2020-2021學(xué)年太原市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(含解析)

2020-2021學(xué)年太原市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共36.0分）

1.命題“若%>2,則％>1”的否命題是（）

A.若x<2,則x<lB.若xW2,則xSl

C.若x<1,則x<2D.若無<1,則x<2

2.設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線，過尸且與C交于4B兩點(diǎn)，若［4尸|=3田口，則|48|等于

（）

A.-B.C.3D.

232

3.點(diǎn)（1,一2,3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（1,2,-3）B.（-1,-2,3）C.（-1,2,-3）D.（-1,2,3）

4.設(shè)X6R,則“1<%<2”是<4”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.設(shè)雙曲線0：W一，=l（a>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)2,。上存在關(guān)于丁軸對(duì)稱的兩點(diǎn)

P,Q（P在。的右支上），使得|PQ|+2|PF2|=2|PFJ,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，且APOQ為正三角形，則。

的離心率為（）

A.在B.更C.V6D.V5

22

6.若直線/的方向向量五=（1,0,1）,平面3的法向量記=（1。-1），則（）

A.luBB./1/?C.l//pD.lu0或1/傳

7.命題“VxeR,x2-x+l=0”的否定為（）

A.VxeR,%2—X+IHOB.BXER,x2—x+1=0

C.mx€R,%2—%+i丁oD.mx任R,久2-x+i。o

8.空間向量五=（1,0,—2）,6=（2,-1,1）>則不與石的夾角為（）

A.0°B,30°C.60°D.90°

9.已知實(shí)數(shù)m是2,8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線/+”=1的離心率為（）

m

A.在B.V5C.6與更D.以上都不對(duì)

22

10.若直線Z〃平面a,直線I的方向向量為式平面a的法向量為元，則下列結(jié)論可能正確的是（）

A.s=(—1,0,2),n=(1,0,-1)B.s=(-1,0,1),n—(1,2,—1)

C.s=(-1,1,1),元=(1,2,—1)D.s=(-1,1,1),記=(—2,2,2)

11.已知雙曲線馬-￥=15>0/>0）的左焦點(diǎn)為尸，以。尸為直徑的圓M與雙曲線的兩條漸近線交

于4,B兩點(diǎn)，若NAMB=120°,則雙曲線的離心率為（）

A.2或遮B.8或管C.2或誓D.8或言

12.如圖，在長方體ABCD-&B1GD1中，力。=441=2,AB=3,E為AB中

點(diǎn)，則點(diǎn)名到平面AEC的距離為（）

A15.

B8同

?31

Q18百

*61

D.四

31

二、單空題（本大題共4小題，共16.0分）

13.若命題：“mxWR,使％2+Q%—2a<0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

14.有下列命題：

①雙曲線三-2二=1與橢圓:L+J1=1有相同的焦點(diǎn);

2S95

②"一工<X<0"是“2x2-5x-3<0”必要不充分條件；

2

③“若xy=0,則％、y中至少有一個(gè)為0”的否命題是真命題.；

④小3?-4丫+；±0?

其中是真命題的有：.（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

15.已知拋物線C：y2=2px（p>0）上一動(dòng)點(diǎn)M,設(shè)M到拋物線C外一定點(diǎn)4（6,12）的距離為刈，M到

定直線/：x=-p的距離為d2,若di+d2的最小值為14,則拋物線。的方程為.

16.若三個(gè)平面a、B、y兩兩垂直，直線/與平面a、0、y所成的角都等于九cosA=.

三、解答題(本大題共7小題，共72.0分)

17.設(shè)p：%2-8%-20<0,q：(x+m-l)(x-m-1)<0(m>0),且p是q的充分不必要條件,

求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

18.已知平面向量落方滿足|砧=3,且2b)?位+2^)=5.

⑴求|孫

(2)當(dāng)心3=手時(shí)，求向量五與萬的夾角。的值.

