湖北省武漢市馬房山中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

湖北省武漢市馬房山中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.（2016?成都模擬）復(fù)數(shù)z=（其中i為虛數(shù)單位）的虛部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．2參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】利用復(fù)數(shù)的化數(shù)形式的乘除運(yùn)算法則求解．【解答】解：∵z=====1+2i，∴復(fù)數(shù)z=（其中i為虛數(shù)單位）的虛部是2．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的虛部的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意復(fù)數(shù)的化數(shù)形式的乘除運(yùn)算法則的合理運(yùn)用．2.“a≤0”是“函數(shù)f（x）=|（ax﹣1）x|在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】對a分類討論，利用二次函數(shù)的圖象與單調(diào)性、充要條件即可判斷出．【解答】解：當(dāng)a=0時，f（x）=|x|，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．當(dāng)a＜0時，，結(jié)合二次函數(shù)圖象可知函數(shù)f（x）=|（ax﹣1）x|在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．若a＞0，則函數(shù)f（x）=|（ax﹣1）x|，其圖象如圖它在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)有增有減，從而若函數(shù)f（x）=|（ax﹣1）x|在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增則a≤0．∴a≤0是”函數(shù)f（x）=|（ax﹣1）x|在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增”的充要條件．故選：C．3.設(shè)向量的模分別為6和5，夾角為等于（

） A． B． C． D．參考答案：C4.設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，,則與大小是(

)A.B.

C.D.不確定參考答案：B略5.在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢．問：幾日相逢？（）A．9日 B．8日 C．16日 D．12日參考答案：A【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】良馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為{an}，其中a1=103，d=13；駑馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5．求和即可得到答案．【解答】解：由題意知，良馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為{an}，其中a1=103，d=13；駑馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5；設(shè)第m天相逢，則a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm=103m++97m+=2×1125，解得：m=9．故選：A．6.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是線段BC上的動點(diǎn)，F(xiàn)是線段CD1上的動點(diǎn)，且E，F(xiàn)不重合，則直線AB1與直線EF的位置關(guān)系是（

）A．相交且垂直

B．共面

C．平行

D．異面且垂直參考答案：D由題意易知：直線，∴又直線與直線異面直線，故選：D

7.設(shè)函數(shù)則（）A． B．1 C． D．參考答案：A8.閱讀右面的程序框圖，則輸出的=

A．14

B．30

C．20

D．55參考答案：B第一次循環(huán)，；第二次循環(huán)，；第三次循環(huán)，；第四次循環(huán)，，此時滿足條件，輸出，選B.9.已知集合A={x|x2＞1}，B={x|log2x＞0}，則A∩B=（）A．{x|x＜﹣1} B．{x|＞0} C．{x|x＞1} D．{x|x＜﹣1或x＞1}參考答案：C【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】化簡A、B兩個集合，利用兩個集合的交集的定義求出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，B={x|log2x＞0=log21}={x|x＞1}，A∩B={x|x＞1}，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查集合的表示方法，兩個集合的交集的定義和求法，化簡A、B兩個集合是解題的關(guān)鍵．10.已知數(shù)列Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S8=2，S24=14，則S2016=（）A．2252﹣2 B．2253﹣2 C．21008﹣2 D．22016﹣2參考答案：B【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；整體思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，由前n項(xiàng)和公式求得a1和q的數(shù)量關(guān)系，然后再來解答問題．【解答】解：∵數(shù)列Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S8=2，S24=14，∴=2，①=14，②由②÷①得到：q8=2或q8=﹣3（舍去），∴=2，則a1=2（q﹣1），∴S2016===2253﹣2．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了等邊數(shù)量的前n項(xiàng)和，熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意：本題中不需要求得首項(xiàng)和公比的具體數(shù)值．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為．若橢圓上存在一點(diǎn)，滿足線段相切于以橢圓的短軸為直徑的圓，切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為

．

參考答案：12.如果執(zhí)行右面的框圖，那么輸出的S等于_____________.參考答案：406113.設(shè)、是空間兩條不同的直線，、是空間兩個不同的平面．給出下列四個命題：①若，，，則；②若，，，則；③若，，，則；④若，，，，則．其中正確的是__________（填序號）．參考答案：②④【分析】利用空間中直線與直線的位置關(guān)系可判斷命題①的正誤；利用面面垂直的性質(zhì)定理以及線面平行的判定定理可判斷命題②的正誤；利用線面垂直的性質(zhì)可判斷命題③的正誤；利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對于命題①，若，，，則與平行、相交或異面，命題①錯誤；對于命題②，設(shè)，若，則存在，使得，則，又，則，，，命題②正確；對于命題③，，，則，又，則或，命題③錯誤；對于命題④，過直線作平面，使得，，，則，，則.，，，，，命題④正確.因此，正確命題的序號為②④.故答案為：②④.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面位置關(guān)系的判斷，考查推理能力，屬于中等題.14.某三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是正方形，則該三棱錐最長棱的長是________.參考答案：試題分析：由三視圖可知點(diǎn)在面內(nèi)的投影在的外邊，其中，點(diǎn)到底面的距離為，，，，則該三棱錐最長棱的長是，故答案為.考點(diǎn)：三視圖還原幾何體.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查了三視圖還原幾何體，求幾何體中棱長的長度，在高考中屬于高頻考點(diǎn)，該題在三視圖類型的題目中難度中檔；首先根據(jù)俯視圖以及結(jié)合該幾何體為三棱錐可得，底面為等腰直角三角形，上定點(diǎn)在底面的投影在外，且和正好構(gòu)成正方形，易得底面三條棱的長度，均和正方形的邊長以及三棱錐的高構(gòu)成直角三角形，和正方形的對角線以及三棱錐的高構(gòu)成構(gòu)成直角三角形.15.對于命題：①“若x2+y2=0，則x，y全為0”的逆命題；②“全等三角形是相似三角形”的否命題；③“若m＞0，則x2+x﹣m=0有實(shí)根”的逆否命題．其中真命題的題號是．參考答案：①③【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①，逆命題為：若x，y全為0，則x2+y2=0；②，不全等三角形也可以相似；③，原命題為真，其逆否命題與原命題同真假．【解答】解：對于①，“若x2+y2=0，則x，y全為0”的逆命題為：若x，y全為0，則x2+y2=0為真命題；對于②，“全等三角形是相似三角形”的否命題為：“不全等三角形不是相似三角形”，因?yàn)椴蝗热切我部梢韵嗨?，故為假命題；對于③，“當(dāng)m＞0時，方程x2+x﹣m=0的△=1+4m＞0，方程有實(shí)根”，原命題為真，其逆否命題與原命題同真假，故為真命題．故答案為：①③【點(diǎn)評】本題考查了命題的四種形式及其真假的判定，屬于基礎(chǔ)題．16.函數(shù)y=xlnx的單調(diào)減區(qū)間為

