第二章電磁場(chǎng)的基本規(guī)律

1

第2章電磁場(chǎng)的基本規(guī)律2

2.1電荷守恒定律2.2真空中靜電場(chǎng)的基本規(guī)律2.3真空中恒定磁場(chǎng)的基本規(guī)律2.4媒質(zhì)的電磁特性2.5電磁感應(yīng)定律和位移電流2.6麥克斯韋方程組2.7電磁場(chǎng)的邊界條件本章討論內(nèi)容3三大實(shí)驗(yàn)定律庫(kù)侖定律安培定律法拉第電磁感應(yīng)定律兩個(gè)基本假設(shè)有旋電場(chǎng)位移電流描述宏觀電磁現(xiàn)象的總規(guī)律麥克斯韋方程組

為分析電磁場(chǎng)，本章在宏觀理論的假設(shè)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，介紹電磁場(chǎng)中的基本物理量和實(shí)驗(yàn)定律。4●在靜止和穩(wěn)定的情況下，確立分布電荷與分布電流的概念物理量；在電荷守恒的假設(shè)前提下，確立電流連續(xù)性方程?！?/p>

在庫(kù)侖實(shí)驗(yàn)定律和安培力實(shí)驗(yàn)定律的基礎(chǔ)上建立電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的概念?！?/p>

在電荷分布和電流分布已知的條件下，提出計(jì)算電場(chǎng)與磁場(chǎng)的矢量積分公式。52.1

電荷守恒定律本節(jié)討論的內(nèi)容：電荷模型、電流模型

電磁場(chǎng)物理模型中的基本物理量可分為源量和場(chǎng)量?jī)纱箢?lèi)。電荷電流電場(chǎng)磁場(chǎng)（運(yùn)動(dòng)）

源量為電荷

和電流

，分別用來(lái)描述產(chǎn)生電磁效應(yīng)的兩類(lèi)場(chǎng)源。電荷是產(chǎn)生電場(chǎng)的源，電流是產(chǎn)生磁場(chǎng)的源。電荷守恒定律與電流連續(xù)性方程

6?

電荷是物質(zhì)基本屬性之一。

?1897年英國(guó)科學(xué)家湯姆遜(J.J.Thomson)在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了電子。

?1907—1913年間，美國(guó)科學(xué)家密立根(R.A.Miliken)通過(guò)油滴實(shí)驗(yàn)，精確測(cè)定電子電荷的量值為

e=1.60217733×10-19(單位：C)確認(rèn)了電荷的量子化概念。換句話(huà)說(shuō)，e是最小的電荷，而任何帶電粒子所帶電荷都是e的整數(shù)倍。

?宏觀分析時(shí)，電荷常是數(shù)以?xún)|計(jì)的電子電荷e的集合，故可不考慮其量子化的事實(shí)，而認(rèn)為電荷量q可任意連續(xù)取值。2.1.1電荷與電荷密度71.電荷體密度

單位：C/m3

(庫(kù)/米3

)

根據(jù)電荷密度的定義，如果已知某空間區(qū)域V中的電荷體密度，則區(qū)域V中的總電荷q為

電荷連續(xù)分布于體積V內(nèi)，用電荷體密度來(lái)描述其分布

理想化實(shí)際帶電系統(tǒng)的電荷分布形態(tài)分為四種形式：

點(diǎn)電荷、體分布電荷、面分布電荷、線(xiàn)分布電荷在電荷空間V內(nèi)，任取體積元，其中電荷量為8

若電荷分布在薄層上，當(dāng)僅考慮薄層外、距薄層的距離要比薄層的厚度大得多處的電場(chǎng)，而不分析和計(jì)算該薄層內(nèi)的電場(chǎng)時(shí)，可將該薄層的厚度忽略，認(rèn)為電荷是面分布。面分布的電荷可用電荷面密度表示。

2.電荷面密度單位:C/m2

(庫(kù)/米2)

如果已知某空間曲面S上的電荷面密度，則該曲面上的總電荷q為在面電荷上，任取面積元，其中電荷量為9

若電荷分布在細(xì)線(xiàn)上，當(dāng)僅考慮細(xì)線(xiàn)外、距細(xì)線(xiàn)的距離要比細(xì)線(xiàn)的直徑大得多處的電場(chǎng)，而不分析和計(jì)算線(xiàn)內(nèi)的電場(chǎng)時(shí)，可將線(xiàn)的直徑忽略，認(rèn)為電荷是線(xiàn)分布。線(xiàn)分布的電荷可用電荷線(xiàn)密度表示。

