專訓2-圖形的變換-平移、對稱、旋轉(zhuǎn)在幾何證明中的巧用

階段方法技巧訓練（二）專訓2圖形的變換——平移、對稱、旋轉(zhuǎn)在幾何證明中的巧用習題課在進行與圖形變換有關的計算或證明時，往往需要在圖形中添加一些輔助線，添加輔助線后能使題目中的分散條件集中，較容易找到一些量之間的關系，使數(shù)學問題較輕松地解決．常見的輔助線作法有平移法、旋轉(zhuǎn)法、翻折法等．1技巧翻折法1．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC.(1)若AC＝BC，∠B∶∠C＝2∶1，試寫出圖中的所有等腰三角形，并給予證明；(2)若AB＋BD＝AC，求∠B∶∠C的值．等腰三角形有3個，分別為△ABC，△ABD，△ADC.證明：∵AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形．∴∠B＝∠BAC.∵∠B∶∠C＝2∶1，∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∴∠B＝∠BAC＝72°，∠C＝36°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝36°.∴∠DAC＝∠C＝36°，∠B＝∠ADB＝72°.∴△ABD和△ADC都是等腰三角形．解:(1)(2)如圖，在AC上截取AE＝AB，連接DE(相當于將AB邊沿AD向右翻折，與AC邊重合，B點落在E點處)，又∠BAD＝∠DAE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED.∴∠AED＝∠B，BD＝ED.∵AB＋BD＝AC，∴BD＝EC.∴ED＝EC.∴∠EDC＝∠C.∴∠B＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝2∠C，即∠B∶∠C＝2.2技巧平移法2．如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC上的點，且BE＝CF，請判斷FE與BC的大小關系，并說明理由．FE<BC.理由如下：如圖，將EF平移到BM，則此時BE平移到MF，由于CF＝BE＝MF，考慮到MF與CF的對稱關系，作∠MFC的平分線交BC于點D，連接MD，易得DM＝DC.因為BD＋DM>BM，所以BC>FE，即FE<BC.解：本題從平移的角度來思考問題，從而降低了求解的難度．3技巧旋轉(zhuǎn)法3．如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角為120°的等腰三角形，以D為頂點作60°角，角的兩邊分別交AB，AC于點M，N，連接MN，試探究BM，MN，NC之間的關系，并加以證明．MN＝BM＋NC.證明如下：如圖，延長NC到點E，使CE＝BM，連接DE(相當于將△DBM繞點D旋轉(zhuǎn)至△DCE)．∵△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角為120°的等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝

＝30°.∴∠DBM＝∠DCE＝90°.又∵DB＝DC，BM＝CE，解：∴△DBM≌△DCE.∴DM＝DE，∠BDM＝∠CDE.∴∠EDN＝∠CDN＋∠CDE＝∠CDN＋∠BDM＝120°－60°＝60°.∴∠MDN＝∠EDN＝60°.∵DM＝DE，∠MDN＝∠EDN，DN＝DN，∴△DMN≌△DEN.∴MN＝EN.∴MN＝NC＋CE＝BM＋N