如果4=6,那么〃2=加”和它的逆命題，，如果〃2=按，那么。=，，，下列

說法正確的是（）

A.原命題是真命題，逆命題是假命題

B.原命題、逆命題都是真命題

C.原命題是假命題，逆命題是真命題

D.原命題，逆命題都是假命題

9.如圖，在△4BC中，NB=54°,以點C為圓心，C4的長為半徑作弧交A8于點。，分

別以點4和點。為圓心，大于4。的長為半徑作弧，兩弧相交于點E,作直線CE,交

AB于點F,則ZBCF的度數(shù)是（）

10.公元前500年，畢達哥拉斯學(xué)派中的一名成員西伯索斯發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，導(dǎo)致了第一次數(shù)

學(xué)危機.事實上，我國古代發(fā)現(xiàn)并闡述無理數(shù)的概念比西方更早，但是沒有系統(tǒng)的理

論.《九章算術(shù)》開方術(shù)中指出了存在有開不盡的情形：“若開方不盡者、為不可開”.《九

章算術(shù)》的作者們給這種“不盡根數(shù)”起了一個專門名詞一“面”.“面”，就是無理

數(shù).無理數(shù)里最具有代表性的數(shù)就是“近”?下列關(guān)于&的說法錯誤的是（）

A.可以在數(shù)軸上找到唯一點與之對應(yīng)

B.它是面積為2的正方形的邊長

C.可以用兩個整數(shù)的比表示

D.可以用反證法證明它不是有理數(shù)

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

11.計算：牛與=.

12.用反證法證明，”在aABC中，NA、對邊是〃、h,若NA>NB,則”第

一步應(yīng)假設(shè).

13.實行“雙減”政策后，某區(qū)推行“5+2”的課后服務(wù)模式，學(xué)?？茖W(xué)利用課余時間，開

展豐富的社團活動.下表是根據(jù)某學(xué)校八（1）班同學(xué)參加課外社團活動情況收集到的數(shù)

據(jù)繪制的部分統(tǒng)計表，若選擇足球的人數(shù)占該班總?cè)藬?shù)的25%,則選擇手工的人數(shù)

為.

八（1）班同學(xué)參加社團活動情況統(tǒng)計表

社團活動足球啦啦操合唱手工其他

參加人數(shù)101642

14.如圖，小虎用10塊高度都是3a"的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，

木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板(AC=BC,NACB=90°),點C在。E上,

點A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為cm.

15.如圖，在RtZVICB中，/ACB=90°,BC=6,AC=9.折疊△ACB,使點A與B。的

中點。重合，折痕交AB于E,交AC于點凡則CF=.

三、解答題(本大題共8個小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟)

16.(1)計算：(-2/n)2-?2m2.

(2)先化簡，再求值(1+。)(l-a)+(a-2)2,其中a--2.

17.如圖，已知△ABC.

(1)利用直尺和圓規(guī)，根據(jù)下列要求作圖.(保留作圖痕跡，不要求寫作法)

①作NABC的平分線BD交AC于點D；

②作線段8。的垂直平分線交AB于點E,交BC于點F,交BD于點、M.

(2)試判斷△BEF的形狀，并加以證明.

18.如圖，ZVIBC是張大爺?shù)囊粔K小菜地，已知C。是AABC中A8邊上的高，AC=5,CD

=4,BC=3AO,求8力的長.(結(jié)果保留根號)

A

D

CB

19.2022年北京冬奧會捷報傳來一一中國隊9金4銀2銅收官，這極大地激勵了同學(xué)們體

育鍛煉的熱情.某校體育部隨機抽查八年級(1)班800名學(xué)生一周內(nèi)平均每天的體育鍛

煉時間r(單位：分鐘)，并將調(diào)查的數(shù)據(jù)整理后得到如下統(tǒng)計圖表：

組別鍛煉時間頻數(shù)

A0&V204

B20WV308

C30WY4010

D40WY50a

E?250b

根據(jù)圖表中提供的信息，解答下列問題.

(1)統(tǒng)計表中的，b=,并補全條形統(tǒng)計圖.

(2)求扇形統(tǒng)計圖中，C組所在扇形圓心角的度數(shù).

