2024新高考新題型數(shù)學(xué)信息必刷押題卷信息必刷卷02（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages2222頁絕密★啟用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新題型）02數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）隨著九省聯(lián)考的結(jié)束，全國(guó)陸續(xù)有多個(gè)省份宣布在2024年的高考數(shù)學(xué)中將采用新題型模式。新的試題模式與原模式相比變化較大，考試題型為8（單選題）＋3（多選題）＋3（填空題）＋5（解答題），其中單選題的題量不變，多選題、填空題、解答題各減少1題，多選題由原來的0分、2分、5分三種得分變?yōu)椤安糠诌x對(duì)得部分分，滿分為6分”，填空題每題仍為5分，總分15分，解答題變?yōu)?題，分值依次為13分、15分、15分、17分、17分。新的試題模式與原模式相比，各個(gè)題目的考查內(nèi)容、排列順序進(jìn)行了大幅度的調(diào)整。多年不變的集合題從單選題的第1題變?yōu)樘羁疹}，且以往壓軸的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題在測(cè)試卷中安排在解答題的第1題，難度大幅度降低；概率與統(tǒng)計(jì)試題也降低了難度，安排在解答題的第2題；在壓軸題安排了新情境試題。這些變化對(duì)于打破學(xué)生機(jī)械應(yīng)試的套路模式，對(duì)促使學(xué)生全面掌握主干知識(shí)、提升基本能力具有積極的導(dǎo)向作用。九省聯(lián)考新模式的變化，不僅僅體現(xiàn)在題目個(gè)數(shù)與分值的變化上，其最大的變換在于命題方向與理念的變化，與以往的試題比較，試題的數(shù)學(xué)味更濃了，試卷沒有太多的廢話，也沒有強(qiáng)加所謂的情景，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，特別是最后一道大題，題目給出定義，讓考生推導(dǎo)性質(zhì)，考查考生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)探索能力，這就要求考生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要注重定理、公式的推導(dǎo)證明，才能培養(yǎng)數(shù)學(xué)解決這類問題的思維素養(yǎng)。試卷的命制體現(xiàn)“多想少算”的理念，從重考查知識(shí)回憶向重考查思維過程轉(zhuǎn)變，試卷題目的設(shè)置層次遞進(jìn)有序，難度結(jié)構(gòu)合理，中低難度的題目平和清新，重點(diǎn)突出；高難度的題目不偏不怪，中規(guī)中矩，體現(xiàn)了良好的區(qū)分性，可有效的引導(dǎo)考生在學(xué)習(xí)過程中從小處著手，掌握基本概念和常規(guī)計(jì)算；從大處著眼，建構(gòu)高中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．的展開式中的系數(shù)為，則（）A. B.2 C.4 D.【答案】D【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為（其中且），令可得，所以，解得.故選：D2．設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，故，即，解得，故.故選：B3．某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)男子100m決賽中，八名選手的成績(jī)（單位：）分別為：，，，，，，，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若該八名選手成績(jī)的第百分位數(shù)為，則B．若該八名選手成績(jī)的眾數(shù)僅為，則C．若該八名選手成績(jī)的極差為，則D．若該八名選手成績(jī)的平均數(shù)為，則【答案】A【解析】對(duì)A,因?yàn)?，?dāng),八名選手成績(jī)從小到大排序，故該八名選手成績(jī)的第百分位數(shù)為，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)B,由眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，B正確；對(duì)C,當(dāng)，極差為，不符合題意舍去；當(dāng)，極差為，符合題意當(dāng)，極差為不符合題意舍去，綜上，，C正確；對(duì)D,平均數(shù)為解得，故D正確.故選：A4.在中，，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，，，，由余弦定理可得，解得，所以，故選：D5．已知，則（

）A．0 B． C． D．1【答案】A【解析】已知，則，，，，則，，則.故選：A.6．第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，為了弘揚(yáng)“奉獻(xiàn)，友愛，互助，進(jìn)步”的志愿服務(wù)精神，5名大學(xué)生將前往3個(gè)場(chǎng)館開展志愿服務(wù)工作．若要求每個(gè)場(chǎng)館都要有志愿者，則當(dāng)甲不去場(chǎng)館時(shí)，場(chǎng)館僅有2名志愿者的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】不考慮甲是否去場(chǎng)館，所有志愿者分配方案總數(shù)為，甲去場(chǎng)館的概率相等，所以甲去場(chǎng)館或的總數(shù)為，甲不去場(chǎng)館，分兩種情況討論，情形一，甲去場(chǎng)館，場(chǎng)館有兩名志愿者共有種；情形二，甲去場(chǎng)館，場(chǎng)館場(chǎng)館均有兩人共有種，場(chǎng)館場(chǎng)館均有兩人共有種，所以甲不去場(chǎng)館時(shí)，場(chǎng)館僅有2名志愿者的概率為.故選：B．7．在平行四邊形中，，，，分別為，的中點(diǎn)，將沿直線折起，構(gòu)成如圖所示的四棱錐，為的中點(diǎn)，則下列說法不正確的是（

