河北省雞澤、曲周、邱縣、館陶四縣2024屆高三適應性調(diào)研考試數(shù)學試題含解析_第1頁
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河北省雞澤、曲周、邱縣、館陶四縣2024屆高三適應性調(diào)研考試數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.德國數(shù)學家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個關于π的級數(shù)展開式,該公式于明朝初年傳入我國.在我國科技水平業(yè)已落后的情況下,我國數(shù)學家?天文學家明安圖(1692年-1765年)為提高我國的數(shù)學研究水平,從乾隆初年(1736年)開始,歷時近30年,證明了包括這個公式在內(nèi)的三個公式,同時求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個新級數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書,為我國用級數(shù)計算π開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關于π的級數(shù)展開式”計算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結果是()A. B.C. D.2.已知三棱錐P﹣ABC的頂點都在球O的球面上,PA,PB,AB=4,CA=CB,面PAB⊥面ABC,則球O的表面積為()A. B. C. D.3.若復數(shù)滿足,則()A. B. C. D.4.將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像,則的最小值為()A. B. C. D.5.如圖,某幾何體的三視圖是由三個邊長為2的正方形和其內(nèi)部的一些虛線構成的,則該幾何體的體積為()A. B. C.6 D.與點O的位置有關6.將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形,將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型,如圖(2)放置,如果正四棱錐的主視圖是正三角形,如圖(3)所示,則正四棱錐的體積是()A. B. C. D.7.為比較甲、乙兩名高中學生的數(shù)學素養(yǎng),對課程標準中規(guī)定的數(shù)學六大素養(yǎng)進行指標測驗(指標值滿分為100分,分值高者為優(yōu)),根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標雷達圖,則下面敘述不正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學建模素養(yǎng)C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學運算最強8.已知復數(shù)是正實數(shù),則實數(shù)的值為()A. B. C. D.9.若變量,滿足,則的最大值為()A.3 B.2 C. D.1010.已知復數(shù)z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,則實數(shù)a=()A. B. C.2 D.﹣211.已知全集,集合,,則陰影部分表示的集合是()A. B. C. D.12.已知定義在上的函數(shù)滿足,且當時,.設在上的最大值為(),且數(shù)列的前項的和為.若對于任意正整數(shù)不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,那么______.14.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)與拋物線y2=8x有一個共同的焦點F,兩曲線的一個交點為P,若|FP|=5,則點F到雙曲線的漸近線的距離為_____.15.設Sn為數(shù)列{an}的前n項和,若an0,a1=1,且2Sn=an(an+t),n∈N*,則S10=_____.16.點在雙曲線的右支上,其左、右焦點分別為、,直線與以坐標原點為圓心、為半徑的圓相切于點,線段的垂直平分線恰好過點,則該雙曲線的漸近線的斜率為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐中,底面是邊長為的菱形,,點分別是的中點.(1)求證:平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(2)設點,直線與曲線交于兩點,求的值.19.(12分)已知橢圓的長軸長為,離心率(1)求橢圓的方程;(2)設分別為橢圓與軸正半軸和軸正半軸的交點,是橢圓上在第一象限的一點,直線與軸交于點,直線與軸交于點,問與面積之差是否為定值?說明理由.20.(12分)已知函數(shù),.(1)若不等式對恒成立,求的最小值;(2)證明:.(3)設方程的實根為.令若存在,,,使得,證明:.21.(12分)為了檢測某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,從生產(chǎn)線上隨機抽取一批零件,根據(jù)其尺寸的數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖,若尺寸落在區(qū)間之外,則認為該零件屬“不合格”的零件,其中,s分別為樣本平均數(shù)和樣本標準差,計算可得(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).(1)求樣本平均數(shù)的大??;(2)若一個零件的尺寸是100cm,試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件.22.(10分)在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為.(1)求曲線C的極坐標方程和直線l的直角坐標方程;(2)若射線與曲線C交于點A(不同于極點O),與直線l交于點B,求的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,逐次循環(huán),找到計算的規(guī)律,即可求解.【詳解】由題意,執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,可得:第1次循環(huán):;第2次循環(huán):;第3次循環(huán):;第10次循環(huán):,此時滿足判定條件,輸出結果,故選:B.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的計算與輸出,其中解答中認真審題,逐次計算,得到程序框圖的計算功能是解答的關鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎題.2、D【解析】

