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文檔簡介
考點卡片
1.交集及其運算
【知識點的認識】
由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與8的交集,記作AAB.
符號語言:AnB^[x\x£A,且在即.
AAB實際理解為:x是A且是8中的相同的所有元素.
當兩個集合沒有公共元素時,兩個集合的交集是空集,而不能說兩個集合沒有交集.
運算形狀:
@ADB=Br\A.②AC0=0.③AClA=A.④ACBUA,AQB^B.(5)AnB=A<=>A£B.?A
C2=0,兩個集合沒有相同元素.⑦AC(CuA)=0.⑧Cu(Ans)=(CuA)U(CuB).
【解題方法點撥】解答交集問題,需要注意交集中:“且”與“所有”的理解.不能把“或”
與“且”混用;求交集的方法是:①有限集找相同;②無限集用數(shù)軸、韋恩圖.
【命題方向】掌握交集的表示法,會求兩個集合的交集.
命題通常以選擇題、填空題為主,也可以與函數(shù)的定義域,值域,函數(shù)的單調(diào)性、復合函數(shù)
的單調(diào)性等聯(lián)合命題.
2.函數(shù)的定義域及其求法
【知識點的認識】函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍.
求解函數(shù)定義域的常規(guī)方法:①分母不等于零;
②根式(開偶次方)被開方式》0;
③對數(shù)的真數(shù)大于零,以及對數(shù)底數(shù)大于零且不等于1;
④指數(shù)為零時,底數(shù)不為零.
⑤實際問題中函數(shù)的定義域;
【解題方法點撥】
求函數(shù)定義域,一般歸結為解不等式組或混合組.(1)當函數(shù)是由解析式給出時,其定義
域是使解析式有意義的自變量的取值集合.(2)當函數(shù)是由實際問題給出時,其定義域的確
定不僅要考慮解析式有意義,還要有實際意義(如長度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然
數(shù)等).(3)若一函數(shù)解析式是由幾個函數(shù)經(jīng)四則運算得到的,則函數(shù)定義域應是同時使這
幾個函數(shù)有意義的不等式組的解集.若函數(shù)定義域為空集,則函數(shù)不存在.(4)抽象函數(shù)的
定義域:①對在同一對應法則f下的量ax+a""x-/’所要滿足的范圍是一樣的;②
函數(shù)g(無)中的自變量是無,所以求g(x)的定義域應求g(X)中的X的范圍.
【命題方向】高考會考中多以小題形式出現(xiàn),也可以是大題中的一小題.
3.函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷
【知識點的認識】
一般地,設函數(shù)/(X)的定義域為I,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個
自變量XI,XI,
當X1<X2時,都有了(XI)</(X2),那么就說函數(shù)/(X)在區(qū)間。上是增函數(shù);當X1>X2
時,都有了(內(nèi))</(X2),那么就說函數(shù)/(X)在區(qū)間。上是減函數(shù).
若函數(shù)/(X)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),則稱函數(shù)/(X)在這一區(qū)間具有(嚴格
的)單調(diào)性,區(qū)間。叫做y=/(無)的單調(diào)區(qū)間.
【解題方法點撥】
證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟:①取值;②作差;③變形;④確定符號;⑤下結
論.
利用函數(shù)的導數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:
第一步:求函數(shù)的定義域.若題設中有對數(shù)函數(shù)一定先求定義域,若題設中有三次函數(shù)、指
數(shù)函數(shù)可不考慮定義域.
第二步:求函數(shù)/(無)的導數(shù)/(X),并令/(X)=0,求其根.
第三步:利用f(x)=0的根和不可導點的尤的值從小到大順次將定義域分成若干個小開
區(qū)間,并列表.
第四步:由/(X)在小開區(qū)間內(nèi)的正、負值判斷了(X)在小開區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性;求極值、
最值.
第五步:將不等式恒成立問題轉化為/(x)相"W”或/(x)相位2m解不等式求參數(shù)的取
值范圍.
第六步:明確規(guī)范地表述結論
【命題方向】
從近三年的高考試題來看,函數(shù)單調(diào)性的判斷和應用以及函數(shù)的最值問題是高考的熱
點,題型既有選擇題、填空題,又有解答題,難度中等偏高;客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、
最值的靈活確定與簡單應用,主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎上,又注重考查函數(shù)
方程、等價轉化、數(shù)形結合、分類討論的思想方法.預測明年高考仍將以利用導數(shù)求函數(shù)的
單調(diào)區(qū)間,研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點,重點考查轉化
與化歸思想及邏輯推理能力.
4.函數(shù)的值
【知識點的認識】
函數(shù)不等同于方程,嚴格來說函數(shù)的值應該說成是函數(shù)的值域.函數(shù)的值域和定義域
一樣,都是常考點,也是易得分的點.其概念為在某一個定義域內(nèi)因變量的取值范圍.
