奧數(shù)-因式分解-綜合4師

第一講因式分解4：綜合及應用

本講綱要

@§1.1因式分解的基本方法@§1.3對稱式的因式分解

i.提取公因式1.對稱式

2.主元法2.輪換

3.分組分解3.交代式

4.公式包§1.4因式分解的應用

5.換元

1.計算

6.配方

2.化簡

7.十字、待定系數(shù)法

3.求值

8.倒數(shù)代數(shù)式

4.整除

包§1.2因式分解的特殊方法

5.不定方程

1.添項、拆項6.完全平方數(shù)

2.因式定理

§1.1因式分解的基本方法

一、考試要點剖析

因式分解是一種重要的恒等變形，雖然它是初中階段學習的內(nèi)容，在高中階段也有著非常廣泛的應用，

比如，比較大小、判斷函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式、解高次方程、超越方程等，因此，因式分解歷來是“中

考”和數(shù)學競賽著重考查的熱點問題.

**基本知識

因式分解把一個多項式分解成幾個非常數(shù)的多項式或單項式的積的形式叫做多項式的因式分

解.多項式的因式分解是在給定的數(shù)域上進行的，即要求各因式的系數(shù)是給定數(shù)域上的數(shù).因此，一個多

項式在某個數(shù)域上可能不能分解因式，而在另外的(更廣的)數(shù)域上也許是可以分解的.一般地，如果沒有

特別指定數(shù)域，則因式分解通常都是在有理數(shù)域上進行的.

既約多項式如果一個多項式在某數(shù)域上不能再分解，則稱它是此數(shù)域上的既約多項式.

因式分解的常用公式：

(1)a2+2ab+b2=(a+6)2,a2-lab+b2=(a-b)2

(2)a2-b2=(a+6)(a-b)

(3)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2

(4)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),a3-b3=(a-h)(a2+ab+b2)

(5)a3+3alb+3ah2+b3=(a+b)3

(6)a3+>+(?-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-be-ca)

(7)a"-b"=(a-b)(a"T-aT3b2-…-而""+6"T)(n為正整數(shù))

(8)優(yōu)+6"=(a+6)(a"T+…b+an~3/+…+而"、+bn'')(兒為正奇數(shù))

**基本方法

初中教材中介紹了提取公因式法、逆用乘法公式法、配方法、分組分解法、十字相乘法、求根法，這

些都是非常重要的基本方法，要牢固地掌握和靈活地運用.此外，在數(shù)學競賽中，還要掌握和運用如下一

些方法：

(1)換元法將待分解的多項式中某些特殊的部分看作一個整體，用一個新的字母表示，使原來復雜的

結構簡化.

(2)雙十字相乘法對于二元二次多項式的分解，可先用“十字相乘法”將二次項進行分解，然后將局

部分解的因式看作一個整體(字母)，連同后面的一次項和常數(shù)項再采用十字相乘法進行分解.

(3)待定系數(shù)法將待分解的多項式表示成若干個含有待定系數(shù)的多項式的積的形式，得到一個恒等

式.然后根據(jù)多項式恒等的性質(zhì)，比較對應項的系數(shù)，或令變元取一些特殊值，得到關于待定系數(shù)的方程

組，解方程組求出待定系數(shù)，進而得到多項式的分解.這種方法叫做待定系數(shù)法.

(4)主元法對于多元多項式的分解，我們可選擇其中一個字母當作變量，而將其他字母看成常數(shù)，其

中當做變量的字母稱為“主元”.這樣，多項式就變成了關于“主元”的一元多項式，這種選擇主元進行

多項式分解的方法叫做主元法.

**基本問題

一元二次多項式的因式分解，常用的方法有：十字相乘法、配方法、求根法等；

一元高次多項式的因式分解，常用的方法有：配方法、逆用乘法公式法、換元法、分組分解法等；

二元二次多項式的因式分解，常用的方法有：主元法、分組分解法、雙十字相乘法、待定系數(shù)法等.

多元(通常是二元、三元)高次多項式的因式分解，常用的方法有：配方法、逆用乘法公式法、換元法、

分組分解法等.

1.提取公因式

例1.(★93蕪湖)分解因式：-2(%-y)3+12(y-4)2-184+18y.

