必修五不等式附加答案解析

不等式專題

一共分為6部分

1.不等關系與不等式

2.一元二次不等式及其解法

3.二元一次不等式組與平面區(qū)域

4.線性規(guī)劃與實際應用

5.線性規(guī)劃與基本不等式

6.不等式綜合復習

第一部臺不等關彖鳥系等式

外識點一：符號法則與比較大小

實數(shù)的符號：

任意xeR,則x>0（x為正數(shù)）、x=0或x<0（x為負數(shù)）三種情況有且只有一

種成立。

兩實數(shù)的加、乘運算結(jié)果的符號具有以下符號性質(zhì)：

①兩個同號實數(shù)相加，和的符號不變

符號語言：a>0,b>0=>a+h>0；

a<0,b<0=>a+h<0

②兩個同號實數(shù)相乘，積是正數(shù)

符號語言：a>0,b>0=>0；

a<0,bab>0

③兩個異號實數(shù)相乘，積是負數(shù)

符號語言：。>0,6<0=>。6<0

④任何實數(shù)的平方為非負數(shù)，0的平方為0

符號語言：xe7?=>x2>0,x=0x2=0.

比較兩個實數(shù)大小的法則：

對任意兩個實數(shù)a、b

@a-b>0=a>b；

@a-b<0<=>a<b；

③a—b=O=a=b.

對于任意實數(shù)a、=三種關系有且只有一種成立。

要點詮釋：這三個式子實質(zhì)是運用實數(shù)運算來比較兩個實數(shù)的大小關系。它是本章的基

礎，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù)。

例題展示

1、某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共180加2,擬分割成大、小兩類房間作為旅游客房，大

房間面積為18療，

可住游客5人，每名游客每天住宿費40元；小房間每間面積為15m2,可住游客3人，

每名游客每天住宿費50元；裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元，

如果他只能籌款8000元用于裝修，試寫出滿足上述所有不等關系的不等式.

【解析】假設裝修大、小客房分別為x間，y間，根據(jù)題意，應由卜.列不等關系：

(1)總費用不超過8000元

(2)總面枳不超過180加2:

(3)大、小客房的房間數(shù)都為非負數(shù)且為正整數(shù).

即有：

1000x+600^<80005x+3”40

18x+15y<1806x+5y<60

即《“八

x>0(XGN*)x>0(XGN)

)^>0(yeN*)y>0MN*)

此即為所求滿足題意的不等式組

變式訓練

1、某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本。據(jù)市場調(diào)查，若單價每提

高0.1元，銷售量就可能相應減少2000本.若把提價后雜志的定價設為x元，怎樣用不等

式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢？

x-25

【答案】設雜志社的定價為X元，則銷售的總收入為(8—一萬丁x0.2)x萬元，那么不等關系“銷

售的總收入仍不低于2()萬元”可以表示為不等式

r-25

(8-一—x0.2)x>20

2、某礦山車隊有4輛載重為101的甲型卡車和7輛載重為6t的乙型卡車，且有9名

駕駛員.此車隊每天至少要運360t礦石至冶煉廠.已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙

型卡車每輛每天可往返8次，寫出滿足上述所有不等關系的不等式.

解析：設每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛.

根據(jù)題意，應有如下的不等關系：

(I)甲型卡車和乙型卡車的總和不能超過駕駛員人數(shù)；

(2)車隊每天至少要運360t礦石；

(3)甲型卡車不能超過4輛，乙型卡車不能超過7輛.

用下面的關于x,y的不等式表示上述不等關系即可，

x+y<9x+y<9

10x6x+6x8y>3605x+4y>30

即4

0<x<4,xeN0<x<4,xeN

0<y<7,xeNQ<y<l,x&N

知識點二：不等式的性質(zhì)

不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運算性質(zhì)兩部分

基本性質(zhì)有：

⑴對稱性：a>b=b<a

⑵傳遞性：a>b,b>cna>c

⑶可加性：a>b=a+c>b+c(c￡R)

c>0=>ac>be

(4)可乘性：a>b,<c=0=>ac=be

c<0=>ac<he

運算性質(zhì)有：

(1)可加法則：a>b,c>dna+c>b+d.

