31990403第7章概率初步（續(xù)）（知識清單）-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)考試滿分全攻略（滬教版2020選修第二冊）

第7章概率初步（續(xù)）知識清單一條件概率的理解條件概率：一般地，設(shè)A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，則P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．注意點：A與B相互獨立時，可得P(AB)＝P(A)P(B)，則P(B|A)＝P(B)．判斷是不是條件概率主要看一個事件的發(fā)生是否是在另一個事件發(fā)生的條件下進行的二利用定義求條件概率利用定義計算條件概率的步驟(1)分別計算概率P(AB)和P(A)．(2)將它們相除得到條件概率P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，這個公式適用于一般情形，其中AB表示A，B同時發(fā)生．三縮小樣本空間求條件概率利用縮小樣本空間法求條件概率的方法(1)縮：將原來樣本空間Ω縮小為事件A，原來的事件B縮小為事件AB.(2)數(shù)：數(shù)出A中事件AB所包含的樣本點．(3)算：利用P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)求得結(jié)果．四概率的乘法公式概率的乘法公式：對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)P(B|A)．注意點：(1)P(AB)表示A，B都發(fā)生的概率，P(B|A)表示A先發(fā)生，然后B發(fā)生；(2)在P(B|A)中，事件A成為樣本空間，而在P(AB)中，樣本空間為所有事件的總和；(3)當P(B|A)＝P(B)時，事件A與事件B是相互獨立事件．五互斥事件的條件概率條件概率的性質(zhì)設(shè)P(A)>0，則(1)P(Ω|A)＝1.(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．(3)設(shè)eq\x\to(B)和B互為對立事件，則P(eq\x\to(B)|A)＝1－P(B|A)．注意點：(1)A與B互斥，即A，B不同時發(fā)生，則P(AB)＝0，故P(B|A)＝0；(2)互斥事件的條件概率公式可以將復(fù)雜事件分解為簡單事件的概率和．六全概率公式全概率公式：一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．七多個事件的全概率問題“化整為零”求多事件的全概率問題(1)如圖，P(B)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)．(2)已知事件B的發(fā)生有各種可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B發(fā)生的可能性，就是各種可能情形Ai發(fā)生的可能性與已知在Ai發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的可能性的乘積之和．八貝葉斯公式*貝葉斯公式：設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq\f(PAiPB|Ai,PB)＝eq\f(PAiPB|Ai,\i\su(k＝1,n,P)AkPB|Ak)，i＝1,2，…，n.貝葉斯公式的內(nèi)含(1)公式P(A1|B)＝eq\f(PA1B,PB)＝eq\f(PA1PB|A1,PB)反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之間的互化關(guān)系．(2)P(A1)稱為先驗概率，P(A1|B)稱為后驗概率，其反映了事情A1發(fā)生的可能在各種可能原因中的比重．

九隨機變量的概念及分類1．隨機變量：一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機變量.2．離散型隨機變量：可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，我們稱之為離散型隨機變量，通常用大寫英文字母表示隨機變量，例如X，Y，Z；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，例如x，y，z.注意點：離散型隨機變量的特征：(1)可以用數(shù)值表示；(2)試驗之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值，但不能確定取何值；(3)試驗結(jié)果能一一列出．十離散型隨機變量的分布列1．離散型隨機變量的分布列：一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列．離散型隨機變量的分布列可以用表格表示：Xx1x2…xnPp1p2…pn離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)：(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.2．對于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗，用A表示“成功”，eq\x\to(A)表示“失敗”，定義X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，A發(fā)生，,0，\x\to(A)發(fā)生.))如果P(A)＝p，則P(eq\x\to(A))＝1－p，那么X的分布列如表所示．X01P1－pp我們稱X服從兩點分布或0－1分布．注意點：隨機變量X只取0和1，才是兩點分布，否則不是．十一分布列的性質(zhì)及應(yīng)用分布列的性質(zhì)及其應(yīng)用(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數(shù)．(2)求隨機變量在某個范圍內(nèi)的概率時，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)各隨機變量對應(yīng)的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式．十二n重伯努利試驗1．n重伯努利試驗：將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．2．n重伯努利試驗的共同特征：(1)同一個伯努利試驗重復(fù)做n次．(2)各次試驗的結(jié)果相互獨立．注意點：在相同條件下，n重伯努利試驗是有放回地抽樣試驗．十三、二項分布的推導(dǎo)二項分布：一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)．注意點：(1)由二項式定理可知，二項分布的所有概率和為1.(2)兩點分布與二項分布的關(guān)系：兩點分布是只進行一次的二項分布．n重伯努利試驗概率求法的三個步驟(1)判斷：依據(jù)n重伯努利試驗的特征，判斷所給試驗是否為n重伯努利試驗．(2)分拆：判斷所求事件是否需要分拆．(3)計算：就每個事件依據(jù)n重伯努利試驗的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計算．十四、二項分布的簡單應(yīng)用利用二項分布求解“至多”“至少”問題的概率，其實質(zhì)是求在某一范圍內(nèi)的概率，一般轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件發(fā)生的概率的和，或者利用對立事件求概率．十五、二項分布的均值與方差1．若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．2．若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．解決此類問題第一步是判斷隨機變量X服從什么分布，第二步代入相應(yīng)的公式求十六、二項分布的實際應(yīng)用二項分布的實際應(yīng)用類問題的求解步驟(1)根據(jù)題意設(shè)出隨機變量；(2)分析隨機變量服從二項分布；(3)求出參數(shù)n和p的值；(4)根據(jù)二項分布的均值、方差的計算公式求解．十七、二項分布的性質(zhì)二項分布概率最大問題的求解思路十八、超幾何分布超幾何分布：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布．注意點：(1)在超幾何分布的模型中，“任取n件”應(yīng)理解為“不放回地一次取一件，連續(xù)取n件”．(2)超幾何分布的特點：①不放回抽樣；②考察對象分兩類；③實質(zhì)是古典概型．十九、超幾何分布的概率超幾何分布的概率計算公式給出了求解這類問題的方法，可以直接運用公式求解，但是不能機械地記憶公式，要在理解公式意義的前提下進行記憶．二十、超幾何分布的分布列求超幾何分布的分布列的步驟二十一、超幾何分布的均值求超幾何分布均值的步驟(1)驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值．(2)根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率．(3)利用均值公式求解．二十二、二項分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系不放回抽樣服從超幾何分布，放回抽樣服從二項分布，求均值可利用公式代入計算．二十三、超幾何分布的綜合應(yīng)用超幾何分布常應(yīng)用在產(chǎn)品合格問題、球盒取球(兩色)問題、男女生選舉問題等，這類問題有一個共同特征，就是對每一個個體而言，只研究其相對的兩種性質(zhì)而不涉及其他性質(zhì)，如產(chǎn)品的合格與不合格、球的紅色與非紅色、學(xué)生的性別等．二十四、正態(tài)曲線及其性質(zhì)1．我們稱f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．2．若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．特別地，當μ＝0，σ＝1時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布．3．若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.4．正態(tài)曲線的特點：(1)非負性：對?x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方．(2)定值性：曲線與x軸之間的面積為1.(3)對稱性：曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱．(4)最大值：曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).(5)當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸．(6)當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①.(7)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ較小時曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；σ較大時，曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖②.5．正態(tài)分布的幾何意義：若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X