(3)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，求出鍛煉時間不低于30分鐘的有多少名學(xué)生？

我們把多項式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式，如果一個多項式不是完全平方

式，我們常常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式，再減去這

個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法.配方法是一種重要的解決數(shù)學(xué)問題

的方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決與非負數(shù)有關(guān)的問

題和求代數(shù)式最大值，最小值等問題.

例如：x2+2x-3=Cx2+2x+])-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x

-1)；X2+2X+6=N+2X+1+5=(X+1)2+5,則當x=-1時，？+2%+6有最小值，最小值

是5.

根據(jù)材料用配方法解決下列問題.

(1)若多項式/+6x+k是一個完全平方式，則常數(shù)k的值為.

A.9

B.-9

C.±9

D.36

(2)分解因式：x2-2x-8.

(3)當x為何值時，多項式N-4x+3有最小值？并求出這個最小值.

21.如圖，在△ABC中，4B=AC,點力、E、尸分別在AB、BC、4c邊上，且BE=CF,

BD=CE.

(1)求證：是等腰三角形；

(2)當/A=40°時，求NDEF的度數(shù).

22.綜合與實踐

美麗的弦圖中蘊含著四個全等的直角三角形.

(1)如圖1,弦圖中包含了一大一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為

a,較短的直角邊為從斜邊長為c,結(jié)合圖1,試驗證勾股定理；

(2)如圖2,將這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓(實線)的

周長為24,0C=3,求該飛鏢狀圖案的面積；

(3)如圖3,將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD,正方形EFGH,

正方形MNKT的面積分別為Si,S2,S3,若S+S2+S3=42,求S2的值.

23.綜合與探究

已知在RtZVIBC中，AB=AC,ZBAC=9Q°,。為直線BC上一動點（點D不與點B,

點C重合），以A。為邊作（其中AD=AE,ND4E=90°）,連接CE.

（1）如圖1,當點。在邊BC上時，求/OCE的度數(shù).

（2）如圖2,當點。在邊8c的延長線上運動時，類比第（1）問，請你猜想線段BD,

CD,DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）如圖3,當點。在邊CB的延長線上時，AC=&,CE=1,求線段的長.

圖I圖2圖3

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）

1.計算砂93的結(jié)果是（）

A.a2B.“3c.a5D.a6

【分析】直接利用同底數(shù)幕的乘法運算法則計算得出答案.

解：a2*a3=a5.

故選：C.

【點評】此題主要考查了同底數(shù)事的乘法運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.

2.為了直觀地表示世界七大洲的面積各占全球陸地面積的百分比，最適合使用的統(tǒng)計圖是

（）

A.扇形統(tǒng)計圖B.條形統(tǒng)計圖C.折線統(tǒng)計圖D.以上都可以

【分析】利用扇形統(tǒng)計圖的特點：①用扇形的面積表示部分在總體中所占的百分比.②

易于顯示每組數(shù)據(jù)相對于總數(shù)的大小，進而得出答案.

解：為了直觀地表示世界七大洲的面積各占全球陸地面積的百分比，

最適合使用的統(tǒng)計圖是：扇形統(tǒng)計圖.

故選：A.

【點評】此題主要考查了統(tǒng)計圖的選擇，正確把握統(tǒng)計圖的特點是解題關(guān)鍵.

9丹‘。.其中無理數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)是＜

3.已知一組數(shù)據(jù)：TT,號,0.1010010001,)

A.2B.3C.4D.5

【分析】根據(jù)無理數(shù)的概念得出結(jié)論即可.

解：在m—I，0.1010010001,八巨，n3中無理數(shù)為n,八巨，

320?22

故選：A.

【點評】本題主要考查無理數(shù)的概念及頻數(shù)的知識，熟練掌握無理數(shù)的概念及頻數(shù)的知

識是解題的關(guān)鍵.

4.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）

A.x2-xB.x2+2x-1C.x^+y2D.x2-1

【分析】利用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可.

解：A、原式=x(x-1),不符合題意；

B、原式nR+Zx+l-2=(x+1)~-2—(x+l+J，)(x+1-J，)>不符合題意；

C、原式不能分解，不符合題意；

D、原式=(x+1)(x-1),符合題意.

故選：D.

【點評】此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵.