(2)可乘法則：a>b>0,c>d>0a-c>b-d>0

⑶可乘方性：a>b>O,neN=>a">b">0

⑷可開方性：a>b>O,neN+,n>l=>Va>Vb

要點詮釋：不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的依據(jù)

例題展示

1、對于實數(shù)a,b,c判斷以下命題的真假

(1)若a>b,貝ijac<bc;

(2)若ac2>bc2,則a>b;

(3)若a<b<0,貝ija2>ab>b2;

(4)若a<b<0,則|a|>|b|;

(5)若a>b,—>—,則a>0,b<0.

ah

【解析】

(1)因為c的符號不定，所以無法判定ac和be的大小，故原命題為假命題。

(2)因為ac?〉”?，所以WO,從而c2>0,故原命題為真命題。

\a<b.

(3)因為《，所以a?>ab①

[a<0

a<b,

乂《，所以ab>b?②

b<0

綜合①②得a2>ab>b2,故原命題為真命題.

(4)兩個負實數(shù)，絕對值大的反而小，故原命題為真命題.

a>ba-h>0

(5)因為<11，所以《1

—>—-->0

,abab

h-a<0

所以《

口>0?從而ab<0

,ab

又因a>b,所以a>0,b<0,故原命題為真命題.

2、船在流水中航行，在甲地與乙地間來回行駛一次的平均速度和船在靜水中的速度是

否相等，為什么？

【解析】設甲地與乙地的距離為S,船在靜水中的速度為u,水流速度為v(u>v>0),

ss2uS

則船在流水中在甲地和乙地間來回行駛一次的時間，=-----+------

22

Vu-vU-v

_2Su~-v2

平均速度u=—=

u

-u2-v2V2.

u-u=--------u=----<。，

UU

：.u<u

因此，船在流水中來回行駛一次的平均速度與船在靜水中的速度不相等，平均速度小于船在靜水中的

速度。

變式訓練

1、若a,cVdVO,則下列命題：(1)ad>hc；

(2)—+—<0；(3)a-c>b—d；(4)w(d—c)>6(d—c)中能成立

dc

的個數(shù)是().C

A.1B.2C.3D.4

2、若a<b<0,則下列結(jié)論正確的是().

111——1>」-均不成立

A.一>一和rl

ab|a||b|

B.〉_L和_L>_L均不成立

a-ba|a||b|

c.」一>1和(a+-)2>(b+1)2均不成立

a-baba

D.—>—^R(a+-)2>(b+1)2均不成立

|a||b|ba

【解析】特殊值法：???a<b<0,...取a=-2,b=-l,分別代入四個選項，即得選項B.

3、甲乙兩車從A地沿同一路線到達B地，甲車一半時間的速度為a,另一半時間的速度

為b;乙車用速度為a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若awb,試判斷哪輛車先

到達B地.

【解析】設從A到B的路程為S,甲車用的時間為乙車用的時間為G，

t.t.,n2sSSSAL

221a+b22a2b2ab

2

2SS<1,n2S(a+h)S4HS—(a+b)2s(a-b)Sn

a+b2\ab)a+blab2ab(a~\~b)2ab(a~\-b)

所以,甲車先到達B地。

知識點三：比較兩代數(shù)式大小的方法

作差法：

任意兩個代數(shù)式a、b,可以作差后比較。-6與0的關系，進一步比較。與b的

大小。

①a-b>0<=>a>b；

@a-b<0=a<b；

③a-b=O=a=b。

作商法：

任意兩個值為正的代數(shù)式a、b,可以作商a+b后比較色與1的關系，進一步比較a與

b

b的大小。

?a,

①一>l=a>b：

b

-a,

②一<1Qa<b；

b

a,

③一=1=a=b.

b

中間量法：

若a>b且b>c,則a>c（實質(zhì)是不等式的傳遞性）.一般選擇o或1為中間量.