【解】?二一2(%-+12(y-%)2-18%+18y

——2(x—y)3+12(x—y)2—18(%—y)

=-2(x-y)[(x-y)2-6(x-y)+9]

=-2(?-y)[(x-y)2-2*(x-y),3+32]

=-2(%-y)(x-y-3)2.

2.主元法

例2.1996年揚州市初中數(shù)學競賽題)分解因式：(1+-2/2(1+7/+/(1_y)2.

【解】：以y為主元降幕排列，則

原式=(--2?2+1)y2-2(x4-1)y+(x4-2x2+1)

=(*+l)(x-l)(Q+y-4+l)(盯-y-4-1).

3.分組分解

例3.(★★1995年昆明市初中數(shù)學競賽題)將/+J+工6+工5+比4+/3+/+4+1因式分解.

【解】：原式=(癡+X7+X6)+(X5+X4+X3)+(X2+X+I)=(X2+X+1)(/+/+1).

4.公式(屋—夕)

例4.(★★★希望杯培訓題)設n為正整數(shù)，分解因式:

(1+X+X2+-+x11'1+xn-2)2-x".

【解

(1+X+X2+-：+x"-'+Xy-X

~/i-x'+,vx-ci-x)2

=(~r^r)-x=(-rrr)-7T37F

1-2—+/+2-爐+2人-/2

二(Kip

二(T^P

=CT^P

1T1-…

=

\-X\-x

3_=(1+X+x2+???+xn-,)(l+z+X2+???+x?*1).

5.換兀

例5.(★★希望杯培訓題)分解因式：(號-1)2+(工+7-2)(?+,-2個).

【解】：對于本題，代數(shù)式x+y,xy都在多項式中出現(xiàn)兩次，

令A="+y,3=xy,貝(J

原式=(8-+(4-2)(4-23)

=(B-l)2+A1-2A-2AB+4B

=(B+I)2-2A(B+1)+A2

=(B+1-A)2

=(xy+I-x-y)2

=(x-l)2(y-l)2.

例6.(★★中考模擬題)分解因式：(產(chǎn)+%+1)(/+X+3)-15;

令1=(/+X+1)產(chǎn)士紅③=X2+x+2,則

(#+*+1)(￡+*+3)-15

=(K+D-15=，-1-15

二”—16=(t+4)(4-4)

=(%2+%+2+4)(/+%+2-4)

=(%?+#+6)(*2+欠-2)

二(42+x+6)(x+2)(%-l).

6.配方

例7.(★★97山東)分解因式：%-140%+4756.

【解】：(%-58)(%-82).

7.十字、待定系數(shù)法

例8.(★★希望杯培訓題)分解因式：6%2-7xy-3y2+13x+8y-5

【解】：解法1單十字

=6,+(13-7,)%-3y2+8,-5

=6#+(13-7y)x+(y-l)(5-3,)

=(34+y-1)(2%-3y+5).

解法2雙十字

=(3x+y)(2x-3y)+13%+8y-5

=(3x+y-1)(2%-3y+5),

解法3待定系數(shù)法

=(3x+y+m)(2x-3y+n)

=6x2-7xy-3/+(2m+3n)x+(n-3m)y+TWI

2m+3n=13,

則,n-3/n=8,

mn=-5,

8.倒數(shù)代數(shù)式

例9.(★★★全國通訊賽)分解因式：%4+7/+14/+7^+1

【解】：x4+7x3+14%2+7x+1

71、

=%2(x2+7x+14+—+F)

%X

=/[(%+!)2+7(%+9)+12]

=x2(x+—+3)(%+—+4)

Xx

=(%2+3%+l)(x2+4x+1).

§1.2因式分解的特殊方法

@考試要點剖析

**基本知識

因式分解的常用定理：

因式定理如果一個關于X的多項式在x=a時的值為零，則這個多項式必定含有因式x-a.

n1m

恒等定理1設4=a?x+a,",x''+???+%*+a0,B=bmx+bm，tx""'++6)x+b0都是

關于x的多項式，則4與B怛等，當且僅當m=n,an=b?，=bn.l,,,,,a1=bt,a0=b0.

恒等定理2設4、8都是關于m的"次多項式，如果它們在多于幾個點處的值都相等,那么這

兩個多項式恒等.

