衍射和傅里葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)

衍射和傅里葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)傅里葉光學(xué)，就是采用傅里葉分析（頻譜分析）的方法來分析光學(xué)問題。所討論的問題仍然是有關(guān)光波的傳播、分解與疊加（干涉、衍射）、光學(xué)系統(tǒng)的成像規(guī)律。傅里葉分析方法的引入，使人們對各種光學(xué)現(xiàn)象的本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律有了更深入地了解和認(rèn)識。傅里葉光學(xué)已成為光學(xué)中的一個(gè)分支。

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)第2頁,共52頁，2024年2月25日，星期天時(shí)間分解原子發(fā)光是斷續(xù)，它總是發(fā)出具有一定持續(xù)時(shí)間的波列，這樣的光波不是單色光波，波動(dòng)方程會變的很復(fù)雜，它的特性也不能很容易得到。用這樣的光波疊加、分解時(shí)，幾乎無法對它進(jìn)行計(jì)算。用傅里葉數(shù)學(xué)方法就可以把這樣一個(gè)在時(shí)間上有限的波列，即一個(gè)“多時(shí)間頻率”成分的“多色”光波，分解成許多無限長波列的簡諧波，即許多單頻率成分的單色光波的疊加。這是傅里葉方法用于光學(xué)中的“時(shí)間分解”。第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)第3頁,共52頁，2024年2月25日，星期天空間頻譜分解在傳播中或與物質(zhì)相互作用中，在空間上受到種種限制的單色光波，其簡諧波在空間范圍內(nèi)的延續(xù)性受到了破壞，也同樣使得光波成為了非單色光。采用傅里葉方法把這些空間受限或空間調(diào)制的波面進(jìn)行分解，可以得到許多不同方向或不同空間頻率的平面波成分，這個(gè)分解稱為空間頻譜分解。第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)第4頁,共52頁，2024年2月25日，星期天對于諸如光的傳播、疊加(干涉)、衍射及成像等光學(xué)現(xiàn)象，傳統(tǒng)的方法是在空間城中直接討論。利用傅里葉方法就可以把對這些現(xiàn)象的分析轉(zhuǎn)化到頻率城中，用頻譜分析方法進(jìn)行討論，因?yàn)橛袝r(shí)候，在空間分析這些問題是很困難的?？梢哉f，傅里葉分析方法促進(jìn)了現(xiàn)代光學(xué)的發(fā)展。

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)第5頁,共52頁，2024年2月25日，星期天第一節(jié)常用非初等函數(shù)

所謂初等函數(shù)，是指在自變量的定義域內(nèi)，能用單一解析式對五種基本初等函數(shù)進(jìn)行有限次數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù)。在函數(shù)論中，有五種函數(shù)被稱為基本初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)。非初等函數(shù)是我們光學(xué)中常用的數(shù)學(xué)工具。非初等函數(shù)是指在自變量的定義域中，不能用單一解析式表示的函數(shù)。第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)第6頁,共52頁，2024年2月25日，星期天一、標(biāo)準(zhǔn)形式的一維非初等函數(shù)

sinc函數(shù)嚴(yán)格來說并不是非初等函數(shù)，但是。我們在討論衍射問題是會用到。

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)1.矩形函數(shù)

矩形函數(shù)又稱為門函數(shù)，記為

第7頁,共52頁，2024年2月25日，星期天矩形函數(shù)曲線下面積為1，即該函數(shù)滿足：

在光學(xué)上，常用矩形函數(shù)表示狹縫衍射孔徑和矩形光源等。第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)2.sinc函數(shù)

sinc函數(shù)定義為：

第8頁,共52頁，2024年2月25日，星期天它的中央極大被稱為中央主極大，其寬度為2。其余稱為次極大，寬度為1。在光學(xué)中，單縫的夫瑯和費(fèi)衍射后得到的復(fù)振幅就是一個(gè)sinc函數(shù)。曲線下面積為1：第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)sinc函數(shù)的另一個(gè)定義：

Sinc函數(shù)的性質(zhì)

此時(shí)自變量是一個(gè)角度。第9頁,共52頁，2024年2月25日，星期天將sinc函數(shù)平方，就得到：第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)3.函數(shù)

振幅的平方是光的強(qiáng)度，所以，

函數(shù)表示的是單縫衍射得到的光強(qiáng)。

第10頁,共52頁，2024年2月25日，星期天二、一維非初等函數(shù)的一般形式

在實(shí)際使用中，當(dāng)然不可能總是只用到標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)，更經(jīng)常用的應(yīng)該是它們的一般形式。