）A．平面平面B．四棱錐體積的最大值為C．無論如何折疊都無法滿足D．三棱錐表面積的最大值為【答案】C【解析】選項(xiàng)A，平行四邊形,所以，又,分別為中點(diǎn)，所以,即四邊形為平行四邊，所以,又平面,平面,所以平面，又是中點(diǎn)，所以,又平面,平面,所以平面,又,平面,所以平面平面，故A正確；選項(xiàng)B，當(dāng)平面平面,四棱錐的體積最大，因?yàn)?，所以最大值?故B正確；選項(xiàng)C，根據(jù)題意可得,只要,,平面,所以平面，即,故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，當(dāng),根據(jù)對(duì)稱性可得,此時(shí)的面積最大，因此三棱錐表面積最大，最大值為,選項(xiàng)D正確.故選：C8．曲線是平面內(nèi)與三個(gè)定點(diǎn)，和的距離的和等于的點(diǎn)的軌跡.給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線關(guān)于軸、軸均對(duì)稱；②曲線上存在點(diǎn)，使得；③若點(diǎn)在曲線上，則的面積最大值是1；④曲線上存在點(diǎn)，使得為鈍角.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．②③④ B．②③ C．③④ D．①②③④【答案】C【解析】設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，由題意可知的方程為.①錯(cuò)誤，在此方程中用取代，方程不變，可知關(guān)于軸對(duì)稱；同理用取代，方程改變，可知不關(guān)于軸對(duì)稱，故①錯(cuò)誤.②錯(cuò)誤，若，則曲線不存在，故②錯(cuò)誤.③正確，P應(yīng)該在橢圓D：內(nèi)（含邊界），曲線與橢圓D有唯一的公共點(diǎn)，此時(shí)當(dāng)點(diǎn)P為點(diǎn)時(shí)，的面積最大，最大值是1，故③正確；④正確，由③可知，取曲線上點(diǎn)，此時(shí)，下面在曲線上再尋找一個(gè)特殊點(diǎn)，，則，把兩邊平方，整理得，解得，即或.因?yàn)?，則取點(diǎn)，此時(shí).故④正確．故答案為：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．最小正周期為B．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．將的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若在上的最大值為，則的最大值為【答案】AD【解析】，對(duì)于A：，A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，則分別取時(shí)對(duì)于的的值為函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)，只有個(gè)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故點(diǎn)不是的對(duì)稱中心，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由已知，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏系淖畲笾禐?，所以，解得，D正確.故選：AD.10．已知直線與圓交于點(diǎn)，點(diǎn)中點(diǎn)為，則（）A.的最小值為B.的最大值為4C.為定值D.存在定點(diǎn)，使得為定值【答案】ACD【解析】直線，即，故直線過定點(diǎn),且圓的圓心為，半徑為2,，故在圓內(nèi)，對(duì)于A，當(dāng)和直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，距離，此時(shí)最小，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，為圓的直徑，此時(shí)直線過圓心，方程無解，故直線不可能過圓心，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，聯(lián)立圓得，，此時(shí)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立圓，得，即，，，,,帶入得：，故為定值，故C正確；對(duì)于D，中點(diǎn)，故,且在上，所以,故是直角三角形，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，為定值，故D正確.故選：ACD11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若是奇函數(shù)，，且對(duì)任意，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)?，令得：，又因?yàn)?，所以，故A正確；因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，且為偶函數(shù).令，可得：①再用代替可得：②①②得：所以：，所以是周期為3的周期函數(shù)，所以：，故B正確.因?yàn)椋海?，所以：，所以：，故C錯(cuò)誤；又因?yàn)橐酁橹芷跒?的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，所以令，可得：，所以.所以：.故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．若復(fù)數(shù)，則【答案】【解析】，則，.13．已知三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c，當(dāng)時(shí)，且，則的取值范圍是．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)滿足：且，，即，進(jìn)而，解得．所以或，，令，，由于所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以故答案為：．14．已知棱長(zhǎng)為8的正四面體，沿著四個(gè)頂點(diǎn)的方向各切下一個(gè)棱長(zhǎng)為2的小正四面體（如圖），剩余中間部分的八面體可以裝入一個(gè)球形容器內(nèi)（容器壁厚度忽略不計(jì)），則該球形容器表面積的最小值為【答案】【解析】如圖：設(shè)為正四面體的外接球球心，為的中心,為的中心,為的中點(diǎn)，因?yàn)檎拿骟w棱長(zhǎng)為8，易得平面，易得，平面，平面，則，由正四面體外接球球心為，則在，則為外接球半徑，由得，解得，即,在正四面體中，易得，，所以，則該八面體的外接球半徑,所以該球形容器表面積的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，而，于是，即，所以的圖象在點(diǎn)處的切線方程是.（2）函數(shù)定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，由，得，令，求導(dǎo)得，令函數(shù)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.16．（15分）已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且其離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)已知與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求證：（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為定值.【解析】（1）∵拋物線的焦點(diǎn)為，∴橢圓的半焦距為，又，得，.∴橢圓的方程為（2）證明：由題意可知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得.，即，設(shè)，，則，，∴，∴.∴為定值

