九年級相似三角形知識點(diǎn)總結(jié)及例題講解

九年級相似三角形知識點(diǎn)總結(jié)及例題講解相似三角形基本知識知識點(diǎn)一：放縮與相似圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運(yùn)動。把形狀相同的兩個(gè)圖形說成是相似的圖形，或者就說是相似性。注意：=1\*GB2⑴相似圖形強(qiáng)調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無關(guān)。=2\*GB2⑵相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。=3\*GB2⑶我們可以這樣理解相似形：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作是由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的．=4\*GB2⑷若兩個(gè)圖形形狀與大小都相同，這時(shí)是相似圖形的一種特例——全等形．相似多邊形的性質(zhì)：如果兩個(gè)多邊形是相似形，那么這兩個(gè)多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的長度成比例。注意：當(dāng)兩個(gè)相似的多邊形是全等形時(shí)，他們的對應(yīng)邊的長度的比值是1.知識點(diǎn)二：比例線段有關(guān)概念及性質(zhì)（1）有關(guān)概念1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a：b＝m：n（或）2、比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。說明：求兩條線段的比時(shí)，對這兩條線段要用同一單位長度。3、比例：兩個(gè)比相等的式子叫做比例，如4、比例外項(xiàng)：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外項(xiàng)。5、比例內(nèi)項(xiàng)：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。6、第四比例項(xiàng)：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例項(xiàng)。7、比例中項(xiàng)：如果比例中兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為（或a:b＝b:c時(shí)，我們把b叫做a和d的比例中項(xiàng)。8.比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。（注意：在求線段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位）（2）比例性質(zhì)1.基本性質(zhì):（兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)積）2.反比性質(zhì)：(把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換)3.更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：4.合比性質(zhì)：（分子加（減）分母,分母不變）．注意：實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：．5.等比性質(zhì)：（分子分母分別相加，比值不變.）如果，那么．注意：(1)此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)法”，這種方法是有關(guān)比例計(jì)算，變形中一種常用方法．(2)應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零．(3)可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立．知識點(diǎn)三：黃金分割定義：在線段AB上，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），如果，即AC2=AB×BC，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比。其中≈0.618。2）黃金分割的幾何作圖：已知：線段AB.求作：點(diǎn)C使C是線段AB的黃金分割點(diǎn).作法：①過點(diǎn)B作BD⊥AB，使；②連結(jié)AD，在DA上截取DE=DB；③在AB上截取AC=AE，則點(diǎn)C就是所求作的線段AB的黃金分割點(diǎn).黃金分割的比值為：

.（只要求記住）3）矩形中，如果寬與長的比是黃金比，這個(gè)矩形叫做黃金矩形。知識點(diǎn)四：平行線分線段成比例定理(一)平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比.例.已知l1∥l2∥l3,ADl1BEl2CFl3可得2.推論:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例.是“A是“A”字型是“8”字型經(jīng)常考，關(guān)鍵在于找由DE∥BC可得：.此推論較原定理應(yīng)用更加廣泛,條件是平行.3.推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊.(即利用比例式證平行線)4.定理:平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例.5.平行線等分線段定理：三條平行線截兩條直線,如果在一條直線上截得的線段相等，難么在另一條直線上截得的線段也相等。★三角形一邊的平行線性質(zhì)定理定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得的線段對應(yīng)成比例。幾何語言∵△ABE中BD∥CE∴簡記：歸納：和推廣：類似地還可以得到和★三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.★三角形一邊的平行線的判定定理三角形一邊平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.★平行線分線段成比例定理1．平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例.用符號語言表示：AD∥BE∥CF,.2．平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等.用符號語言表示：.重心定義：三角形三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的重心.重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到對邊中點(diǎn)的距離的兩倍.知識點(diǎn)三：相似三角形相似三角形1）定義：如果兩個(gè)三角形中，三角對應(yīng)相等，三邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形叫做相似三角形。幾種特殊三角形的相似關(guān)系：兩個(gè)全等三角形一定相似。兩個(gè)等腰直角三角形一定相似。兩個(gè)等邊三角形一定相似。兩個(gè)直角三角形和兩個(gè)等腰三角形不一定相似。補(bǔ)充：對于多邊形而言，所有圓相似；所有正多邊形相似（如正四邊形、正五邊形等等）；性質(zhì)：兩個(gè)相似三角形中，對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例。相似比：兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)邊的比，叫做這兩個(gè)三角形的相似比。如△ABC與△DEF相似，記作△ABC∽△DEF。相似比為k。4）判定：①定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。②三角形相似的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似．判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似．直角三角形相似判定定理:

