量子力學基礎

量子力學基礎

量子力學是描述微觀粒子運動規(guī)律的學科。它是現(xiàn)代物理學的理論支柱之一，被廣泛地應用于化學、生物學、電子學及高新技術(shù)等許多領域。

本章主要介紹量子力學的基本概念及原理，并通過幾個具體事例的討論來說明量子力學處理問題的一般方法。第2頁,共54頁，2024年2月25日，星期天第26章量子力學基礎§26.1量子力學的實驗基礎§26.2不確定關系§26.3波函數(shù)§26.4薛定諤方程§26.5力學量和算符§26.6量子力學的基本原理（自學）作業(yè)第3頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

三了解波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋.了解一維定態(tài)的薛定諤方程，掌握量子力學中用薛定諤方程處理一維無限深勢阱等微觀物理問題的方法.

一了解德布羅意假設及電子衍射實驗.了解實物粒子的波粒二象性.理解描述物質(zhì)波動性的物理量（波長、頻率）和描述粒子性的物理量（動量、能量）之間的關系.二了解坐標和動量、時間和能量的不確定關系.教學基本要求第4頁,共54頁，2024年2月25日，星期天第一節(jié)

§26.1量子力學的實驗基礎第5頁,共54頁，2024年2月25日，星期天這些啟示了德布羅意，提出了一個很發(fā)人深省的問題。他認為：“整個世紀以來，在光學中比起波的研究方法來，如果說是過于忽視粒子的研究的話，那么在實物粒子的理論上，是不是發(fā)生了相反的錯誤，把粒子的圖象想得太多，而過分忽視了波的圖象呢？”于是，在1924年他提出了一個大膽的假設：不僅輻射具有波粒二象性，一切實物粒子也具有波粒二象性。新思想的形成背景普朗克、愛因斯坦等人的能量子和光量子理論取得的成功，實際上反映了光具有波粒二向性．波爾純粹用粒子的觀點去解決原子問題雖有較大進展，但又遇到了困難．一光的波粒二象性引起的思考第6頁,共54頁，2024年2月25日，星期天德布羅意德布羅意與物質(zhì)波

1923年他提出電子既具有粒子性又具有波動性。1924年正式發(fā)表一切物質(zhì)都具有波粒二象性的論述。并建議用電子在晶體上做衍射實驗來驗證。1927年被實驗證實。他的論述被愛因斯坦譽為“揭開了巨大面罩的一角”。