由題意畫出圖形,找出△PAB外接圓的圓心及三棱錐P﹣BCD的外接球心O,通過求解三角形求出三棱錐P﹣BCD的外接球的半徑,則答案可求.【詳解】如圖;設AB的中點為D;∵PA,PB,AB=4,∴△PAB為直角三角形,且斜邊為AB,故其外接圓半徑為:rAB=AD=2;設外接球球心為O;∵CA=CB,面PAB⊥面ABC,∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB;且DC.∴O在CD上;故有:AO2=OD2+AD2?R2=(R)2+r2?R;∴球O的表面積為:4πR2=4π.故選:D.【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法,考查數(shù)形結合的解題思想方法,考查思維能力與計算能力,屬于中檔題.3、C【解析】

把已知等式變形,利用復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡,再由復數(shù)模的計算公式求解.【詳解】解:由,得,∴.故選C.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復數(shù)模的求法,是基礎題.4、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的平移求出函數(shù)的解析式,結合三角函數(shù)的性質進行求解即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到,此時與函數(shù)的圖象重合,則,即,,當時,取得最小值為,故選:.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質,利用三角函數(shù)的平移關系求出解析式是解決本題的關鍵.5、B【解析】

根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示,幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積,即可求出結論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體,是由棱長為2的正方體挖去一個四棱錐構成的,正方體的體積為8,四棱錐的底面是邊長為2的正方形,頂點O在平面上,高為2,所以四棱錐的體積為,所以該幾何體的體積為.故選:B.【點睛】本題考查三視圖求幾何體的體積,還原幾何體的直觀圖是解題的關鍵,屬于基礎題.6、B【解析】設折成的四棱錐的底面邊長為,高為,則,故由題設可得,所以四棱錐的體積,應選答案B.7、D【解析】

根據(jù)所給的雷達圖逐個選項分析即可.【詳解】對于A,甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙,故A正確;對于B,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,數(shù)學建模素養(yǎng)為60分,故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學建模素養(yǎng),故B正確;對于C,甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為,乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為,故C正確;對于D,甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學運算為80分,不是最強的,故D錯誤;故選:D【點睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計算,考查了學生的數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎題.8、C【解析】

將復數(shù)化成標準形式,由題意可得實部大于零,虛部等于零,即可得到答案.【詳解】因為為正實數(shù),所以且,解得.故選:C【點睛】本題考查復數(shù)的基本定義,屬基礎題.9、D【解析】

畫出約束條件的可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.【詳解】解:畫出滿足條件的平面區(qū)域,如圖示:如圖點坐標分別為,目標函數(shù)的幾何意義為,可行域內(nèi)點與坐標原點的距離的平方,由圖可知到原點的距離最大,故.故選:D【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題,考查數(shù)形結合思想,屬于中檔題.10、D【解析】

化簡z=(1+2i)(1+ai)=,再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因為z=(1+2i)(1+ai)=,又因為z∈R,所以,解得a=-2.故選:D【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算及概念,還考查了運算求解的能力,屬于基礎題.11、D【解析】

先求出集合N的補集,再求出集合M與的交集,即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由,,可得或,又所以.故選:D.【點睛】本題考查了韋恩圖表示集合,集合的交集和補集的運算,屬于基礎題.12、C【解析】