5.在△ABC中，若AC2-BG=AB2,則()

A.NA=90°B.ZB=90°C.ZC=90°D.不能確定

【分析】由勾股定理的逆定理即可得到答案.

解：,.,AG-B—AB?,

：.AC2=BC2+AB2,

：.ZB=90°.

故選：B.

【點評】本題主要考查了勾股定理的逆定理，解決本題的關(guān)鍵是熟悉三角形的三邊長

b,C滿足“2+〃=C2,那么這個三角形就是直角三角形.

6.在測量一個小口圓形容器的內(nèi)徑時，小明用“X型轉(zhuǎn)動鉗”按如圖所示的方法進行測量,

其中OA=OO,OB=OC,因此可得8g△DOC,從而測得A8的長，就可以得到圓

形容器的內(nèi)徑CD的長，其中判定△AO8也△OOC的依據(jù)是()

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論.

解：在△AOB和△OOC中，

OA=OD

<ZA0B=ZD0C)

BO=OC

：./\AOB^/\DOCCSAS),

故選：A.

【點評】本題考查全等三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的性質(zhì)解決實際問

題.

7.估計強的值（）

A.在6和7之間B.在5和6之間C.在4和5之間D.在3和4之間

【分析】利用立方數(shù)，進行計算即可解答.

解：V27<30<64,

A3<^/30<4'

,估計我的值在3和4之間，

故選：D.

【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握立方數(shù)是解題的關(guān)鍵.

8.關(guān)于原命題“如果a=b,那么岸=墳”和它的逆命題“如果小=",那么。=b"，下列

說法正確的是（）

A.原命題是真命題，逆命題是假命題

B.原命題、逆命題都是真命題

C.原命題是假命題，逆命題是真命題

D.原命題，逆命題都是假命題

【分析】寫出原命題的逆命題后判斷正誤即可.

解：原命題“如果4=6,那么“2=按”是真命題；

它的逆命題“如果。2=從,那么"=/?"，錯誤,是假命題；

二原命題為真命題，逆命題為假命題，

故選：A.

【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是正確的寫出一個命題的逆命題，

難度不大.

9.如圖，在AABC中，ZB=54°,以點C為圓心，CA的長為半徑作弧交A8于點。，分

別以點A和點。為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點E,作直線CE,交

AB于點凡則/BCF的度數(shù)是（）

A.54°B.36°C.27°D.18°

【分析】利用基本作圖得到CFLAB,然后利用互余計算出N8C尸的度數(shù).

解：由作法得CFLAB,

AZBFC=90°,

ZBCF=900-ZB=90°-54°=36°.

故選：B.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵.

10.公元前500年，畢達哥拉斯學(xué)派中的一名成員西伯索斯發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，導(dǎo)致了第一次數(shù)

學(xué)危機.事實上，我國古代發(fā)現(xiàn)并闡述無理數(shù)的概念比西方更早，但是沒有系統(tǒng)的理

論.《九章算術(shù)》開方術(shù)中指出了存在有開不盡的情形：“若開方不盡者，為不可開”.《九

章算術(shù)》的作者們給這種“不盡根數(shù)”起了一個專門名詞一“面”.“面”，就是無理

數(shù).無理數(shù)里最具有代表性的數(shù)就是“近”?下列關(guān)于&的說法錯誤的是（）

A.可以在數(shù)軸上找到唯一點與之對應(yīng)

B.它是面積為2的正方形的邊長

C.可以用兩個整數(shù)的比表示

D.可以用反證法證明它不是有理數(shù)

【分析】根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸、勾股定理、算術(shù)平方根、無理數(shù)的概念、反證法判斷即可.

解：A、利用勾股定理，可以在數(shù)軸上找到唯一點與之對應(yīng)，本選項說法正確，不符合題

意；

B、面積為2的正方形的邊長為，5,本選項說法正確，不符合題意；

c、料是無理數(shù)，不可以用兩個整數(shù)的比表示，本選項說法錯誤，符合題意；

。、可以用反證法證明它不是有理數(shù)，本選項說法正確，不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查的是無理數(shù)的概念、實數(shù)與數(shù)軸、反證法，掌握無理數(shù)的概念、反證

法的一般步驟是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

11.計算：々隔=-2.