有理根判定定理設4=%—+a“_i/-'+…+5x+的是關于x的整系數(shù)的多項式，p、g是

整數(shù)且p、q互質(zhì).如果多項式4含有有理根玫，則p是%的因子，且g是a。的因子.此時，多項式含

有因式(中-g).特別地，對于首一(首項系數(shù)為1)的多項式，其有理根都是整數(shù)根.

**基本方法

前邊我們熟悉了因式分解的常用方法，此外，在數(shù)學競賽中，還要掌握和運用如下一些方法：

(1)拆添項法將一個項分成兩個或多個項，或者同時加上或減去一個相同的項，再適當分組進行分解.

(2)長除法(或綜合除法)通過觀察、試驗，發(fā)現(xiàn)多項式含有某種因式，然后采用多項式除法求出另一

個因式.如果先發(fā)現(xiàn)的因式是一次式，其多項式的除法可分離出系數(shù)來進行，這種除法叫綜合除法.以一

2

元二次多項式a2x+arx+ao除以x-a為例：

長除法：

的%+(%+也2)

x-a)a2x+a|X+a0

a1必_QQ.%___________

(fli+aa2)x+a0

'(aY4-aa2)x-a{ax4-aoz)

a0+a(ai+aa2)

2

即a2x+atx+a0='(a2x+a,+aa2)(x-a)+a0+a(at+aa2).

綜合除法

a。

aa2a(%+aa2)

a?

+aa2OQ+a(ai+aa2)

當綜合除法掌握得很熟練時，運用起來就比長除法簡便得多，但長除法的適應范圍更廣，因為它可以

進行任何兩個多項式相除.

(3)試根法根據(jù)多項式有理根判定定理，確定多項式的有理根的所有可能形式，逐一檢驗，發(fā)現(xiàn)其有

理根，進而確定多項式含有的因式，最后用長除法或綜合除法確定它的其他因式.

1.添項、拆項

例10.(★★★希望杯培訓題)分解因式：X-48%-7.

【解】：原式=d+(一7x2+lx2)—48%-7

=x2(%-7)+(7x-l)(x-7)

=(x-7)(x2+7X+1).

2.因式定理

例11.(★★★希望杯培訓題)分解因式：x3+?-X-10

【解】：原式=(x3-2?)+(3x2-6x)+(5x-10)

=x2(x-2)+3x(x-2)+5(x-2)

=(x-2)(x2+3x+5).

§1.3對稱式的因式分解

⑧考試要點剖析

**基本知識

對稱多項式設A是一個多項式，如果將A中兩個字母互換，得到的多項式與A恒等，則稱A關于這兩

個字母對稱.如果多項式A關于它所含的任意兩個字母都是對稱的，則稱A是全對稱多項式，簡稱對稱

多項式.比如，

222222

/+y+z+xy.x+y+z+xy+yz+zx都是關于x>y對稱的多項式，而只有后者才是全

對稱多項式.對稱多項式的一般形式為(以三次對稱多項式為例)：

4(x3+y3+z3)+y+yz+Z2x)+C^xy2+yz+zx2)+Dxyz+E(x2+y2+z2)+F(xy+

yz+zx)+G(x+y+z)+H.

基本對稱多項式考察含有三個字母x、y、z的多項式，則x+y+z,xy+yz+zx,xyz稱為基本對

稱多項式.對于含有n個字母的多項式，其，n個字母的和、n個字母中每取r(r=2,3,……,n)作積的和，

稱為n元基本對稱多項式.

齊次多項式如果多項式所有項的次數(shù)都相等，則稱為齊次多項式.比如，基本對稱多項式都是齊次

對稱多項式.

字母的個數(shù)和次數(shù)都不超過三的齊次對稱多項式具有如下形式：

二元一次齊次對稱多項式4(x+y);

二元二次齊次對稱多項式A(x2+y2)+firy;

二元三次齊次對稱多項式4(x3+y3)+Bxy{x+y);

三元一次齊次對稱多項式A(x+y+z);

三元二次齊次對稱多項式4(I+y2+z?)+B(zy+yz+ZK);

三元三次齊次對稱多項式4(x3+y3+z3)+B[(x2(y+z)+y2(z+x)+z2(x+y)]+Cxyz.

其中4、B、C都是與工、y、z無關的常數(shù).