17．（15分）如圖，在正四棱臺(tái)中，.

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正切值為，求二面角的正弦值.【解析】（1）延長(zhǎng)交于一點(diǎn)P，連接BD交AC于O；

由正四棱臺(tái)定義可知，四條側(cè)棱交于點(diǎn)P，且四棱錐為正四棱錐，即，又點(diǎn)O分別為的中點(diǎn)，故，而，平面，故平面，又平面，故平面平面，即平面平面；（2）由（1）知兩兩垂直，故分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)棱臺(tái)的高為h，則，又平面的法向量可取為，而，由題意知直線與平面所成角的正切值為，則其正弦值為，則，解得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，而二面角范圍為，故二面角的正弦值為.18.（17分）某學(xué)校有甲、乙、丙三家餐廳，分布在生活區(qū)的南北兩個(gè)區(qū)域，其中甲、乙餐廳在南區(qū)，丙餐廳在北區(qū)各餐廳菜品豐富多樣，可以滿足學(xué)生的不同口味和需求．（1）現(xiàn)在對(duì)學(xué)生性別與在南北兩個(gè)區(qū)域就餐的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到下表所示的抽樣數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為在不同區(qū)域就餐與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián)？性別就餐區(qū)域合計(jì)南區(qū)北區(qū)男331043女38745合計(jì)711788（2）張同學(xué)選擇餐廳就餐時(shí)，如果前一天在甲餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為；如果前一天在乙餐廳，那么后一天去甲，丙餐廳的概率分別為，；如果前一天在丙餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為．張同學(xué)第1天就餐時(shí)選擇甲，乙，丙餐廳的概率分別為，，．（?。┣蟮?天他去乙餐廳用餐的概率；（ⅱ）求第天他去甲餐廳用餐的概率．附：；0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635【解析】（1）依據(jù)表中數(shù)據(jù)，，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為在不同區(qū)域就餐與學(xué)生性別沒有關(guān)聯(lián)．（2）設(shè)“第天去甲餐廳用餐”，“第天去乙餐廳用餐”，“第天去丙餐廳用餐”，則兩兩獨(dú)立，．根據(jù)題意得，．（?。┯桑Y(jié)合全概率公式，得，因此，張同學(xué)第2天去乙餐廳用餐的概率為．（ⅱ）記第天他去甲，乙，丙餐廳用餐的概率分別為，則，由全概率公式，得故①同理②③④由①②，，由④，，代入②，得：，即，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即，所以于是，當(dāng)時(shí)綜上所述：19．（17分）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：對(duì)于任意的，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)；（直接寫出結(jié)論）（2）已知函數(shù)，判斷是否存在，使函數(shù)具有性質(zhì)？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；（3）設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，且在區(qū)間上的值域?yàn)?函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).求證：.【解析】（1）因?yàn)椋瑒t，又，所以，故函數(shù)具有性質(zhì)；因?yàn)?，則，又，，故不具有性質(zhì).（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，則，即，因?yàn)?，所以，所以；?/p>