3.電荷線(xiàn)密度

如果已知某空間曲線(xiàn)上的電荷線(xiàn)密度，則該曲線(xiàn)上的總電荷q為

單位:C/m(庫(kù)/米)在線(xiàn)電荷上，任取線(xiàn)元，其中電荷量為10

對(duì)于總電荷為q

的電荷集中在很小區(qū)域V的情況，當(dāng)不分析和計(jì)算該電荷所在的小區(qū)域中的電場(chǎng)，而僅需要分析和計(jì)算電場(chǎng)的區(qū)域又距離電荷區(qū)很遠(yuǎn)，即場(chǎng)點(diǎn)距源點(diǎn)的距離遠(yuǎn)大于電荷所在的源區(qū)的線(xiàn)度時(shí)，小體積V中的電荷可看作位于該區(qū)域中心、電荷為q

的點(diǎn)電荷。點(diǎn)電荷的電荷密度表示4.點(diǎn)電荷

點(diǎn)電荷：當(dāng)電荷體體積非常小，可忽略其體積時(shí)，稱(chēng)為點(diǎn)電荷。點(diǎn)電荷可看作是電量q無(wú)限集中于一個(gè)幾何點(diǎn)上。112.1.2

電流與電流密度說(shuō)明：電流通常是時(shí)間的函數(shù)，不隨時(shí)間變化的電流稱(chēng)為恒定電流，用I表示。

存在可以自由移動(dòng)的電荷存在電場(chǎng)單位:A

（安）電流方向:正電荷的流動(dòng)方向電流

——電荷的定向運(yùn)動(dòng)而形成，用i表示，其大小定義為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)某一橫截面S

的電荷量，即形成電流的條件：12

電荷在某一體積內(nèi)定向運(yùn)動(dòng)所形成的電流稱(chēng)為體電流，用電流密度矢量來(lái)描述。單位：A/m2（安/米2）

。

一般情況下，在空間不同的點(diǎn)，電流的大小和方向往往是不同的。在電磁理論中，常用體電流、面電流和線(xiàn)電流來(lái)描述電流的分布狀態(tài)。

1.體電流

體電流密度矢量正電荷運(yùn)動(dòng)的方向引入電流密度矢量

描述空間電流分布狀態(tài)。設(shè)正電荷沿方向流動(dòng)，則在垂直方向上取一面元，若在時(shí)間內(nèi)穿過(guò)面元的電荷量為，則：13討論：1)式中：為空間中電荷體密度，為正電荷流動(dòng)速度。2)流過(guò)任意曲面S的電流142.面電流

電荷在一個(gè)厚度可以忽略的薄層內(nèi)定向運(yùn)動(dòng)所形成的電流稱(chēng)為面電流，用面電流密度矢量來(lái)描述其分布面電流密度矢量d0單位：A/m（安/米）

。正電荷運(yùn)動(dòng)的方向電流在曲面S上流動(dòng)，在垂直于電流方向取一線(xiàn)元，若通過(guò)線(xiàn)元的電流為，則定義151）的方向?yàn)殡娏鞣较颍凑姾蛇\(yùn)動(dòng)方向）討論：2）若表面上電荷密度為，且電荷沿某方向以速度運(yùn)動(dòng)，則可推得此時(shí)面電流密度為：注意：體電流與面電流是兩個(gè)獨(dú)立概念，并非有體電流就有面電流。3）通過(guò)薄導(dǎo)體層上任意有向曲線(xiàn)的電流為：16如圖：在垂直于電流方向取線(xiàn)元。很明顯，在時(shí)間內(nèi)，距離內(nèi)的電荷都將流過(guò)。由電流定義，通過(guò)的電流為：由電流密度定義，有：證明：17流過(guò)任意的電流而所以流過(guò)曲線(xiàn)l的電流為：證明：183、線(xiàn)電流與電流元電荷只在一條線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，形成的電流即為線(xiàn)電流。電流元：長(zhǎng)度為無(wú)限小的線(xiàn)電流元。192.1.3

電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）電荷守恒定律:電荷既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，只能從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，或者從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體。電荷是守恒的，它既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，在一個(gè)與外界沒(méi)有電荷交換的系統(tǒng)內(nèi)，正、負(fù)電荷的代數(shù)和在任何物理過(guò)程中始終保持不變，這就是電荷守恒定律。電荷守恒定律是電磁現(xiàn)象中的基本定律之一。20電流連續(xù)性方程

時(shí)間內(nèi)，V內(nèi)流出S的電荷量為電荷守恒定律：時(shí)間內(nèi)，V內(nèi)電荷改變量為由電流強(qiáng)度定義：電流連續(xù)性方程微分形式電流連續(xù)性方程積分形式散度定理，