輪換對稱多項式設4是一個關于n個字母的多項式,如果將4中n個字母任意排列為航，

x2,—,x.，同時將換成爸+i(i=1,2,…，“；%+[=%),得到的多項式與A恒等，則稱S是輪換對稱

多項式.顯然，對稱多項式一定是輪換對稱多項式,但反之則不然.比如，(x-+(y-z)/+

(Z-X”2是輪換對稱多項式,但不是對稱多項式.

交代對稱多項式設A是一個多項式，如果將A中兩個字母互換，得到的多項式與-4恒等，則

稱4是關于這兩個字母的交代對稱多項式.如果多項式A關于它所含的任意兩個字母都是交代對

稱的，則稱A是交代對稱多項式，簡稱交代多項式.比如,-yW+(y-[)//+(z-

x)?x2都是交代多項式.

上述一些特殊多項式具有如下一些性質(zhì)：

(1)任何一個對稱多項式均可表示成若干基本對稱多項式的和.

(2)任何兩個對稱多項式的和、差、積仍是對稱多項式，任何兩個輪換對稱多項式的和、差、積仍是

輪換對稱多項式，任何兩個齊次多項式的和、差、積仍是齊次多項式.

(3)兩個交代多項式的積是對稱多項式，一個交代多項式與對稱多項式的積是交代多項式.

**基本方法

賦值法先選擇一個字母為主元，將多項式看成是一元多項式，再試驗字母(主元)的某些取值使多項式

的值為零，由此發(fā)現(xiàn)多項式含有的因式.

待定系數(shù)法先根據(jù)多項式的特征，發(fā)現(xiàn)它含有的某些因式，再根據(jù)多項式的次數(shù)及多項式的對稱性確

定它的其他因式，進而將多項式表示成若干多項式的積(含有待定系數(shù))的形式，最后通過比較系數(shù)或賦值

確定待定系數(shù).

**基本問題

對稱多項式的因式分解通常采用賦值法，先通過試驗，發(fā)現(xiàn)對稱多項式含有的某些因式，然后將因式

中某兩個字母互換，得到的式子仍是原多項式的因式.止匕外，對稱多項式也可先將其用基本對稱多項式表

示，然后再分解.

輪換對稱多項式的因式分解如果一個輪換對稱多項式含有某種因式，那么，將這個因式中的所有字母

按一定順序輪換(第一個字母換成第二個字母，第二個字母換成第三個字母，…，最后一個字母換成第一

個字母)，得到的式子仍是原多項式的因式.

交代多項式的因式分解任何交代多項式一定被它含有的任何兩個字母的差整除.

1.對稱式

例12.(★★★江蘇初中數(shù)學競賽)分解因式：(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.

【解】：設(ab+be+ca)(ab+c)-abc=A(a+6)(6+c)(c+a)

令a=O,b=l,c=l,得

1-2-0=A-l-2-1,

所以A=l.

故(ab+be+ca)(a+6+c)-abc=(a+6)(b+.c)(c+a)

2.輪換

例13.(★★★四川初中數(shù)學競賽)分解因式：X3+/+Z3-3^Z

【解】:

設J+,2+z?-3年=[A(，+夕？+d)+B(町+產(chǎn)+。)](4+y+z),

令④=y=O,Z=l,得A=1.

令%=O,y=z=l,得24+B=1,

所以B=-1.

故x3+y3+z3-3xyz

=[(x2+y2+z2)-(xy+yz+zx)](x+y+z)

=(%2+y2+z2-xy-yz-z%)(x+y+z).

3.交代式

例14.(★★★南昌初中數(shù)學競賽)分解因式：a2(6-c)+62(c-a)+c2(a-6)

【解】：

設a2(6-c)+62(c-a)+c2(a-6)=A(a—b)(b-c)(c-a)

令a=0,6=l,c=-1，

得0+(-1)+(-1)=4(-1)?2?(-1),

所以A=-1.

故a2(b-c)+b2(c-Q)+c2(a-b)

=-(a-6)(b-c)(c-a)

=(a-6)(6-c)(a-c).

§1.4因式分解的應用

⑧考試要點剖析

因式分解的應用是非常廣泛的，它主要有以下幾個方面：

求值問題對于多項式的求值，如果知道某個整體的值，則可在多項式中分離出整體(因式)，然后將

整體的值代入；對于分式的求值問題，可將分子分母分別分解，然后約去相同的因式，使分式化簡，然后

再求值.

