北京長陵中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析

北京長陵中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（）A、［－，0］B、［0，］C、D、參考答案：A由題意可得，把的圖象向左平移個(gè)單位，可得，由，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，令時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選A

2.已知a＞0，b＞0，且2a+b=ab，則a+2b的最小值為(

)A．5+ B． C．5 D．9參考答案：D【考點(diǎn)】基本不等式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；不等式．【分析】a＞0，b＞0，且2a+b=ab，可得a=＞0，解得b＞2．變形a+2b=+2b=1++2（b﹣2）+4，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且2a+b=ab，∴a=＞0，解得b＞2．則a+2b=+2b=1++2（b﹣2）+4≥5+2×=9，當(dāng)且僅當(dāng)b=3，a=3時(shí)取等號(hào)．其最小值為9．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了變形利用基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．3.設(shè)，是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是(

)A．和B．和C．和D．和參考答案：B考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義．專題：平面向量及應(yīng)用．分析：如果兩個(gè)向量共線便不能作為基底，從而找為共線向量的一組即可，可根據(jù)共面向量基本定理進(jìn)行判斷．解答： 解：不共線的向量可以作為基底；∴不能作為基底的便是共線向量；顯然B，；∴和共線．故選：B．點(diǎn)評(píng)：考查向量基底的概念，知道作為基底的向量不共線，以及共面向量基本定理．4.動(dòng)直線與圓交于點(diǎn)A,B,則弦AB最短為(

）A．2

B．

C.6

D．參考答案：D直線化為直線過定點(diǎn)，可得在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)，最短，由，可得，，，故選D.

5.已知，則A．

B．

C．

D．參考答案：D6.已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）點(diǎn)有頂點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A為圓心與雙曲線C的一條漸近線交于兩點(diǎn)P，Q，若∠PAQ=60°且=2，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由向量共線的坐標(biāo)表示，可得Q的坐標(biāo)，求得弦長|PQ|，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)，由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，可得m=，r=，運(yùn)用圓的弦長公式計(jì)算即可得到a，b的關(guān)系，即可求出離心率．【解答】解：設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由=2，可得Q（2m，），圓的半徑為r=|PQ|=m=m?，PQ的中點(diǎn)為H（m，），由AH⊥PQ，可得=﹣，解得m=，r=．A到漸近線的距離為d==，則|PQ|=2=r，d=r，即有=?．可得=，∴e===，故選：B7.若變量滿足約束條件，則的最大值為A．

B．

C．

D．參考答案：B略8.設(shè)函數(shù)（、為常數(shù)）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則有(

）

A．B．C．D．

參考答案：A9.

函數(shù)y=f(|x|)的圖象如右圖所示，則函數(shù)y=f(x)的圖象不可能是

(

）

參考答案：B10.如果角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.平面向量，，滿足||=1，?=1，?=2，|﹣|=2，則?的最小值為

．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．由||=1，不妨設(shè)=（1，0）．由?=1，?=2，可設(shè)=（1，m），=（2，n）．利用|﹣|=2，可得，（m+n）2=3+4mn≥0，再利用數(shù)量積運(yùn)算=2+mn即可得出．【解答】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．∵||=1，∴不妨設(shè)=（1，0）．∵?=1，?=2，∴可設(shè)=（1，m），=（2，n）．∴=（﹣1，m﹣n）．∵|﹣|=2，∴，化為（m﹣n）2=3，∴（m+n）2=3+4mn≥0，∴，當(dāng)且僅當(dāng)m=﹣n=時(shí)取等號(hào)．∴=2+mn．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了通過建立直角坐標(biāo)系解決向量有關(guān)問題、數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和解決問題的能力，屬于難題．12.若不等式上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_

參考答案：13.如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是線段AA1的中點(diǎn)，M是平面BB1D1D內(nèi)的點(diǎn)，則|AM|+|ME|的最小值是；若|ME|≤1，則點(diǎn)M在平面BB1D1D內(nèi)形成的軌跡的面積等于