【分析】因為-2的立方是-8,所以■的值為-2.

解：V~8~~2-

故答案為：-2.

【點評】此題考查了立方根的意義.注意負數(shù)的立方根是負數(shù).

12.用反證法證明，“在△ABC中，N4、NB對邊是a、b,若則”第

一步應(yīng)假設(shè)aWb.

【分析】反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，據(jù)此進行判斷即可.

解：用反證法證明，“在AABC中，N4、NB對邊是a、b,若則”

第一步應(yīng)假設(shè)“Wb,

故答案為：a^b.

【點評】本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟.在假設(shè)結(jié)論不

成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，

如果有多種情況，則必須一一否定.

13.實行“雙減”政策后，某區(qū)推行“5+2”的課后服務(wù)模式，學(xué)?？茖W(xué)利用課余時間，開

展豐富的社團活動.下表是根據(jù)某學(xué)校八（1）班同學(xué)參加課外社團活動情況收集到的數(shù)

據(jù)繪制的部分統(tǒng)計表，若選擇足球的人數(shù)占該班總?cè)藬?shù)的25%,則選擇手工的人數(shù)為

8.

A（1）班同學(xué)參加社團活動情況統(tǒng)計表

社團活動足球啦啦操合唱手工其他

參加人數(shù)1016482

【分析】利用選擇足球的人數(shù)除以25%,即可得出該班總?cè)藬?shù)，在用總?cè)藬?shù)分別減去其

它人數(shù)即可.

解：總?cè)藬?shù)：10?25%=40（人），

選擇手工的人數(shù)：40-10-16-4-2=8（人），

故答案為：8.

【點評】本題考查了統(tǒng)計表，正確求出總?cè)藬?shù)是解答本題的關(guān)鍵.

14.如圖，小虎用10塊高度都是3c、"z的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，

木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板(AC=BC,/ACB=90°)，點C在。E上,

點A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為30cm.

【分析】根據(jù)題意可得AC=BC,乙4cB=90°,AD±DE,BE_LDE,進而得到NAOC

=NCEB=90°,再根據(jù)等角的余角相等可得NBCE=ND4C,再證明△4OC絲aCEB

即可，利用全等三角形的性質(zhì)進行解答.

解：由題意得：AC=BC,ZACB=90°,ADIDE,BE工DE,

：.ZADC=ZCEB=90Q,

：.ZACD+ZBCE=9^,NACD+/D4C=90°,

NBCE=ZDAC,

在△ADC和△CEB中，

zZADC=ZCEB

<ZDAC=ZBCE-

AC=BC

:.XADg/\CEB(A4S)；

由題意得：A￡>=EC=9cm,DC=BE=2lcm,

：.DE=DC+CE=30Cem'),

答：兩堵木墻之間的距離為30cm.

故答案為：30.

B

DCE

【點評】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件.

15.如圖，在中，ZACB=90°,BC=6,AC=9.折疊△4CB,使點A與BC的

中點。重合，折痕交AB于E,交AC于點F,則CF=4

【分析】由。是8c的中點，求出CE)=3,再由折疊的性質(zhì)，得AF=F￡>,設(shè)4F=x,

則FC=9-x,DE=x,在RtZ\C￡>尸中，x2=9+(9-Jt)2,求出x即可求C凡

解：；。是8c的中點，BC=6,

：.CD=3,

:折疊△ACB,使點A與8C的中點O重合，

：.AF=FD,

：AC=9,

設(shè)AF=x,則FC=9-x,DE=x,

VZACB=90",

在RtACO/中，/=9+(9-x)2,

；.x=5,

CF=4,

故答案為4.

【點評】本題考查圖形的翻折，熟練應(yīng)用勾股定理，掌握圖形折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共8個小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟)

16.(1)計算：(-2m)2-7-2m2.

(2)先化簡，再求值(1+a)(1-a)+(a-2)2,其中a=-2.

【分析】(1)直接利用積的乘方運算法則化簡，進而利用整式的除法運算法則計算得出

答案；

(2)直接利用乘法公式化簡，再合并同類項，把己知數(shù)據(jù)代入得出答案.

解：(1)原式=4,層+2汴

=2；

(2)原式=1-a2+a2-4a+4

=-4a+5,

當〃=-2時，

原式=-4X(-2)+5

=8+5

=13.

