福建省廈門市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省廈門市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫在答題卡上.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知等比數(shù)列滿足，，則（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，所以或，因?yàn)椋?，所?故選：C.2.已知直線的傾斜角為，直線過點(diǎn)，若，則在軸上的截距為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】由題意得直線的斜率為，故直線的方程為，即，令得，故在軸上的截距為.故選：D3.點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為（）A B. C. D.【答案】A【解析】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，即，則點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為.故選：A4.在四棱錐中，底面為平行四邊形，點(diǎn)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由于點(diǎn)滿足，可得：，即.故選：C.5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】由題意知，故時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，則，即，故，又，所以an為首項(xiàng)是，公比為的等比數(shù)列，故，隨n的增大而減小，且數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)均為負(fù)值，偶數(shù)項(xiàng)為正值，故時(shí)，取最大值，最大值為，故選：C6.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為,，上一點(diǎn)滿足，A為線段的中垂線與的交點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】A為線段的中垂線與的交點(diǎn)，所以，，三角形的周長(zhǎng)為，所以，又，所以，又，所以,故選：B.7.已知梯形中，，，，，.如圖，將沿對(duì)角線翻折至，使得，則異面直線，所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所?因?yàn)樗?所以即所以異面直線與CD所成角的余弦值為.故選：C.8.拋物線有一個(gè)重要的性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸，此時(shí)反射面為拋物線在該點(diǎn)處的切線.過拋物線上的一點(diǎn)（異于原點(diǎn)）作的切線，過作的平行線交（為的焦點(diǎn)）于點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】方法1：如圖，由光學(xué)性質(zhì)可知：入射光線，反射光線軸，所以，又，所以，因?yàn)檩S，，則有，所以，即，由三角不等式可得，即；方法2：設(shè)，，易求得，所以，，聯(lián)立方程可求得，所以，即.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知集合，.若，則實(shí)數(shù)可以為（）A.0 B. C.1 D.2【答案】ABC【解析】由題意，，即圓在圓的內(nèi)部或圓上，則，即.故選：ABC10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)，分別是和的中點(diǎn)，則（）A.B.C.點(diǎn)到平面的距離為D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】BC【解析】建系如圖：由題得，，，因?yàn)榕c不共線，所以不平行，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，B正確；設(shè)平面的法向量為，，取，所以點(diǎn)F到平面的距離為，所以C正確；直線與平面所成角的正弦值為：，所以D錯(cuò)誤；故選：BC.11.已知曲線，其中，則（）A.存在使得為圓B.存在使得為兩條直線C.若為雙曲線，則越大，的離心率越大D.若為橢圓，則越大，的離心率越大【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)為圓，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即，為兩條直線，B正確；C選項(xiàng)，若為雙曲線，則，即，所以，此時(shí)離心率，由于在上單調(diào)遞增，故單調(diào)遞增，即越大，的離心率越大，C正確；D選項(xiàng)，若為橢圓，由于，故，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，離心率，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，此時(shí)離心率，不滿足越大，的離心率越大，D錯(cuò)誤.故選：ABC12.若數(shù)列滿足，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列B.當(dāng)時(shí)，的所有可能取值的和為6C.當(dāng)時(shí)，的取值有10種可能D.當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【解析】選項(xiàng)A：取，則，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則或，所以，其中，，，，…，，化簡(jiǎn)可得：，其中，，，，…，，當(dāng)時(shí)，的取值共有種，故C正確；其和，對(duì)于選項(xiàng)B：，，，，所以之和為，故B正確；由可得，即，所以，累加可得，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，三點(diǎn)共線，則______.【答案】1【解析】,,由題得，所以，解得1，故答案為：1.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，的面積為2，則______.【答案】5【解析】由題意，F(xiàn)1,0，，，，所以，則，由拋物線的定義知，.故答案為：5.15.已知圓和圓，過動(dòng)點(diǎn)分別作圓，圓的切線，（A，為切點(diǎn)），且，則的最大值為______.【答案】【解析】如圖，連接，因，與圓相切，所以，設(shè)，所以，整理得，所以在以為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，，當(dāng)且僅當(dāng)在時(shí)等號(hào)成立，所以答案為：.16.已知直線與直線，點(diǎn)是與軸的交點(diǎn).過作軸的垂線交于點(diǎn)，過作軸的垂線交于點(diǎn)，過作軸的垂線交于點(diǎn)，過作軸的垂線交于點(diǎn)，依此方法一直繼續(xù)下去，可得到一系列點(diǎn)，，則______；設(shè)的坐標(biāo)為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為______.【答案】8；（或）【解析】，，則，當(dāng)時(shí)易得，，則，即，所以，而，故，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，，所以，所以的前項(xiàng)和為.故答案為：8；（或）.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，.（1）求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為，公差為，據(jù)題意，，所以①又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即②由①②可知，，，即.經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，所以.（2）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以?shù)列bn為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，所以，所以數(shù)列bn的前項(xiàng)和為18.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，，求的方程.解：（1）設(shè)，因?yàn)椋c(diǎn)，，所以，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）因?yàn)?，，則，所以圓心到直線的距離①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為，與圓無(wú)交點(diǎn)，舍去；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，即所以，解得所以的方程為或19.已知雙曲線的左頂點(diǎn)為A，為上（異于A）一點(diǎn).（1）已知點(diǎn)，求當(dāng)取得最小值時(shí)直線的方程；（2）若直線與直線交于點(diǎn)，證明：為定值.解：（1）設(shè)，其中，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí)，此時(shí)，所以直線：，化簡(jiǎn)得或（2）設(shè)，，則直線的方程為：，所以所以，所以為定值.20.某工廠去年12月試產(chǎn)了1000個(gè)電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為0.85.從今年1月開始，工廠在接下來的一年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品，1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個(gè)月的基礎(chǔ)上提高，產(chǎn)品合格率比前一個(gè)月增加0.01.（1）求今年2月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品的數(shù)量，并判斷哪個(gè)月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品的數(shù)量最多；（2）求該工廠今年全年生產(chǎn)合格產(chǎn)品的數(shù)量.參考數(shù)據(jù)：，.解：（1）記從今年1月起，第月的產(chǎn)量為，第月的產(chǎn)品合格率為.由題可知，數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，所以，，所以今年2月份生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)為；設(shè)第月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)為，則，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，即5月或6月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)最多；（2）設(shè)今年前個(gè)月生產(chǎn)的合格產(chǎn)品總數(shù)為，則，由于，，所以①，②，①－②得所以，即該工廠今年全年生產(chǎn)的合格產(chǎn)品總數(shù)約為19604個(gè).21.如圖，平行六面體中，平面，，，.（1）求證：；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）解法一：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得所以，所以解法二：在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線，垂足為，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，設(shè)，則，所以，由得，所以，又因?yàn)?，所以，解得，所以，，，，所以，所以；解法三：在平面中，過作的垂線，垂足為，連結(jié)交于.因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，又因?yàn)槠矫妫裕驗(yàn)?，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，則，所以，所以，所以，在中，，，，所以，在中，，，，所以，在中，，，，所以，所以，所以；（2）由（1）得平面一個(gè)法向量為，假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，則，，所以，所以，因?yàn)槠矫媾c平面的夾角為，即，解得，又因?yàn)椋陨崛?，所以線段上不存在點(diǎn)使得平面與平面的夾角為.22.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上不同兩點(diǎn)A，滿足，當(dāng)時(shí)，.（1）求的方程；（