利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小

若兩個式子具有相同的函數(shù)結(jié)構，可以利用相應的基本函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

作差比較法的步驟：

第一步：作差；

第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將"差"化為"積"；

第三步：定號，就是確定差是大于、等于還是小于0；

最后下結(jié)論。

要點詮釋："三步一結(jié)論"。這里"定號"是目的，"變形"是關鍵過程。

例題展示

1、已知a,b,c是實數(shù),試比較與ab+bc+ca的大小.

【思路點撥】此題屬于兩代數(shù)式比較大小，實際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合

并同類項之后，判斷差值正負(注意是指差的符號，至于差的值究竟是多少，在這里無關緊要)。根據(jù)實數(shù)

運算的符號法則來得出兩個代數(shù)式的大小。比較兩個代數(shù)式大小的問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)運算符號問題。

【解析】；/+〃+c?-(ab+6c+ca)

=g[("+(b-c)2(c-a)2]>0,

當且僅當a=b=c時取等號.

；?a?+A?+Jzab+be+ca.

2、已知Q>6(Q600),試比較一和1的大小。

ab

abah

?二〃>b即b—a<0,

,.八，b-a門11

，當aZ?>0時-----<0,—<—：

abab

,八b-ci八11

當ab〈O時----->0.—>—.

abab

3、已知：a、bsR*,且。Wb,比較優(yōu)肥與的大小.

【思路點撥】本題是兩指數(shù)式比較大小，如果設想作差法，很明顯很難判斷符號，由指數(shù)式是正項可以

聯(lián)想到作商法.

【解析】?:a、beR+，工優(yōu)加>0.abba>0

作商:峨咻吟嗚)*嗚嚴例

⑴若a>b>0,則看>1,a-b>0,(力"">1,此時儲'//'>成立；

(2)若b>a>0,則0<￡<1,a-b<0,(￡)"">1,此時a"W>abba成立。

綜上,廢戶〉總成立。

變式訓練

1、在以下各題的橫線處適當?shù)牟坏忍枺?/p>

(1)(V3+V2)26+2網(wǎng);

(2)(V3-V2)2(V6-1)2；

(3)_J__J_.

V5-2--------V6-V51

(4)當。>6>0時，log]a

2

<

【答案】(l)v；(2)<；

2、比較下列兩代數(shù)式的大?。?/p>

(1)(x+5)(x+9)與(x+7)；(2)2a+26-2ab與2a+26—3.

【答案】

(1)(X+5)(X+9)<(X+7)2

(2)(2Q~+2b?-2a6)-(2a+26-3)

=—2a+1)+(b?-2b4-1)4-(Q?—2ab+6?)+1

二(Q-1)?+(6-+(a-by+121>0,

2Q~+2b~—2cib>+2b—3.

a2b2

3、已知a>0,b>0且aHb,比較一+—與a+b的大小

ba

【答案】,/(---1—)—(。+6)

ha

a3+63/

=----------(a+b)

ab

ia~-2ab+b~

:(Q+6)(----------)

ab

_(a+b)(a-b)2

—>u

ab

ha

4、己知a、b、c為互不相等的正數(shù)，求證:a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.