德布羅意為此獲得1929年諾貝爾物理學獎。德布羅意PrinceLouisVictordeBroglie(1892~1987)德布羅意第7頁,共54頁，2024年2月25日，星期天德布羅意方程二物質(zhì)波德布羅意方程Epnl德布羅意假設微觀粒子與光子一樣,既具有粒子性,也具有波動性,它們都是波粒二象性粒子,稱為波粒子,波粒子的運動既可用粒子性特征的動量和能量來描述,又可用波動性特征的頻率和波長來描述.hEnplh物質(zhì)的波粒二象關系為h是普朗克常量p的方向沿波動傳播的方向與物質(zhì)粒子聯(lián)系的波稱為德布羅意波或物質(zhì)波與物質(zhì)波粒二象性聯(lián)系的方程稱為德布羅意方程或德布羅意關系式第8頁,共54頁，2024年2月25日，星期天德布羅意波長三自由粒子的德布羅意波長自由粒子靜止質(zhì)量為以速度，在空間作m0v勻速直線運動,不受任何外界作用的粒子。低速自由粒子的德布羅意波長vc可不考慮相對論效應pm0v則lhpm0vh2m0EKh則應考慮相對論效應v速度很高,甚至接近光速,pm0vgmvcv2((1m0vlhphcv2((1m0v高速自由粒子的德布羅意波長2m0EKh（1+）EK2m0C2第9頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例電子的電量大小e1.61019C電子的靜止質(zhì)量m010319.1kgh6.631034Js普朗克常量解法提要題設為低速粒子,可不考慮相對論效應Ue電子槍內(nèi)電場力做功為電子獲得動能Ek離開電子槍成為自由粒子Ekvm0212動能得v2Ekm0pm0v2Ekm0phl2Ekm0h由動能定理EkUe得l2m0hUel求已知例電子U加速電壓U設加速電壓不太高,電子受加速電壓作用后離開電子槍,不考慮重力作用,視為自由粒子.電子可看作低速自由粒子.該電子的德布羅意波長伏特第10頁,共54頁，2024年2月25日，星期天續(xù)上l求已知例電子U加速電壓U設加速電壓不太高,電子受加速電壓作用后離開電子槍,不考慮重力作用,視為自由粒子.電子可看作低速自由粒子.該電子的德布羅意波長電子的電量大小e1.61019C電子的靜止質(zhì)量m010319.1kgh6.631034Js普朗克常量解法提要題設為低速粒子,可不考慮相對論效應Ue電子槍內(nèi)電場力做功為電子獲得動能Ek離開電子槍成為自由粒子Ekvm0212動能得v2Ekm0pm0v2Ekm0phl2Ekm0h由動能定理EkUe得l2m0hUe得l2m0hUe伏特1.6101910319.16.6310342UmU1.2251091.225Unm進一步的計算表明(略),當Ek20000eV或時若不進行相對論修正,則會導致計算波長的誤差超過1U20000V討論:l2Ekm0h或l1.225Unm可得lEkU((((((nmeVV10100100010000101001000100000.390.120.0390.012根據(jù)第11頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例某金屬產(chǎn)生光電效應的紅限頻率為,當用頻率為的單色光照射該金屬時,從金屬中逸出的光電子(質(zhì)量為)的德布羅意波長為men0nn0光電效應中的光電子，可看作低速粒子光電效應方程v2h((nn0menh221mev+A其中n0hAmevh2((nn0mehlph例第12頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例由kE2122p21vm0m0pkEUe及得m20Ue已知經(jīng)加速電勢差后,一個帶有單位電荷的粒子的德布羅意波長為則這個粒子的質(zhì)量為A0.02206V,它是什么粒子.,不需作相對論修正,m0kgplhm20Ueh則解得m0l2h22eU10346.63))220.02)1010)22061.6101910271.67kg這是質(zhì)子質(zhì)子的電量e1.61019C質(zhì)子的質(zhì)量mp10271.67kg例第13頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例例德布羅意波概念用導出玻爾的角動量量子化條件rOl解法提要r

電子繞核運動的軌道半徑為l電子的德布羅意波的波長為設若滿足2prnl1()n2,,...則形成駐波，電子在相應的定態(tài)軌道上運動而不輻射能量。lmvh將德布羅意公式代入得玻爾的角動量量子化條件2prnhLmv1()n2,,...第14頁,共54頁，2024年2月25日，星期天戴-革實驗30500q60相對強度90q入射電子束衍射電子束鎳單晶探測器U54V加速電壓由物質(zhì)波理論得phh2m0l理Ue該運動電子的波長541.2250.167nm由電子衍射實驗數(shù)據(jù)處理得acqsinDkl實相長干涉條件1k時,得l實qsinD0.215sin500.165nm符合得相當好DDqcab50一級主極大方向0.215nm四德布羅意波的實驗證明、戴維遜-革末電子衍射實驗（1927年）第15頁,共54頁，2024年2月25日，星期天湯姆孫實驗1927年，G.P.湯姆孫等令一電子束通過薄鋁箔，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，同X射線一樣，也能得到清晰的電子衍射圖樣。射線衍射X電子衍射第16頁,共54頁，2024年2月25日，星期天電子衍射圖片電子在氧化鎂晶體半平面的直邊衍射氧化鋅晶體對電子的衍射鎢晶體薄片對電子的衍射由于電子進入到晶體內(nèi)部時容易被吸收，人們通常采用極薄的晶片，或讓電子束以掠入射的形式從晶體表面掠過，使電子只與晶體最外層的原子產(chǎn)生衍射，從而成功地觀察到多種晶體的電子衍射圖樣。第17頁,共54頁，2024年2月25日，星期天電子及中子衍射圖片NaCl晶體的中子衍射UO2晶體的電子衍射

電子衍射、中子衍射、甚至原子和分子束在晶體表面散射所產(chǎn)生的衍射實驗都接連獲得了成功。微觀粒子具有波粒二象性的理論得到了公認。第18頁,共54頁，2024年2月25日，星期天要點1物質(zhì)波德布羅意波mv自由粒子波動性nl，波粒二象關系德布羅意方程hEnplh要求熟練寫出公式本節(jié)要點：粒子性Ep，0平面波第19頁,共54頁，2024年2月25日，星期天要點2德布羅意波長plh低速粒子lm0vh求已知m0v,l已知或Ek,m0lp2Ekm0UEkeUpm0vlh2Ekm0h2m0eU求高速粒子lhcv2((1m0v2m0EKh（1+）EK2m0C2l第20頁,共54頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)