【解題方法點撥】
求函數(shù)值域的方法比較多,常用的方法有一下幾種:
①基本不等式法:如當尤>0時,求2x+1的最小值,有2葉紅2辰二|=8;
②轉化法:如求|x-5|+|x-3|的最小值,那么可以看成是數(shù)軸上的點到x=5和x=3的距離
之和,易知最小值為2;
③求導法:通過求導判斷函數(shù)的單調(diào)性進而求出極值,再結合端點的值最后進行比較
例題:求/(%)在(0,+°°)的值域
解:/(X)
XX
易知函數(shù)在(0,1]單調(diào)遞增,(1,+8)單調(diào)遞減
最大值為:Ini-1=-1,無最小值;
故值域為(-8,-1)
【命題方向】
函數(shù)的值域如果是單獨考的話,主要是在選擇題填空題里面出現(xiàn),這類題難度小,方
法集中,希望同學們引起高度重視,而大題目前的趨勢主要還是以恒成立的問題為主.
5.導數(shù)的運算
【知識點的知識】
1、基本函數(shù)的導函數(shù)
①C'=0(C為常數(shù))
②'=nxn~l("6R)
③(sinx)'=cosx
4)(cosx)'=-sin%
⑥(")'=(/)*lnaQ>0且。Wl)?[logflx)]'=:*(logae)=右Q>0且。#1)
⑧[/時,=;.
2、和差積商的導數(shù)
①(x)+g(x)]'=f(x)+g'(x)
②,(X)-g(x)r=f(%)-g1(尤)
③U(x)g(x)]'=f(x)g(x)+f(無)g'(尤)
④[『,_[f(x)g(x)-Hx)gf(x)]
g@)b(x)2]
3、復合函數(shù)的導數(shù)
設y=uG),t=v(x),則y'(x)=u(t)v'(x)=u'[v(x)]v'(x)
【典型例題分析】
題型一:和差積商的導數(shù)
典例1:已知函數(shù)/(x)=asinx+b/+4(aeR,6eR),f'(x)為/(x)的導函數(shù),則/(2014)
+f(-2014)+f(2015)-f'(-2015)=()
A.0B.2014C.2015D.8
解:f(x)=flcosx+3Z?x2,
'.f'(-x)=acos(-x)+3。(-x)2
:.f(X)為偶函數(shù);
f(2015)-f(-2015)=0
:.f(2014)+f(-2014)
=asin(2014)+Z>.20143+4+asin(-2014)+b(-2014)3+4=8;
:.f(2014)+f(-2014)+f(2015)-f(-2015)=8
故選D
題型二:復合函數(shù)的導數(shù)
典例2:下列式子不正確的是()
A.Uf+cosx),—6x-sinxB.ilnx-2X)'=--2xln2
x
C.(2sin2x)'=2cos2xD.(-)z加
x戈~
解:由復合函數(shù)的求導法則
對于選項A,(3/+C0SX)'=6x-sinx成立,故A正確;
對于選項8,(歷十一29'=:-2*加2成立,故5正確;
對于選項C,(2sin2x)'=4cos2xW2cos2x,故C不正確;
對于選項D,喑),=—晅成立,故。正確.
故選C.
【解題方法點撥】
1.由常數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘運算得到的簡單的函數(shù)均可利用求導
法則與導數(shù)公式求導,而不需要回到導數(shù)的定義去求此類簡單函數(shù)的導數(shù).
2.對于函數(shù)求導,一般要遵循先化簡,再求導的基本原則.求導時,不但要重視求導法則
的應用,而且要特別注意求導法則對求導的制約作用.在實施化簡時,首先要注意化簡的等
價性,避免不必要的運算失誤.
6.利用導數(shù)研究函數(shù)的最值
【利用導數(shù)求函數(shù)的最大值與最小值】
1、函數(shù)的最大值和最小值
觀察圖中一個定義在閉區(qū)間m,切上的函數(shù)y(x)的圖象.圖中了(處)與/(X3)是極小值,
f(X2)是極大值.函數(shù)/(X)在[4,句上的最大值是/(b),最小值是/(XI).
一般地,在閉區(qū)間,,切上連續(xù)的函數(shù)/(X)在[。,句上必有最大值與最小值.
說明:(1)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)/(x)不一定有最大值與最小值.如函數(shù)/(X)
=工在(0,+8)內(nèi)連續(xù),但沒有最大值與最小值;
X
(2)函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的;函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)
值得出的.
(3)函數(shù)/co在閉區(qū)間團,切上連續(xù),是了(尤)在閉區(qū)間口,句上有最大值與最小值的充
分條件而非必要條件.
(4)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個,而函數(shù)的極值可能不止一個,
也可能沒有一個
2、用導數(shù)求函數(shù)的最值步驟:
由上面函數(shù)/(x)的圖象可以看出,只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進
行比較,就可以得出函數(shù)的最值了.
設函數(shù)/(x)在m,切上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,則求/(x)在他,句上的最大值與最小
值的步驟如下:
(1)求/(x)在(a,b)內(nèi)的極值;
(2)將/(無)的各極值與/Q)、/(6)比較得出函數(shù)/(x)在[a,打上的最值.