eq\o\ac(○,1).斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。

eq\o\ac(○,2).直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個(gè)直角三角形也相似。補(bǔ)充一：直角三角形中的相似問題：斜邊的高分直角三角形所成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似.射影定理：CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·BA（在直角三角形的計(jì)算和證明中有廣泛的應(yīng)用）.補(bǔ)充二：三角形相似的判定定理推論推論一：頂角或底角相等的兩個(gè)等腰三角形相似。推論二：腰和底對應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。推論三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。推論五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。相似三角形的性質(zhì)①相似三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例.②相似三角形對應(yīng)高、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)中線、周長的比都等于相似比(對應(yīng)邊的比).③相似三角形對應(yīng)面積的比等于相似比的平方.相似的應(yīng)用：位似1）定義：如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。需注意：①位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形。②兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)。③兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)。④位似比就是相似比。2）性質(zhì)：①位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)。②位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質(zhì)，位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離等于位似比（相似比）。③每對位似對應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線，不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行。一、如何證明三角形相似例1、如圖：點(diǎn)G在平行四邊形ABCD的邊DC的延長線上,AG交BC、BD于點(diǎn)E、F，則△AGD∽∽。例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分線，求證：△ABC∽△BCD例3：已知，如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)連結(jié)ED、AD，以BC為邊在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求證：△DBE∽△ABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC邊的三等分點(diǎn)，連結(jié)AE、AF、AC，問圖中是否存在非全等的相似三角形？請證明你的結(jié)論。二、如何應(yīng)用相似三角形證明比例式和乘積式例5、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延長線上截取BE，使AD=BE，求證：DFAC=BCFE例6：已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中點(diǎn)，DM⊥BC于點(diǎn)E，交BA的延長線于點(diǎn)D。求證：（1）MA2=MDME；（2）例7：如圖△ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例8：已知：如圖E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點(diǎn)，且。求證：∠AEF=∠FBD例9、在平行四邊形ABCD內(nèi)，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線，求證：SQ∥AB，RP∥BC例10、已知A、C、E和B、F、D分別是∠O的兩邊上的點(diǎn)，且AB∥ED，BC∥FE，求證：AF∥CD例11、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，F(xiàn)G∥AC交AB于G，求證：FC=FG例12、Rt△ABC銳角C的平分線交AB于E，交斜邊上的高AD于O，過O引BC的平行線交AB于F，求證：AE=BF（答案）例1分析：關(guān)鍵在找“角相等”，除已知條件中已明確給出的以外，還應(yīng)結(jié)合具體的圖形，利用公共角、對頂角及由平行線產(chǎn)生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。再∠1=∠2（對頂角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。例2分析：證明相似三角形應(yīng)先找相等的角，顯然∠C是公共角，而另一組相等的角則可以通過計(jì)算來求得。借助于計(jì)算也是一種常用的方法。證明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，則∠DBC=36°在△ABC和△BCD中，∠C為公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD例3分析：由已知條件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC，要證的△DBE和△ABC，有一對角相等，要證兩個(gè)三角形相似，或者再找一對角相等，或者找夾這個(gè)角的兩邊對應(yīng)成比例。