高考數(shù)學一輪復習第一章集合與常用邏輯用語第二節(jié)命題及其關(guān)系充分條件與必要條件學案理（含解析）新人教A版

第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件2019考綱考題考情1．命題(1)命題的概念用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題。其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題。(2)四種命題及相互關(guān)系(3)四種命題的真假關(guān)系①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；②兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系。2．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qDeq\o(?,/)pp是q的必要不充分條件pDeq\o(?,/)q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件pDeq\o(?,/)q且qDeq\o(?,/)p1．否命題與命題的否定：否命題是既否定條件，又否定結(jié)論，而命題的否定是只否定命題的結(jié)論。2．區(qū)別A是B的充分不必要條件(A?B且BD?/A)，與A的充分不必要條件是B(B?A且AD?/B)兩者的不同。3．A是B的充分不必要條件?綈B是綈A的充分不必要條件。4．充要關(guān)系與集合的子集之間的關(guān)系，設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件。(2)若AB，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件。(3)若A＝B，則p是q的充要條件。一、走進教材1．(選修1－1P8A組T2改編)命題“若x2>y2，則x>yA．“若x<y，則x2<y2” B．“若x>y，則x2>yC．“若x≤y，則x2≤y2” D．“若x≥y，則x2≥y解析根據(jù)原命題和逆否命題的條件和結(jié)論的關(guān)系得命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是“若x≤y，則x2≤y2”答案C2．(選修1－1P10練習T3(2)改編)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析若x＝1，則(x－1)(x＋2)＝0顯然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，則x的值也可能為－2。故選B。答案B二、走近高考3．(2018·天津高考)設(shè)x∈R，則“x3>8”是“|x|>2”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析由x3>8可得x>2，由|x|>2可得x>2或x<－2。故“x3>8”是“|x|>2”的充分而不必要條件。故選A。答案A4．(2018·北京高考)設(shè)a，b，c，d是非零實數(shù)，則“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析a，b，c，d是非零實數(shù)，若ad＝bc，則eq\f(b,a)＝eq\f(d,c)，此時a，b，c，d不一定成等比數(shù)列；反之，若a，b，c，d成等比數(shù)列，則eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，所以ad＝bc，所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的必要而不充分條件，故選B。答案B三、走出誤區(qū)微提醒：①對“p∧q”的否定出錯；②分類討論不全面；③充分條件與必要條件的判定出錯。5．命題“若a2＋b2＝0，a，b∈R，則a＝b＝0”的逆否命題是____________。解析“若p，則q”的逆否命題為“若綈q，則綈p”，又a＝b＝0的實質(zhì)為a＝0且b＝0，故其否定為a≠0或b≠0。答案若a≠0或b≠0，a，b∈R，則a2＋b2≠06．若命題“ax2－2ax－3≤0成立”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________。解析由已知可得ax2－2ax－3≤0恒成立。當a＝0時，－3≤0恒成立；當a≠0時，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝4a2＋12a≤0，))解得－3≤a<0。故－3≤a≤0。答案[－3,0]7．“a＝0”是“函數(shù)f(x)＝sinx－eq\f(1,x)＋a為奇函數(shù)”的________條件。解析顯然a＝0時，f(x)＝sinx－eq\f(1,x)為奇函數(shù)；當f(x)為奇函數(shù)時，f(－x)＋f(x)＝0。又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－eq\f(1,－x)＋a＋sinx－eq\f(1,x)＋a＝0。因此2a＝0，故a＝0。所以“a＝0”是“函數(shù)f(x)＝sinx－eq\f(1,x)＋a為奇函數(shù)”的充要條件。答案充要考點一四種命題及其關(guān)系【例1】(1)(2019·西安八校聯(lián)考)已知命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”，命題q：“若a不是正數(shù)，則它的平方等于0”，則q是p的()A．