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河北省阜城中學2024屆高三壓軸卷數(shù)學試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家,大約在公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時,介紹了“勾股圓方圖”,亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的).類比“趙爽弦圖”.可類似地構(gòu)造如下圖所示的圖形,它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成一個大等邊三角形.設,若在大等邊三角形中隨機取一點,則此點取自小等邊三角形(陰影部分)的概率是()A. B. C. D.2.某學校調(diào)查了200名學生每周的自習時間(單位:小時),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習時間的范圍是17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根據(jù)直方圖,這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是()A.56 B.60 C.140 D.1203.已知函數(shù),關于的方程R)有四個相異的實數(shù)根,則的取值范圍是(

)A. B. C. D.4.設為拋物線的焦點,,,為拋物線上三點,若,則().A.9 B.6 C. D.5.若θ是第二象限角且sinθ=,則=A. B. C. D.6.我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)(即質(zhì)數(shù))的和”,如,.在不超過20的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于20的概率是()A. B. C. D.以上都不對7.有一圓柱狀有蓋鐵皮桶(鐵皮厚度忽略不計),底面直徑為cm,高度為cm,現(xiàn)往里面裝直徑為cm的球,在能蓋住蓋子的情況下,最多能裝()(附:)A.個 B.個 C.個 D.個8.如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖,則下列陳述中不正確的是()A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.B.與去年同期相比,2017年第一季度的GDP總量實現(xiàn)了增長.C.2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個D.去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元.9.雙曲線C:(,)的離心率是3,焦點到漸近線的距離為,則雙曲線C的焦距為()A.3 B. C.6 D.10.根據(jù)黨中央關于“精準”脫貧的要求,我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟部門派四位專家對三個縣區(qū)進行調(diào)研,每個縣區(qū)至少派一位專家,則甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為()A. B. C. D.11.如果直線與圓相交,則點與圓C的位置關系是()A.點M在圓C上 B.點M在圓C外C.點M在圓C內(nèi) D.上述三種情況都有可能12.設復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.請列舉用0,1,2,3這4個數(shù)字所組成的無重復數(shù)字且比210大的所有三位奇數(shù):___________.14.已知關于的不等式對于任意恒成立,則實數(shù)的取值范圍為_________.15.已知函數(shù)在處的切線與直線平行,則為________.16.已知拋物線的焦點為,斜率為2的直線與的交點為,若,則直線的方程為___________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)的內(nèi)角所對的邊分別是,且,.(1)求;(2)若邊上的中線,求的面積.18.(12分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c=2a,bsinB﹣asinA=asinC.(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)求sin(2B+)的值.19.(12分)已知矩陣的逆矩陣.若曲線:在矩陣A對應的變換作用下得到另一曲線,求曲線的方程.20.(12分)已知正實數(shù)滿足.(1)求的最小值.(2)證明:21.(12分)已知函數(shù)(為實常數(shù)).(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;(2)若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)己知的內(nèi)角的對邊分別為.設(1)求的值;(2)若,且,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)幾何概率計算公式,求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可.【詳解】在中,,,,由余弦定理,得,所以.所以所求概率為.故選A.【點睛】本題考查了幾何概型的概率計算問題,是基礎題.2、C【解析】

試題分析:由題意得,自習時間不少于小時的頻率為,故自習時間不少于小時的頻率為,故選C.考點:頻率分布直方圖及其應用.3、A【解析】=,當時時,單調(diào)遞減,時,單調(diào)遞增,且當,當,

當時,恒成立,時,單調(diào)遞增且,方程R)有四個相異的實數(shù)根.令=則,,即.4、C【解析】

設,,,由可得,利用定義將用表示即可.【詳解】設,,,由及,得,故,所以.故選:C.【點睛】本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問題,考查學生等價轉(zhuǎn)化的能力,是一道容易題.5、B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知:,.所以.6、A【解析】

首先確定不超過的素數(shù)的個數(shù),根據(jù)古典概型概率求解方法計算可得結(jié)果.【詳解】不超過的素數(shù)有,,,,,,,,共個,從這個素數(shù)中任選個,有種可能;其中選取的兩個數(shù),其和等于的有,,共種情況,故隨機選出兩個不同的數(shù),其和等于的概率.故選:.【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解,屬于基礎題.7、C【解析】

計算球心連線形成的正四面體相對棱的距離為cm,得到最上層球面上的點距離桶底最遠為cm,得到不等式,計算得到答案.【詳解】由題意,若要裝更多的球,需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切,且相鄰四個球兩兩相切,這樣,相鄰的四個球的球心連線構(gòu)成棱長為cm的正面體,易求正四面體相對棱的距離為cm,每裝兩個球稱為“一層”,這樣裝層球,則最上層球面上的點距離桶底最遠為cm,若想要蓋上蓋子,則需要滿足,解得,所以最多可以裝層球,即最多可以裝個球.故選:【點睛】本題考查了圓柱和球的綜合問題,意在考查學生的空間想象能力和計算能力.8、C【解析】

利用圖表中的數(shù)據(jù)進行分析即可求解.【詳解】對于A選項:2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是:江蘇、遼寧、山東、河南、浙江,故A正確;對于B選項:與去年同期相比,2017年第一季度5省的GDP均有不同的增長,所以其總量也實現(xiàn)了增長,故B正確;對于C選項:2017年第一季度GDP總量由高到低排位分別是:江蘇、山東、浙江、河南、遼寧,2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是:江蘇、遼寧、山東、河南、浙江,均居同一位的省有2個,故C錯誤;對于D選項:去年同期河南省的GDP總量,故D正確.故選:C.【點睛】本題考查了圖表分析,學生的分析能力,推理能力,屬于基礎題.9、A【解析】