【解題方法點撥】
在理解極值概念時要注意以下幾點:
(1)按定義,極值點卻是區(qū)間口,切內(nèi)部的點,不會是端點a,b(因為在端點不可導).
(2)極值是一個局部性概念,只要在一個小領域內(nèi)成立即可.要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的
連續(xù)點取得.一個函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個極小值和極大值,在某一點的極小值也可能
大于另一個點的極大值,也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關系,即極大值不一定比
極小值大,極小值不一定比極大值小.
(3)若/(x)在(a,b)內(nèi)有極值,那么了(無)在Q,b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù),即在區(qū)間
上單調(diào)的函數(shù)沒有極值.
(4)若函數(shù)/(x)在他,切上有極值且連續(xù),則它的極值點的分布是有規(guī)律的,相鄰兩個
極大值點之間必有一個極小值點,同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點,一般地,
當函數(shù)/(x)在切上連續(xù)且有有限個極值點時,函數(shù)/(x)在m,句內(nèi)的極大值點、極
小值點是交替出現(xiàn)的,
(5)可導函數(shù)的極值點必須是導數(shù)為0的點,但導數(shù)為0的點不一定是極值點,不可導的
點也可能是極值點,也可能不是極值點.
7.基本不等式及其應用
【概述】
基本不等式主要應用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式.其可表述為:兩個正實數(shù)的幾
何平均數(shù)小于或等于它們的算術平均數(shù).公式為:乎2J/(a》0,b20),變形為ab
W(―)2或者“+匕》2、屆.常常用于求最值和值域.
2
【實例解析】
例1:下列結論中,錯用基本不等式做依據(jù)的是.
,”皿?.,2abX2+24
A:a,b均為負數(shù),則一H--->2.B:■,.”>2.C:sinx+——>4-D:
b2aVx=+lsinx
a
aeR+,(3-a)(l-^)<0.
解:根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個基本條件:“一正,二定、三相等”可知A、8、O均
滿足條件.
對于C選項中sinxW±2,
不滿足“相等”的條件,
再者sinx可以取到負值.
故選:C.
A選項告訴我們正數(shù)的要求是整個式子為正數(shù),而不是式子當中的某一個組成元素;B分
子其實可以寫成f+1+l,然后除以分母就可換成基本不等式.這個例題告訴我們對于一個
式子也是可以用基本不等式的,而且求最值也很方便.
例2:利用基本不等式求y=熹的最值?當0<%<1時,如何求y=岑的最大值.
解:當x=0時,y=0,
當xWO時,y=:=—
'.+2升;
用基本不等式
若x>0時,OVywH,
若x<0時,—斗式><0,
4一
綜上得,可以得出一
.(‘=走的最值是一¥與彳.
這是基本不等式在函數(shù)中的應用,他的解題思路是首先判斷元素是否大于0,沒有明確表
示的話就需要討論;然后把他化成基本不等式的形式,也就是化成兩個元素(函數(shù))相加,
而他們的特點是相乘后為常數(shù);最后套用基本不等式定理直接求的結果.
【基本不等式的應用】
1、求最值
例1:求下列函數(shù)的值域.
(1))=3x2+*(2)y=x+(
解:(Dy=3x2+專之2y3x2?專=^6值域為[加,-K?)
<2)當x>0時,y=x+^22、^=2;
當x<0時,產(chǎn)x+:=-(-)<-2A/x=-2
AXyA
二值域為(-00,-21UF2,-wo)
2、利用基本不等式證明不等式
例2:已知a、b、ceR~,且a+6+c=l。求證:
分析:不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個“2”連乘,又
L.1=匕£="£?亞,可由此變形入手。
aaaa
M..,=D-.1.1.l-ab+c2y/bc曰工由1.2ylac1,2-Jab
:.ct\b\ceR〉a+xb+c=lo..——1=---=----2-----O1口」孑里一一1之------>——1之------。
aaaabbcc
上述三個不等式兩邊均為正,分別相乘,得
;1-P;'l-?''!-?;>=8o當且僅當a=b=c=-時取等號。
(aJUAcJabc3
3、基本不等式與恒成立問題
1Q
例3:已知x>0j>0且一+—=1,求使不等式x+yNm恒成立的實數(shù)m的取值范圍。
xy
刖人jn八19,x+y9x+9v,10y9x.
解:令x+v=±x>0j>0,—+―=1,.;——-+------=1..\一+—+一=1
vxykxkykkxky
inQ
.\1-—>2-o:.k>16>we(^o;16]
kk
4、均值定理在比較大小中的應用
例4:若。>>>1,尸=歷??;Q=W(lga+lgb),K=lg(W2),則尸:。小的大小關系是_____.