19.己知斜率為1的直線［經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于4,B兩點(diǎn)

(1)求線段48的長：

(□)已知點(diǎn)”(4,0),證明：直線4M與直線BM不垂直

20.如圖，已知四棱錐P-ABC。的底面4BCD是邊長為2的正方形，爾、

PDJL底面/BCD,PD=1./：

(1)求直線PB與平面PCD所成的角的大??；

B

(2)求四棱錐P-4BCD的側(cè)面積.

21.如圖，在四棱錐P-4BCD中，側(cè)面PAD是等邊三角形，且平面

PADL^^ABCD,E為PD的中點(diǎn)，AD//BC,CD1AD,BC=

CD=2,AD=4.

(I)求證:CE〃平面P4B；

(n)求二面角E-AC-。的余弦值：

(HI)直線4B上是否存在點(diǎn)Q,使得PQ〃平面4CE?若存在，求出售的

值；若不存在，說明理由.

22.已知橢圓捺+5=l(a>b>0)右頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的距離為8一1,短軸長為2vl.

(I)求橢圓的方程；

(口)過左焦點(diǎn)F的直線與橢圓分別交于4、B兩點(diǎn),若△048(。為直角坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為越，求直線

4

4B的方程.

23.一動(dòng)圓截直線3x-y=0和直線3x+y=0所得弦長分別為8,6,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：解：命題“若x>2,則x>l”的否命題是“若XW2,則xSl”，

故選：B.

根據(jù)已知中的原命題，結(jié)合四種命題的定義，可得答案.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是四種命題，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

2.答案：B

解析：解：???拋物線C方程為必=4x,可得它的焦點(diǎn)為尸(1,0),丫,

二設(shè)直線，方程為y=k(x-1)2

代入拋物線方程消去x,得：y2一y一女=0.

設(shè)4Q1，%)，8。2必)，儀X

/4-2/4-\

可得力+丫2=工，%為=-4...(*)7

V\AF\=3|BF|,

?.?%+3y2=°，可得力=一3y2，代入(*)得-2y2=*且一3羽=-4,

消去為得/=3,解之得k=土百

\AB\=Jl+1X欄+16=y.

故選：B.

根據(jù)題意，可得拋物線焦點(diǎn)為尸(1,0),由此設(shè)直線I方程為y=k(x-1),與拋物線方程聯(lián)解消去x,

設(shè)4(xi，乃)，B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系和［4F|=3|BF|,建立關(guān)于y?和左的方程組，解之可

得k值，即可求出|AB|.

本題給出拋物線的焦點(diǎn)弦AB被焦點(diǎn)尸分成1：3的兩部分，求|AB|,著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、

簡單幾何性質(zhì)和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題.

3.答案：A

解析：解：點(diǎn)(1,—2,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2,—3).

故選：A.

關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù).

本題考查空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)稱的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

4.答案:A

解析：解：解"M<4"可得一2<%<2,

X&R,則“1<%<2"能推出“/<記，

X&R,則<4"不能推出"1<x<2"，

根據(jù)充分條件和必要條件的定義可得％6R,則“1<久<2"是<4”的充分而不必要條件，

故選：A.

根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵，屬

于基礎(chǔ)題.

5.答案：D

解析：

本題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)和離心率的求法，屬于中檔題，

根據(jù)雙曲線的定義可得4a=|PQ|,再根據(jù)APOQ為正三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程

可得b2=4a2,即可得到c2=5a2,離心率即可求出.

解:由|PQ|+2|PF2|=2|PF/,則2(|PF/-IPF2I)=|PQ|,

--4a=\PQ\,

???△POQ為正三角形，0上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)P,Q(P在0的右支上)

故選：D.

6.答案：D

解析：解：：直線I的方向向量丘=(1,0,1),

平面口的法向量元=(1,0,—1),

左?元=1+0—1=0,

???/U0或”/0.

故選：D.

由及?元=0,得到/10.

本題考查線面位置關(guān)系的判斷，考查直線的方向向量、平面的法向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能

力，是基礎(chǔ)題.

7.答案：C

解析：

根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結(jié)論.

本題主要考查含有量詞的命題的否定，是基礎(chǔ)題.

