2第二章-2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型

自動控制理論電子教研室主要內(nèi)容：第一講、

時域數(shù)學(xué)模型第二講、復(fù)域數(shù)學(xué)模型第三講、方框圖與信號流圖第二章、控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章、控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型本章要求：

一、了解控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立方法及數(shù)學(xué)

模型的表示形式。

二、掌握控制系統(tǒng)時域、復(fù)域數(shù)學(xué)模型的建立

及其相互轉(zhuǎn)換。

三、熟練掌握方框圖繪制和簡化，信號流圖的

繪制和梅遜公式的應(yīng)用。時域模型：線性常微分方程微分方程是在時域中描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定外作用和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。缺點：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化時分析較麻煩。內(nèi)容回顧設(shè)r(t)和c(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值均為零，則對上式中各項分別求拉氏變換，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代數(shù)方程為：拉氏變換解方程內(nèi)容回顧

初始條件為零時，線性定常系統(tǒng)或元件輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換的比值，稱為該系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)。1、傳遞函數(shù):第二節(jié)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型一、傳遞函數(shù)的概念和性質(zhì)輸入量是在t≥0時才作用于系統(tǒng)，因此，在t=0-時，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為零；輸入量加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0-時的值也為零。例1、試求RC無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)uo(s)/ui(s)一、傳遞函數(shù)的概念和性質(zhì)解答：RC網(wǎng)絡(luò)的微分方程表示為R1R2C1C2UiUo

在零初始條件下，對上述方程中各項求拉氏變換，可得s的代數(shù)方程為：由傳遞函數(shù)定義，得網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)為：一、傳遞函數(shù)的概念和性質(zhì)2、傳遞函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1

傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，m≤n，具有復(fù)變量函數(shù)的所有性質(zhì)。性質(zhì)2傳遞函數(shù)是一種用系統(tǒng)參數(shù)表示輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達式。它只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或元件的參數(shù)，而與輸入量的形式無關(guān)，也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息。一、傳遞函數(shù)的概念和性質(zhì)G(s)C(s)R(s)

性質(zhì)3

傳遞函數(shù)與微分方程有相通性。傳遞函數(shù)分子多項式系數(shù)及分母多項式系數(shù)，分別與相應(yīng)微分方程的右端及左端微分算符多項式系數(shù)相對應(yīng)。例如：由傳遞函數(shù)可得s的代數(shù)方程一、傳遞函數(shù)的概念和性質(zhì)tr(t)用微分算符置換s，便得到相應(yīng)的微分方程性質(zhì)4傳遞函數(shù)G（s）的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g（t）

脈沖函數(shù)：r(t)=0t<0,t>εA/ε0<t<ε∞0<t<ε0t<0,t>εδ(t)=limr(t)ε→0當(dāng)A=1時A—脈沖面積（脈沖強度）一、傳遞函數(shù)的概念和性質(zhì)脈沖響應(yīng)（又稱脈沖過渡函數(shù)）c(t)是系統(tǒng)在單位脈沖輸入時的輸出響應(yīng)。即：傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換g(t)是脈沖響應(yīng)c(t)

一、傳遞函數(shù)的概念和性質(zhì)1、傳遞函數(shù)的零極點表達式二、傳遞函數(shù)的表達式Zi

(i=1,2,…,m)是分子多項式的根，稱為傳遞函數(shù)的零點pj

(j=1,2,…,n)是分母多項式的根，稱為傳遞函數(shù)的極點K=b0/a0

稱為傳遞函數(shù)的傳遞系數(shù)（根軌跡增益）*j

0

傳遞函數(shù)的零極分布圖z1

p1

×

×

p2

×

p3

z2

極點零點為了更直觀、更形象地反映系統(tǒng)地全面特性，在復(fù)平面上表示傳遞函數(shù)的零點和極點的圖形，稱為傳遞函數(shù)的零極點分布圖。二、傳遞函數(shù)的表達式2、傳遞函數(shù)的時間常數(shù)表達式二、傳遞函數(shù)的表達式注意：一次因子對應(yīng)于實數(shù)零極點τi

和

Tj

稱為時間常數(shù)二次因子對應(yīng)于共軛復(fù)數(shù)零極點K=bm/an=KΠ(-Zi)/Π(-Pj)

稱傳遞系數(shù)或增益*1、線性性質(zhì)三、拉普拉斯變換的重要性質(zhì)設(shè)f1(t)的拉普拉斯變換為F1(s)，記為

f2(t)的拉普拉斯變換為F2(s)，記為則有：2、平移性質(zhì)設(shè)f

(t)的拉普拉斯變換為F

(s)，記為則有：3、微分性質(zhì)三、拉普拉斯變換的重要性質(zhì)設(shè)f

(t)的拉普拉斯變換為F

(s)，記為則有：4、積分性質(zhì)三、拉普拉斯變換的重要性質(zhì)設(shè)f

(t)的拉普拉斯變換為F

(s)，記為則有：其中5、初值定理三、拉普拉斯變換的重要性質(zhì)若f(t)及df(t)/dt的拉氏變換存在，則有：☆☆☆6、終值定理若f(t)及df(t)/dt的拉氏變換存在，則有：序號原函數(shù)象函數(shù)12345611序號原函數(shù)象函數(shù)7891011序號原函數(shù)象函數(shù)1213比例環(huán)節(jié)四、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)慣性環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)

任何一個復(fù)雜系統(tǒng)都是由有限個典型環(huán)節(jié)組合而成的。典型環(huán)節(jié)通常分為以下七種：延遲（純遲后）環(huán)節(jié)微分方程c(t)=Kr(t)傳遞函數(shù)G(s)=K式中K-增益特點：輸入輸出量成比例，無失真和時間延遲。實例：杠桿、電子放大器，齒輪，電阻（電位器），感應(yīng)式變送器等。四、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)1、比例環(huán)節(jié)微分方程Tdc(t)/dt+c(t)=r(t)傳遞函數(shù)G(s)=1/(Ts+1)式中T-時間常數(shù)特點：含一個儲能元件，對突變的輸入其輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，輸出無振蕩。實例：RC網(wǎng)絡(luò)，直流伺服電動機的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)。四、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)2、慣性環(huán)節(jié)3、積分環(huán)節(jié)微分方程Tdc(t)/dt=r(t)傳遞函數(shù)G(s)=1/Ts特點：輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸入消失，輸出具有記憶功能。實例：集成運放的積分運算，電動機角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模擬計算機中的積分器等。四、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)微分方程c(t)=Tdr(t)/dt傳遞函數(shù)G(s)=Ts特點：輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸入信號的變化趨勢。實例：集成運放的微分運算，測速發(fā)電機輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)。4、理想微分環(huán)節(jié)四、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)微分方程c(t)=Tdr(t)/dt+r(t)傳遞函數(shù)G(s)=Ts+1特點：輸出量既包含與輸入量成正比的量，又包含輸入信號的變化趨勢。實例：集成運放的比例微分運算等。5、一階微分環(huán)節(jié)（或稱比例微分環(huán)節(jié)）四、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)6、振蕩環(huán)節(jié)微分方程傳遞函數(shù)式中ξ－阻尼比(0≤ξ

<1)T=1/ωn

ωn-自然振蕩角頻率（無阻尼振蕩角頻率）特點：環(huán)節(jié)中有兩個獨立的儲能元件，并可進行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。實例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。四、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)7、延遲（純遲后）環(huán)節(jié)微分方程c(t)=r(t

-τ)傳遞函數(shù)

G(s)=e-τs

式中τ－