工工
分析:?「a>b>1lg67>0:lgi>0
Q=g(lg6f+lgb)>^Ig^-lgb=p
R=lg("+")>lg^[ab="lgab=Q:'R>Q>P。
【解題方法點撥】
技巧一:湊項
例1:已知求函數(shù)v=4x-2的最大值。
44x-5
解:因4x-5<0,所以苜先要‘調(diào)整為號,又(4x-2>—不是常數(shù),所以對4x-2要進行拆、湊項,
4x-5
vx<Y,.--5-4x>0>:y=4x-2+—--=一;5-4x+―-—;+3K-2+3=1
44x-5V5-4xy
當且僅當5-4x=」一,即x=l時,上式等號成立,故當x=l時,vfflai=1。
5-4r
點評:本題需要調(diào)整項的符號,又要配湊項的系數(shù),使其積為定值.
技巧二:湊系數(shù)
例2:當0cx<4時,求y=x(8-2x)的最大值.
解析:由0<x<4知,8-2尤>0,利用基本不等式求最值,必須和為定值或積為定值,此題
為兩個式子積的形式,但其和不是定值.注意到2尤+(8-2x)=8為定值,故只需將y=x
(8-2x)湊上一個系數(shù)即可.
y=x(8-2x)=1[2x?(8-2x)]<1(2a+8-2a)2=&
222
當2尤=8-2x,即x=2時取等號,當x=2時,丫=尤(8-尤2)的最大值為8.
評注:本題無法直接運用基本不等式求解,但湊系數(shù)后可得到和為定值,從而可利用基本不
等式求最大值.
技巧三:分離
例3:求y=產(chǎn)妥;1°(X>-1)的值域.
解:本題看似無法運用基本不等式,不妨將分子配方湊出含有(尤+1)的項,再將其分離.
—學=(x+l)2+5,+l)+4=(%+1)4
x+1x+1x+1
當x>-l,即x+l>0時,y22,(x+1)XSy+5=9(當且僅當x=l時取號)
技巧四:換元
對于上面例3,可先換元,令/=x+l,化簡原式在分離求最值.
技巧五:結合函數(shù)/(九)=x+E的單調(diào)性.
例4:求函數(shù)>,=存>的值域。
次+4
解:令&+4=/?之2),則=、叵工一=,」(,>4
次+4+4t
因cOl;=l,但/=;解得r=±l不在區(qū)間[2+8),故等號不成立,考慮單調(diào)性。
因為>,=/+1在區(qū)間[L+x)單調(diào)遞增,所以在其子區(qū)間[2,+8)為單調(diào)遞增函數(shù),故y之
t幺
所以,所求函數(shù)的值域為j=+OC
技巧六:整體代換
19
例5:已知x>0:y>0,且一+-=1>求x+y的最小值。
xy
錯解::x>°:y>°>且——=1--x+y='—+—j(x+j)>=12故(x+)')2n出=12°
錯因:解法中兩次連用基本不等式,在x+y22歷等號成立條件是x=y,在白+2之2叵等號成立條
xy[孫
10
件是即y=9x,取等號的條件的不一致,產(chǎn)生錯誤。因此,在利用基本不等式處理問題時,列出等
xy
號成立條件是解題的必要步驟,而且是檢臉轉換是否有誤的一種方法。
1G?"19'v9x
正解:vx>0,y>0—+—=B二x+y=(x+y)—+—=———+1026+10=16
5xy\xy)xy
i,qY19
當且僅當二=—時,上式等號成立,又一+—=1,可得x=4j=12時,(x+y)=16o
xyxyain
點評:多次連用最值定理求最值時,要注意取等號的條件的一致性,否則就會出錯.
技巧七:取平方
例6:求函數(shù)],=J2x-1+75-2x(1<x<1)的最大值。
解析:注意到2X-1與5-2X的和為定值。
y2=(5-1+,5-2外2=4+2j(2x-l)(5-2x)<4+(2x-l)+(5-2x)=8
又)>0,所以0<)*20
當且僅當21一1=5-2.丫,即》=:時取等號。故總社=2人。
點評:本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”,為利用基本不等式創(chuàng)造了條件.
總之,我們利用基本不等式求最值時,一定要注意“一正二定三相等",同時還要注意一些
變形技巧,積極創(chuàng)造條件利用基本不等式.
8.數(shù)列與不等式的綜合
【知識點的知識】
證明與數(shù)列求和有關的不等式基本方法:
(1)直接將數(shù)列求和后放縮;
(2)先將通項放縮后求和;
(3)先將通項放縮后求和再放縮;
(4)嘗試用數(shù)學歸納法證明.
常用的放縮方法有:
2n-l2n2n2n+l11
<----------><—,
2n2n+l2n—1------2n2n+l2n
1111
一<-------="[---------------]
n3n(n2—1)2n(n—1)n(n+l)
111111
<一<——(〃22),
nn+1n(n+l)n2n(n—1)n—1n
11/1
<------------)(〃22),
n2-l2n-1n+1
14411
—=--<----=2(---------),
n24n24n2—12n—12n+l
2(、”+1一訴)2v1二2<—~:=2(y/n—y/n-1)?
