第01講直線的方程（九大題型）（講義）

目錄考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.（2）根據(jù)確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)．2008年江蘇卷第9題，5分2006年上海卷第11題，4分高考對(duì)直線方程的考查比較穩(wěn)定,考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大,備考時(shí)應(yīng)熟練掌握直線的傾斜角與斜率、直線方程的求法等,特別要重視直線方程的求法.知識(shí)點(diǎn)一：直線的傾斜角和斜率1、直線的傾斜角若直線與軸相交，則以軸正方向?yàn)槭歼叄@交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直至與重合所成的角稱(chēng)為直線的傾斜角，通常用表示（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為（2）傾斜角的取值范圍2、直線的斜率設(shè)直線的傾斜角為，則的正切值稱(chēng)為直線的斜率，記為（1）當(dāng)時(shí)，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率（3）斜率與傾斜角都是刻畫(huà)直線的傾斜程度，但就其應(yīng)用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯(lián)系）（4）越大，直線越陡峭（5）傾斜角與斜率的關(guān)系當(dāng)時(shí)，直線平行于軸或與軸重合；當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而增大；3、過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式已知直線上任意兩點(diǎn)，，則（1）直線的斜率是確定的，與所取的點(diǎn)無(wú)關(guān)．（2）若，則直線的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90°4、三點(diǎn)共線．兩直線的斜率相等→三點(diǎn)共線；反過(guò)來(lái)，三點(diǎn)共線，則直線的斜率相等（斜率存在時(shí)）或斜率都不存在．知識(shí)點(diǎn)二：直線的方程1、直線的截距若直線與坐標(biāo)軸分別交于，則稱(chēng)分別為直線的橫截距，縱截距（1）截距：可視為直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的簡(jiǎn)記形式，其取值可正，可負(fù)，可為0（不要顧名思義誤認(rèn)為與“距離”相關(guān)）（2）橫縱截距均為0的直線為過(guò)原點(diǎn)的非水平非豎直直線2、直線方程的五種形式名稱(chēng)方程適用范圍點(diǎn)斜式不含垂直于軸的直線斜截式不含垂直于軸的直線兩點(diǎn)式不含直線和直線截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用3、求曲線（或直線）方程的方法：在已知曲線類(lèi)型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫(xiě)出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個(gè)點(diǎn)，或者一點(diǎn)一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致）4、線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為且線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，此公式為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．5、兩直線的夾角公式若直線與直線的夾角為，則.題型一：傾斜角與斜率的計(jì)算例1．（2023·四川眉山·仁壽一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知是直線的傾斜角，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】法一：由題意可知，（為銳角），∴，法二：由題意可知，（為銳角）∴，．故選：B．例2．（2023·重慶·重慶南開(kāi)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得：直線的斜率，即直線的傾斜角為.故選：A例3．（2023·江蘇宿遷·高二泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率為，因?yàn)橹本€的傾斜角大于等于小于，故經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的傾斜角是，故選：D變式1．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，若直線的斜率分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解析

設(shè)直線的傾斜角分別為，則由圖知，所以，即．故選：A變式2．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】直線的傾斜角為，因?yàn)橹本€的斜率為，，所以.故選：C.變式3．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）過(guò)兩點(diǎn)，的直線的傾斜角是135°，則y等于（

）A．1 B．5 C． D．【答案】D【解析】由斜率公式得，且直線的傾斜角是135°，所以，即，解得．故選：D.變式4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線l經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，那么直線l的斜率的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】，故那么直線l的斜率的取值范圍為.故選：B變式5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的圖像上有一動(dòng)點(diǎn)，則在此動(dòng)點(diǎn)處切線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)切線的傾斜角為，則，∵，∴切線的斜率，則.故選：B【解題方法總結(jié)】正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式，根據(jù)該公式求出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，傾斜角為，求斜率可用，其中為傾斜角，由此可見(jiàn)傾斜角與斜率相互關(guān)聯(lián)，不可分割．牢記“斜率變化分兩段，是其分界，遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”．這可通過(guò)畫(huà)正切函數(shù)在上的圖像來(lái)認(rèn)識(shí)．題型二：三點(diǎn)共線問(wèn)題例4．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知三點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．4 C．8 D．12【答案】D【解析】由題意，三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的直線斜率相等，得，解得．故答案為：D.例5．（2023·遼寧營(yíng)口·高二校考階段練習(xí)）若三點(diǎn)，，共線，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．6 B． C． D．2【答案】C【解析】因?yàn)槿c(diǎn)，，共線，所以，可得：，即，解得；故選：C例6．（2023·重慶渝中·高二重慶復(fù)旦中學(xué)校考階段練習(xí)）若三點(diǎn)（2，2），（，0），（0，），（）共線，則的值為（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槿c(diǎn)（2，2），（，0），（0，），（）共線，所以，即，所以=，故選C．變式6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若平面內(nèi)三點(diǎn)A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a＝（