證明條件等式在給定約束條件下，證明某等式恒成立，常可對條件等式中的多項式進行因式分解，

使條件得到簡化，進而推出有關結論.

整除問題要證明某個數(shù)(式子)整除一個多項式，可將數(shù)(式子)和多項式分別分解，然后證明多項式

的每一個因式被一個對應的數(shù)(式子)整除.

質(zhì)數(shù)與合數(shù)問題要證明一個多項式的值是合數(shù)，只須將多項式分解因式，然后證明每一個因式的值

都是大于1的整數(shù).'

不定方程問題將方程中含有的多項式因式分解，然后判別各因式取值的奇偶性，使問題獲解.

完全平方數(shù)問題要證明一個多項式的值是完全平方數(shù)，可將多項式因式分解，然后證明多項式的每

一個因式的值都是完全平方數(shù).

1.計算

(1兩-2005)(19992+3995)x2004

例15.(★★★長沙初中數(shù)學競賽)計算1996x]998x2001x2002

(19902-2005)(19992+3995)x2004

[解]1996x1998x2001x2002

,(19992-1999-6)(19992+2x1999-3)x2004

二1996X]998x200]x2002

(1999-3)(1999+2)(1999+3)(1999-1)x2004

=1996.1998x2001x2002

1996x1998x2001x2002x20043nm

=~1996x1998x2001x2002""='

2.化簡

1

例16.(★★★江蘇省初中數(shù)學競賽)化簡T)G-導為G+上同

解(7-7)(7-i+7)(7+i+7)

=(T-7)d+7)(7-i+7)(7+i+7)

=(7+7)(7-7)

11y6-獷

=7-7=X6/-

3.求值

例(★★吉林初中數(shù)學競賽)設是實數(shù)，且求15而+川的值.

17.a,ba+b=5,t?+

【解】：a3+15ab+b3

=a3+b3+3*5*ab

=a+b3+3*(a+b)?ab

甑必=(a+bp=5,=125.

整除

例18.(★★★基輔數(shù)學競賽)設n是正整數(shù)，證明：n(n2-l)(d-5"+26股120整除.

【解】：

證明n(n2-1)(n2-5n+26)

=n(n2-1)[(ri2—5n+6)+20]

=n(n-l)(n+l)(n-2)(n-3)+20n(n-1)(n+1),

因為-D(n+1)"-2)(〃-3)是5個連續(xù)正整數(shù)的積，其中至少有2個連續(xù)偶數(shù),這兩個

偶數(shù)中必有一個是4的倍數(shù)，所以這兩個偶數(shù)是8的倍數(shù)，所以n(n-1)(n+1)(n-2)(n-3)是8

的倍數(shù).又顯然n(n-l)(n+l)(n-2)(n-3)是3和5的倍數(shù)，所以n(n-1)(n+1)(n-2)(n-3)

是8?3?5=120的倍數(shù).

另外,2O“(n-l)(n+l)顯然是5和4的倍數(shù)，而n(吁l)(n+1)顯然是2和3的倍數(shù)，所以

20n(n-l)(n+1)>5-4-2-3=120的倍數(shù).

綜上所述,Mr?-1)(d_5〃+26)被120整除.

4.不定方程

例(★★★天津初中數(shù)學競賽)證明：方程？無整數(shù)解.

19.-/=20G2

【解】：

證明方程變?yōu)?x+y)(x-y)=2002.

因為x+y^x-y同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，當x+y^x-y同為奇數(shù)時,("+y)(z-y)為奇數(shù)，但

2002為偶數(shù)，矛盾，當x+y、工-y同為偶數(shù)時,G+y)(H-,)為4的倍數(shù)，但2002不是4的倍數(shù)，矛

盾.

綜上所述，方程x2-/=2002無整數(shù)解.

5.完全平方數(shù)

例20.(★★★武漢初中數(shù)學競賽)設a、n都是正整數(shù)，且al2n2,證明：d十不是完全平方數(shù).

證明因為al2n2,所以存在正整數(shù)A,使21=機.【解】：

假設“2+Q是完全平方數(shù)，則k2(n2+a)也是完全平方數(shù).

但A2(n2+a)=k2n+k1a=k2+k'ka=k2n1+k,2n=n2(A:2+2k),

2

所以k+2k是完全平方數(shù).