解：命題為全稱量詞命題，則命題的否定為：3xGR,x2-x+10,

故選：C.

8.答案：D

解析:

本題考查兩個(gè)向量的夾角的求法，考查空間向量夾角公式等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題.

利用空間向量夾角公式直接求解.

解：?.?空間向量伺=(1,0,-2),6=(2,-1,1),

.??日與方的夾角為90。.

故選：D.

9.答案：C

解析：

本題考查圓錐曲線的離心率的求法，等比數(shù)列的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，求出小值，然后利用橢圓、雙曲線的性質(zhì)求解離心率即可.

解：實(shí)數(shù)m是2,8的等比中項(xiàng)，

可得771=4或-4,

當(dāng)m=4時(shí)，圓錐曲線/+”=1化為：/+乃=i,

m4

是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，

離心率為：三！=夜.

22

當(dāng)m=—4時(shí)，圓錐曲線/+^=1化為：/一g=1,

m4

是焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線，

離心率為：等出=遍.

故選：C.

10.答案:c

解析：

本題考查直線的方向向量，平面的法向量，考查學(xué)生的理解能力，屬于基礎(chǔ)題.

直線1〃平面a,直線，的方向向量為8，平面a的法向量為匯則3元=0,對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證可得結(jié)論.

解：???直線〃/平面a,直線/的方向向量為8,平面a的法向量為匯

???s?n=0,

對(duì)于A,s-n=-1—2=—3；

對(duì)于B,s-n=-1—1=—2；

對(duì)于C,s-n=-1+2—1=0；

對(duì)于。，3?元=2+2+2=6.

故選：C.

11.答案：c

解析：

本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)及圓的性質(zhì)，分類討論求解即可.

解：①若M在直線4B的右側(cè)，則由乙4MB=120。及圓的性質(zhì)得乙4OB=60。，

由雙曲線的對(duì)稱性知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為30。，

所以2=血,

a3

即廬=c2—a2=1a2,

所以離心率e=-=—;

a3

②若M在直線48的左側(cè)，則由乙4MB=120。及圓的性質(zhì)得乙40B=120°,

由雙曲線的對(duì)稱性知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為60。，

所以2=遍，

a

即匕2=c2—a2=3a2,

所以離心率e=￡=2.

a

故選c.

12.答案:C

解析：

本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題.

以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出點(diǎn)名到平面D1EC的距離.

解：以。為原點(diǎn)，面,方乙西的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

???在長方體4BC0—4避1。也中，AD=M=2,AB=3,E為4B中點(diǎn),

3

???81(2,3,2),Di(0,0,2),F(2,-,0),C(0,3,0),

CE=(2,-|,0),CD1=(0,-3,2),南=(2,0,2)，

設(shè)平面DiEC的法向量元=(%,y,z),

n-CE=2x--v——0

2

則_,，取y=4,得完=(3,4,6),

n-CDT=-3y+2z=0

點(diǎn)2到平面DiEC的距離為：

d_|兩'?褶_18_18歷

同一V9+16+36-61'

故選：C.

13.答案：[—8,0]

解析：解：???命題："Hxe/?,使/+ax—2a<o”為假命題，

a2+8a<0,

解得一8<a<0.

.??實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-8,0].

故答案為[-8,0].

由命題：'勺x€R,使/+a%-2a<0”為假命題，得△=a2+8a<0,由此能求出實(shí)數(shù)a的取值

范圍.

本題考查實(shí)數(shù)參數(shù)的取值范圍的求法，考查全稱命題的真假判斷及性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解

能力，是基礎(chǔ)題.

14.答案：①③④

解析：解：雙曲線(一卷=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(土V34.0)點(diǎn)，橢圓3+y?=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)也為(土V34,

0)點(diǎn)，故①正確；

解2--5%-3<0得一3cx<3,0)S(-p3),故“一gcxCO”是“2--5%-3<0”

充分不必要條件，故②錯(cuò)誤；

“若xy=0,則x、y中至少有一個(gè)為0”的否命題是“xy力0,則x,y都不等于0"，是真命題，故

③正確；

因?yàn)榉匠獭?%+3=0的△=—3<0,故方程久2—3x+3=0無實(shí)根，故④正確，

所以答案為①③④.