）A．1±或0 B．或0C． D．或0【答案】A【解析】由題意知kAB＝kAC，即，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.故選：A．【解題方法總結(jié)】斜率是反映直線相對(duì)于軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點(diǎn)所確定的方向不變，即在同一直線上任意不同的兩點(diǎn)所確定的斜率相等．這正是利用斜率可證三點(diǎn)共線的原因．題型三：過(guò)定點(diǎn)的直線與線段相交問(wèn)題例7．（2023·吉林·高三校考期末）已知點(diǎn).若直線與線段相交,則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．【答案】D【解析】由已知直線恒過(guò)定點(diǎn),如圖所示,若與線段相交,則,因?yàn)?所以.故選:D.例8．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)和，直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．【答案】A【解析】直線方程可整理為：，則直線恒過(guò)定點(diǎn)，，，直線與線段相交，直線的斜率或.故選：A.例9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，若直線與線段有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由于直線的斜率為，且經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，設(shè)此定點(diǎn)為.而直線的斜率為，直線的斜率為，要使直線與線段有公共點(diǎn)，只需.故選：C.變式7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)，若直線與線段沒(méi)有交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】直線過(guò)定點(diǎn)，且，由圖可知直線與線段沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，斜率滿足，解得，故選：B．變式8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線和以為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或或【答案】C【解析】直線，即，其恒過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)題意，作圖如下：數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，其斜率取得最小值，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，其斜率取得最大值，故，解得.故選：C.變式9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】A【解析】如圖，，由題可知應(yīng)滿足；同理，由題可知應(yīng)滿足.故選：A變式10．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知點(diǎn)，若直線與的延長(zhǎng)線（有方向）相交，則的取值范圍為．【答案】【解析】如下圖所示，由題知，直線過(guò)點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線化為，一定與相交，所以，當(dāng)時(shí)，，考慮直線的兩個(gè)極限位置.①經(jīng)過(guò)，即直線，則；②與直線平行，即直線，則，因?yàn)橹本€與的延長(zhǎng)線相交，所以，解得，所以.故答案為：.變式11．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知,，點(diǎn)是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【解析】如圖所示：因?yàn)?，所以，，，因?yàn)辄c(diǎn)是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，所以.故答案為：變式12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在線段上運(yùn)動(dòng)，已知，則的取值范圍是.【答案】【解析】表示線段上的點(diǎn)與連線的斜率，因?yàn)樗杂蓤D可知的取值范圍是．故答案為：【解題方法總結(jié)】一般地，若已知，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線，過(guò)點(diǎn)的任一直線的斜率為，則當(dāng)與線段不相交時(shí)，夾在與之間；當(dāng)與線段相交時(shí)，在與的兩邊．題型四：直線的方程例10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可知直線的斜率，由點(diǎn)斜式方程得，所求直線的方程為，即．故選：A例11．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】解法一

當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，此時(shí)直線方程為，即；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，解得，此時(shí)直線方程為.故選：解法二

易知直線斜率不存在或直線斜率為0時(shí)不符合題意.設(shè)直線方程為，則時(shí)，，時(shí)，，由題意知，解得或，即直線方程為或.故選：例12．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）對(duì)方程表示的圖形，下列敘述中正確的是（

）A．斜率為2的一條直線B．斜率為的一條直線C．斜率為2的一條直線，且除去點(diǎn)（,6）D．斜率為的一條直線，且除去點(diǎn)（,6）【答案】C【解析】方程成立的條件知，當(dāng)時(shí)，方程變形為，由直線方程的點(diǎn)斜式知它表示一條斜率為2的直線,但要除去點(diǎn)（,6），故選:C變式13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由傾斜角為知，直線的斜率，因此，其直線方程為，即故選：B變式14．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）方程表示的直線可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，直線的斜率，該直線在軸上的截距，故選：A.變式15．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知過(guò)定點(diǎn)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】直線可變?yōu)?，所以過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，可知，令，所以直線與軸的交點(diǎn)為，令，所以直線與軸的交點(diǎn)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等，所以此時(shí)直線為：.故選：C.變式16．