【答案】a、b、c為不等正數(shù)，不失一般性，設a>b>c>0,

這時a2ab2%2c>0,ab+cbc+aca+b>0,則有:

a2ab2%2c

ab+*+aa+b

abc

*/a>b>c>0—>l,a-b>0;—>l,b-c>0;0<—<l,c-a<0

bca

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：>l,(-)b-C>1,(-)^>1

bca

a2ab2bc2c

>1,即a2ab2%2c>ab+E+aca+b

ab+cbc+aci,+b

當堂檢測

1.己知x=log40+log“G，y=-log?5,z=log?V21-loguV3,則

（）

A.x>y>zB.z>y>x

C.y>x>zD.z>x>y

2.高速公路對行駛的各種車輛的最大限速為120km/h,行駛過程中，同一車道上的車

間距d不得小于10m,用不等式表示為（）

v<122kmih

A.vW120km/h或d>10mC.v<l20km/hD.d>\0m

d>10加

1.【答案】c【解析】vx=logaV2+logaV3=logaV6.夕=；log45=log“后，

Z=log”V2I-log45/3=log”V7,又由0<q<1知，函數(shù)—)=logN為減函數(shù)，??.j，>x>z.故選C.

2.【答案】B【解析】依據(jù)題意直接將條件中的不等關系轉(zhuǎn)化為不等式，即為v4120h〃//7,d>10m

注意這兩個不等式要同時成立

3.已知a,b,ceR,則下面推理中正確的是（

b

A、a>b=>am2>bm2B、=>a>b

C、a3>b3,ab>0=>—<—D、a2>b2,ab>0=>—<—

abab

4.若x+y>0,a<0,ay>0,則x-y的值為()

A、大于0B、小于0C、等于0D、符號不確定

3.【答案】C【解析】用淘汰法.

(A)中若m=0不成立：(B)中若c<0,不成立：(C)中a3?b3>0=>(a-b)(a2+ab+b2)>0.

??W+ab+b?>。恒成立，故a-b>0.

11

Aa>b,XVab>0,一<一

ab

(D)中a?:>b2n(a+b)(a-b)>0,不能說明a>b,故本題應選(C).

4.【答案】A【解析】用直接法.

?a<0?ay>0~~y<0,

XVx+y>0=?x>0,

x-y=x+(-y)>0.故本題應選(A).

5.已知0<x<y<a<l,則有()

A>loga(xy)<0B、0<loga(xy)<l

C.l<loga(xy)<2D,loga(xy)>2

6.若a、b是任意實數(shù)，且a>b,則()

A、a2>b2B、-<1C、lg(a-b)>0D、(—)a<

a2

5.【答案】D【解析】TOVxVyVaVl,.,.OVxyVl,故10gl(xy)>0,排除A,

又xyVyVa,故loga(xy)>logaa=l,排除B,

Vloga(xy)=logax+logay>logaa+logaa=1+1=2,故選D.

6.【答案】D【解析】；a>b且為單減函數(shù)，故(g),故選D,

因不知道a,b的正負，故可排除A、B、C選項.

7.下列命題中的真命題為

22

(1)若a>bz則ac>bc；

(2)若a<b<0,則—<—；

ab

(3)若a<b<0,則—>—；

ah

(4)若a<b<0,則一〈工；

a

(5)若c>a>b>0,則--—>---

c-ac-b

7.【答案】(4)(5)

【解析】

(1)Vc2>0>當c=0時acJbc，。，故原命題為假命題.

(2)舉特例但-—>-1,故原命題為假命題.

2

-a>-b>0—a>—b>0

所以〃A

(3)由于a<b<0,所以111I11一>一,故原命題為假命題.

—>—一一>一一>0ha

ab

(4)Va<b<0,|a|>|b|>0,.也<1故原命題為真命題.

"l?l

(一av—b11

(5)Vc>a>b>0,c-b>c-a>0,-------->--------->0,

\c>ac-ac-b

b

又?,???.」一〉一

a>b>0,---,故原命題為真命題.

c-ac-b

課后作業(yè)

jrjr

1.若"滿足則2a一6的取值范圍是

2.若實數(shù)滿足6+c=3a2-4a+6,b—c-a2—4a+4,試確定a,b,c的大小關

系_______

37r7CTC兀兀

i.【答案】-----<2a—一?【解析】—<a<—.乂—v—/?<一..11?</??