1.比例縮放、平移和反射一個(gè)一維矩形函數(shù)經(jīng)過比例縮放、平移和反射后，得到一個(gè)一般形式的矩形函數(shù)：第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)第11頁,共52頁，2024年2月25日，星期天各參數(shù)的意義

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)a——縱向縮放因子。它確定了函數(shù)的縱向縮放比例及反射（以為軸反射）。b——縱向平移因子?！獧M向平移因子。

L——橫向縮放因子。它確定了函數(shù)的橫向縮放比例及反射（以x=x0為軸反射）

第12頁,共52頁，2024年2月25日，星期天2.非初等函數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合

將非初等函數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算和復(fù)合后就可以表示較為復(fù)雜的物理過程。矩形調(diào)制波。第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)該矩形調(diào)制波可表示為：

第13頁,共52頁，2024年2月25日，星期天三、常用二維非初等函數(shù)

二維非初等函數(shù)的形式和描述它時(shí)選用的坐標(biāo)系有關(guān)。坐標(biāo)系的選取原則是有利于函數(shù)的簡化運(yùn)算。所以，非對稱物理量通常選擇在直角坐標(biāo)系中來描述，而具有圓對稱分布的物理量就選擇在極坐標(biāo)中描述。如果一個(gè)二維函數(shù)可以表示為：

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)則稱這個(gè)二維函數(shù)為可分離變量函數(shù)。第14頁,共52頁，2024年2月25日，星期天可分離變量函數(shù)我們可以將它當(dāng)作兩個(gè)一維函數(shù)的乘積，即可以分別對一維函數(shù)進(jìn)行處理，再把它們乘起來即可。二維函數(shù)的可分離性與描述它時(shí)選取的坐標(biāo)系有關(guān)。

1.直角坐標(biāo)系中的二維非初等函數(shù)

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)二維矩形函數(shù)第15頁,共52頁，2024年2月25日，星期天二維矩形函數(shù)

二維矩形函數(shù)在直角坐標(biāo)系中是可分離變量函數(shù)，它的定義為：第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)在光學(xué)中，這樣的一個(gè)二維矩形函數(shù)常用來描述一個(gè)均勻照明方形小孔的振幅透射系數(shù)。第16頁,共52頁，2024年2月25日，星期天二維矩形函數(shù)的一般形式可表示為：

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)它表示的是中心位于

邊長為的均勻照明矩形孔徑的振幅透射系數(shù)。

第17頁,共52頁，2024年2月25日，星期天2.極坐標(biāo)系中的二維非初等函數(shù)

圓域函數(shù)又稱為圓柱函數(shù)，記為：第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)或

它在極坐標(biāo)系中定義為：

它在直角坐標(biāo)系中的定義為：

第18頁,共52頁，2024年2月25日，星期天在光學(xué)中，圓域函數(shù)常用來描述均勻照明圓形孔徑的透射系數(shù)。

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)第19頁,共52頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)光學(xué)中常用的特殊函數(shù)

一、δ函數(shù)和梳狀函數(shù)

狄拉克函數(shù)，也稱為脈沖函數(shù)。第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)

我們用δ函數(shù)來表示任何在某種坐標(biāo)系下高度集中的量，如點(diǎn)電荷、點(diǎn)光源、質(zhì)點(diǎn)以及又窄又強(qiáng)的電脈沖等。

對一個(gè)線性系統(tǒng)的復(fù)雜的輸入，只需把復(fù)雜的輸入分解成大量的δ函數(shù)的疊加，并對每個(gè)δ函數(shù)適當(dāng)加權(quán)定位。我們只要知道系統(tǒng)對單個(gè)脈沖輸入（即δ函數(shù)）的響應(yīng)，則輸出就可由系統(tǒng)對所有δ函數(shù)的響應(yīng)的疊加來獲得，簡化計(jì)算。正因?yàn)槿绱耍诂F(xiàn)代光學(xué)中δ函數(shù)的應(yīng)用很廣泛。

第20頁,共52頁，2024年2月25日，星期天

δ函數(shù)又稱為“奇異函數(shù)”或“廣義函數(shù)”，有兩個(gè)原因：一是δ函數(shù)沒有確定的函數(shù)值，它只是一種極限狀態(tài)，并且它的極限狀態(tài)與其余函數(shù)也不同，它不收斂到一個(gè)定值，而是收斂到無窮大。二是δ函數(shù)不能像普通函數(shù)那樣進(jìn)行四則運(yùn)算和乘冪運(yùn)算，它對別的函數(shù)的作用只能通過積分來確定。