逆命題 B．否命題C．逆否命題 D．否定(2)原命題為“若eq\f(an＋an＋1,2)<an，n∈N*，則{an}為遞減數(shù)列”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是()A．真，真，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假解析(1)命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”可寫成“若a是正數(shù)，則它的平方不等于0”，從而q是p的否命題。(2)原命題即“若an＋1<an，n∈N*，則{an}為遞減數(shù)列”為真命題，則其逆否命題為真，逆命題是：“若{an}為遞減數(shù)列，n∈N*，則an＋1<an”為真命題，所以否命題也為真命題。答案(1)B(2)A1．寫一個命題的其他三種命題時，需注意：(1)對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；(2)若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提。2．(1)判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題是假命題，只需舉出反例；(2)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當一個命題直接判斷不易時，可間接判斷。【變式訓練】(1)(2019·武漢模擬)對于原命題“正弦函數(shù)不是分段函數(shù)”，下列敘述正確的是()A．否命題是“正弦函數(shù)是分段函數(shù)”B．逆命題是“分段函數(shù)不是正弦函數(shù)”C．逆否命題是“分段函數(shù)是正弦函數(shù)”D．以上都不正確(2)設(shè)原命題：若a＋b≥2，則a，b中至少有一個不小于1，則原命題與其逆命題的真假情況是()A．原命題真，逆命題假B．原命題假，逆命題真C．原命題與逆命題均為真命題D．原命題與逆命題均為假命題解析(1)原命題可寫成“若一個函數(shù)是正弦函數(shù)，則該函數(shù)不是分段函數(shù)”，否命題為“若一個函數(shù)不是正弦函數(shù)，則該函數(shù)是分段函數(shù)”，逆命題為“若一個函數(shù)不是分段函數(shù)，則該函數(shù)是正弦函數(shù)”，逆否命題為“若一個函數(shù)是分段函數(shù)，則該函數(shù)不是正弦函數(shù)”，可知A、B、C都是錯誤的。故選D。(2)可以考慮原命題的逆否命題，即a，b都小于1，則a＋b<2，顯然為真。其逆命題，即若a，b中至少有一個不小于1，則a＋b≥2為假，如a＝1.2，b＝0.2，則a＋b<2。故選A。答案(1)D(2)A考點二充分條件與必要條件的判定【例2】(1)(2019·成都市畢業(yè)班模擬)“φ＝－eq\f(π,4)”是“函數(shù)f(x)＝cos(3x－φ)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,4)對稱”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(2)已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(3)若集合A＝{x|x－x2>0}，B＝{x|(x＋1)(m－x)>0}，則“m>1”是“A∩B≠?”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,4)對稱，則eq\f(3π,4)－φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝eq\f(3π,4)－kπ，k∈Z，故“φ＝－eq\f(π,4)”是“函數(shù)f(x)＝cos(3x－φ)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,4)對稱”的充分不必要條件。故選A。(2)因為p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1。因為綈q?綈p，但綈pD?/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件。故選A。(3)化簡集合A＝{x|0<x<1}，若m>1，則B＝{x|－1<x<m}，此時A∩B≠?，反之，若A∩B≠?，則m>0，因(1，＋∞)?(0，＋∞)。故選A。答案(1)A(2)A(3)A充要條件的三種判斷方法1．定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷。2．集合法：根據(jù)使p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷。3．等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷。這個方法特別適合以否定形式給出的問題?！咀兪接柧殹?1)(2019·石家莊市質(zhì)量檢測)已知p：－1<x<2，q：log2x<1，則p是q成立的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≥－1，,ln－x，x<－1，))則“x＝0”是“f(x)＝1”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件(3)(2019·南昌調(diào)研)已知m，n為兩個非零向量，則“m與n共線”是“m·n＝|m·n|”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析(1)由log2x<1，解得0<x<2，所以p是q成立的必要不充分條件。