專升本高等數(shù)學(xué)二(多元函數(shù)微分學(xué))模擬試卷1(題后含答案及解析)

專升本高等數(shù)學(xué)二（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷1(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題1．函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在是它在該點(diǎn)處可微的()A．充分條件B．必要條件C．充要條件D．無關(guān)條件正確答案：B解析：對于多元函數(shù)，可微必可偏導(dǎo)，而可偏導(dǎo)不一定可微，故可偏導(dǎo)是可微的必要條件．知識(shí)模塊：多元函數(shù)積分學(xué)2．設(shè)函數(shù)f(x，y)=xy+(x一1)tan，則fy(1，0)=()A．0B．1C．2D．不存在正確答案：B解析：因f(1，y)=y，故fy(1，0)=f’(1，y)｜y=0=1．知識(shí)模塊：多元函數(shù)積分學(xué)3．設(shè)二元函數(shù)z=x2y+xsiny，則=()A．2xy+sinyB．x2+xcosyC．2xy+xsinyD．x2y+siny正確答案：A解析：因?yàn)閦=x2y+xsiny，所以=2xy+siny．知識(shí)模塊：多元函數(shù)積分學(xué)4．設(shè)函數(shù)z=xy2+=()A．0B．1C．2D．一1正確答案：C解析：因z=xy2+，從而z｜(x，1)=x+ex，于是=1+e0=2．知識(shí)模塊：多元函數(shù)積分學(xué)5．設(shè)z=ln(x3+y3)，則dz｜(1，1)=()A．dx+dyB．(dx+dy)C．(dx＋dy)D．2(dx+dy)正確答案：C解析：，還可由一階全微分形式不變性得dz=(3x2dx＋3y2dy)，所以dz｜(1，1)=(dx＋dy)．知識(shí)模塊：多元函數(shù)積分學(xué)6．設(shè)f(x，y)在點(diǎn)(a，b)處有偏導(dǎo)數(shù)，則=()A．0B．2fx(a，b)C．fx(a，b)D．fy(a，b)正確答案：B解析：=fx(a，b)＋fx(a，b)=2fx(a，b)．知識(shí)模塊：多元函數(shù)積分學(xué)7．在曲線x=t，y=一t2，z=t3的所有切線中，與平面x+2y+z=4平行的切線()A．只有1條B．只有2條C．至少有3條D．不存在正確答案：B解析：對應(yīng)于t0處曲線切線的方向向量為τ=(1，一2t0，3t02)，該切線與平面x+2y+z=4平行τ與該平面的法向量n=(1，2，1)垂直t0=1或t0=，所以τ=(1，一2，3)或τ=，故只有兩條，答案選B．知識(shí)模塊：多元函數(shù)積分學(xué)8．函數(shù)z=x3+y3一6xy的駐點(diǎn)為()A．(0，0)和(1，1)B．(k，k)k∈RC．(0，0)和(2，2)D．無窮多個(gè)正確答案：C解析：=3x2－6y，=3y2－6x，解得x=2，y=2或x=0，y=0．知識(shí)模塊：多元函數(shù)積分學(xué)9．二元函數(shù)z=x3一y3+3x2+3y2一9x的極小值點(diǎn)為()A．(1，0)B．(1，2)C．(一3，0)D．(一3，2)正確答案：A解析：因z=x3一y3+3x2+3y2一9x，于是得駐點(diǎn)(－3，0)，(－3，2)，(1，0)，(1，2)．對于點(diǎn)(一3，0)，A=一18+6=一12，B=0，C=6，B2一AC=72＞0，故此點(diǎn)不是極值點(diǎn)．對于點(diǎn)(－3，2)，A=一12，B=0，C=一12+6=一6，B2一AC=一72＜0，故此點(diǎn)為極大值點(diǎn)．對于點(diǎn)(1，0)，A=12，B=0，C=6，B2一AC=一72＜0，故此點(diǎn)為極小值點(diǎn)．對于點(diǎn)(1，2)，A=12，B=0，C=一6，B2一AC=72＞0，故此點(diǎn)不是極值點(diǎn)．知識(shí)模塊：多元函數(shù)積分學(xué)10．設(shè)z=x3一3x—y，則它在點(diǎn)(1，0)處()A．取得極大值B．取得極小值C．無極值D．無法判定正確答案：C解析：=一1≠0，顯然點(diǎn)(1，0)不是駐點(diǎn)，故在此處無極值．知識(shí)模塊：多元函數(shù)積分學(xué)填空題11．設(shè)f(x，y)=ln(y+)，則fy(1，1)=_________．正確答案：解析：f(x，y)=．令x=1，y=1，得fy(1，1)=．