15.答案：y2=4x

解析：

離,

又由于M到定直線心x=—p的距離為M到準(zhǔn)線：x=-1p的距離與々的和,

則d2=|MQ|=|MF|+￡,

故慮+d2=\MA\+\MF\+奧勺最小值為14,

由圖知，當(dāng)M與P'重合時(shí)，取最小值14,

則14=\AF\+：=J(6*)2+122+3,解得p=2,

則拋物線C的方程為y2=4x.

故答案為：y2=4x.

16.答案：漁

3

解析：解：由題意可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

其中ABCD—4BiG5是棱長為1的正方體，直線/為SD,

平面a、。、y分別在正方體的三個(gè)面上，滿足兩兩垂直，

BD=Vl2+I2=伍B[D=《BD2+Bp=遮，

此時(shí)直線2與三個(gè)平面a、B、y所成角都相等，等于；I,

于是直線西平面a成角為金。8=九COSX=黑=*=與

B]DV33

故答案為：漁.

3

構(gòu)造棱長為1的正方體，建立空間直角坐標(biāo)系，把問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題.

本題考查了直線與平面成角問題，屬于中檔題.

17.答案：解：由/—8%—20W0,得—24工工10,即p：—2工工工10,

由[x-(1-m)][x-(1+m)]<0,

即q：1—m<x<l+m,(m>0),

,:p是q的充分不必要條件，

(1—m<—2

11+m>10>

Ci9*

???m>9,

故實(shí)數(shù)nt的取值范圍是m>9.

解析：求出不等式的等價(jià)條件，利用充分不必要的定義建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論.

本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用不等式的解法求出不等式的等價(jià)條件是解決本題的

關(guān)鍵.

18.答案：解：⑴?位+2石)=5,

|a|2-4|K|2=5.

又???|方|-3,

A|&|=1.

(2)???■=￥，

??-cos0=^=±=r

??,dG[0,n],

??.e=-.

6

解析：(1)0-2b)?0+21)=5,即|五『一4|方|2=5,又同=3,即可求解|方|=1，(2)根據(jù)已

知條件，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量夾角公式及計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

19.答案：解：(I)設(shè)過點(diǎn)尸且斜率為1的直線方程為：y=x-l,

B(x2,y2).

ry=x-1

].=>x92-6%4-1=0.

7=4x

+%2=6,%],%2=1，

2

A\AB\=V14-k?+=2)2-4rl%2=8?

(n)X?7=(%1-4,為)，麗=(%2-4,、2>為加=一4

M4-MB=(%1—4)(%2-4)+y1y2=x1x2-4(不+x2)+16+y1y2=1-24+16+4=—3H().

二直線4M與直線不垂直.

解析：（I）聯(lián)立方程，利用弦長公式直接求解.

（口）由-MB=（Xi—4）（^2—4）+yxy2=xrx2—4（xx+x2）+16+yry2=1—24+16+4=

-3*0.證明結(jié)論.

本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，向量數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.

20.答案：解：（1）???PD1平面ABCD,BCu平面4BCD,

???PD1BC,

?.?底面2BCD是正方形，二BCLCD,

又PCu平面PCD,CDu平面PC。，PDQCD=D,

■■BC1平面PCD,NBPC為直線PB與平面PCO所成的角.

vPC=y/PD2+CD2=V5.BC=2,

,,BC2^5

**?tanz.jBDPnCn=—=—?

PC5

直線PB與平面PCD所成的角的大小arctan型.

5

(2)由(1)可知BC_L平面PCD,8CJ.PC,

同理可得4B1PA,

SHPCD-S&PAD=]X2xl=l，S&PBC~S“AB=]x2xv5—v5

.??四棱錐P-4BCD的側(cè)面積為2X1+2X次=2+2*.