Vn+l-s/n舊—2舊
111111nn+(n+l)
——+——+…+—>—+—+=—y/n(n+1)<
n+1n+22n2n2n2n2n2
【解題方法點撥】
證明數(shù)列型不等式,因其思維跨度大、構造性強,需要有較高的放縮技巧而充滿思考性
和挑戰(zhàn)性,能全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力,因而成為高考壓軸題及各級各
類競賽試題命題的極好素材.這類問題的求解策略往往是:通過多角度觀察所給數(shù)列通項的
結構,深入剖析其特征,抓住其規(guī)律進行恰當?shù)胤趴s;其放縮技巧主要有以下幾種:
(1)添加或舍去一些項,如:標+1>⑷;4101+1)>〃;
(2)將分子或分母放大(或縮?。?/p>
(3)利用基本不等式;、("+D<"+(,);
(4)二項式放縮;
(5)利用常用結論;
(6)利用函數(shù)單調(diào)性.
(7)常見模型:
①等差模型;②等比模型;③錯位相減模型;④裂項相消模型;⑤二項式定理模型;⑥
基本不等式模型.
【典型例題分析】
題型一:等比模型
典例L對于任意的3*,數(shù)列.滿足黑+安+an-n
…+-----=n+1.
2n+l
(I)求數(shù)列{斯}的通項公式;
2221
(II)求證:對于〃22,---1—----<]_T
a2a2。計工2n
,?-1a?-2與一刀
解答:(I)由-一+V—+■-?+=n+1①,
2X+122+l2n+l
當”22時,++=②,
喘h(huán)22+12n-1+l
①一②得盟=1(g2).
n
?'?an=2+1+n(n>2).
又支=2,得。尸7不適合上式.
7,n=1
綜上得a;,=
n
2+14-nzn>2
2221
(II)證明:當時,一<一
nn2^-1,
即2+l+n2
2221113I一點)1
<-+—=1
+---+…—7=l-i
aa2222n2n
22n+i2
222
???當〃22時,—十<1一靠
aan+i
題型二:裂項相消模型
典例2:數(shù)列{斯}的各項均為正數(shù),8為其前〃項和,對于任意〃€N*,總有斯,Sn,斯~成
等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{斯}的通項公式;
(2)設b=*,數(shù)列{4}的前w項和為刀”求證:
分析:(1)根據(jù)an=Sn-Sn-i,整理得斯-斯一1=1(〃22)進而可判斷出數(shù)列{斯}是公差
為1的等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得答案.
(2)由⑴知%=%因為*>就亍=;圭,所以九片一擊,從而得正
解答:(1)由已知:對于W6N*,總有2%=斯+斯2①成立
???2SnT=anT+anT:(心2)②
(X)-尋2an~-Un-1-斯-]2,..a”+a〃-1=(即+a”-1)(Un斯-1)
■:an,即一i均為正數(shù),.?.斯-a,”i=l(〃22).?.數(shù)列{斯}是公差為1的等差數(shù)列
又”=1時,2si=ai+aj,解得”]=i,:.an—n.(“eN*)
(2)解:由(1)可知by=—>----------=——-------
n-n2n(n+l)nn+1
【解題方法點撥】
(1)放縮的方向要一致.
(2)放與縮要適度.
(3)很多時候只對數(shù)列的一部分進行放縮法,保留一些項不變(多為前幾項或后幾項).
(4)用放縮法證明極其簡單,然而,用放縮法證不等式,技巧性極強,稍有不慎,則會出
現(xiàn)放縮失當?shù)默F(xiàn)象.所以對放縮法,只需要了解,不宜深入.
9.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算
【知識點的知識】
1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì):
設Z,[都是非零向量,"是與6方向相同的單位向量,Z與5和夾角為&則:
(1)a-e=e-a=|a|cos0;
(2)a1b0Q?b=0;(判定兩向量垂直的充要條件)
(3)當;,b方向相同時,a-b=\a\\b\;當;,b方向相反時,a-b=-\a\\b\;
特別地:Q.Q=|°|2或山1=VQ?Q(用于計算向量的模)
TT
(4)cose=*r(用于計算向量的夾角,以及判斷三角形的形狀)
同向
(5)向工iWlZlBl
2、平面向量數(shù)量積的運算律
(1)交換律:a?b=b?a;
(2)數(shù)乘向量的結合律:(底)1=入(a-ft)=於(媼);
(3)分配律:(0?5)*c*??(6?c)
【平面向量數(shù)量積的運算】
平面向量數(shù)量積運算的一般定理為①(a±&)2=a2+2a-b+b2.②(Z—G(a+5)
=a2-b2.@a-(h-r)#(a-h)-o從這里可以看出它的運算法則和數(shù)的運算法則有些是
相同的,有些不一樣.