§26.2不確定關系第21頁,共54頁，2024年2月25日，星期天海森伯不確定關系不確定關系不確定關系海森伯因創(chuàng)立用矩陣數(shù)學描述微觀粒子運動規(guī)律的矩陣力學，獲1932年諾貝爾物理獎（注：不確定關系又稱測不準關系，在上述表達式中的和都具有統(tǒng)計含義，分別代表有關位置和動量的方均根偏差。）rxprx位置和動量的不確定關系稱為海森伯位置和動量的不確定關系，它說明，同時精確測定微觀粒子的位置和動量是不可能的。微觀粒子不能同時具有確定的位置和動量，位置的不確定量rx該方向動量的不確定量prx同一時刻的關系1927年，德國物理學家海森伯提出rxprxhWernerHeisenberg(1901~1976)海森伯第22頁,共54頁，2024年2月25日，星期天不確定關系續(xù)上電子束j縫寬X衍射圖樣rxprxp電子通過單縫時發(fā)生衍射，概略地用一級衍射角所對應的動量變化分量粗估其動量的不確定程度prx得rxprxphp即rxprxh考慮到高于一級仍會有電子出現(xiàn)取rxprxh從電子的單縫衍射現(xiàn)象不難理解位置和動量的不確定關系同時為零，即微觀粒子的位置和動量不可能同時精確測定，這是微觀粒子具有波粒二象性的一種客觀反映。不確定關系可用來劃分經(jīng)典力學與量子力學的界限，如果在某一具體問題中，普朗克常數(shù)可以看成是一個小到被忽略的量，則不必考慮客體的波粒二象性，可用經(jīng)典力學處理。rxprxh通常也作為不確定關系的一種簡明的表達形式，它表明rxprx和不可能rxj衍射圖樣prxp單縫衍射一級暗紋條件ljsinrx德布羅意波長lhpprxsinjp

與的關系。

縫寬可用來粗估電子通過單縫時其位置x的不確定程度。rx

根據(jù)右圖可粗估

為了減小位置測量的不確定程度，可以減小縫寬，但與此同時，被測電子的動量的不確定量卻變大了。rxprxrxprx第23頁,共54頁，2024年2月25日，星期天歸納不確定關系可推廣到三維運動情況:yhrpxrxhrprhrpryzz不確定關系式表明:沿某一方向同時測量粒子的位置坐標和動量時,坐標不確定量與動量不確定量之乘積不得小于普朗克常數(shù)h不確定關系式可從電子單縫衍射現(xiàn)象得出,而電子單縫衍射現(xiàn)象是物質(zhì)波動性的一種表現(xiàn),因此,不確定關系是物質(zhì)波動性的一種反映.第24頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例例電子相應速度的不確定值求rvx電子在原子中運動,如果測量在方向的坐標,其不確定值(原子本身大小為,即測量誤差xrx10m11的相對值為),10m100.1由hrxrpx解法提要取等號估算hrxrpxrpxmrvx又因1011rvxhmrx10319.16.6310341077.28ms1第25頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例例求xr電子xme10319.1kgv200ms1rv0.0100v子彈xm1021.0kgv200ms1rv0.0100v已知已知求xrhrxrp解法提要pmv由及prvrmm0.0100v2.0104kgms12.61030m2001041021.06.631034rxhrp2.0104位置不確定量小到?jīng)]有任何實際意義對宏觀運動物體不必考慮物質(zhì)的波動性.prvrmeme0.0100v10319.12001041.81032kgms16.631034rxhrp1.810323.7102m3.7cm可見,物質(zhì)的波動性對微觀粒子意義重大.第26頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例例已知求rxmm0.1電子槍vms11075rv通常電視顯象管中的電子速率meme10319.1kg電子質(zhì)量解法提要hrxrp由prvrmerxhrp有pvmevrmerxh由有10319.11036.631034vrmerxh0.1ms17.28vvr此結(jié)果表明,,即電子的波動性,不會對顯象管的正常工作造成嚴重影響.第27頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例j縫寬x電子束pad？Rox1聯(lián)系單縫衍射中央亮紋寬的計算一級暗紋的角位置asinjl一級暗紋在屏上坐標x1aRllph德布羅意波長得d2x12aRl2aRhp已知在電子束單縫衍射中,入射電子的動量為縫寬為縫屏距為apR求衍射圖樣中心亮紋寬d(Rda(設Rda~~tanjsinjRx1因有例第28頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例縫寬x電子束paoDxp已知a0.1nm。Dxp則衍射電子橫向動量的最小不確定值電子束單縫衍射的縫寬DxphDxha6.631034110106.631024NsDx根據(jù)位置和動量的不確定關系rxprxha,例第29頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例沿軸動量的不確定量大小prl2hlrxddpllrrxprxh位置和動量的不確定關系rxprh2llr500021032.51010A。2.5m已知l5000A。波長為lA。r103的光沿x軸正向傳播,若光波波長的不確定量為則光子的坐標不確定量xrxm。有l(wèi)ph由phlddpl2lh則光子的動量例第30頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例由rpxpmv有rmvhrpx由rxl已知rx則rpxrxlhh得rvmrpxlhmmpmvmv如果某運動粒子的位置不確定量rx等于該粒子的德布羅意波長l證明其速度的不確定量,rvv其速度例第31頁,共54頁，2024年2月25日，星期天海森伯不確定關系能量和時間的不確定關系rEtr