．參考答案：【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用．【專題】運(yùn)動(dòng)思想；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）由圖形可知AC⊥平面BB1D1D，且A到平面BB1D1D的距離與C到平面BB1D1D的距離相等，故MA=MC，所以EC就是|AM|+|ME|的最小值；（2）設(shè)點(diǎn)E在平面BB1D1D的射影為O，則EO=AC=，令ME=1，則△EMO是直角三角形，所以點(diǎn)M在平面BB1D1D上的軌跡為圓，有勾股定理求得OM=，即點(diǎn)M的軌跡半徑為，代入圓面積公式即可求得面積．【解答】解：連接AC交BD于N，連接MN，MC，則AC⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥MN，∴△AMN≌△CMN，∴MA=MC，連接EC，∴線段EC的長就是|AM|+|ME|的最小值．在Rt△EAC中，AC=，EA=，∴EC==．過E作平面BB1D1D的垂線，垂足為O，則EO=AN=AC=，令EM=1，則M的軌跡是以O(shè)為圓心，以O(shè)M為半徑的圓，∴OM==，∴S=π?（）2=．故答案為，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間幾何中的最值問題，找到MA與MC的相等關(guān)系是本題的關(guān)鍵．14.若函數(shù)f(x)=x3－3x－a在區(qū)間[0，3]上的最大值、最小值分別為M、N，則M－N的值為

.參考答案：答案：5015.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過，且交雙曲線C的右支于A，B（A點(diǎn)在B點(diǎn)上方）兩點(diǎn)，若，則直線的斜率k=______.參考答案：略16.的展開式中的系數(shù)為

（用數(shù)字作答）參考答案：6略17.

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好在拋物線的準(zhǔn)線上．Ⅰ求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．Ⅱ點(diǎn)，在橢圓上，，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)．（i）若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值．（ii）當(dāng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足，試問直線的斜率是否為定值，請(qǐng)說明理由．參考答案：見解析解：Ⅰ設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∵橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)恰好在拋物線的準(zhǔn)線上，∴，即，又∵，，∴，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．Ⅱ（i）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立，得，由，計(jì)算得出，∴，，∴，∴四邊形的面積，當(dāng)時(shí)，．（ii）∵，則，的斜率互為相反數(shù)，可設(shè)直線的斜率為，則的斜率為，直線的方程為：，聯(lián)立，得，∴，同理可得：，∴，，，∴直線的斜率為定值．19.（本題滿分12分）

一個(gè)盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個(gè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)：

，，，，，．???（Ⅰ）現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個(gè)新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；???（Ⅱ）現(xiàn)從盒子中進(jìn)行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：（1）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，由題意知………4分（2）可?。?，；………6分故的分布列為………9分答：的數(shù)學(xué)期望為………12分20.（12分）已知橢圓M的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其短軸長為2，離心率為．點(diǎn)P（x0，y0）為橢圓M內(nèi)一定點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），過點(diǎn)P的兩直線分別與橢圓交于點(diǎn)A，C和B，D，且AB∥CD．（Ⅰ）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）證明：直線AB的斜率為定值．參考答案：（Ⅰ）由題意設(shè)的方程為：，則，即，又，解得.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.……………………（4分）（Ⅱ）設(shè)，，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，整理得，又點(diǎn)在橢圓上，所以，從而可得，①又因?yàn)?，故有，同理可得，②②①得?因?yàn)辄c(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，所以，又易知不與坐標(biāo)軸平行，所以直線的斜率，為定值.………………（12分）21.設(shè)函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；（2）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間[t，t+3]上的最大值.參考答案：解：（1）∵∴，

（1分）令，解得

（2分）當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：0—0↗極大值↘極小值↗故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（a，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，a）；（4分）因此在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，

（5分）解得，所以a的取值范圍是（0，）.

（6分）（2）當(dāng)a=1時(shí)，.由（1）可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）；.

（7分）①當(dāng)t+3<-1，即t<-4時(shí)，因?yàn)樵趨^(qū)間[t，t+3]上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為；

（9分）②當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，且，所以在區(qū)間上的最大值為.

（10分）由，即時(shí)，有[t，t+3]ì，-1?[t，t+3]，所以在上的最大值為；