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)第21頁,共52頁，2024年2月25日，星期天1.一維δ函數(shù)的定義

δ函數(shù)可以有兩種不同的定義（1）分段函數(shù)形式的定義：

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)第22頁,共52頁，2024年2月25日，星期天

在光學(xué)中，常用來表示位于坐標(biāo)原點(diǎn)的具有單位光功率的點(diǎn)光源，這樣的一個(gè)點(diǎn)光源，由于它所占的面積趨于零，所以在點(diǎn)光功率密度趨于無窮大。

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)即為

也可以被形象地比喻成如右圖所示的正在不斷向上拉伸的面團(tuán)，這時(shí)無論將面團(tuán)拉得多高，面團(tuán)的體積、(這時(shí)不是面積而是體積)總是一定的，而且，隨著高度的增高，寬度愈來愈窄。

中心在

第23頁,共52頁，2024年2月25日，星期天（2）普通函數(shù)序列極限形式的定義

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)設(shè)是一個(gè)普通函數(shù)序列，

在時(shí)具有無窮大極值，且對于任意，均有曲線下面積等于1。于是函數(shù)可定義為：

第24頁,共52頁，2024年2月25日，星期天

只要滿足條件，所有的序列函數(shù)都可以用來定義δ函數(shù)。我們用矩形函數(shù)序列來說明δ函數(shù)的定義。

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)

設(shè)矩形函數(shù)寬度a

，高度為1/a，其總面積為1，隨著寬度的減小，高度逐漸增大，當(dāng)a→0時(shí)，高度1/a→∞，此時(shí)，矩形函數(shù)就演變成只在x=0點(diǎn)有值的脈沖函數(shù)。

-2-1-1/201/212第25頁,共52頁，2024年2月25日，星期天

從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，我們并不關(guān)心δ函數(shù)本身的嚴(yán)格形式，而只關(guān)心它在積分號下的性態(tài)；從物理的角度來看，我們只須把它看作足夠窄，以至當(dāng)使它進(jìn)一步變窄時(shí)不再影響我們所關(guān)心的結(jié)果。第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)2.一維δ函數(shù)的性質(zhì)

（1）積分性質(zhì)：δ函數(shù)的積分可以直接從定義推導(dǎo)出來：

這一積分有時(shí)又稱為δ函數(shù)的強(qiáng)度。第26頁,共52頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)δ函數(shù)的定義，還可以得到：

δ函數(shù)的篩選性：第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)如果一個(gè)函數(shù)與δ函數(shù)相乘并積分，則這一積分有明確值：

δ函數(shù)的這一個(gè)性質(zhì)的作用，是通過與連續(xù)函數(shù)相乘的積分，篩選出連續(xù)函數(shù)在脈沖所在位置的一個(gè)函數(shù)值。

第27頁,共52頁，2024年2月25日，星期天推論1:

推論2：第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)若定義在區(qū)間，則有：

（2）δ函數(shù)的乘積性質(zhì)

設(shè)在x=x0點(diǎn)連續(xù)，則有：

第28頁,共52頁，2024年2月25日，星期天

δ函數(shù)的乘積性質(zhì)又稱抽樣性質(zhì)。它表示任一連續(xù)函數(shù)與δ函數(shù)相乘，其結(jié)果只能抽取該函數(shù)在δ函數(shù)所在點(diǎn)處的函數(shù)值，這個(gè)離散點(diǎn)為第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)由這一性質(zhì)，我們還可以得到這樣的一個(gè)推論：

第29頁,共52頁，2024年2月25日，星期天（3）坐標(biāo)縮放性質(zhì)

設(shè)a為實(shí)常數(shù)，則有：

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)推論1：

推論2：

這就是δ函數(shù)縮放性的含意。函數(shù)的面積現(xiàn)在是a而不是1。第30頁,共52頁，2024年2月25日，星期天3.一維梳狀函數(shù)comb(x)

（1）梳狀函數(shù)的定義：呈周期排列的δ函數(shù)所組成的函數(shù)稱為梳狀函數(shù)，如圖所示，記為comb(x)，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)第31頁,共52頁，2024年2月25日，星期天（2）梳狀函數(shù)的性質(zhì)

這其實(shí)就是間隔為1，強(qiáng)度為1的δ函數(shù)無窮序列，所以又稱為單位脈沖序列或單位脈沖梳。在光學(xué)上，常用它來表示光柵常數(shù)為1的一維細(xì)縫光柵的振幅透射系數(shù)。

