行列式性質(zhì)與計(jì)算

行列式性質(zhì)與計(jì)算a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

=下頁a11a21a31…an1

0a22a32…an2

00a33…an3

000…ann

……………

=a11a22a33

ann.a1100…0a12a220…0a13a13a33…0a1na2na3n…ann

……………

=a11a22a33

ann.第2頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

將行列式D的行與列互換后得到的行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為DT(Transpose)或D

.即如果2.1行列式的性質(zhì)a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

D=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

an1an2…ann

…………

DT

=則.第2節(jié)

行列式的性質(zhì)與計(jì)算顯然，(DT)T=D.下頁行列式的轉(zhuǎn)置第3頁,共23頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)3

用數(shù)k乘以行列式的某一行(列)，等于用數(shù)k乘以此行列式.即a11…kai1…an1

a12…kai2…an2

a1n…kain…ann

……………=k.a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即D=DT.推論1

如果行列式的某一行(列)的元素全為零，則D＝0.性質(zhì)2

互換行列式的兩行(列)，行列式的值變號(hào).推論

如果行列式D中有兩行(列)的元素相同，則D=0.

推論2

如果D中有兩行(列)對(duì)應(yīng)元素成比例，則D=0.下頁第4頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

性質(zhì)4

若行列式中的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式可以寫成兩個(gè)行列式之和.即a11…ai1+bi1…an1a12…ai2+bi2…an2a1n…ain+bin…ann……………a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………

=

性質(zhì)5

將行列式的某一行(列)的所有元素同乘以數(shù)k后加到另一行(列)對(duì)應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變.即a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………

a11…ai1+kaj1…an1a12…ai2+kaj2…an2a1n…ain+kajn…ann……………=.+a11…bi1…an1

a12…bi2…an2

a1n…bin…ann

……………

.下頁第5頁,共23頁，2024年2月25日，星期天行列式的計(jì)算要點(diǎn)：利用性質(zhì)將其化為上（下）三角行列式，再進(jìn)行計(jì)算.下頁為表述方便，引入下列記號(hào)(行用r，列用c)

：以數(shù)k≠0乘以行列式的第i行，用kri表示；以數(shù)k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.交換行列式的第i行與第j行，用表示；（換法變換）（倍法變換）（消法變換）思考：這三種變換的結(jié)果分別是什么？第6頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例1.計(jì)算行列式解：=-85.下頁第7頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例2.

計(jì)算行列式解：下頁第8頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例3.計(jì)算行列式解：

將各行都加到第一行，從第一行提取[x+(n-1)a]得下頁第9頁,共23頁，2024年2月25日，星期天一、余子式與代數(shù)余子式

定義6

在n階行列式D=|aij|中去掉元素a

ij

所在的第i行和第j列后,余下的n-1階行列式，稱為D中元素aij

的余子式，記作Mij.a11a21a31a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14a24a34a44

例如，求4階行列式中a32的代數(shù)余子式a11a21a41

a13a23a43

a14a24a44

M32

A32

(-1)3+2M32=-M32令A(yù)ij

(

1)i

jMij，Aij稱為元素aij的代數(shù)余子式.2.2行列式按行(列)展開下頁第10頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

一、余子式與代數(shù)余子式

定義6

在n階行列式D=|aij|中去掉元素a

ij

所在的第i行和第j列后,余下的n-1階行列式，稱為D中元素aij

的余子式，記作Mij.令A(yù)ij

(

1)i

jMij，Aij稱為元素aij的代數(shù)余子式.a11a21a31a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14a24a34a44

再如，求4階行列式中a13的代數(shù)余子式a21a31a41

a22a32a42

a24a34a44

M13

A13

(-1)1+3M13=M13下頁2.2行列式按行(列)展開第11頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

定理4

n階行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和.即

定理5

n階行列式D=|aij|的某一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和等于零.即D

ai1Ai1

ai2Ai2

ainAin(i=1,2,

,n)，D

a1jA1j

a2jA2j

anj

Anj(j=1,2,

,n).ai1Aj1

ai2Aj2

ainAjn

0(i

j)，a1iA1j

a2iA2j

ani

Anj

0(i

j).二、展開定理下頁第12頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

例4．分別按第一行與第二列展開行列式11-2013-231D=

解：按第一行展開13311-2311-213

a11A11

a12A12

a13A13D=1

(-1)1+1+0

(-1)1+2

(-1)1+3+(-2)=1

(-8)+0+(-2)

5=-18.三、利用展開定理計(jì)算行列式下頁第13頁,共23頁，2024年2月25日，星期天按第二列展開1-2311-2-2111-23

=0+1

(-3)+3

(-1)

5=-3-15=-18.

例4．分別按第一行與第二列展開行列式11-2013-231D=

解：按第一行展開

a11A11

a12A12

a1nA1nD=1

(-8)+0+(-2)

5=-18.

(-1)3+2+3

(-1)2+2+1

(-1)1+2=0

a12A12

a22A22

a32A32D下頁第14頁,共23頁，2024年2月25日，星期天解：

將某行(列)化為一個(gè)非零元后展開例5．計(jì)算行列式1

2

34120-53-1-101

012D==(-1)(-1)3+2

7

147-2-51

126

029

0-11

12=1

(-1)2+2

692-1=-6-18=-24.7

0

1470-2-53-1-101

0121

2

34120-53-1-101

012D=下頁第15頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例6.

計(jì)算行列式解：下頁第16頁,共23頁，2024年2月25日，星期天,(D2=5)解：例7.

計(jì)算行列式下頁第17頁,共23頁，2024年2月25日，星期天證明：從最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得例8.

證明范得蒙德（Vandermonde）行列式下頁第18頁,共23頁，2024年2月25日，星期天下頁第19頁,共23頁，2024年2