高數(shù)多元函數(shù)基本概念

高數(shù)多元函數(shù)基本概念8.1多元函數(shù)的的基本概念一、平面點集與n維空間二、多元函數(shù)的概念三、習題8.1第2頁,共64頁，2024年2月25日，星期天1.鄰域例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點P0

的去心鄰域記為點集稱為點P0

的鄰域.8.1.1平面點集n維空間第3頁,共64頁，2024年2月25日，星期天2.n

維空間n

元有序數(shù)組的全體稱為n維空間,n

維空間中的每一個元素稱為空間中的稱為該點的第k個坐標.記作即一個點,當所有坐標稱該元素為

中的零元,記作O.第4頁,共64頁，2024年2月25日，星期天機動目錄上頁下頁返回結(jié)束的距離記作規(guī)定為與零元O

的距離為中點a的鄰域為第5頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第6頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第7頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第8頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第9頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第10頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第11頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第12頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第13頁,共64頁，2024年2月25日，星期天區(qū)域要點:(1)內(nèi)點、外點、邊界點設(shè)有點集E

及一點P:

若存在點P

的某鄰域U(P)E,

若存在點P

的某鄰域U(P)∩E=,

若對點P

的任一鄰域U(P)

既含E中的內(nèi)點也含E則稱P

為E

的內(nèi)點；則稱P為E的外點

;則稱P

為E

的邊界點

.的外點,顯然,E

的內(nèi)點必屬于E,

E的外點必不屬于E,E

的邊界點可能屬于E,

也可能不屬于

E.第14頁,共64頁，2024年2月25日，星期天(2)聚點若對任意給定的

,點P

的去心鄰域內(nèi)總有E中的點,則稱P

是E

的聚點.所有聚點所成的點集成為E

的導(dǎo)集

.第15頁,共64頁，2024年2月25日，星期天

內(nèi)點一定是聚點；說明：

邊界點可能是聚點；例(0,0)既是邊界點也是聚點．

點集E的聚點可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)是聚點但不屬于集合．例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合．第16頁,共64頁，2024年2月25日，星期天D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域

若點集E

的點都是內(nèi)點，則稱E

為開集；

若點集EE

,則稱

E

為閉集；

若集D

中任意兩點都可用一完全屬于D

的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域

,簡稱區(qū)域

;。。

E的邊界點的全體稱為E

的邊界,記作

E;第17頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域

第18頁,共64頁，2024年2月25日，星期天

整個平面是最大的開域,

點集

是開集，

也是最大的閉域；但非區(qū)域.o

對區(qū)域D,若存在正數(shù)K,使一切點PD

與某定點

A的距離|APK,則稱D

為有界域

,界域

.否則稱為無第19頁,共64頁，2024年2月25日，星期天二、多元函數(shù)的概念

引例:

圓柱體的體積

定量理想氣體的壓強

三角形面積的海倫公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁,共64頁，2024年2月25日，星期天定義1.

設(shè)非空點集點集D

稱為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為函數(shù)的值域.特別地,當n=2

時,有二元函數(shù)當n=3

時,有三元函數(shù)映射稱為定義在D

上的n

元函數(shù),記作第21頁,共64頁，2024年2月25日，星期天類似地可定義三元以上函數(shù)．第22頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例1

求的定義域．解所求定義域為第23頁,共64頁，2024年2月25日，星期天二元函數(shù)的圖形（如下頁圖）第24頁,共64頁，2024年2月25日，星期天二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.第25頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例如,二元函數(shù)定義域為圓域圖形為中心在原點的上半球面.三元函數(shù)

定義域為單位閉球圖形為空間中的超曲面.第26頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例如,圖形如右圖.例如,左圖球面.單值分支:第27頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共64頁，2024年2月25日，星期天P6第29頁,共64頁，2024年2月25日，星期天8.2多元函數(shù)的極限與連續(xù)一、多元函數(shù)的極限第30頁,共64頁，2024年2月25日，星期天說明：（1）定義中的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似．第31頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例2

求證證當時，原結(jié)論成立．第32頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例3

求極限解其中第33頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例4

證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．第34頁,共64頁，2024年2月25日，星期天不存在.觀察播放第35頁,共64頁，2024年2月25日，星期天確定極限不存在的方法：第36頁,共64頁，2024年2月25日，星期天利用點函數(shù)的形式有第37頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第38頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第39頁,共64頁，2024年2月25日，星期天三、多元函數(shù)的連續(xù)性第40頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第41頁,共64頁，2024年2月25日，星期天類似地,第42頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例5

討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．解取第43頁,共64頁，2024年2月25日，星期天故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).當時第44頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例6

討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．第45頁,共64頁，2024年2月25日，星期天閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理第46頁,共64頁，2024年2月25日，星期天（3）一致連續(xù)性定理

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必定在D上一致連續(xù)．多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．第47頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例７解第48頁,共64頁，2024年2月25日，星期天多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）四、小結(jié)多元函數(shù)的定義第49頁,共64頁，2024年2月25日，星期天思考題第50頁,共64頁，2024年2月25日，星期天思考題解答不能.例取但是不存在.原因為若取第51頁,共64頁，2024年2月25日，星期天練習題第52頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第53頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第54頁,共64頁，2024年2月25日，星期天練習題答案第55頁,共64頁，2024年2月25日，星期天不存在.觀察第56頁,共64頁，2024年2月25日，星期天觀察不存在.第57頁,共64頁，2024年2月25日，星期天觀察不存在.第58頁,共64頁，2024年2月25日，星期天觀察不存在.第59頁,共64