這是不可能的，因為(k+l)1>k2+2k>k2.

綜卜所述.儲+a不是完全平方數(shù).

三、練習題

1.（★★分組）分解因式：（a+l）（b+l）（而+1）+M

【解】：

原式=[(a6+l)+(a+6)](a6+l)+ab

=(afc+l)2+(a+b)(ab+1)+ab

二(ab+1+a)(ab+1+b).

2.(★★換元)分解因式：(工+1)(g+3)(*+5)(/+7)+15

【解】：

令t=(*+D±-(.紇+3)；(*豆+&包="+2,得(工+1)(，+3)(工+5)(工+7)+15=(公+

x+5)(x+2)(x-1).

3.(★★★十字)分解因式：6x2-5xy-6/-2xz-23yz-20?

【解】：

原式=(3/+2,)(2%-3夕)-2%z-23jz-20/=(3%+2y+5z)(2x-3y-4z).

4.(★★★待定系數(shù)法)分解因式：4m2+4mn+n+6m+3n+2

【解】：

因為47n2+4nin+n2=(2m+n)2，所以可設4m2+4/nn+n2+6m+3n+2=(2m+n+a),

(2m+n+b)=4m2+4mn+n24-(2a+26)m+(a+6)n+而.比較上式兩邊的對應項系數(shù)，得a=

1,6=2或。=2,6=1,所以4m.2+4mn+n2+67n+3幾+2=(2m.4-n+1)(2m+n+2).

5.(★★★主元)分解因式：(a+6)/-(a?+而++02從

【解】:

222222232

以b為主元，則原式=(M?+從3-Q2c2_^2-.5c+a6=6(a-c)+6(c-ac)+

(ac3-a2c2)=62(a-c)(a+c)+te2(c-a)+ac2(c-a)+ac2(c-a)=(c-a)(-i2a-62c+fc2+

函2)=(c-a)[a(-b2+c2)+be(-b+c)]=(c-a)(c—6)(ar+ab+be),

6.(★★添項、拆項)分解因式：x3+6x2+llx+6

【解】:將11*分拆為9%+2%,則原式=(工+1)("2)(4+3)

7.(★★★添項、拆項)分解因式：a2(ft-c)+ft2(c-a)+c2(a-6)

【解】：

原式=a2[(6-a)+(a-c)]+b2(c-a)+c2(a—6)

=a2(6—a)+a2(a—c)+62(c—a)+c2(a—b)

=(a-6)(c2-a2)+(c-a)(62-a2)

=(a-6)(c-a)(c+a)-(c-a)(a—5)(a+b)

二(a-6)(c-a)(c—6)=-(a-6)(6-c)(c-a)

8.(★★★一題多解)分解因式：x3+2x2-5%-6(至少5種方法)

【解】：

解法1原式=(/+/)+(/+*)-(6*+6)

=%2(%+1)+%(%+1)-6(%+1)

=(*+1)(，+4—6)

=(%+l)(%-2)(x+3).

解法2原式=(一一2/)+(4%2-8%)+(3%-6)

=x2(%-2)+4%(x-2)+3(x-2)

=(%-2)(x2+4%+3)

二(?+1)(%-2)(%+3).

解法3原式=(x3+3-)-(x2+3x)-(2x+6)

=%2(%+3)-%(%+3)-2(x+3)

=(x+3)(%2-x-2)

工(%+1)(%一2)(%+3).

解法4原式=(x3+4-+3x)-(2%2+8x+6)

=x(x2+4%+3)-2(x2+4%+3)

=(x2+4x+3)(x-2)

=(x+l)(x-2)(x+3).

解法5原式二(d+%?_6%)+(J+3%-6)

=x(x2+%-6)+(%2+3x-6)

=(x2+3x-6)(x+l)=(x+l)(x-2)(x+3)

解法6原式=(%3-x2-2x)+(3d-3x-6)

2

=-x-2)+3(x-A;-2)

=(x2---2)(.+3)=(x+1)(--2)(%+3)

9.(★★★對稱)分解因式：(a+B+c)5-Q5-儼一,5

【解】：

當a=-b時,(a+6+c)5-a'-6,-c，=0,所以(a+b+c)，-d-*-「含有因式(a+

5

b),又(a+b+c)-，-/-c'是對稱多項式,所以它還含有因式(6+。、頻+。).再注意到(<1+6+

c)3-a5-b5-c5是齊次多項式，從而它的另外的因式應是二次齊次對稱多項式，故可設(a+b+

c)5—a5—bs-c5=(a+6)(6+c)(c+a)[A(a2+b2+c2)+B(ab+be+ca)].令a=1,6=1,c=0,

得24+8=15.令a=0,6=1,c=2,得54+25=35,解得4=5,3=5.所以(a+6+c)s-a5-b5-

c5=5(a+6)(6+c)(c+a)(a2+b2+c2+ab+be+ca).

