衍射和傅里葉光學的數理基礎

衍射和傅里葉光學的數理基礎傅里葉光學，就是采用傅里葉分析（頻譜分析）的方法來分析光學問題。所討論的問題仍然是有關光波的傳播、分解與疊加（干涉、衍射）、光學系統(tǒng)的成像規(guī)律。傅里葉分析方法的引入，使人們對各種光學現象的本質和內在規(guī)律有了更深入地了解和認識。傅里葉光學已成為光學中的一個分支。

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎第2頁,共52頁，2024年2月25日，星期天時間分解原子發(fā)光是斷續(xù)，它總是發(fā)出具有一定持續(xù)時間的波列，這樣的光波不是單色光波，波動方程會變的很復雜，它的特性也不能很容易得到。用這樣的光波疊加、分解時，幾乎無法對它進行計算。用傅里葉數學方法就可以把這樣一個在時間上有限的波列，即一個“多時間頻率”成分的“多色”光波，分解成許多無限長波列的簡諧波，即許多單頻率成分的單色光波的疊加。這是傅里葉方法用于光學中的“時間分解”。第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎第3頁,共52頁，2024年2月25日，星期天空間頻譜分解在傳播中或與物質相互作用中，在空間上受到種種限制的單色光波，其簡諧波在空間范圍內的延續(xù)性受到了破壞，也同樣使得光波成為了非單色光。采用傅里葉方法把這些空間受限或空間調制的波面進行分解，可以得到許多不同方向或不同空間頻率的平面波成分，這個分解稱為空間頻譜分解。第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎第4頁,共52頁，2024年2月25日，星期天對于諸如光的傳播、疊加(干涉)、衍射及成像等光學現象，傳統(tǒng)的方法是在空間城中直接討論。利用傅里葉方法就可以把對這些現象的分析轉化到頻率城中，用頻譜分析方法進行討論，因為有時候，在空間分析這些問題是很困難的?？梢哉f，傅里葉分析方法促進了現代光學的發(fā)展。

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎第5頁,共52頁，2024年2月25日，星期天第一節(jié)常用非初等函數

所謂初等函數，是指在自變量的定義域內，能用單一解析式對五種基本初等函數進行有限次數的四則運算和復合所構成的函數。在函數論中，有五種函數被稱為基本初等函數：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數。非初等函數是我們光學中常用的數學工具。非初等函數是指在自變量的定義域中，不能用單一解析式表示的函數。第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎第6頁,共52頁，2024年2月25日，星期天一、標準形式的一維非初等函數

sinc函數嚴格來說并不是非初等函數，但是。我們在討論衍射問題是會用到。

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎1.矩形函數

矩形函數又稱為門函數，記為

第7頁,共52頁，2024年2月25日，星期天矩形函數曲線下面積為1，即該函數滿足：

在光學上，常用矩形函數表示狹縫衍射孔徑和矩形光源等。第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎2.sinc函數

sinc函數定義為：

第8頁,共52頁，2024年2月25日，星期天它的中央極大被稱為中央主極大，其寬度為2。其余稱為次極大，寬度為1。在光學中，單縫的夫瑯和費衍射后得到的復振幅就是一個sinc函數。曲線下面積為1：第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎sinc函數的另一個定義：

Sinc函數的性質

此時自變量是一個角度。第9頁,共52頁，2024年2月25日，星期天將sinc函數平方，就得到：第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎3.函數

振幅的平方是光的強度，所以，

函數表示的是單縫衍射得到的光強。

第10頁,共52頁，2024年2月25日，星期天二、一維非初等函數的一般形式

在實際使用中，當然不可能總是只用到標準的函數，更經常用的應該是它們的一般形式。

1.比例縮放、平移和反射一個一維矩形函數經過比例縮放、平移和反射后，得到一個一般形式的矩形函數：第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎第11頁,共52頁，2024年2月25日，星期天各參數的意義

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎a——縱向縮放因子。它確定了函數的縱向縮放比例及反射（以為軸反射）。b——縱向平移因子?！獧M向平移因子。

L——橫向縮放因子。它確定了函數的橫向縮放比例及反射（以x=x0為軸反射）

第12頁,共52頁，2024年2月25日，星期天2.非初等函數的四則運算和復合

將非初等函數進行四則運算和復合后就可以表示較為復雜的物理過程。矩形調制波。第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎該矩形調制波可表示為：

第13頁,共52頁，2024年2月25日，星期天三、常用二維非初等函數

二維非初等函數的形式和描述它時選用的坐標系有關。坐標系的選取原則是有利于函數的簡化運算。所以，非對稱物理量通常選擇在直角坐標系中來描述，而具有圓對稱分布的物理量就選擇在極坐標中描述。如果一個二維函數可以表示為：