【點評】此題主要考查了整式的混合運算一化簡求值，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)

鍵.

17.如圖，已知△ABC.

（1）利用直尺和圓規(guī)，根據(jù)下列要求作圖.（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

①作ZABC的平分線BD交AC于點￡>；

②作線段的垂直平分線交4B于點E,交8C于點尸，交BD于點M.

（2）試判斷aBEF的形狀，并加以證明.

【分析】（1）①利用尺規(guī)作出/ABC的角平分線即可；

②利用尺規(guī)作出線段BD的垂直平分線即可；

（2）根據(jù)等腰三角形的判定方法判斷即可.

解：（1）①如圖，射線8。就是所要求作的/ABC的平分線;

②如圖，直線E/就是所要求作的線段84的垂直平分線;

（2）尸是等腰三角形，證明如下：

垂直平分線段8￡>,

：.BM±EF,

：.ZBME=ZBMF=90°,

平分/ABC,

ZMBE=NMBF,

在△BME和ABM尸中，

<ZBME=ZBMF

<BM=BM，

ZMBE=ZMBF

，△8ME和△BMF,

；.BE=BF,

...△BEF是等腰三角形.

【點評】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線，等腰三角形的判定等知識，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型.

18.如圖，△ABC是張大爺?shù)囊粔K小菜地，已知CD是aABC中A8邊上的高，AC=5,CD

=4,BC=3AO,求8。的長.（結(jié)果保留根號）

A

【分析】先在RtZVlCQ中根據(jù)勾股定理求出的長，進而可知BC的長，再在RtABCZ）

中，根據(jù)勾股定理求出8。的長即可.

解：：C。是△ABC中AB邊上的高，

.,.△ACD和△BC。都是直角三角形.

在RtZXACD中，AC=5,CD=4,

?**AD=V52-42=3>

\'BC=3AD,

:.BC=9,

在RtZXBCO中，BD=V92-42=V65-

【點評】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理并能正確的計算是解題的關(guān)鍵.

19.2022年北京冬奧會捷報傳來一一中國隊9金4銀2銅收官，這極大地激勵了同學(xué)們體

育鍛煉的熱情.某校體育部隨機抽查八年級Q）班800名學(xué)生一周內(nèi)平均每天的體育鍛

煉時間r（單位：分鐘），并將調(diào)查的數(shù)據(jù)整理后得到如下統(tǒng)計圖表：

組別鍛煉時間頻數(shù)

A0&V204

B20<r<308

C30?4010

D40WY50a

E欄50b

根據(jù)圖表中提供的信息，解答下列問題.

(1)統(tǒng)計表中的a=20,b=8,并補全條形統(tǒng)計圖.

(2)求扇形統(tǒng)計圖中，C組所在扇形圓心角的度數(shù).

(3)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，求出鍛煉時間不低于30分鐘的有多少名學(xué)生？

【分析】(1)根據(jù)A的頻數(shù)和頻率求出抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)，用總?cè)藬?shù)乘40%即可得出a

的值，用總?cè)藬?shù)乘16%即可得出6的值，然后補全條形統(tǒng)計圖即可;

(2)用360°乘C組所占百分比可得C組所在扇形圓心角的度數(shù);

(3)A,B兩組平均每天的體育鍛煉時間不超過半小時，用樣本估計總體即可得出答案.

解：(1)4?8%=50(人)，

a=50X40%=20,

b—50XI6%=8,

補全條形統(tǒng)計圖如下:

故答案為：20,8；

(2)360°X—=72°；

50

4+只

(3)800X±2=192(名)，

50

答：該校800名九年級學(xué)生中大概有192名學(xué)生一周內(nèi)平均每天的體育鍛煉時間不超過

半小時.

【點評】本題考查扇形統(tǒng)計圖、頻數(shù)分布表、用樣本估計總體，解答本題的關(guān)鍵是明確

題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

20.閱讀與思考

我們把多項式a2+2ab+b2及“2-2ab+b:叫做完全平方式，如果一個多項式不是完全平方

式，我們常常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這

個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法.配方法是一種重要的解決數(shù)學(xué)問題

的方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決與非負數(shù)有關(guān)的問

題和求代數(shù)式最大值，最小值等問題.