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)梳狀函數(shù)的性質(zhì)可由δ函數(shù)的定義和性質(zhì)直接求出。

①梳狀函數(shù)的篩選性

設(shè)是定義在區(qū)間的連續(xù)函數(shù)，則有：

第32頁,共52頁，2024年2月25日，星期天②縮放性質(zhì)：

③平移性質(zhì)：設(shè)a和x0皆為實(shí)常數(shù)，則有：

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)設(shè)a為實(shí)常數(shù)，則有：

這是強(qiáng)度為，脈沖間隔為的函數(shù)無窮序列。其中，當(dāng)時(shí)，脈沖間隔壓縮，當(dāng)時(shí)，脈沖間隔放大。

第33頁,共52頁，2024年2月25日，星期天④乘法性質(zhì)：

除了常數(shù)a的縮放作用外，系統(tǒng)的坐標(biāo)原點(diǎn)同時(shí)向右平移了x0/a

。

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)這一性質(zhì)又稱為函數(shù)的抽樣性質(zhì)。

第34頁,共52頁，2024年2月25日，星期天4.二維δ函數(shù)和梳狀函數(shù)

二維δ函數(shù)是可分離變量函數(shù)，即有：第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)二維δ函數(shù)表示為，它是位于坐標(biāo)平面上坐標(biāo)原點(diǎn)處的一個(gè)單位脈沖，當(dāng)然，它的原點(diǎn)也可以在任意一點(diǎn)。

第35頁,共52頁，2024年2月25日，星期天二維梳狀函數(shù)是可分離變量函數(shù)，即有：第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)二維梳狀函數(shù)表示為它是分布在平面上的矩形網(wǎng)格上，間隔為的二維單位脈沖序列，

第36頁,共52頁，2024年2月25日，星期天二、貝塞爾函數(shù)1.n階第一類貝塞爾函數(shù)的定義

第一類貝塞爾函數(shù)的定義為：

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)其中

函數(shù)具有以下性質(zhì)：

所以，當(dāng)p為正整數(shù)時(shí)，又稱為階乘函數(shù)。

第37頁,共52頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)

為偶函數(shù)；當(dāng)為n奇數(shù)時(shí)，有

為奇函數(shù)。第38頁,共52頁，2024年2月25日，星期天2.貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)第39頁,共52頁，2024年2月25日，星期天第三節(jié)傅立葉變換的基本概念及運(yùn)算

一、傅立葉級數(shù)及頻譜的概念

1.傅立葉級數(shù)的定義

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)設(shè)周期為的函數(shù)滿足狄里赫利條件：

（2）只存在有限個(gè)極值點(diǎn)；（3）只存在有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；（4）絕對可積，即

（1）在區(qū)間分段連續(xù)；第40頁,共52頁，2024年2月25日，星期天則此函數(shù)可以被展開成傅立葉級數(shù)的形式：

其中:

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)以復(fù)指數(shù)函數(shù)表示的博里葉級數(shù)

第41頁,共52頁，2024年2月25日，星期天由此可見：第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)的基頻

稱為稱為的諧頻，或簡稱為頻率。

周期函數(shù)可以被分解為一系列頻率為，復(fù)振幅為的諧波。

第42頁,共52頁，2024年2月25日，星期天2.頻譜的概念

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)按頻率的分布圖形稱為的頻譜。而通常是復(fù)數(shù)，所以又將它的模的值隨的分布圖稱為的振幅頻譜，而的幅角隨的變化圖就叫做的位相頻譜。

第43頁,共52頁，2024年2月25日，星期天

將一個(gè)給定的周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)，然后對它的各次諧波的頻率和振幅進(jìn)行分析，這就是頻譜分析。

二、一維傅里葉變換的定義

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)傅里葉變換可以表示為：

傅里葉逆變換表示為：

復(fù)指數(shù)函數(shù)稱為傅里葉“核”，它表示一個(gè)頻率為的諧波成分。

第44頁,共52頁，2024年2月25日，星期天用運(yùn)算符號表示：

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)傅里葉變換可以表示為：

傅里葉逆變換表示為：

第45頁,共52頁，2024年2月25日，星期天三、廣義傅里葉變換

1.廣義傅里葉變換的定義

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)是一個(gè)存在狹義傅里葉變換的普通序列函數(shù)，即有：

（N為整數(shù)）

如果可以表示為的極限，即：

第46頁,共52頁，2024年2月25日，星期天2.幾種特殊函數(shù)的一維傅里葉變換

第二章衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)并且，當(dāng)時(shí)，的極限存在，于是可