h上式稱為能量和時間的不確定關系.它表明平均壽命Δt長的能級,它的能量不確定量ΔE小.第32頁,共54頁，2024年2月25日，星期天第三節(jié)

§26.3波函數(shù)第33頁,共54頁，2024年2月25日，星期天經(jīng)典理論的困難

由于微觀粒子具有明顯的波動性，導致了不確定關系,同方向的位置和動量不能同時確定,使得我們不能用坐標和動量來描述微觀粒子的運動狀態(tài).

既然微觀粒子具有明顯的波動性，使我們自然地想到,用一個函數(shù)(波函數(shù))來描述微觀粒子的運動狀態(tài)。那么用什么物理量來描述微觀粒子的運動狀態(tài)呢?根源：微觀粒子具有明顯的波粒二象性。

第34頁,共54頁，2024年2月25日，星期天波函數(shù)一、波函數(shù)下面從量子力學的基本觀點出發(fā)，建立自由粒子的波函數(shù)?；仡櫍旱虏剂_意關于物質(zhì)的波粒二象性假設vm為、為、的質(zhì)量速度自由粒子Ep能量一方面可用和來描述它的動量粒子性nl另一方面可用和來描述它的頻率波長波動性波函數(shù)是描述具有波粒二象性的微觀客體的原則上可得到該微觀客體的全部知識。量子狀態(tài)的函數(shù)，知道了某微觀客體的波函數(shù)后，第35頁,共54頁，2024年2月25日，星期天自由粒子波函數(shù)ei,y()xtnp2l(tx)AA,y()xtcosp2Tl(tx)cosnp2l(tx)A在波動學中，描述波動過程的數(shù)學函數(shù)都是空間、時間二元函數(shù)一列沿X軸正向傳播的平面單色簡諧波的波動方程eifcosfisinf應用歐拉公式取實部在量子力學中用復數(shù)表達式：phlhnEEnhl1php2hh1p2hh即即即應用德布羅意公式eih(tx)pEΨY,()xteiΨnp2l(tx)沿Ｘ方向勻速直線運動的自由粒子的波函數(shù)為rY,()trei(t)pErhΨ沿方向勻速直線運動的自由粒子的波函數(shù)為第36頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