從已知條件中可看到△CBE∽△ABD，這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問題就可以得到解決。證明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD∴△CBE∽△ABD∴=即：=△DBE和△ABC中，∠CBE=∠ABD,∠DBC公用∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC∴∠DBE=∠ABC且=∴△DBE∽△ABC例4分析：本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢？下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：如圖：稱為“平行線型”的相似三角形(2)如圖：其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱為“相交線型”的相似三角形。(3)如圖：∠1=∠2，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線型”的相似三角形，及△EAF與△ECA解：設(shè)AB=a，則BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=，在△EAF與△ECA中，∠AEF為公共角，且所以△EAF∽△ECA例5分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行線性質(zhì)進(jìn)行證明：證明：過D點(diǎn)作DK∥AB，交BC于K，∵DK∥AB，∴DF：FE=BK：BE又∵AD=BE，∴DF：FE=BK：AD，而BK：AD=BC：AC即DF：FE=BC：AC，∴DFAC=BCFE例6證明：（1）∵∠BAC=900，M是BC的中點(diǎn)，∴MA=MC，∠1=∠C，∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=900-∠B，∴∠1=∠D，∵∠2=∠2，∴△MAE∽△MDA，∴，∴MA2=MDME，（2）∵△MAE∽△MDA，∴，∴評注：命題1如圖，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB2=ADAC。命題2如圖，如果AB2=ADAC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。例7分析：圖中沒有現(xiàn)成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構(gòu)造相似形。怎樣作？觀察要證明的結(jié)論，緊緊扣住結(jié)論中“AE：ED”的特征，作DG∥BA交CF于G，得△AEF∽△DEG，。與結(jié)論相比較，顯然問題轉(zhuǎn)化為證。證明：過D點(diǎn)作DG∥AB交FC于G則△AEF∽△DEG。（平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似）（1）∵D為BC的中點(diǎn)，且DG∥BF∴G為FC的中點(diǎn)則DG為△CBF的中位線，（2）將（2）代入（1）得：例8分析：要證角相等，一般來說可通過全等三角形、相似三角形，等邊對等角等方法來實(shí)現(xiàn)，本題要證的兩個(gè)角分別在兩個(gè)三角形中，可考慮用相似三角形來證，但要證的兩個(gè)角所在的三角形顯然不可能相似（一個(gè)在直角三角形中，另一個(gè)在斜三角形中），所以證明本題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，證明：作FG⊥BD，垂足為G。設(shè)AB=AD=3k則BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=∵∠ADB=450，∠FGD=900∴∠DFG=450∴DG=FG=∴BG=∴又∠A=∠FGB=900∴△AEF∽△GBF∴∠AEF=∠FBD例9分析：要證明兩線平行較多采用平行線的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。利用比例線段證明平行線最關(guān)鍵的一點(diǎn)就是要明確目標(biāo)，選擇適當(dāng)?shù)谋壤€段。要證明SQ∥AB，只需證明AR：AS=BR：DS。證明：在△ADS和△ARB中?！摺螪AR=∠RAB=∠DAB，∠DCP=∠PCB=∠ABC∴△ADS∽△ABR但△ADS≌△CBQ，∴DS=BQ，則，∴SQ∥AB，同理可證，RP∥BC例10分析：要證明AF∥CD，已知條件中有平行的條件，因而有好多的比例線段可供利用，這就要進(jìn)行正確的選擇。其實(shí)要證明AF∥CD，只要證明即可，因此只要找出與這四條線段相關(guān)的比例式再稍加處理即可成功。證明：∵AB∥ED，BC∥FE∴，∴兩式相乘可得：例11分析：要證明FC=FG，從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用比例線段來證明。要證明FC=FG，首先要找出與FC、FG相關(guān)的比例線段，圖中與FC、FG相關(guān)的比例式較多，則應(yīng)選擇與FC、FG都有聯(lián)系的比作為過渡，最終必須得到（“？”代表相同的線段或相等的線段），便可完成。證明：∵FG∥AC∥BE，∴△ABE∽△AGF則有而FC∥DE∴△AED∽△AFC則有∴又∵BE=DE（正方形的邊長相等）∴，即GF=CF。例12證明：∵CO平分∠C，∠2=∠3，故Rt△CAE∽Rt△CDO，∴又OF∥BC，∴又∵Rt△ABD∽Rt△CAD，∴，即∴AE=BF。一、選擇題1．（2009年濱州）如圖所示，給出下列條件：①；②；③；④．其中單獨(dú)能夠判定的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【關(guān)鍵詞】三角形相似的判定.【答案】C2.（2009年上海市)如圖，已知，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【關(guān)鍵詞】平行線分線段成比例【答案】A3.(2009成都)已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，則△ABC的面積與△DEF的面積之比為(A)1：2(B)1：4(C)2：1(D)4：1【關(guān)鍵詞】【答案】B4.(2009年安順)如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為2，DE是它的中位線，則下面四個(gè)結(jié)論：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面積與△CAB的面積之比為1：4.其中正確的有：A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【關(guān)鍵詞】等邊三角形，三角形中位線，相似三角形【答案】D5.（2009重慶綦江）若△ABC∽△DEF,△ABC與△DEF的相似比為１∶2，則△ABC與△DEF的周長比為（）A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．１∶【關(guān)鍵詞】【答案】B6.（2009年杭州市）如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個(gè)與它相似的直角三角形