故選B。(2)若x＝0，則f(0)＝e0＝1；若f(x)＝1，則ex＝1或ln(－x)＝1，解得x＝0或x＝－e。故“x＝0”是“f(x)＝1”的充分不必要條件。故選B。(3)當m與n反向時，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立。若m·n＝|m·n|，則m·n＝|m|·|n|cos〈m，n〉＝|m|·|n||cos〈m，n〉|，則cos〈m，n〉＝|cos〈m，n〉|，故cos〈m，n〉≥0，即0°≤〈m，n〉≤90°，此時m與n不一定共線，即必要性不成立。故“m與n共線”是“m·n＝|m·n|”的既不充分也不必要條件，故選D。答案(1)B(2)B(3)D考點三充分條件、必要條件的應用【例3】(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤1，,x－a，x>1，))則函數(shù)f(x)有兩個零點成立的充分不必要條件是a∈()A．[1,2] B．(1,2]C．(1,2) D．(0,1](2)已知集合A＝，B＝{x|log3(x＋a)≥1}，若x∈A是x∈B的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________。解析(1)因為函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤1，,x－a，x>1，))所以函數(shù)f(x)有兩個零點等價于函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤1，,x，x>1))的圖象與直線y＝a的圖象有兩個交點，繪制函數(shù)g(x)的圖象如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象可得1<a≤2，所以a∈(1,2)是函數(shù)f(x)有兩個零點成立的充分不必要條件。故選C。(2)由≤1，得x2－x－6≥0，解得x≤－2或x≥3，故A＝{x|x≤－2或x≥3}。由log3(x＋a)≥1，得x＋a≥3，即x≥3－a，故B＝{x|x≥3－a}。由題意可知BA，所以3－a≥3，解得a≤0。故實數(shù)a的取值范圍是(－∞，0]。答案(1)C(2)(－∞，0]根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍的思路方法1．解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解。2．求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象。【變式訓練】設(shè)集合P＝{t|數(shù)列{n2＋tn(n∈N*)}單調(diào)遞增}，集合Q＝{t|函數(shù)f(x)＝kx2＋tx在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，k≠0}，若t∈P是t∈Q的充分不必要條件，則實數(shù)k的最小值為________。解析因為數(shù)列{n2＋tn}(n∈N*)單調(diào)遞增，所以(n＋1)2＋t(n＋1)>n2＋tn，解得t>－2n－1，又n∈N*，所以t>－3。因為函數(shù)f(x)＝kx2＋tx(k≠0)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，且其圖象的對稱軸為直線x＝－eq\f(t,2k)，所以－eq\f(t,2k)≤1，且k>0，故t≥－2k，所以－2k≤－3，即k≥eq\f(3,2)，故實數(shù)k的最小值為eq\f(3,2)。答案eq\f(3,2)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(教師備用題))1．(配合例1使用)命題p：“若a≥b，則a＋b>2018且a>－b”的逆否命題是()A．若a＋b≤2018且a≤－b，則a<bB．若a＋b≤2018且a≤－b，則a>bC．若a＋b≤2018或a≤－b，則a<bD．若a＋b≤2018或a≤－b，則a>b解析根據(jù)逆否命題的寫法可得命題p：“若a≥b，則a＋b>2018且a>－b”的逆否命題是“若a＋b≤2018或a≤－b，則a<b”。故選C。答案C2．(配合例1使用)下列有關(guān)命題的說法正確的是()A．命題“若x2＝4，則x＝2”的否命題為“若x2＝4，則x≠2”B．命題“?x∈R，x2＋2x－1<0”的否定是“?x∈R，x2＋2x－1>0”C．命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”的逆否命題為假命題D．若“p∨q”為真命題，則p，q至少有一個為真命題解析一個命題的否命題是對命題的條件和結(jié)論同時否定，對于A，只否定了結(jié)論，未否定條件，故A項錯誤；對于B，命題“?x∈R，x2＋2x－1<0”的否定是“?x∈R，x2＋2x－1≥0”，故B項錯誤；對于C，命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”是真命題，所以該命題的逆否命題為真命題，故C項錯誤；對于D，若“p∨q”為真命題，則p，q至少有一個為真命題是正確的。故選D。答案D3．(配合例2使用)已知數(shù)列{an}，{bn}滿足