222222

34c門兀

/.—?r<a—^<o.:.——v2a—p.

2.【答案】b>c>a【解析】由已知6-2)2>0=>6>c,

,仿+c=3/-4〃+6、

由<9=c=/+i

[b-c=a-4a+4

13

:.c-a=a~+1—Q=(a—)"H—>0=c>u綜上所述，bNc>a

3.已知a2<X<a,M=k)gaX2,N=10ga(10gaX),P=(10gaX)2,則M、N、P的大小順序

是.

4.設a>b>0,m>0,n>0,則？,色,史巴，也由小到大的排列順序是_________

aba+mb+n

3.【答案】??.M>P>N【解析】〈a2<x<a,/.a2<a,/.0<a<1,0<a2<x<a<1.

22

??.1<log；,x<2/.N=loga(logax)<0.P-M=(logax)-logax=logax(logax-2)<0

M>P>N

4.【答案】_<b+m<巴工【解析】特殊值法：對a、b、m、n分別取特殊值，

aa+mb+nb

比如：a=4,b=3,m=2,n=l,代入比較即得一<勺+血.<白土11<—,

aa+mb+nb

5.某礦山車隊有4輛載重為10t的甲型卡車和7輛載重為6t的乙型卡車，且有9名駕駛員.此

車隊每天至少要運360t礦石至冶煉廠.己知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天

可往返8次，寫出滿足上述所有不等關系的不等式.

【解析】設每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛.

根據(jù)題意，應有如下的不等關系：

(1)甲型卡車和乙型卡車的總和不能超過駕駛員人數(shù)；

(2)車隊每天至少要運360t礦石；

(3)甲型卡車不能超過4輛，乙型卡車不能超過7輛.

用下面的關于x,y的不等式表示上述不等關系即可，

x+”9x+y<9

10x6x+6x8y>3605x+4y>30

5，即，

0<x<4,XGN0<x<4,xeN

0<y<7,xcN0<y<7,XGN

6.己知a>0,且aH1,m>n>0,比較A=an'+［和8=2"+二的大小.

aa

?C/m1、1、n、31、e"*一a")包鵬-1)

【解析】A—B=(a+—)-(a+—)=(a-a)+(---)=-------------------

aaaaa

?/a>0/.am+n>0

當。>1時，,/m>n>0./.am>a11,?.,anvH1>a°=1,r.A-B〉。即A>B.

當0<a<l時，,/am<an,a'""<a°=1,A-B〉0即A>B

綜上A>B.

.7.設x>0且x*,比較1+logQ與210gx2的大小.

3x

解析】作差：

(1+logt3)-2logv2=logv3x-log,.4=logv—

0<x<l、

3x

(i)當〈3x，即o<x<i時，log、.一>0，此時，l+logr3>2k)gt2.

0<—<14

4

0<x<1

⑵3x,”0

——>1

14

x>l4

⑶當43即1<xW—時

0<-x<l3

I4

3x4

此時其中時取等號.

logv-^-<0,1+logv3<2logx2,x=§

x>1

43x

(4)當<3x即%>］時，log*—>0.此時1+log3>2log.2

—>1xA

4

444

綜上所述，當OVxVl或x>一時，1+Iogx3>2logx2;當IVxV一時，1+log*3V210gx2；當x=一時,

333

l+logx3=2logx2.

8.己知—求二夕，區(qū)”的取值范圍.

兀,c,兀兀n7iB,兀

【解析】因為——Wa<￡<一.所以——<—<———<—<—

22424424

兀a+B兀

兩式相加，得——<———<—

222

兀B,兀兀，B兀

因為——〈二4一，所以——,

424424

71,a-B7i

則——<----—<—,

222

a-0_

又aV夕，所以-----<0,

第二部合一無二法系等哀及其解法

帶識點一：解一兀二次不等式方卷

【要點梳理】

1.一元二次不等式及其解法

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.比如:

x2-5x<0.一元二次不等式的一般形式：ax2+bx+c>0(。。0)或

ax2+bx+c<0(a。0).