也可將x=1代入f中得f(1，y)=ln(y＋)，再求fy，然后令y=1就得所要求的結(jié)果．知識(shí)模塊：多元函數(shù)積分學(xué)12．設(shè)f(x，y)=f(x，y)=_________．正確答案：解析：因?yàn)?1，0)是f(x，y)定義域內(nèi)的點(diǎn)，所以f(x，y)在(1，0)連續(xù)，故．知識(shí)模塊：多元函數(shù)積分學(xué)13．設(shè)函數(shù)z=3x+y2，則dz=________．正確答案：3dx+2ydy解析：因?yàn)閦=3x+y2，所以=2y，則dz=3dx+2ydy．知識(shí)模塊：多元函數(shù)積分學(xué)14．設(shè)z=f(x2+y2，)可微，則=________．正確答案：2yf1’－f2’解析：=f1’．2y+．知識(shí)模塊：多元函數(shù)積分學(xué)15．設(shè)μ=x3+2y2+xy，x=sint，y=et，則=________．正確答案：5解析：=(3x2+y)．cost+(4y+x)et，當(dāng)t=0時(shí)，x=0，y=1，故=1+4=5．知識(shí)模塊：多元函數(shù)積分學(xué)16．設(shè)z==________．正確答案：解析：由z=．知識(shí)模塊：多元函數(shù)積分學(xué)17．曲線x=2t2+7t，y=4t一2，z=5t2+4t在點(diǎn)(一5，一6，1)處的切線方程為_______．正確答案：解析：點(diǎn)(一5，一6，1)對應(yīng)的t值為t=一1，則切線的方向向量為(x’(t)，y’(t)，z’(t))｜t=－1=(4t+7，4，10t+4)｜t=－1=(3，4，一6)，故切線方程為．知識(shí)模塊：多元函數(shù)積分學(xué)18．函數(shù)z=xy(9一x—y)的極值點(diǎn)是_________．正確答案：(3，3)解析：=y(9一x－y)一xy，=x(9一x－y)一xy，對于點(diǎn)(0，0)，A=0，B=9，C=0，△=81＞0，不是極值點(diǎn)；對于點(diǎn)(9，0)，A=0，B=一9，C=一18，△=81＞0，不是極值點(diǎn)；對于點(diǎn)(0，9)，A=一18，B=一9，C=0，△=81＞0，不是極值點(diǎn)；對于點(diǎn)(3，3)，A=一6，B=一3，C=一6，△=一27＜0，A＜0，故為極大值點(diǎn)．知識(shí)模塊：多元函數(shù)積分學(xué)解答題19．設(shè)f(x+y，)=x2一y2(x≠0)，求f(x，y)．正確答案：f(x+y，)=(x—y)(x+y)=(x+y)2．故f(x，y)=x2(y≠一1)．涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)積分學(xué)20．計(jì)算極限．正確答案：因?yàn)閤→0，y→0時(shí)，(x+y)→0，≤1，所以=0．涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)積分學(xué)21．設(shè)z=．正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)積分學(xué)22．設(shè)z=，求dz．正確答案：所以dz=[(3x2+y2)dx+2xydy]．也可用一階全微分的形式不變性解為涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)積分學(xué)23．z=f(x，ex，sinx)，求．正確答案：令μ=ex，ν=sinx，則z=f(x，μ，ν)，于是涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)積分學(xué)24．設(shè)z=x3f(xy，)，f具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求．正確答案：=x4f1’+x2f2’，=x4(xf11’’+f12’’)+x2(xf21’’+f22’’)=x5f11’’+2x3f12’’+xf22’’，=4x3f1’+x4(yf11’’一f12’’)+2xf2’+x2(yf12’’一f22’’)=4x3f1’+2xf2’+x4yf11’一yf22’’．涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)積分學(xué)設(shè)函數(shù)f(μ)在(0，+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且z=滿足等式=0．25．