【例題解析】
例:由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則:
①"mn=nm”類比得到嗎工=/a"
②^(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b)?c=a?c+b?c”;
③"/WO,mt=nt=>m=n,類比得到“c工01a'c=b-c=>a=c”;
④“防?川=|加|?|川”類比得到“向?b|=|Z|?|b|”;
⑤“(m?n)t=m(〃”)”類比得到“(a?bAc=Q?(b?c)”;
TTT
⑥“竺=3,類比得到曝=1以上的式子中,類比得到的結論正確的是①②
bebb*c々
解::向量的數(shù)量積滿足交換律,
umn=nmn類比得到“1)=,?+,
即①正確;
???向量的數(shù)量積滿足分配律,
a(m+n)t=mt+nt"類比得到"(a+b),c=a-c+b-c\
即②正確;
???向量的數(shù)量積不滿足消元律,
;."t中Q,mt=〃tnm=n"不能類比得到“?=0,a-c=b-c^>a=c
即③錯誤;
V|a-&|#|a|-|bb
/.a\m-n\=\m\-\n\"不能類比得到“自)|=|余山";
即④錯誤;
???向量的數(shù)量積不滿足結合律,
”(/?〃)t=m不能類比得到“(£?》)??=>(b
即⑤錯誤;
?.?向量的數(shù)量積不滿足消元律,
不能類比得至用一
bebb、ca
即⑥錯誤.
故答案為:①②.
向量的數(shù)量積滿足交換律,由“加7="利”類比得到=向量的數(shù)量積滿足分
配律,故“(機+〃)t=mt+nf'類比得到“(Z+R4=U+。1';向量的數(shù)量積不滿足
消元律,故"年0,mt=n—m=〃"不能類比得到"ZH0,a-c=b-c^a=la'b|W
lal-lbl,故“加?川=|孫川”不能類比得到“而上|=而,畝”;向量的數(shù)量積不滿足結合律,
故“("〃)t=m不能類比得到""工)?)=[(晨Z)”;向量的數(shù)量積不滿足消元
TTT
律,故一=—"不能類比得到二==.
bebb,c々
【考點分析】
本知識點應該所有考生都要掌握,這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多,也是一個??键c,
題目相對來說也不難,所以是拿分的考點,希望大家都掌握.
10.復數(shù)的運算
復數(shù)的加、減、乘、除運算法則
設Z]=a+bi,z2=c+Ji(a?b,c,R).貝U:
(1)加法:Zi+Z2=(a+歷)+(c+di)=(a+c)+(b+妨;
(2)減法:zl-z2=(a+bi)~(c+di)=(a-c)+(b-rf)i;
(3)乘法:Zia=(a+歷>(c+di)=(ac-bt/)+(aJ+fec)i;
Zi_a+Bi_(a+bi)(c一di)
(4)除法:
Z2c+di(c+di)(c-di)
(ac+bd)+(bc-ad')i^,,——
=1----蕓%-----7c+必齊0).
11.莖葉圖
【知識點的認識】
1.莖葉圖:將樣本數(shù)據(jù)有條理地列出來,從中觀察樣本分布情況的圖稱為莖葉圖.
例:某籃球運動員在某賽季各場比賽的得分情況:12,15,24,25,31,31,36,36,
37,39,44,49,50
得分表示成莖葉圖如下:
?*葉
125
245
3116679
44
50
2.莖葉圖的優(yōu)缺點:
優(yōu)點:
(1)所有信息都可以從莖葉圖上得到
(2)莖葉圖便于記錄和表示
缺點:
分析粗略,對差異不大的兩組數(shù)據(jù)不易分析;表示三位數(shù)以上的數(shù)據(jù)時不夠方便.
【解題方法點撥】
莖葉圖的制作步驟:
(1)將每個數(shù)據(jù)分為“莖”(高位)和“葉”(低位)兩部分
(2)將最小的莖和最大的莖之間的數(shù)按小大次序排成一列
(3)將各個數(shù)據(jù)的葉按大小次序寫在莖右(左)側
第1步中,
①如果是兩位數(shù)字,則莖為十位上的數(shù)字,葉為個位上的數(shù)字,如89,莖:8,葉:9.
②如果是三位數(shù)字,則莖為百位上的數(shù)字,葉為十位和個位上的數(shù)字,如123,莖:1,葉:
23.
對于重復出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復記錄,不能遺漏,同一數(shù)據(jù)出現(xiàn)幾次,就要在圖中體現(xiàn)幾次.
12.古典概型及其概率計算公式
【考點歸納】
1.定義:如果一個試驗具有下列特征:
(1)有限性:每次試驗可能出現(xiàn)的結果(即基本事件)只有有限個;
(2)等可能性:每次試驗中,各基本事件的發(fā)生都是等可能的.
則稱這種隨機試驗的概率模型為古典概型.
*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個重要特征,所以求
事件的概率就可以不通過大量的重復試驗,而只要通過對一次試驗中可能出現(xiàn)的結果進行分
析和計算即可.
2.古典概率的計算公式
如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有〃個,而且所有結果出現(xiàn)的可能性都相等,那么每一個基
本事件的概率都是匕
n
如果某個事件A包含的結果有機個,那么事件A的概率為尸(A)=㈣=%中頻}鴕管本事f卷.