設一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩根為芭、x2且芯</，則不等式

ax2+bx+c>0的解集為,不等式ax2+bx+c<0的解集為

{小]<x<x2}

要點詮釋：討論一元二次不等式或其解法時要保證(a。0)成立

2.一元二次不等式與相應函數(shù)、方程之間的聯(lián)系

對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩根為石、/且演《馬,設

△=〃-4ac,它的解按照△>(),△=(),△<()可分三種情況，相應地，二次函數(shù)

y^ax1+bx+c(a>0)的圖像與x軸的位置關系也分為三種情況.因此我們分三種情況來

討論一元二次不等式ax?+bx+c>0(a>0)或ax?+bx+c<0(a>0)的解集.

A=b2-4ac

A>0A=0A<0

二次函數(shù)

i

y=ax2+b:

0々二電

(a>0)的圖

象

有兩相異有兩相等

ax2+bx+c實根實根

(a>0)的根無實根

x=x=-

X|,X2(X|<x2)]2

ax2+cb

k|x<X］或X>.(xxW--

(a>0)的解2R

ax2+bx+c

{x|x(<x<x2}

(a>0)的解00

要點詮釋：

(1)一元二次方程ax?+6x+c=0(。w0)的兩根玉、馬是相應的不等式的解集的端點

的取值，是拋物線y=+bx+c與x軸的交點的橫坐標；

(2)表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項系數(shù)為負，應先利用不等式

的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式，然后討論解決；

(3)解集分A>0,A=0,A<0三種情況，得到一元二次不等式af+bx+c>。與

ax2+bx+c<0的解集.

3.解一元二次不等式的步驟

(1)先看二次項系數(shù)是否為正，若為負，則將二次項系數(shù)化為正數(shù)；

(2)寫出相應的方程ax?+以+c=0(a〉0),計算判別式△:

①A>0時，求出兩根X］、x2,且王<々(注意靈活運用因式分解和配方法)；

②△=0時，求根%!=x2=一"—；

2a

③△<()時，方程無解

(3)根據(jù)不等式，寫出解集.

用程序框圖表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的過程

要點詮釋：

1.解一元二次不等式首先要看二次項系數(shù)a是否為正；若為負，則將其變?yōu)檎龜?shù);

2.若相應方程有實數(shù)根，求根時注意靈活運用因式分解和配方法；

3.寫不等式的解集時首先應判斷兩根的大小，若不能判斷兩根的大小應分類討論;

4.根據(jù)不等式的解集的端點恰為相應的方程的根，我們可以利用韋達定理，找到不等

式的解集與其系數(shù)之間的關系；

5.若所給不等式最高項系數(shù)含有字母，還需要討論最高項的系數(shù).

知識點二：類型題講解

類型一：一元二次不等式的解法

例題展示

例1.解下列一元二次不等式

(1)x2~5x<0；(2)x~~4x+4>0；(3)~x~+4x-5>0

【思路點撥】轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)，數(shù)形結(jié)合解決，或利用符號法則解答.

【解析】

(1)方法一：

因為△=(-5)2-4x1x0=25〉。

所以方程-5x=0的兩個實數(shù)根為：玉=0，%=5

因而不等式一—5x<0的解集是{x|0<x<5}.

x>0x<0

2

方法二：x-5x<0x(x-5)<0=<或《

x-5<0x-5>0

x>0x<0-

解得《或《，即0<x<5或xw0.

x<5x>5

因而不等式—5x<0的解集是{x|0<x<5}.

(2)方法一：

因為△=0,

方程X2—4工+4=0的解為苞=%2=2.