由已知先求出,即,進一步可得,再將所求問題轉化為對于任意正整數(shù)恒成立,設,只需找到數(shù)列的最大值即可.【詳解】當時,則,,所以,,顯然當時,,故,,若對于任意正整數(shù)不等式恒成立,即對于任意正整數(shù)恒成立,即對于任意正整數(shù)恒成立,設,,令,解得,令,解得,考慮到,故有當時,單調(diào)遞增,當時,有單調(diào)遞減,故數(shù)列的最大值為,所以.故選:C.【點睛】本題考查數(shù)列中的不等式恒成立問題,涉及到求函數(shù)解析、等比數(shù)列前n項和、數(shù)列單調(diào)性的判斷等知識,是一道較為綜合的數(shù)列題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由已知利用誘導公式可求,進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系即可求解.【詳解】∵,∴,,∴.故答案為:.【點睛】本小題主要考查誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系式,屬于基礎題.14、【解析】

設點為,由拋物線定義知,,求出點P坐標代入雙曲線方程得到的關系式,求出雙曲線的漸近線方程,利用點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題意得F(2,0),因為點P在拋物線y2=8x上,|FP|=5,設點為,由拋物線定義知,,解得,不妨取P(3,2),代入雙曲線-=1,得-=1,又因為a2+b2=4,解得a=1,b=,因為雙曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線為y=±x,由點到直線的距離公式可得,點F到雙曲線的漸近線的距離.故答案為:【點睛】本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質;考查運算求解能力和知識遷移能力;靈活運用雙曲線和拋物線的性質是求解本題的關鍵;屬于中檔題、??碱}型.15、55【解析】

由求出.由,可得,兩式相減,可得數(shù)列是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,即求.【詳解】由題意,當n=1時,,當時,由,可得,兩式相減,可得,整理得,,即,∴數(shù)列是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,.故答案為:55.【點睛】本題考查求數(shù)列的前項和,屬于基礎題.16、【解析】如圖,是切點,是的中點,因為,所以,又,所以,,又,根據(jù)雙曲線的定義,有,即,兩邊平方并化簡得,所以,因此.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】

(1)取的中點,連接,通過證明,即可證得;(2)建立空間直角坐標系,利用向量的坐標表示即可得解.【詳解】(1)證明:取的中點,連接.是的中點,,又,四邊形是平行四邊形.,又平面平面,平面.(2),,同理可得:,又平面.連接,設,則,建立空間直角坐標系.設平面的法向量為,則,則,?。本€與平面所成角的正弦值為.【點睛】此題考查證明線面平行,求線面角的大小,關鍵在于熟練掌握線面平行的證明方法,法向量法求線面角的基本方法,根據(jù)公式準確計算.18、(1)直線普通方程:,曲線直角坐標方程:;(2).【解析】

(1)消去直線參數(shù)方程中的參數(shù)即可得到其普通方程;將曲線極坐標方程化為,根據(jù)極坐標和直角坐標互化原則可得其直角坐標方程;(2)將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程,根據(jù)參數(shù)的幾何意義可知,利用韋達定理求得結果.【詳解】(1)由直線參數(shù)方程消去可得普通方程為:曲線極坐標方程可化為:則曲線的直角坐標方程為:,即(2)將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程,整理可得:設兩點對應的參數(shù)分別為:,則,【點睛】本題考查極坐標與直角坐標的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應用;求解距離之和的關鍵是能夠明確直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,利用韋達定理來進行求解.19、(1)(2)是定值,詳見解析【解析】

(1)根據(jù)長軸長為,離心率,則有求解.(2)設,則,直線,令得,,則,直線,令,得,則,再根據(jù)求解.【詳解】(1)依題意得,解得,則橢圓的方程.(2)設,則,直線,令得,,則,直線,令,得,則,.【點睛】本題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關系,還考查了平面幾何知識和運算求解的能力,屬于中檔題.20、(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】

(1)由題意可得,,令,利用導數(shù)得在上單調(diào)遞減,進而可得結論;(2)不等式轉化為,令,,利用導數(shù)得單調(diào)性即可得到答案;(3)由題意可得,進而可將不等式轉化為,再利用單調(diào)性可得,記,,再利用導數(shù)研究單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增,即,即,即可得到結論.【詳解】(1),即,化簡可得.令,,因為,所以,.所以,在上單

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