．參考答案：（0，）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題．【分析】利用積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0求出x的范圍與定義域的公共范圍是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【解答】解：y′=1+lnx，令，又因?yàn)楹瘮?shù)y=xlnx的定義域?yàn)椋?，+∞）所以函數(shù)y=xlnx的單調(diào)減區(qū)間為故答案為：【點(diǎn)評】此題考查基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、考查利用導(dǎo)函數(shù)的符號求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．17.

.參考答案：答案：解析：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知向量=（sinx，sinx），=（sinx，﹣cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=?．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，A為銳角，若f（A）+sin（2A﹣）=1，b+c=7，△ABC的面積為2，求邊a的長．參考答案：考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，根據(jù)f（A）+sin（2A﹣）=1，求得A，根據(jù)三角形面積公式求得bc的值，利用余弦定理求得a．解答： 解：（1）由題意得f（x）=sin2x﹣sinxcosx=﹣sin2x=﹣sin（2x+），令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，

解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ+，kπ+]，k∈Z（2）由f（A）+sin（2A﹣）=1得：﹣sin（2A+）+sin（2A﹣）=1，化簡得：cos2A=﹣，又因?yàn)?＜A＜，解得：A=，由題意知：S△ABC=bcsinA=2，解得bc=8，又b+c=7，所以a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc（1+cosA）=49﹣2×8×（1+）=25，∴a=5點(diǎn)評：本題只要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用．19.（本小題滿分14分）

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且有,點(diǎn)在直線上.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求;（3）試比較和的大小,并加以證明.參考答案：（1）；（2）

（3）見解析【知識點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．D1D4解析：（1）當(dāng)時,,解得：，………………1分

當(dāng)時,,

則有，即：，

∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

………3分∴

……………4分（2）∵點(diǎn)在直線上∴.

…………………5分因?yàn)棰?所以②.由①-②得,,所以.

………………8分（3）令,則==……10分時,，所以;

時,，所以;時,，所以.

…………13分綜上:①時，,②時,,③時,…14分【思路點(diǎn)撥】（1）利用遞推式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得；（2）由點(diǎn)在直線上，可得利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；（3）作差比較大小即可得出．20.設(shè)的最小值為k.（1）求實(shí)數(shù)k的值；（2）設(shè)，，，求證：.參考答案：（1）；（2）見詳解.【分析】(1)將函數(shù)表示為分段函數(shù)，再求其最小值.(2)利用已知等式構(gòu)造出可以利用均值不等式的形式.【詳解】（1）當(dāng)時，取得最小值，即.（2）證明：依題意，，則.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立.所以.【點(diǎn)睛】本題考查求含絕對值函數(shù)的最值，由均值不等式求最值.含絕對值的函數(shù)或不等式問題，一般可以利用零點(diǎn)分類討論法求解.已知或(是正常數(shù)，)的值，求另一個的最值，這是一種常見的題型，解題方法是把兩式相乘展開再利用基本不等式求最值.21.已知函數(shù)f（x）=x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點(diǎn)x1，x2，證明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）表示出f（x1）+f（x2）=lna++ln2+1，通過求導(dǎo)進(jìn)行證明．【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣，（x＞0，a＞0），不妨設(shè)φ（x）=2ax2﹣x+1（x＞0，a＞0），則關(guān)于x的方程2ax2﹣x+1=0的判別式△=1﹣8a，當(dāng)a≥時，△≤0，φ（x）≥0，故f′（x）≤0，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，當(dāng)0＜a＜時，△＞0，方程f′（x）=0有兩個不相等的正根x1，x2，不妨設(shè)x1＜x2，則當(dāng)x∈（0，x1）及x∈（x2，+∞）時f′（x）＜0，當(dāng)x∈（x1，x2）時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）遞減，在（x1，x2）遞增；（2）由（1）知當(dāng)且僅當(dāng)a∈（0，）時f（x）有極小值x1和極大值x2，且x1，x2是方程的兩個正根，則x1+x2=，x1x2=，∴f（x1）+f（x2）=（x1+x2）﹣a[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣（lnx1+lnx2）=ln（2a）++1=lna++ln2+1（0＜a＜），令g（a）=lna++ln2+1，當(dāng)a∈（0，）時，g′（a）=＜0，∴g（a）在（0，）內(nèi)單調(diào)遞減