函數(shù)y=x2-4x+4的簡圖為：

所以，原不等式的解集是{x|x，2}

方法二：X2-4X+4=(X-2)2>0(當x=2時，(x-2)2=0)

所以原不等式的解集是{xIXH2}

(3)方法一：

原不等式整理得X2-4X+5<0.

因為A<0,方程/-41+5=0無實數(shù)解,

函數(shù)歹=x?-4x+5的簡圖為：

所以不等式—4x+5<0的解集是。.

所以原不等式的解集是0.

方法二：—x~+4x—5=—(x—2)"—1<—1<0

二原不等式的解集是0.

【總結(jié)升華】

1.初學二次不等式的解法應盡量結(jié)合二次函數(shù)圖象來解決，培養(yǎng)并提高數(shù)形結(jié)合的分析能

力；

2.當ASO時、用配方法，結(jié)合符號法則解答比較簡潔(如第2、3小題)；當A>0且是

一個完全平方數(shù)時，利用因式分解和符號法則比較快捷，(如第1小題).

3.當二次項的系數(shù)小于0時，一般都轉(zhuǎn)化為大于0后，再解答.

變式訓練

x?+2xx20

【變式1】已知函數(shù)/(x)=、'-'解不等式〃)>3.

-x+2x,x<0

x>0,[x<0,

【答案】由題意知〈、或〈，

x+2x>3[-x+2x>3,

解得：x>\.

故原不等式的解集為

【變式2】解不等式一f+2x—3>0

【答案】整理，得f-2x+3<0.

因為△<(),方程x?-2x+3=0無實數(shù)解，

所以不等式/一2x+3<0的解集是。.

從而，原不等式的解集是0.

類型二：含字母系數(shù)的一元二次不等式的解法

例題展示

例2.解下列關于x的不等式

(1)x2-2ax<-3^+l；

(2)x2-ax+l>0；

(3)x2-(a+l)x+a<0；

【思路點撥】

解不等式時首先應判斷兩根的大小，若不能判斷兩根的大小應分類討論；

【解析】

(1)r—2cix+/—1<0-—1][(1—。)+1]-0Q—+1

/.原不等式的解集為｛X|〃-1〈X4Q+1｝.

(2)A=a2-4

Q+JQ2—4、a—Jq?—4

當A>0,即a>2或a<-2時，原不等式的解集為｛x[X>----------------------或X<-----------------------｝

當A=0,即a=2或-2時，原不等式的解集為

當AvO,即?2<av2時,原不等式的解集為R.

(3)(x-l)(x-a)<0

當a>l時，原不等式的解集為｛x|l<x<a｝

當a<l時，原不等式的解集為｛x|a<x<l｝

當a=l時，原不等式的解集為①.

【總結(jié)升華】對含字母的二元一次不等式，一般有這樣幾步：

①定號：對二次項系數(shù)大于零和小于零分類，確定了二次曲線的開口方向；

②求根：求相應方程的根.當無法判斷判別式與。的關系時，要引入討論，分類求解;

③定解：根據(jù)根的情況寫出不等式的解集；當無法判斷兩根的大小時，引入討論.

變式訓練

-1

【變式1]解關于X的不等式：Y一5+一口+1<0(。。0)

a

【答案】原不等式化為<0

a

①a=l或a=-l時，解集為0；

②當0。<1或a<-l,時，a<—,解集為：｛X|Q<X<4｝；

aa

③當a>l或-l<a<0時，a>—,解集為：｛X[L<X<Q｝.

aa

【變式2]解關于X的不等式：工2一5+。2"+/>0(〃cR)

【答案】X?-(。+〃2)x+a，>0=>(工一a)(x—〃2)>0

當a<0或a>l時，解集為｛x|x<Q或X>。2｝；

當a=0時，解集為｛x|xWO｝；

當OVaVl時，解集為｛x|x</或X>。｝；

當3=1時,解集為｛x|xwl｝；

例題展示

例3.解關于x的不等式：ax2-(a+l)x+l<0.