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若直線l的方程中，，，則此直線必不經(jīng)過(guò)（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由，，，知直線斜率，在軸上截距為，所以此直線必不經(jīng)過(guò)第三象限.故選：C變式17．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線的傾斜角為，且在軸上的截距為，則直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率，又直線在軸上的截距為，所以直線的方程為；故選：C【解題方法總結(jié)】要重點(diǎn)掌握直線方程的特征值（主要指斜率、截距）等問(wèn)題；熟練地掌握和應(yīng)用直線方程的幾種形式，尤其是點(diǎn)斜式、斜截式和一般式．題型五：直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問(wèn)題例13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，則此直線的方程為．【答案】或【解析】由題意可知該直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且存在斜率且不為零，所以設(shè)直線方程為，因?yàn)樵撝本€過(guò)點(diǎn)，所以有，因?yàn)樵撝本€與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，所以有，或，當(dāng)時(shí)，，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程為：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程為：，當(dāng)時(shí)，，故答案為：或例14．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線l過(guò)點(diǎn)M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，直線l的方程為.【答案】x＋2y－4＝0【解析】法一，利用截距式設(shè)出直線方程，再利用基本不等式求面積最小時(shí)的直線方程；法二顯然存在，設(shè)(其中)求出坐標(biāo)，然后求解三角形的面積，再利用基本不等式求解面積的最小值時(shí)的直線方程.法一設(shè)直線l：，且a＞0，b＞0，因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)M(2,1)，所以，則≥，故ab≥8，故S△AOB的最小值為×ab＝×8＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取等號(hào)，此時(shí)a＝4，b＝2，故直線l：，即x＋2y－4＝0.法二設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)(k＜0)，，B(0,1－2k)，S△AOB＝(1－2k)＝≥(4＋4)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)－4k＝－，即k＝－時(shí)，等號(hào)成立，故直線l的方程為y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.故答案為：.例15．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線的方程為：．(1)求證：不論為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)；(2)過(guò)點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．【解析】（1）證明：直線的方程為：提參整理可得：．令，可得，不論為何值，直線必過(guò)定點(diǎn).（2）設(shè)直線的方程為．令則，令．則，直線與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，三角形面積最?。藭r(shí)的方程為．變式18．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）直線l過(guò)點(diǎn)，且分別與軸正半軸交于、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn).(1)當(dāng)面積最小時(shí)，求直線l的方程；(2)求的最小值及此時(shí)直線l的方程.【解析】（1）設(shè)直線，且∵直線過(guò)點(diǎn)則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)所以的最小值為，直線1即.（2）由∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，∴此時(shí)直線,故的最小值為9，此時(shí)直線l的方程.變式19．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線過(guò)定點(diǎn)，且與軸的正半軸交于點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn).（1）當(dāng)取得最小值時(shí)，求直線的方程；（2）求面積的最小值.【解析】（1）設(shè)直線的傾斜角為（為銳角），由P點(diǎn)做x軸，y軸垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則PE=2，PF=3,，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)直線的方程為；（2）矩形OFPE面積為3×2=6，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最小值為12.變式20．（2023·北京懷柔·高二北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若直線過(guò)點(diǎn)，求直線的方程，并求直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積；(2)如果直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為，求直線的方程．【解析】（1）由題意得：直線斜率，直線方程為：，即；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.（2）由題意知：直線在兩坐標(biāo)軸的截距不為，可設(shè)，則，解得：，，即.變式21．（2023·高二單元測(cè)試）已知直線l過(guò)點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)A?與y軸正半軸交于點(diǎn)B.（1）求面積最小時(shí)直線l的方程（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（2）求的最小值及取得最小值時(shí)l的直線方程.【解析】（1）設(shè)l的方程為，由直線過(guò)點(diǎn)知，即，由基本不等式得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又知，所以時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)l直線的方程為，即面積最小時(shí)直線l的方程為.（2）易知直線l的斜率存在，所以可設(shè)直線l的方程為，所以得，，所以，得，等號(hào)成立時(shí)有k，得，此時(shí)直線的方程為，即.故的最小值是24，取最小值時(shí)直線l的方程是.變式22．（2023·江西吉安·高二吉安一中?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn).（Ⅰ）求(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積最小值，并求取得最小值時(shí)直線的方程.