解析：（1）證明BC平面PCD,在RMPBC中計(jì)算4BPC；

（2）由線面垂直可知棱錐的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，求出棱錐的側(cè)棱長，再計(jì)算側(cè)面積.

本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角的計(jì)算，棱錐的側(cè)面積計(jì)算，屬于中檔題.

21.答案：解：（I）如圖，取PA中點(diǎn)F,連結(jié)EF,BF.

因?yàn)镋為PD中點(diǎn)，AD=4,

1

所以EF〃AD,EF=^AD=2.

又因?yàn)锽C〃/10,BC=2,

所以EF〃BC,EF=BC,

所以四邊形EFBC為平行四邊形.

所以CE〃BF.

又因?yàn)镃EC平面P4B,BFu平面PAB,

所以CE〃平面P4B.

(11)取4。中點(diǎn)。，連結(jié)OP,0B.

因?yàn)椤鱌4D為等邊三角形，所以P010C.

又因?yàn)槠矫?4D，平面4BC。，平面P4DCI平面ABCD=4D,P。在平面PAD內(nèi),

所以P。，平面4BC0.

因?yàn)?D〃BC,0D=BC=2,

所以四邊形BCD。為平行四邊形.

因?yàn)镃DJ.4。，所以O(shè)B10D.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

貝丘(0,—2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(O,1,遮),P(0,0,2g).

所以前=(2,4,0),荏=(0,3,V3).

設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為厄=(x,y,z),

震口即2%+4y=0

則

3y+V3z=O'

令x=-2,則五=

顯然，平面4CD的一個(gè)法向量為而=(0,0,1),

所以8S<元區(qū)>=黯V6

4

由題知，二面角E-4C-0為銳角,

所以二面角E-AC-。的余弦值為漁.

4

(m)直線48上存在點(diǎn)Q,使得PQ〃平面4CE.

理由如下：

設(shè)而=2而，因?yàn)樗?(2,2,0),PA=(0,-2,-2V3),

所以而=4彳月=(24,24,0)，F(xiàn)>Q=PA+AQ=(24,24—2,—28).

因?yàn)镻QC平面ACE,所以PQ〃平面4CE當(dāng)且僅當(dāng)麗?蘇=0.

即—2X24+24—2+2V5XV^=0，解得4=2.

所以直線4B上存在點(diǎn)Q,使得PQ〃平面ACE,此時(shí)與=2.

解析：本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面平行的判斷定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，平面與

平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，是中檔題.

(I)取。4中點(diǎn)凡連結(jié)EF,BF.推出EF〃BC,證明CE〃BF,利用直線與平面平行的判斷定理證明CE〃

平面PAB.

(口)取40中點(diǎn)。，連結(jié)OP,OB,說明PO1.OD,推出POJ?平面ABCC,得到OBJ.。。，建立空間直

角坐標(biāo)系。-xyz,求出平面ACE的一個(gè)法向量可=(—2,1,-遮)，平面4CD的一個(gè)法向量芯=(0,0,1),

利用空間向量的數(shù)量積求解二面角E-AC-。的余弦值.

(山)設(shè)點(diǎn)=入超，通過PQ〃平面/CE當(dāng)且僅當(dāng)而石=0,轉(zhuǎn)化求解即可.

22.答案：解：(1),.?橢圓5+卷=1(。>6>0)右頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的距離為次一1,短軸長為2夜.

a-c=V3-1

???由題意得“=企，

H=h2+c2

解得Q=V3，c=1.

所以所求橢圓方程為蘭+乃=1.

32

(n)當(dāng)直線4B與X軸垂直時(shí)，砌=竽，

此時(shí)SMOB=竽不符合題意故舍掉?

當(dāng)直線48與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線4B的方程為y=k(x+1),

由行+3=1,

ly=k(x+1)

消去y得：(2+3fc2)%2+6k2x+(3fc2-6)=0,

易得d>0,

(%+%=-6k2

設(shè)B(第22)，則[3k^-6k9

卜1％2=3行

22

,??1陰