【解析】若a=O,原不等式Q-X+1VO=X>1；

若aVO,原不等式X2—(1H—)XH—>0(X---)(X-1)>0<=>X<一或x>l；

aaaa

若a>0,原不等式X2—(1H—)Xd—<0(X)(X—1)<0,

aaa

其解的情況應由L與i的大小關系決定，故

a

(1)當a=l時，原不等式0X￡0；

(2)當a>l時，原不等式

a

(3)當OVaVl時，原不等式<=>1<X<—

a

綜上所述：

當aVO,解集為｛x|x<L或X>1｝；

a

當a=O時，解集為｛x|x>l｝；

當OVaVl時，解集為｛x[1<X<1｝：

a

當a=l時，解集為0；

當a>l時，解集為｛x|—<X<1｝.

a

【總結(jié)升華】熟練掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基礎，對最高項含有字母系數(shù)

的不等式，要注意按字母的取值情況進行分類討論，分類時要“不重不漏

變式訓練

【變式1]解關于x的不等式：(ax-D(x-2)20；

【答案】當a=O時，XG(-8,2J.

當axo時，方程(ax-D(x-2)=0兩根為X1=—,X=2

a2

①當a>0時,

若Q>0,->2,即0<Q<—H、j,X€(-8,2]U[—,+°°)：

a2a

1

若。>0,-=2.即Q=一時，x￡R；

a2

若Q>0,-<2,即時，xe(-oo9-]|J[2,+oo).

a2a

②當a<0時，則有：-<2,xG[—,2].

a

【變式2］解關于x的不等式：ax2+2x-l<0；

-z1、

【答案】當a=0時，XG(—8,一).

當axO時，A=4+4a=4(a+l),

/_1_J1+._1+Jl+.、

①a>0時，則△>(),xe(-----------------,-----------------)

aa

②a<0時,

若a<0,A<0,即a<-l時，x￡R；

若a<0,A=0,即a=-l時，X￡RR-1；

、

—1+Jl+Qx??z—1-Jl+Cl

若a<0,A>0,即-l<a<0時，XG(-8,-------------------)U(------------------,+8).

aa

【變式3】求不等式12x2—ar>Q2(a￡R)的解集.

【答案】

當a>0時，不等式的解集為或x>g｝

當4=0時，不等式的解集為｛xkWRll.#。｝；

當°<0時，不等式的解集為｛xlxC"1或X>-?.

類型三：一元二次不等式的逆向運用

例題展示

例4.不等式》?+加工一〃<0的解集為xw(4,5),求關于x的不等式〃/+〃優(yōu)一1>0的

解集

【思路點撥】

由二次不等式的解集為(4,5)可知J：4、5是方程%2+〃優(yōu)一〃=0的二根，故由韋達定理可求出機、〃的值,

從而解得.

【解析】由題意可知方程+加X—〃=o的兩根為X=4和X=5

由韋達定理有4+5=一加，4x5=-n

/.w=—9,n=—20

/.nx~4-mx-l>0化為一20工2-9x-1>0,即20X?+9x4-1<0

(4x+l)(5x+1)<0,解得一z<x<—?

11

故不等式9+〃zx-l>0的解集為(————).

45

【總結(jié)升華】二次方程的根是二次函數(shù)的零點，也是相應的不等式的解集的端點.根據(jù)

不等式的解集的端點恰為相應的方程的根，我們可以利用韋達定理，找到不等式的解集與其

系數(shù)之間的關系，這一點是解此類題的關鍵.

變式訓練

【變式1】不等式ax2+bx+12>0的解集為｛x|-3<x<2｝,則a=,b=,

【答案】由不等式的解集為｛x|-3<x<2｝知a<0,且方程ax2+bx+12=O的兩根為-3,2.

——=—3+2=—1

a

由根與系數(shù)關系得《