自由粒子的能量和動量為常量，其波函數(shù)所描述的德布羅意波是平面波。不是常量，其波函數(shù)所描述的德布羅意波就不是平面波。對于處在外場作用下運動的非自由粒子，其能量和動量外場不同，粒子的運動狀態(tài)及描述運動狀態(tài)的波函數(shù)也不相同。微觀客體的運動狀態(tài)可用波函數(shù)來描述，這是量子力學的一個基本假設。Y,()tre(t)pErihΨ自由粒子的波函數(shù)第37頁,共54頁，2024年2月25日，星期天概率密度MaxBorn(1882~1969)玻恩1926年提出了對波函數(shù)的統(tǒng)計解釋二、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋Y,()trP,()trY,()tr2Y,()tr*Y,()tr設描述粒子運動狀態(tài)的波函數(shù)為：則空間某處波的強度與在該處發(fā)現(xiàn)粒子的概率成正比；在該處單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子P,()tr的概率（概率密度）,()trY與的模的平方成正比。取比例系數(shù)為1，即*Y,()trY,()tr是的共軛復數(shù)德布羅意波又稱概率波第38頁,共54頁，2024年2月25日，星期天波函數(shù)歸一化rXYzOxyzdVxddyzd因概率密度P,()trY,()tr2故在矢端的體積元內(nèi)rdVxddyzd發(fā)現(xiàn)粒子的概率為dVxddyzdP,()trY,()tr2

在波函數(shù)存在的全部空間V中必能找到粒子，即在全部空間V中

粒子出現(xiàn)的概率為1。dVY,()tr2VVY,()tr*Y,()trdV1此條件稱為波函數(shù)的歸一化條件滿足歸一化條件的波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)波函數(shù)具有統(tǒng)計意義，其函數(shù)性質(zhì)應具備三個標準條件：第39頁,共54頁，2024年2月25日，星期天波函數(shù)標準條件波函數(shù)的三個標準條件：連續(xù)因概率不會在某處發(fā)生突變，故波函數(shù)必須處處連續(xù)；單值因任一體積元內(nèi)出現(xiàn)的概率只有一種，故波函數(shù)一定是單值的；有限因概率不可能為無限大，故波函數(shù)必須是有限的；以一維波函數(shù)為例，在下述四種函數(shù)曲線中，只有一種符合標準條件YYYYXOXOOXOX符合不符合不符合不符合第40頁,共54頁，2024年2月25日，星期天概率波與經(jīng)典波德布羅意波（概率波）不同于

經(jīng)典波（如機械波、電磁波）德布羅意波經(jīng)典波是振動狀態(tài)的傳播不代表任何物理量的傳播波強（振幅的平方）代表通過某點的能流密度波強（振幅的平方）代表粒子在某處出現(xiàn)的概率密度概率密度分布取決于空間各點波強的比例，并非取決于波強的絕對值。能流密度分布取決于空間各點的波強的絕對值

因此，將波函數(shù)在空間各點的振幅同時增大C倍，不影響粒子的概率密度分布，即和C所描述德布羅意波的狀態(tài)相同。YY

因此，將波函數(shù)在空間各點的振幅同時增大C倍，則各處的能流密度增大C倍，變?yōu)榱硪环N能流密度分布狀態(tài)。2波函數(shù)存在歸一化問題。波動方程無歸一化問題。波函數(shù)存在歸一化問題。第41頁,共54頁，2024年2月25日，星期天算例例設某粒子的波函數(shù)為Y,()xt0exApasinithE()x0,xa()x0a求歸一化波函數(shù)概率密度概率密度最大的位置解法提要0aeAithExpasin((eAithExpasin((xd令YY*2Yxdxd0a0a1A,求2Yxd0aA20asinxpa2xd1積分得a2A21,A2a得到歸一化波函數(shù)：Y,()xt0expasinithE()x0,xa()x0a2a概率密度P,()xtY,()xt2()x0,xa()x0a0sinxpa2a2P,()xt得dPxd0求極大值的x坐標dxd0sinxpa2a2((2asinxpa2p2解得xa2((0,a另外兩個解x處題設Y0處P,()xt最大YP2Y0aXX0aa2a22a2a11第42頁,共54頁，2024年2月25日，星期天第四節(jié)