“基本事件總贊
【解題技巧】
1.注意要點:解決古典概型的問題的關鍵是:分清基本事件個數(shù)〃與事件A中所包含的基
本事件數(shù).
因此要注意清楚以下三個方面:
(1)本試驗是否具有等可能性;
(2)本試驗的基本事件有多少個;
(3)事件4是什么.
2.解題實現(xiàn)步驟:
(1)仔細閱讀題目,弄清題目的背景材料,加深理解題意;
(2)判斷本試驗的結果是否為等可能事件,設出所求事件A;
(3)分別求出基本事件的個數(shù)〃與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)加
(4)利用公式尸(A)=%求出事件A的概率.
n
3.解題方法技巧:
(1)利用對立事件、加法公式求古典概型的概率
(2)利用分析法求解古典概型.
13.計數(shù)原理的應用
【知識點的認識】
1.兩個計數(shù)原理
(1)分類加法計數(shù)原理:N—mi+m2+'''+mn
(2)分步乘法計數(shù)原理:X/7J2X???Xm?
2.兩個計數(shù)原理的比較
分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理
共同點都是計數(shù)原理,即統(tǒng)計完成某件事不同方法種數(shù)的原理.
不同點分類完成,類類相加分步完成,步步相乘
“類方案相互獨立,且每類"個步驟相互依存,每步依次
方案中的每種方法都能獨立完成才算完成這件事情(每
完成這件事步中的每一種方法不能獨立
完成這件事)
注意點類類獨立,不重不漏步步相依,步驟完整
【解題方法】
1.計數(shù)原理的應用
(1)如果完成一件事的各種方法是相互獨立的,那么計算完成這件事的方法數(shù)時,使用分
類加法計數(shù)原理;
(2)如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的,即各個步驟都必須完成,這件事才告完成,
那么計算完成這件事的方法數(shù)時,使用分步乘法計數(shù)原理.
2.解題步驟
(1)指明要完成一件什么事,并依事件特點確定是“分〃類”還是“分〃步”;
(2)求每“類”或每“步”中不同方法的種數(shù);
(3)利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法總數(shù);
(4)作答.
【命題方向】
分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是推導排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎,也是求解排列、組合
問題的基本思想方法.
常見考題類型:
(1)映射問題
(2)涂色問題(①區(qū)域涂色②點的涂色③線段涂色④面的涂色)
(3)排數(shù)問題(①允許有重復數(shù)字②不允許有重復數(shù)字)
14.排列及排列數(shù)公式
【考點歸納】
1.定義
(1)排列:一般地,從〃個不同的元素中任取加(/W〃)個元素,按照一定的順序排成一
列,叫做從“個不同元素中取出"2個元素的一個排列.(其中被取的對象叫做元素)
(2)排列數(shù):從〃個不同的元素中取出加(機/〃)個元素的所有排列的個數(shù),叫做從〃個
不同元素中取出,"個元素的排列數(shù),用符號4T表示.
2.相關定義:
(1)全排列:一般地,〃個不同元素全部取出的一個排列,叫做〃個不同元素的一個全排
列.
(2)”的階乘:正整數(shù)由1到〃的連乘積,叫做〃的階乘,用加表示.(規(guī)定0!=1)
3.排列數(shù)公式
(1)排列計算公式:A:=n(n-1)(71—2)…(n-m+1)=.二〃eN+,且加
(2)全排列公式:黑=”?("T)?(”-2)...3*2*l=n!.
15.偽代碼(算法語句)
【知識點的認識】
1.偽代碼:一種介于自然語言和計算機語言之間的文字和符號.
2.基本算法語句:
(1)輸入語句:實現(xiàn)算法的輸入信息功能.
/NPUT"提示內(nèi)容”;變量
或/NPUY"提示內(nèi)容1,提示內(nèi)容2,提示內(nèi)容3,…”;變量1,變量2,變量
3,-
說明:①“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息,變量是指程序在運行時其值是可
以變化的量.
②輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數(shù),不能是函數(shù)、變量或表達式.
③提示內(nèi)容與變量之間用分號隔開,若輸入多個變量,變量與變量之間用逗號“,”
隔開.
(2)輸出語句:實現(xiàn)算法的輸出結果功能.
PR/NT"提示內(nèi)容”;表達式
說明:①“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息,表達式是指程序要輸出的數(shù)據(jù).
②輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值及字符.
(3)賦值語句:表明賦給某個變量一個具體的確定值的語句.
變量=表達式(其中“=”為賦值號)
說明:①先計算賦值號右邊的表達式的值,再把求得的值賦值給左邊的變量,使該變
量的值等于表達式的值.
②賦值號左邊只能是變量名字,不能是表達式,且賦值號左右不能對換.
③注意賦值號“=”與數(shù)學中等號意義不同,不能用于進行代數(shù)式的演算.
(4)條件語句:處理條件分支邏輯結構的算法語句.
(ZF-THEN-ELSE格式)(IF-THEN格式)
IF條件THENIF條件THEN
語句1語句
ELSEENDIF
語句2
ENDIF
說明:@IF-THEN-ELSE:執(zhí)行時,先對3后的條件進行判斷,若條件符合,執(zhí)行
語句1,否則執(zhí)行語句2.