根據(jù)焦點到漸近線的距離,可得,然后根據(jù),可得結(jié)果.【詳解】由題可知:雙曲線的漸近線方程為取右焦點,一條漸近線則點到的距離為,由所以,則又所以所以焦距為:故選:A【點睛】本題考查雙曲線漸近線方程,以及之間的關系,識記常用的結(jié)論:焦點到漸近線的距離為,屬基礎題.10、A【解析】

每個縣區(qū)至少派一位專家,基本事件總數(shù),甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數(shù),由此能求出甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.【詳解】派四位專家對三個縣區(qū)進行調(diào)研,每個縣區(qū)至少派一位專家基本事件總數(shù):甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數(shù):甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為:本題正確選項:【點睛】本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.11、B【解析】

根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑可得滿足的條件,利用與圓心的距離判斷即可.【詳解】直線與圓相交,圓心到直線的距離,即.也就是點到圓的圓心的距離大于半徑.即點與圓的位置關系是點在圓外.故選:【點睛】本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì),考查點到直線距離公式的應用,屬于中檔題.12、D【解析】

先把變形為,然后利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,求出,得到其坐標可得答案.【詳解】解:由,得,所以,其在復平面內(nèi)對應的點為,在第四象限故選:D【點睛】此題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、231,321,301,1【解析】

分個位數(shù)字是1、3兩種情況討論,即得解【詳解】0,1,2,3這4個數(shù)字所組成的無重復數(shù)字比210大的所有三位奇數(shù)有:(1)當個位數(shù)字是1時,數(shù)字可以是231,321,301;(2)當個位數(shù)字是3時數(shù)字可以是1.故答案為:231,321,301,1【點睛】本題考查了分類計數(shù)法的應用,考查了學生分類討論,數(shù)學運算的能力,屬于基礎題.14、【解析】

先將不等式對于任意恒成立,轉(zhuǎn)化為任意恒成立,設,求出在內(nèi)的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解:由題可知,不等式對于任意恒成立,即,又因為,,對任意恒成立,設,其中,由不等式,可得:,則,當時等號成立,又因為在內(nèi)有解,,則,即:,所以實數(shù)的取值范圍:.故答案為:.【點睛】本題考查不等式恒成立問題,利用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù),通過求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍,考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.15、【解析】

根據(jù)題意得出,由此可得出實數(shù)的值.【詳解】,,直線的斜率為,由于函數(shù)在處的切線與直線平行,則.故答案為:.【點睛】本題考查利用函數(shù)的切線與直線平行求參數(shù),解題時要結(jié)合兩直線的位置關系得出兩直線斜率之間的關系,考查計算能力,屬于基礎題.16、【解析】

設直線l的方程為,,聯(lián)立直線l與拋物線C的方程,得到A,B點橫坐標的關系式,代入到中,解出t的值,即可求得直線l的方程【詳解】設直線.由題設得,故,由題設可得.

由可得,

則,從而,得,所以l的方程為,故答案為:【點睛】本題主要考查了直線的方程,拋物線的定義,拋物線的簡單幾何性質(zhì),直線與拋物線的位置關系,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),(2)【解析】

(1)先由正弦定理,得到,進而可得,再由,即可得出結(jié)果;(2)先由余弦定理得,,再根據(jù)題中數(shù)據(jù),可得,從而可求出,得到,進而可求出結(jié)果.【詳解】(1)由正弦定理得,所以,因為,所以,即,所以,又因為,所以,.(2)在和中,由余弦定理得,.因為,,,,又因為,即,所以,所以,又因為,所以.所以的面積.【點睛】本題主要考查解三角形,靈活運用正弦定理和余弦定理即可,屬于??碱}型.18、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù)條件由正弦定理得,又c=2a,所以,由余弦定理算出,進而算出;(Ⅱ)由二倍角公式算出,代入兩角和的正弦公式計算即可.【詳解】(Ⅰ)bsinB﹣asinA=asinC,所以由正弦定理得,又c=2a,所以,由余弦定理得:,又,所以;(Ⅱ),.【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應用,運用二倍角公式和兩角和的正弦公式求值,考查了學生的運算求解能力.19、【解析】

根據(jù),可解得,設為曲線任一點,在矩陣對應的變換作用下得到點,則點在曲線上,根據(jù)變換的定義寫出相應的矩陣等式,再用表示出,代入曲線的方程中,即得.【詳解】,,即.,解得,.設為曲線任一點,則,又設在矩陣A變換作用得到點,則,即,所以即代入,得,所以曲線的方程為.【點睛】本題考查逆矩陣,矩陣與變換等,是基礎題.20、(1);(2)見解析【解析】

(1)利用乘“1”法,結(jié)合基本不等式求得結(jié)果.(2)直接利用基本不等式及乘“1”法,證明即可.【詳解】(1)因為,所以因為,所以(當且僅當,即時等號成立),所以(2)證明:因為,所以故(當且僅當時,等號成立)【點睛】本題考查了基本不等式的應用,考查了乘“1”法的技巧,考查了推理論證能力,屬于中檔題.21、(1)見解析(2)【解析】

(1)分類討論的值,利用導數(shù)證明單調(diào)性即可;(2)利用導數(shù)分別得出,,時,的最小值,即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1),.當即時,,,此時,在上單調(diào)遞增;當即時,時,,在上單調(diào)遞減;時,,在上單調(diào)遞增;當即時,,,此時,在上單調(diào)遞減;(2)當時,因為在上單調(diào)遞增,所以的

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