§26.4薛定諤方程第43頁,共54頁，2024年2月25日，星期天薛定諤方程引言一、引言經(jīng)典力學pFmddtvddtr()t,p()tr0p0r()tp()tXYzO不考慮物質(zhì)的波粒二象性經(jīng)典質(zhì)點有運動軌道概念根據(jù)及初始運動條件，可求出運動狀態(tài)量子力學Yr(t,(？zXYOYr(t,(針對物質(zhì)的波粒二象性物質(zhì)運動沒有軌道概念是否存在一個量子力學方程根據(jù)某種條件可求出微觀粒子的運動狀態(tài)波函數(shù)第44頁,共54頁，2024年2月25日，星期天薛定諤方程二、薛定諤方程二、薛定諤方程1925年奧地利物理學家薛定諤提出了非相對論性的量子力學基本方程m()trU,iHeethYY薛定諤方程薛定諤方程質(zhì)量為的粒子，在勢能函數(shù)為：的勢場中運動，當其速度遠小于光速時，它的波函數(shù)滿足：2mh2eex++22yee22zee22()()rU,t+H2mh22s()rU,t+式中稱為哈密頓算符。上式也稱為含時薛定諤方程它反映微觀粒子運動狀態(tài)隨時間變化的力學規(guī)律。薛定諤EnwinSchrodinger:薛定諤EnwinSchrodinger:（1887-1961）（1887-1961）獲1933年諾貝爾物理學獎獲1933年諾貝爾物理學獎第45頁,共54頁，2024年2月25日，星期天定態(tài)薛定諤方程三、定態(tài)薛定諤方程U()rUY()r,tY()rf()t解釋若則可以令：代入原方程E常量ihf()tdtdEf()tf()tCteihE此外，對積分，得HEY()r得定態(tài)薛定諤方程Y()rYteihEC將常量歸入中，得定態(tài)波函數(shù)Y()rY()r勢場只是空間函數(shù)U()rU即若粒子所在的E能量具有確定值iHeethYYHU()r,t+2mh22sY()r,tYHU()r+2mh22sYteihE則粒子的每個狀態(tài)HE定態(tài)薛定諤方程含時薛定諤方程定態(tài)波函數(shù)Y()rY()rY()riheetf()tHf()tihf()tHtf()tdd得即Y()rY()rY()rY()r第46頁,共54頁，2024年2月25日，星期天定態(tài)問題是量子力學最基本的問題，我們僅討論若干典型的定態(tài)問題。HYEY若已知勢能函數(shù)，應用定態(tài)薛定諤方程()rU可求解出，并得到定態(tài)波函數(shù)Y()rY()rteihEY(),tr續(xù)上Y()r連續(xù)、單值、有限的標準條件；歸一化條件；對坐標的一階導數(shù)存在且連續(xù)（使定態(tài)薛定諤方程成立）。Y()retihEY(),tr定態(tài)波函數(shù)Y()r中的有時直接稱為定態(tài)波函數(shù)。此外也應滿足如下條件條件P(),trY(),trY(),tr*2Y(),trY()r2Y()rteihEY(),tr1、概率密度與時間無關２、系統(tǒng)的能量Ｅ具有確定值，與時間無關。所謂“定態(tài)”，就是波函數(shù)具有形式所描述的狀態(tài)。它的是：重要特點第47頁,共54頁，2024年2月25日，星期天一維無限深勢阱一維無限深勢阱粒子在某力場中運動，若力場的勢函數(shù)U具有下述形式該勢能函數(shù)稱作一維無限深勢阱。0U()x8L(x0)L(x0,x)0LX88U()x

應用定態(tài)薛定諤方程可求出運動粒微觀系統(tǒng)中，有關概率密度、能量這是一個理想化的物理模型，子的波函數(shù)，有助于進一步理解在量子化等概念。第48頁,共54頁，2024年2月25日，星期天續(xù)求解0LX88U()x2mh22x2Y()xddEY()xU()x0阱內(nèi)Y()x0故只有：在阱外，粒子出現(xiàn)的概率為零。U()x8阱外m設質(zhì)量為的微觀粒子，處在一維無限深勢阱中，0U()x8L(x0)L(x0,x)該勢阱的勢能函數(shù)為阱外阱內(nèi)HYEY建立定態(tài)薛定諤方程H+U()x2mh22eex2+U()xY()x2mh22x2Y()xddEY()x一維問題第49頁,共54頁，2024年2月25日，星期天求定態(tài)薛定諤方程的通解2mh22x2Y()xddEY()x阱內(nèi)：02x2Y()xdd+Y()xE2mh2即：2x2Y()xdd+2k0Y()x得：2kE2mh2令：Y()xsinA()dxk+此微分方程的通解為Ad式中和為待定常數(shù)阱外：Y()x0續(xù)根據(jù)標準條件確定dk待定常量和x0xLY()x在邊界和Y()x的取值應與阱外連續(xù)。故，邊界處的Y()0Asind0()Y()LAsinkL+d0A0d0,得：因：kLpnn1，2，3其中kLpn即