@IF-THEN-.執(zhí)行時,先對小后的條件進行判斷,若條件符合,執(zhí)行THEN后的語句,
否則結束條件語句,
執(zhí)行其他語句.
(5)循環(huán)語句:實現(xiàn)算法中的循環(huán)結構,分WHILE(當型)和UNTIL(直到型)兩種語句.
(WHILE語句)(UNTIL語句)
WHILE條件DO
循環(huán)體循環(huán)體
WENDLOOPUNTIL條件
說明:①WHILE語句:前測試型循環(huán).先判斷真假,若條件符合執(zhí)行循環(huán)體,再判斷
條件真假,若仍符合,
再次執(zhí)行,如此反復,直到某次條件不符合為止,跳出循環(huán)體,執(zhí)行WEND
之后的語句.
②UNTIL語句:先執(zhí)行,再判斷條件是否符合,若不符合,再次執(zhí)行,再判斷,如此反復,
直到條件符合
為止,跳出循環(huán)體,執(zhí)行循環(huán)體外的語句.
【命題方向】
偽代碼知識點的考查常以選擇、填空題形式出現(xiàn),難度不大,屬于基礎題.掌握各種基本算
法語句的定義,了解它們的格式和作用,是正確理解偽代碼的關鍵,也是解此類題的關鍵.
(1)程序運行計算
例:根據(jù)下列算法語句,當輸入x為6。時,輸出y的值為()
:輸入x]
;If爛50Then
;y=Q.5*x
:Else
:j-=25*0.6*(x-50)|
;EndIf:
:輸出F|
I?
A.25B.30C.31D.61
分析:分析程序中各變量、各語句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用
是計算并輸出分段函數(shù)y=[05Hxs50的函數(shù)值.
(25+0.6(x-50),x>50
解答:分析程序中各變量、各語句的作用,
再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:
該程序的作用是計算并輸出分段函數(shù)y=1°15%,X-50的函數(shù)值.
(25+0.6(%-50),x>50
當x=60時,貝1]y=25+0.6(60-50)=31,
故選C.
點評:算法是新課程中的新增加的內(nèi)容,也必然是新高考中的一個熱點,應高度重視.程序
填空也是重要的考試題型,這種題考試的重點有:①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦
值④變量的輸出.其中前兩點考試的概率更大.此種題型的易忽略點是:不能準確理解流
程圖的含義而導致錯誤.
(2)程序填空
例:閱讀如下程序,若輸出的結果為菽則在程序中橫線?處應填入語句為()
s=o
n=2
i=l
DO
S=S+1/n
n=2*?
i=i-l
LOOPUNTIL?
PRINTS
END
A.B.i27C.運7D.運8.
分析:分析程序中各變量、各語句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用
是累加并輸出變量S的值,要確定進入循環(huán)的條件,可模擬程序的運行,用表格對程序運行
過程中各變量的值進行分析,不難得到題目要求的結果.
解答:程序運行過程中,各變量值如下表所示:
Sni:是否繼續(xù)循環(huán)
循環(huán)前021/
第一圈L42是
2
第二圈二+2
83是
24
第三圈2+一+一164是
248
第四圈二+2+2+2325是
24816
第五圈—+—+—+—+—646是
2481632
^1111163?
第6圈一+—+—+—+—+—=—12877E
24816326464
第7圈否
即i=7時退出循環(huán)
故繼續(xù)循環(huán)的條件應為:
故選=
點評:算法是新課程中的新增加的內(nèi)容,也必然是新高考中的一個熱點,應高度重視.程序
填空也是重要的考試題型,這種題考試的重點有:①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦
值④變量的輸出.其中前兩點考試的概率更大.此種題型的易忽略點是:不能準確理解流
程圖的含義而導致錯誤.
16.三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值
【概述】
三角函數(shù)的恒等變化主要是指自變量x數(shù)值比較大時,如何轉化成我們常見的數(shù)值比較
小的而且相等的三角函數(shù),主要的方法就是運用它們的周期性.
【公式】
①正弦函數(shù)有y=sin(2片t+x)=sinx,sin(―+x)=sin(—―x)=cosx
22
②余弦函數(shù)有y=cos(2內(nèi)i+x)=cosx,cos(——x)=sinx
2
③正切函數(shù)有y=tan(dr+x)=tanx,tan—x)=cotx,
2
④余切函數(shù)有y=cot(——x)=tanx,cot(E+x)=cotx.
2
【例題解析】
例:sin60°cos(-45°)-sin(-420°)cos(-570°)的值等于
解:sin600=,cos(-45°)=cos45°=?,
s加(-420。)=sin(-lx360°-60°)=-sin600=-浮,
cos(-570°)=cos(-lx3600-210")=cos2100=cos(180°+30°)=-cos30°=一號,
...原式=電?-(一孰一當)=罕.
先利用誘導公式把sin(
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