（Ⅱ）設(shè)是的面積取得最小值時(shí)的內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（Ⅰ）設(shè)斜率為，則得.,由，，.（Ⅱ）面積最小時(shí)，，直角內(nèi)切圓半徑，圓心為，內(nèi)切圓方程為設(shè)，則，其中.,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的范圍是變式23．（2023·河南洛陽(yáng)·高二洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線：．（1）求經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)．①的面積為，求的最小值和此時(shí)直線的方程；②當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程．【解析】（1）由可得：，由可得，所以經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）直線：，令可得；令，可得，所以，由可得：，①的面積，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，的最小值為，此時(shí)直線的方程為：即；②設(shè)直線的傾斜角為，則，可得，，所以，令，因?yàn)椋傻?，，，將兩邊平方可得：，所以，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，此時(shí)，可得，所以，所以直線的方程為.變式24．（2023·河南鄭州·高二宜陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P．(1)證明：無(wú)論k取何值，直線l始終過(guò)第二象限；(2)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，當(dāng)取最小值時(shí)，求直線l的方程．【解析】（1）證明：由可得：，由可得，所以l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；即直線l過(guò)定點(diǎn),且定點(diǎn)在第二象限，所以無(wú)論k取何值，直線l始終經(jīng)過(guò)第二象限．（2）設(shè)直線l的傾斜角為，則，可得，所以，令，因?yàn)椋傻?，即，將兩邊平方可得：，所以，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，可得，所以，所以直線的方程為．變式25．（2023·江蘇宿遷·高二泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線過(guò)定點(diǎn)，且交軸負(fù)半軸于點(diǎn)?交軸正半軸于點(diǎn)．點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若的面積為4，求直線的方程；（2）求的最小值，并求此時(shí)直線的方程；（3）求的最小值，并求此時(shí)直線的方程．【解析】設(shè)，，.（1）設(shè)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，所以，由解得，所以直線的方程為，即；（2），所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以直線的方程為；（3）依題意可知三點(diǎn)共線，在線段上（且與不重合），所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以直線的方程為．【解題方法總結(jié)】（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關(guān)）及直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積（與截距有關(guān)），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說(shuō)．（2）在求直線方程時(shí)，要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結(jié)論，所以根據(jù)已知條件恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的類(lèi)型往往有助于問(wèn)題的解決．例如：已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過(guò)這點(diǎn)的直線方程，通常選用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點(diǎn)，選擇截距式或兩點(diǎn)式．在求直線方程的過(guò)程中，確定的類(lèi)型后，一般采用待定系數(shù)法求解，但要注意對(duì)特殊情況的討論，以免遺漏．題型六：兩直線的夾角問(wèn)題例16．（2023·上海浦東新·高三上海市川沙中學(xué)?？计谀┲本€與直線所成夾角的余弦值等于【答案】【解析】直線，即，則其斜率為，傾斜角為；直線，即，則其斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以，所以，，而，所以兩直線的夾角為，又因?yàn)?，則所以，故所求夾角的余弦值為.故答案為：.例17．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）直線與直線相交，則這兩條直線的夾角大小為.【答案】【解析】直線的斜率為，其傾斜角為鈍角；直線的斜率為，其傾斜角為銳角.設(shè)這兩條直線的夾角大小為，則，由于，所以.故答案為：例18．（2023·上海寶山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線，則與的夾角大小是.【答案】【解析】設(shè)直線與的夾角為（），因?yàn)椋詢芍本€的斜率分別為，所以，因?yàn)?，所以，故答案為：變?6．（2023·重慶·高考真題）曲線與在交點(diǎn)處切線的夾角是．（用弧度數(shù)作答）【答案】【解析】由消元可得，，解得，所以兩曲線只有一個(gè)交點(diǎn),由可得，所以，由可得，所以，由直線的夾角公式可得，由知，.故答案為：變式27．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點(diǎn)在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為．【答案】3【解析】，，設(shè)底邊為由題意，到所成的角等于到所成的角于是有，解得，故答案為：3.變式28．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）兩條直線，的夾角平分線所在直線的方程是．【答案】【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角為，的傾斜角為，且由解得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以可設(shè)兩直線夾角平分線所在直線的方程為：．∴，解得，即兩直線夾角平分線所在直線的方程為：．故答案為：．【解題方法總結(jié)】若直線與直線的夾角為，則.題型七：直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題例19．（2023·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線過(guò)定點(diǎn)A，直線過(guò)定點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則．【答案】13【解析】對(duì)于直線，即，令，則，則，可得直線過(guò)定點(diǎn)，對(duì)于直線，即，令，則，則，可得直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，則，即，所以.故答案為：13.例20．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，則直線過(guò)定點(diǎn).【答案】【解析】由實(shí)數(shù)滿足，可得,代入直線方程，可得，聯(lián)立方程組，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn).故答案為：.例21．（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考二模）直線恒過(guò)定點(diǎn)A，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】直線，令，則，則直線恒過(guò)定點(diǎn).故答案為：.變式29．（2023·遼寧營(yíng)口·高二?？茧A段練習(xí)）直的方程為，則該直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】【解析】即，令得，直線過(guò)定點(diǎn)，故答案為：變式30．（2023·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若實(shí)數(shù)、、成等差數(shù)列，則直線必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)為.【答案】【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)、、成等差數(shù)列，所以，即，所以直線必過(guò)點(diǎn).故答案為：【解題方法總結(jié)】合并參數(shù)題型八：軌跡方程例22．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程．【解析】設(shè)點(diǎn)、，直線的斜率為，直線的方程為，即，，，，，由可得，所以，，可得，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，則，即，整理可得，因此，點(diǎn)的軌跡方程為.例23．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是原點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).(1)求所在直線的一般式方程；(2)當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】（1），所在直線的斜率為：.所在直線方程是，即；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，由平行四邊形的性質(zhì)得點(diǎn)的坐標(biāo)是，是線段的中點(diǎn)，，，于是有，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，，，即，由得，線段的中點(diǎn)的軌跡方程為.例24．（2023·湖北咸寧·高二鄂南高中?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，連接，在線段上取點(diǎn)使得.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)已知點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】（1）設(shè)，，，由，，又，得：，把①②代入上式得，即為點(diǎn)的軌跡方程.（2）設(shè)，由，得，又點(diǎn)滿足，聯(lián)立得方程組，解得或.故存在點(diǎn)滿足條件，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.變式31．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，動(dòng)點(diǎn)M與A，B兩點(diǎn)連線的斜率分別為、，若，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程【解析】設(shè)，則，，又，∴，當(dāng)，且時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，；綜上，M的軌跡方程為(且)或().變式32．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在中，，求的平分線所在直線的方程.【解析】設(shè)為的平分線上的任意一點(diǎn).因?yàn)?，所以邊所在直線的方程為，邊所在直線的方程為.由角平分線的性質(zhì)得，所以或，即或.由圖形可知，即，所以不合題意，故舍去.故的平分線所在直線的方程為.變式33．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)的距離相等，求點(diǎn)C的軌跡方程．【解析】設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為由C到兩個(gè)定點(diǎn)的距離相等，則兩邊平方，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)C的軌跡方程為．變式34．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，.若點(diǎn)滿足，其中，且，求點(diǎn)的軌跡方程.【解析】設(shè)，則，，即，解得即【解題方法總結(jié)】（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫(xiě)出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個(gè)點(diǎn)，或者一點(diǎn)一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致）題型九：中點(diǎn)公式例25．（2023·河南鄭州·高二鄭州市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)A，B分別是直線和直線上的點(diǎn)，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線C，x軸分別交于點(diǎn)M，N，若點(diǎn)D為的中點(diǎn)，求直線的方程.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，，，因?yàn)辄c(diǎn)P為的中點(diǎn)，可得，，又由，，兩式相加，可得，所以，即，所以曲線C的方程為.（2）根據(jù)題意，設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，解得，，即，所以直線的方程為，整理得，即直線的方程.例26．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線：過(guò)定點(diǎn)，若直線被直線和軸截得的線段恰好被定點(diǎn)平分，求的值.【解析】則直線過(guò)定點(diǎn)設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，依題意為中點(diǎn)在中令，則，即所以，即，將其代入直線中可得解之得例27．（2023·江蘇泰州·高三泰州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線.(1)求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)P；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P有一條直線l，它夾在兩條直線與之間的線段恰被P平分，求直線l的方程.【解析】（1）證明：將直線l的方程改寫(xiě)為，令，且，兩式聯(lián)立，解得，，所以直線過(guò)定點(diǎn).（2）如圖，設(shè)直線l夾在直線，之間的部分是AB，且AB被平分，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，，則有，，又A，B兩點(diǎn)分別在直線，上，所以，，由以上四個(gè)式子解得，，即，所以直線AB的方程為.變式35．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P(0，1)作直線l，使它被直線l1：和l2：截得的線段恰好被點(diǎn)P平分，求直線l的方程.【解析】設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A