第5章 函數(shù)的概念、性質(zhì)及應用（知識清單）-2021-2022學年高一數(shù)學上學期期中期末考試滿分全攻略（滬教版2020）

第5章函數(shù)的概念、性質(zhì)及應用知識清單知識點一函數(shù)的有關概念知識點二同一個函數(shù)一般地，函數(shù)有三個要素：定義域，對應關系與值域．如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關系完全一致，我們就稱這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．特別提醒：兩個函數(shù)的定義域和對應關系相同就決定了這兩個函數(shù)的值域也相同．知識點三函數(shù)的表示方法函數(shù)三種表示法的優(yōu)缺點知識點四分段函數(shù)1．一般地，分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應關系的函數(shù)．2．分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集．3．作分段函數(shù)圖象時，應分別作出每一段的圖象．知識點五函數(shù)奇偶性的幾何特征一般地，圖象關于y軸對稱的函數(shù)稱為偶函數(shù)，圖象關于原點對稱的函數(shù)稱為奇函數(shù)．知識點六函數(shù)奇偶性的定義1．偶函數(shù)：函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)．2．奇函數(shù)：函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)．知識點七奇(偶)函數(shù)的定義域特征奇(偶)函數(shù)的定義域關于原點對稱．知識點八增函數(shù)與減函數(shù)的定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I：(1)如果?x1，x2∈D，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，特別地，當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們稱它是增函數(shù)．(2)如果?x1，x2∈D，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，特別地，當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們稱它是減函數(shù)．思考(1)所有的函數(shù)在定義域上都具有單調(diào)性嗎？(2)在增函數(shù)和減函數(shù)定義中，能否把“任意x1，x2∈D”改為“存在x1，x2∈D”？答案(1)不是；(2)不能．知識點九函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．特別提醒：(1)函數(shù)單調(diào)性關注的是整個區(qū)間上的性質(zhì)，單獨一點不存在單調(diào)性問題，所以單調(diào)區(qū)間的端點若屬于定義域，則該點處區(qū)間可開可閉，若區(qū)間端點不屬于定義域則只能開．(2)單調(diào)區(qū)間D?定義域I.(3)遵循最簡原則，單調(diào)區(qū)間應盡可能大．知識點十函數(shù)的最大(小)值及其幾何意義最值條件幾何意義最大值①對于?x∈I，都有f(x)≤M，②?x0∈I，使得f(x0)＝M函數(shù)y＝f(x)圖象上最高點的縱坐標最小值①對于?x∈I，都有f(x)≥M，②?x0∈I，使得f(x0)＝M函數(shù)y＝f(x)圖象上最低點的縱坐標思考函數(shù)f(x)＝x2＋1≥－1總成立，f(x)的最小值是－1嗎？答案f(x)的最小值不是－1，因為f(x)取不到－1.知識點十一求函數(shù)最值的常用方法1．圖象法：作出y＝f(x)的圖象，觀察最高點與最低點，最高(低)點的縱坐標即為函數(shù)的最大(小)值．2．運用已學函數(shù)的值域．3．運用函數(shù)的單調(diào)性：(1)若y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．(2)若y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，則ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．4．分段函數(shù)的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那個．知識點十二、函數(shù)的應用解應用題的策略：特別提醒：解答應用題重點要過三關：(1)事理關：需要讀懂題意，知道講的是什么事件，即需要一定的閱讀能力．如教材中講的儲蓄問題，要清楚什么是復利，各期的本利和如何變化，即變化規(guī)律是什么，只有搞清這些問題，才能準確表達本利和y與利率r及存期x的關系．(2)文理關：需把實際問題的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學的符號語言，以把實際問題抽象為一個函數(shù)問題．(3)數(shù)理關：構(gòu)建了數(shù)學模型后，要正確解答出數(shù)學問題，需要扎實的基礎知識和較強的數(shù)理能力．二、解決應用題的一般程序：（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關系；（2）建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型；（3）解模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論；（4）還原：將用數(shù)學知識和方法得出的結(jié)論，還原為實際問題的意義．三、幾種不同增長的函數(shù)模型（1）一次函數(shù)模型：y=kx+b(k≠0)（2）二次函數(shù)模型：y=ax2+bx+c(a≠0)(3)指數(shù)函數(shù)模型：y＝abx＋c(b>0，b≠1，a≠0)(4)對數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)(5)冪函數(shù)模型：y＝axn＋b(a≠0)四、函數(shù)的零點對于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．方程、函數(shù)、圖象之間的關系：方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點．思考(1)函數(shù)的“零點”是一個點嗎？(2)函數(shù)y＝x2有零點嗎？答案(1)不是；(2)有零點，零點為0.五函數(shù)的零點、方程的解、函數(shù)圖象與x軸的交點方程f(x)＝0的實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)的零點?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標．思考函數(shù)f(x)＝ax2＋x－2有一個零點是1，這個函數(shù)還有其他零點嗎？答案f(x)＝ax2＋x－2有一個零點是1，即a·12＋1－2＝0，∴a＝1，∴f(x)＝x2＋x－2，令x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2，∴這個函數(shù)還有一個零點為－2.六函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解．七二分法對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．由函數(shù)的零點與相應方程根的關系，可用二分法來求方程的近似解．思考已知函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，采用什么方法能進一步有效縮小零點所在的區(qū)間？答案可采用“取中點”的方法逐步縮小零點所在的區(qū)間．八用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟1．確定零點x0的初始區(qū)間[a，b]，驗證f(a)·f(b)<0.2．求區(qū)間(a，b)的中點c.3．計算f(c)，并進一步確定零點所在的區(qū)間：(1)若f(c)＝0(此時x0＝c)，則c就是函數(shù)的零點；(2)若f(a)·f(c)<0(此時x0∈(a，c))，則令b＝c；(3)若f(c)·f(b)<0(此時x0∈(c，b))，則令a＝c.4．判斷是否達到精確度ε：若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復步驟(2)～(4)．以上步驟可簡化為：定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看；同號去，異號算，零點落在異號間；周而復始怎么辦？精確度上來判斷．知識