例如：x2+2x-3—(x2+2x+l)-4=(x+1)2-4—(x+1+2)(x+l-2)=(x+3)(x

-1)；x2+2x+6—x2+2x+1+5=(x+1)2+5,則當x=-1時，/+級+6有最小值，最小值

是5.

根據(jù)材料用配方法解決下列問題.

(1)若多項式產(chǎn)+6田+我是一個完全平方式，則常數(shù)k的值為4.

A.9

B.-9

C.±9

D.36

(2)分解因式：x2-2x-8.

(3)當x為何值時，多項式N-4x+3有最小值？并求出這個最小值.

【分析】(1)利用完全平方公式得出答案；

(2)仿樣例進行解答便可；

(3)將代數(shù)式配方為(x-2)2-1,可得出答案.

解：(1)設(shè)N+6x+k=(x+〃?)2.貝！]/+6工+4=12+2,"田+〃?2,

;2m=6

,'?]2,

k=m

故答案為：A；

(2)j2-2x-8=(爐-Zt+l)-1-8=(x-1)2-32=(x-1+3)(x-1-3)=(x+2)

(x-4)；

(3)x2-4x+3=x2-4x+4-4+3=(x-2)2-1,

(x-2)220,

(x-2)2--1,

.3-4X+3的最小值為-1.

【點評】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，非負數(shù)的性質(zhì)，將多項式配方，再利用非負數(shù)

的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，在△ABC中，A8=AC,點力、E、尸分別在A8、BC、AC邊上，且BE=CF,

BD=CE.

(1)求證：是等腰三角形；

(2)當NA=40°時，求/。的度數(shù).

【分析】(1)EtlAB=AC,ZABC=ZACB,BE=CF,BD=CE.利用邊角邊定理證明

△DBEmAECF,然后即可求證是等腰三角形.

(2)根據(jù)NA=40°可求出NABC=NACB=70°根據(jù)△QBEgZsECF,利用三角形內(nèi)角

和定理即可求出NDEF的度數(shù).

【解答】證明：???AB=AC,

NABC=NACB,

在△OBE和中

'BE=CF

<ZABC=ZACB)

BD=CE

：./\DBE^/\ECF,

：.DE=EF,

...△OEF是等腰三角形:

(2),:△DBEgAECF,

=/2=/4,

VZA+ZB+ZC=180°,

：.ZB=—(180°-40°)=70°

2

.".Zl+Z2=l10°

；./3+/2=110°

:.NDEF=10°

【點評】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題主要應(yīng)用了

三角形內(nèi)角和定理和平角是180°,因此有一定的難度，屬于中檔題.

22.綜合與實踐

美麗的弦圖中蘊含著四個全等的直角三角形.

(1)如圖1,弦圖中包含了一大一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為

a,較短的直角邊為從斜邊長為c,結(jié)合圖1,試驗證勾股定理；

(2)如圖2,將這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓(實線)的

周長為24,OC=3,求該飛鏢狀圖案的面積；

(3)如圖3,將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABC。，正方形EFGH,

正方形MNKT的面積分別為N,S2,S3,若SI+S2+S3=42,求出的值.

圖1

【分析】(1)依據(jù)圖1中的正方形的面積可以用兩種方式表示出來，即可驗證勾股定理;

(2)可設(shè)4C=x,根據(jù)勾股定理列出方程可求x,再根據(jù)直角三角形面積公式計算即可

求解；

(3)設(shè)八個全等的直角三角形的面積均為m依據(jù)正方形EFG”內(nèi)外四個直角三角形的

面積之和相等，即可得到2s2=St+S3,再根據(jù)SI+2&+S3=42,即可得出S2的值.

解：(1)由圖1可得，大正方形的面積為

大正方形的面積(a-b)2,

2

4X—ab+(a-b)2—(^,

2

化簡可得，“2+爐=小；

(2)244-4=6,

設(shè)AC=x,則AB=6-x,

依題意得：

(x+3)2+32=(6-X)2,

解得x=\,

...該“勾股風(fēng)車”圖案的面積為：-1x(3+1)X3X4

=—X4X3X4

2

=24.

答：該“勾股風(fēng)車”圖案的面積為24；