10.(★★★輪換)分解因式：a2(6+c)+62(c+a)+c2(a+i)-a3-63-c3-2abc

【解】：

當a=6+c時，o2(6+c)+b2(c+Q)+c2(Q+6)-Q3-63-c3-2abc=0,所以a2(6+c)+

62(c+a)+c2(a+6)-a^-63-c3-2abe6+c-a,Xa2(6+c)+62(c+a)+c2(a+6)-

a3-b3-c3-2abc是對稱多項式，所以它還含有因式(a+6-c)、(c+吁6).

再注意到a2(6+c)+62(c+a)+c2(a+6)—a3-63-c3-2abc是三次多項式，可設a2(6+c)+

62(c+a)+c2(a+6)-a3-63—e3-2abc=A(Q+6-c)(6+c—a)(c+a-6),令a=b=c=l,得

k=1.

所以a2(6+c)+62(C+a)+c2(a+6)-a3-63-c3-2abc=(a+6-c)(b+c-a)(c+a-b)

11.(★★★交代)分解因式：-b2)+bc(b2-c2)+ca(c2-a2)

【解】：

因為abCa1-b2)+bc(b2-c2)+ca(c2-a?)是交代多項式，所以它含有因式(a-b)(b-

c)(c-a).又ab(a2-62)+5c(62-c2)+ca(c2-a?)是四次多項式，而(2?b)(b-c)(c-o)是二

次多項式，所以而(02-62)+慶(62-02)+8(02-。2)是(0-6)(6-。)(。-0)與一個一次多項式

的積.

再注意到而(a?-62)+bc(62—c2)+ca(c2-a?)、(°一6)(6一c)(c-Q)都是齊次交代式，所以

“一次因式”是關于a、b、c的齊次對稱多項式：A(a+6+c).

于是，設a6(a2—62)+bc(b?—c2)+ca(c2—a2)=A(a+6+c)(a—6)(6—c)(c-a),令a=

0,6=l,c=2,得O+2?(-3)+0=Q。-1)(-1)2所以A=-1.故點(b-c)+?(c-a)+<?(Q-

6)=-(a+6+c)(a-6)(6-c)(c-a)=(a+6+c)(a-6)(6-c)(a-c).

19953-2x19952-1993

12.1995年北京市初二數(shù)學競賽題）計算:19953+19952-1996

【解臬令1995=Q，則1993=。-2,1996二a+1.

m.|盾#/一？。？—a+2(a，—a)-(2/—2)(a—l)(a+l)(a—2)_a—2_1993

知原九=Q3+Q2_Q-I=Q2(Q+I)_(Q+D=(a-l)(a+l)(a+l)=TH=1996

13.(★★★第二屆全國部分省市通訊賽試題主元)計算：

卜-標+春）

（H+KH+HUM?

【解】：分子、分母同乘以4,得

面#—axi,+DSx^+Dax/+D-Gxiy+i)田為4"?

原H-(4x24+l)(4x4,+1)(4X6+l)-(4x204+1),內(nèi)方

1=(2a2+I)2-4a2=(2a2-2a+1)(2a2+2a+1)=[(a-1)2+a2][a2+(a+1),],所以原式=

[(l2+22)(22+32)]-[(32+42)(42+52)]-[(192+202)(202+212)]=^+2p=84i,

14.(★★★)化簡(*+y+zT-(y+z-%尸-(z+4-,)3-(%+y-zT

【解】：

當務=0時，(%+y+z)3~(y+z-x)3-(z+x-y)3一(力+￥一2)3=0,所以(/+,+2)3—(夕+

z-x)3-(z+x-y)3-(x+y-z)3含有因式”.又(%+y+z)3-(y+z-欠下-(z+%-y)3一(%+

y-z>是對稱多項式，所以它還含有因式“再注意到它是三次多項式，所以可設(%”+z>-

z-?)3-(z+x-y)3-(x+y-z)3=kcyz,令x=y=1,z=-1,得A=24,所以(x+y+z)3-(y+

z-x)3-(z+x-y)3-(%+y-z)3=24吵.