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎則稱這個二維函數為可分離變量函數。第14頁,共52頁，2024年2月25日，星期天可分離變量函數我們可以將它當作兩個一維函數的乘積，即可以分別對一維函數進行處理，再把它們乘起來即可。二維函數的可分離性與描述它時選取的坐標系有關。

1.直角坐標系中的二維非初等函數

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎二維矩形函數第15頁,共52頁，2024年2月25日，星期天二維矩形函數

二維矩形函數在直角坐標系中是可分離變量函數，它的定義為：第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎在光學中，這樣的一個二維矩形函數常用來描述一個均勻照明方形小孔的振幅透射系數。第16頁,共52頁，2024年2月25日，星期天二維矩形函數的一般形式可表示為：

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎它表示的是中心位于

邊長為的均勻照明矩形孔徑的振幅透射系數。

第17頁,共52頁，2024年2月25日，星期天2.極坐標系中的二維非初等函數

圓域函數又稱為圓柱函數，記為：第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎或

它在極坐標系中定義為：

它在直角坐標系中的定義為：

第18頁,共52頁，2024年2月25日，星期天在光學中，圓域函數常用來描述均勻照明圓形孔徑的透射系數。

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎第19頁,共52頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)光學中常用的特殊函數

一、δ函數和梳狀函數

狄拉克函數，也稱為脈沖函數。第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎

我們用δ函數來表示任何在某種坐標系下高度集中的量，如點電荷、點光源、質點以及又窄又強的電脈沖等。

對一個線性系統(tǒng)的復雜的輸入，只需把復雜的輸入分解成大量的δ函數的疊加，并對每個δ函數適當加權定位。我們只要知道系統(tǒng)對單個脈沖輸入（即δ函數）的響應，則輸出就可由系統(tǒng)對所有δ函數的響應的疊加來獲得，簡化計算。正因為如此，在現代光學中δ函數的應用很廣泛。

第20頁,共52頁，2024年2月25日，星期天

δ函數又稱為“奇異函數”或“廣義函數”，有兩個原因：一是δ函數沒有確定的函數值，它只是一種極限狀態(tài)，并且它的極限狀態(tài)與其余函數也不同，它不收斂到一個定值，而是收斂到無窮大。二是δ函數不能像普通函數那樣進行四則運算和乘冪運算，它對別的函數的作用只能通過積分來確定。

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎第21頁,共52頁，2024年2月25日，星期天1.一維δ函數的定義

δ函數可以有兩種不同的定義（1）分段函數形式的定義：

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎第22頁,共52頁，2024年2月25日，星期天

在光學中，常用來表示位于坐標原點的具有單位光功率的點光源，這樣的一個點光源，由于它所占的面積趨于零，所以在點光功率密度趨于無窮大。

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎即為

也可以被形象地比喻成如右圖所示的正在不斷向上拉伸的面團，這時無論將面團拉得多高，面團的體積、(這時不是面積而是體積)總是一定的，而且，隨著高度的增高，寬度愈來愈窄。

中心在

第23頁,共52頁，2024年2月25日，星期天（2）普通函數序列極限形式的定義

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎設是一個普通函數序列，

在時具有無窮大極值，且對于任意，均有曲線下面積等于1。于是函數可定義為：

第24頁,共52頁，2024年2月25日，星期天

只要滿足條件，所有的序列函數都可以用來定義δ函數。我們用矩形函數序列來說明δ函數的定義。

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎

設矩形函數寬度a

，高度為1/a，其總面積為1，隨著寬度的減小，高度逐漸增大，當a→0時，高度1/a→∞，此時，矩形函數就演變成只在x=0點有值的脈沖函數。

-2-1-1/201/212第25頁,共52頁，2024年2月25日，星期天

從數學的觀點來看，我們并不關心δ函數本身的嚴格形式，而只關心它在積分號下的性態(tài)；從物理的角度來看，我們只須把它看作足夠窄，以至當使它進一步變窄時不再影響我們所關心的結果。第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎2.一維δ函數的性質

（1）積分性質：δ函數的積分可以直接從定義推導出來：

這一積分有時又稱為δ函數的強度。第26頁,共52頁，2024年2月25日，星期天根據δ函數的定義，還可以得到：

δ函數的篩選性：第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎如果一個函數與δ函數相乘并積分，則這一積分有明確值：

δ函數的這一個性質的作用，是通過與連續(xù)函數相乘的積分，篩選出連續(xù)函數在脈沖所在位置的一個函數值。

第27頁,共52頁，2024年2月25日，星期天推論1:

推論2：第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎若定義在區(qū)間，則有：

（2）δ函數的乘積性質

設在x=x0點連續(xù)，則有：

第28頁,共52頁，2024年2月25日，星期天

δ函數的乘積性質又稱抽樣性質。它表示任一連續(xù)函數與δ函數相乘，其結果只能抽取該函數在δ函數所在點處的函數值，這個離散點為第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎由這一性質，我們還可以得到這樣的一個推論：

第29頁,共52頁，2024年2月25日，星期天（3）坐標縮放性質

設a為實常數，則有：

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎推論1：

推論2：

這就是δ函數縮放性的含意。函數的面積現在是a而不是1。第30頁,共52頁，2024年2月25日，星期天3.一維梳狀函數comb(x)

（1）梳狀函數的定義：呈周期排列的δ函數所組成的函數稱為梳狀函數，如圖所示，記為comb(x)，數學表達式為：第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎第31頁,共52頁，2024年2月25日，星期天（2）梳狀函數的性質

這其實就是間隔為1，強度為1的δ函數無窮序列，所以又稱為單位脈沖序列或單位脈沖梳。在光學上，常用它來表示光柵常數為1的一維細縫光柵的振幅透射系數。

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎梳狀函數的性質可由δ函數的定義和性質直接求出。

①梳狀函數的篩選性

設是定義在區(qū)間的連續(xù)函數，則有：

第32頁,共52頁，2024年2月25日，星期天②縮放性質：

③平移性質：設a和x0皆為實常數，則有：

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎設a為實常數，則有：

這是強度為，脈沖間隔為的函數無窮序列。其中，當時，脈沖間隔壓縮，當時，脈沖間隔放大。

第33頁,共52頁，2024年2月25日，星期天④乘法性質：

除了常數a的縮放作用外，系統(tǒng)的坐標原點同時向右平移了x0/a

。

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎這一性質又稱為函數的抽樣性質。

第34頁,共52頁，2024年2月25日，星期天4.二維δ函數和梳狀函數

二維δ函數是可分離變量函數，即有：第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎二維δ函數表示為，它是位于坐標平面上坐標原點處的一個單位脈沖，當然，它的原點也可以在任意一點。

第35頁,共52頁，2024年2月25日，星期天二維梳狀函數是可分離變量函數，即有：第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎二維梳狀函數表示為它是分布在平面上的矩形網格上，間隔為的二維單位脈沖序列，

第36頁,共52頁，2024年2月25日，星期天二、貝塞爾函數1.n階第一類貝塞爾函數的定義

第一類貝塞爾函數的定義為：

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎其中

函數具有以下性質：

所以，當p為正整數時，又稱為階乘函數。

第37頁,共52頁，2024年2月25日，星期天當n為偶數時，有

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎

為偶函數；當為n奇數時，有

為奇函數。第38頁,共52頁，2024年2月25日，星期天2.貝塞爾函數的性質

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎第39頁,共52頁，2024年2月25日，星期天第三節(jié)傅立葉變換的基本概念及運算

一、傅立葉級數及頻譜的概念

1.傅立葉級數的定義

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎設周期為的函數滿足狄里赫利條件：

（2）只存在有限個極值點；（3）只存在有限個第一類間斷點；（4）絕對可積，即

（1）在區(qū)間分段連續(xù)；第40頁,共52頁，2024年2月25日，星期天則此函數可以被展開成傅立葉級數的形式：

其中:

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎以復指數函數表示的博里葉級數

第41頁,共52頁，2024年2月25日，星期天由此可見：第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎的基頻

稱為稱為的諧頻，或簡稱為頻率。

周期函數可以被分解為一系列頻率為，復振幅為的諧波。

第42頁,共52頁，2024年2月25日，星期天2.頻譜的概念

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎按頻率的分布圖形稱為的頻譜。而通常是復數，所以又將它的模的值隨的分布圖稱為的振幅頻譜，而的幅角隨的變化圖就叫做的位相頻譜。

第43頁,共52頁，2024年2月25日，星期天

將一個給定的周期函數展開成傅里葉級數，然后對它的各次諧波的頻率和振幅進行分析，這就是頻譜分析。

二、一維傅里葉變換的定義

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎傅里葉變換可以表示為：

傅里葉逆變換表示為：

復指數函數稱為傅里葉“核”，它表示一個頻率為的諧波成分。

第44頁,共52頁，2024年2月25日，星期天用運算符號表示：

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎傅里葉變換可以表示為：

傅里葉逆變換表示為：

第45頁,共52頁，2024年2月25日，星期天三、廣義傅里葉變換

1.廣義傅里葉變換的定義

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎是一個存在狹義傅里葉變換的普通序列函數，即有：

（N為整數）

如果可以表示為的極限，即：

第46頁,共52頁，2024年2月25日，星期天2.幾種特殊函數的一維傅里葉變換

第二章衍射和傅立葉光學的數理基礎并且，當時，的極限存在，于是可