驗(yàn)證f’’(μ)+=0；正確答案：求二元復(fù)合函數(shù)z=的二階偏導(dǎo)數(shù)中必然包含f’(μ)及f’’(μ)，將的表達(dá)式代入等式=0中，就能找出f’(μ)與f’’(μ)的關(guān)系式，由題意可知μ=，則涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)積分學(xué)26．若f(1)=0，f’(1)=1，求函數(shù)f(μ)的表達(dá)式．正確答案：在方程f’’(μ)+=0中，令f’(μ)=g(μ)，則f’’(μ)=g’(μ)，方程變?yōu)間’(μ)+=0，這是可分離變量微分方程，解得g(μ)=，即f’(μ)=，由初始條件f’(1)=1C1=1，所以f’(μ)=，兩邊積分得f(μ)=lnμ+C2，由初始條件f(1)=0C2=0，所以f(μ)=lnμ．涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)積分學(xué)27．設(shè)x是x，y的函數(shù)，且xy=xf(z)+yφ(z)，xf’(z)+yφ’(z)≠0，證明：[x一φ(z)]=[y一f(z)]．正確答案：令F(x，y，z)=xy—xf(z)一yφ(z)，則Fx=y一f(z)，F(xiàn)y=x一φ(z)，F(xiàn)z=一xf’(z)一yφ’(z)，涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)積分學(xué)28．設(shè)z=+(x一1)ylnx，其中f是任意的二次可微函數(shù)，求證：x2=(x+1)y．正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)積分學(xué)29．求曲線，z=t2過點(diǎn)(，2，1)的切線方程及法平面方程·正確答案：x’(t)=，y’(t)=，z’(t)=2t．該點(diǎn)為t=1時(shí)的對應(yīng)點(diǎn)，所以過該點(diǎn)切線方程的方向向量為s=(，一1，2、)．所求切線方程為：．法平面方程為：一(y一2)+2(z一1)=0，即2x一8y+16z一1=0．涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)積分學(xué)30．求空間曲線：x=∫0teμcosμdμ，y=2sint+cost，z=1+e3t在t=0處的切線方程和法平面方程．正確答案：當(dāng)t=0時(shí)，x=0，y=1，z=2，x’=etcost，y’=2cost—sint，z’=3e3t，則x’(0)=1，y’(0)=2，z’(0)=3，于是，切線方程為：，法平面方程為：x+2(y一1)+3(z一2)=0，即x+2y+3z一8=0．涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)積分學(xué)31．求曲面z=+y2平行于平面2x+2y—z=0的切平面方程．正確答案：設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0,z0)，曲面z=+y2在P點(diǎn)的法向量為(x0，2y0，一1)，所給平面的法向量為(2，2，一1)，由題設(shè)條件有+y02，由此得切點(diǎn)坐標(biāo)為x0=2，y0=1，z0=3．于是所求切平面方程為2(x一2)+2(y一1)一(z一3)=0，即2x+2y—z一3=0．涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)積分學(xué)32．求函數(shù)f(x，y)=e2x(x+y2+2y)的極值．正確答案：=2e2x(x+y2+2y)+e2x=e2x(1+2x+2y2+4y)，=e2x(2y+2)=2e2x(y+1)，而=2e2x(1+2x+4y+2y2)+2e2x=e2x(4+4x+8y+4y2)，=4e2x(y+1)，所以點(diǎn)=2e．因此f(x，y)在點(diǎn)(，一1)處△=一4e2＜0，且A＞0，故f(x，y)在點(diǎn)(，一1)取得極小值，且極小值為e．涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)積分學(xué)33．某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品需兩種原料A、B，且產(chǎn)品的產(chǎn)量z與所需A原料數(shù)x及B原料數(shù)y的關(guān)系式為：z=x2+8xy+7y2．已知A原料的單價(jià)為1萬元／噸，B原料的單價(jià)為2萬元／噸．現(xiàn)有100萬元，如何購