15.(★★)已知1+/+#+/+/=0,化簡1+*+/2+X3+*4+…+,19?

【解】：

值才

原式=(/11+.?+.式2+,x3+,x4)\+,/(X5+,x6.+x7+.x8+.49\),+???,+/(%1995+,X19%+.X1997+.X19?+.

產(chǎn))

=(1+X+X2+X3+X4)(1+X5+X10+,,,+X1995)=0.

16.(★★)設a、b、c是實數(shù)，且a+b+c=0,abc=6,求+配+/的值.當x>0,y>0時,

比較45+y5與14X^y+盯4的大小.

【解】：

a34-63+c3-3abe=(a+i+c)(a2+62+c2-a5-6c-CQ)=0,所以ab3+c3-3abc=0,

所以a3+Z>3+c3=3abc-18.

17.(★★★幾何)已知一個直角三角形的三邊都是整數(shù)，且一條直角邊是17,求它的周長.

【解】：

因為(/+/)-(『,+xy4)=(x5-?*y)+(y5-xy*)=x*(x-y)-y4(x-y)=(x~y)(x4-

y4)=(x-y)2(x2+y2)(x+y).

而已知x>0叫>0,所以(/+ys)-(x4y+xy4)=(x-y)2(x3+y2)(x+,)云0,所以x5+y5>

X4y+xy4.

18.(★★幾何)在AABC中三邊a、b、c滿足a3+b3+c3-3abc=0,試判定三角形的形狀.

【解】：

設直角三角形的斜邊為叫另一條直角邊為y,根據(jù)勾股定理，得j=172+?,?-/=172,

即(彳+y)(~y)=172,注意到(工+7)、("-y)都是正整數(shù),=17x17=172x1,所以*+y=172,z-

y=1,解得工=145,y=144,所以直角三角形的周長為145+144+17=306.

19.證明：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除.

【解】：

因為(2兀+1)2-(2M-1)2=(2幾+1+2n-1)(2"+1-2n+1)=4個2=8”,所以這兩個連續(xù)

奇數(shù)的平方差能被8整除.

20.(★★★)解方程組：

'xy+x+y=1,

yz+y+z=5,

zx+z+x-2.

【解】：

①變形為(工+l)(y+l)=2,②變形為(y+D(z+l)=6,③變形為(z+l)(*+l)=3,將三式

相乘得G+l)(y+l)(z+l)=±6,再分別與上述三式相除得原方程組的解為：

'x=0,r%=-2,

y=1,'y=-3,

,z=2,、z=-4.

28.方程兩邊加1,得(x+D(y+l)(z+l)=愛T3T9,所以

x+1=8,

y+1=13,

z+1=19.

解得(*y,z)=(7,12,18)，(7,18,12),(12,7,18),(12,18,7),(18,7,12),(18,12,7)共6組解.

補充題

1.(★★★)分解因式：?-6x2+llx-6(一題多解)

【解'原式=，+(---5公)+11"-6

=X2(X-1)+(6-5X)(X-1)

=(x-l)(x-2)(x-3).

2.(★★★)分解因式：設多項式抽？+6x2-47X-15含有因式3x+l和2x-3,試將此多項式因式

分解.

【解】:

依題意，*=—4時，/+以-47，-15的值都為零，

ab47n

所以-27+T+T-l5=0>

平+當_粵_15=0,

3qz

解得a=24,6=2,

所以ax3+bx2-47%-15=24%+2x2-47x-15.

作綜合除法：

242-47-151

-8215

24-6-4503

T

3645

24300

所以ax3+bx2-47X-15

=24x3+2%2—47%-15

1Q

二(4+丁)(4--2)(2AX+30)

=(3x+1)(2%-3)(4%+5).

3.(★★★★)證明：已知多項式爐-54+4r含有因式(x-c)2,證明：q5=r

【解】：

證明設/-54+4r

=(x-c)2*(x3+