21討論：1）對(duì)于恒定電流，有故：恒定電流的電流連續(xù)性方程為2）對(duì)于面電流，電流連續(xù)性方程為：意義：流入閉合面S的電流等于流出閉合面S的電流。對(duì)時(shí)變面電流對(duì)恒定面電流22電流連續(xù)性方程積分形式微分形式流出閉曲面S的電流等于體積V內(nèi)單位時(shí)間所減少的電荷量恒定電流的連續(xù)性方程恒定電流是無(wú)源場(chǎng)，電流線(xiàn)是連續(xù)的閉合曲線(xiàn)，既無(wú)起點(diǎn)也無(wú)終點(diǎn)小結(jié)23例題：一個(gè)半徑為a的球體內(nèi)均勻分布總電荷量為Q的電荷，球體以均勻角速度繞一直徑旋轉(zhuǎn)。求：球內(nèi)的電流密度。解：建立球面坐標(biāo)系。24電荷

與

電荷密度作業(yè)

2.32.6252.2真空中靜電場(chǎng)的基本規(guī)律1.庫(kù)侖（Coulomb）定律(1785年)

2.2.1庫(kù)侖定律電場(chǎng)強(qiáng)度靜電場(chǎng)：由靜止電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。重要特征：對(duì)位于電場(chǎng)中的電荷有電場(chǎng)力作用。真空中靜止點(diǎn)電荷q1對(duì)q2的作用力:式中：為真空中介電常數(shù)。26

，滿(mǎn)足牛頓第三定律。

大小與兩電荷的電荷量成正比，與兩電荷距離的平方成反比；方向沿q1和q2連線(xiàn)方向，同性電荷相排斥，異性電荷相吸引；電場(chǎng)力特性27電場(chǎng)力服從疊加定理

真空中的N個(gè)點(diǎn)電荷（分別位于）對(duì)點(diǎn)電荷（位于）的作用力為qq1q2q3q4q5q6q728電場(chǎng)：在電荷周?chē)纬傻囊环N物質(zhì)。電場(chǎng)的重要特性：對(duì)處于其中的電荷產(chǎn)生力的作用，稱(chēng)為電場(chǎng)力。用電場(chǎng)強(qiáng)度矢量表示電場(chǎng)的大小和方向。電場(chǎng)強(qiáng)度矢量q為試驗(yàn)電荷電量實(shí)驗(yàn)證明：電場(chǎng)力大小與電荷所在位置電場(chǎng)強(qiáng)度大小成正比，即292.電場(chǎng)強(qiáng)度

空間某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度定義為置于該點(diǎn)的單位點(diǎn)電荷（又稱(chēng)試驗(yàn)電荷）受到的作用力，即——描述電場(chǎng)分布的基本物理量

電場(chǎng)強(qiáng)度矢量說(shuō)明：1）對(duì)q取極限是避免引入試驗(yàn)電荷影響原電場(chǎng)；2）電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與電場(chǎng)力的方向一致；3）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與試驗(yàn)電荷q的電量無(wú)關(guān)?！囼?yàn)正電荷電量——為試驗(yàn)電荷所受電場(chǎng)力。電場(chǎng)強(qiáng)度的單位是30真空中靜止點(diǎn)電荷q

在P點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度：

特殊地，當(dāng)點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，31如果電荷是連續(xù)分布呢？點(diǎn)電荷系統(tǒng)和分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)（1）多點(diǎn)電荷系統(tǒng)產(chǎn)生的電場(chǎng)式中:真空中，N個(gè)點(diǎn)電荷：電荷量：電荷位置：由矢量疊加原理：32小體積元中的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)面密度為的面分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度線(xiàn)密度為的線(xiàn)分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度體密度為的體分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度33（2）體分布電荷系統(tǒng)處理思路：

1)無(wú)限細(xì)分區(qū)域

2）考查每個(gè)區(qū)域

3）矢量疊加原理設(shè)體電荷密度為，圖中小體積元中dV的電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)為：則整個(gè)體積V內(nèi)電荷在P點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為：34面密度為的面分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度線(xiàn)密度為的線(xiàn)分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度353.幾種典型電荷分布的電場(chǎng)強(qiáng)度（無(wú)限長(zhǎng)）（有限長(zhǎng)）均勻帶電直線(xiàn)段均勻帶電直線(xiàn)段的電場(chǎng)強(qiáng)度：36均勻帶電圓環(huán)無(wú)限大均勻帶電面外任意一點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度：均勻帶電圓環(huán)軸線(xiàn)上的電場(chǎng)強(qiáng)度：37——電偶極矩+q電偶極子zol－q電偶極子的場(chǎng)圖等位線(xiàn)電場(chǎng)線(xiàn)

電偶極子是由相距很近、帶等值異號(hào)的兩個(gè)點(diǎn)電荷組成的電荷系統(tǒng)，其遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)強(qiáng)度為

電偶極子的電場(chǎng)強(qiáng)度：38

例2.2.1

計(jì)算均勻帶電的環(huán)形薄圓盤(pán)軸線(xiàn)上任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解：如圖所示，環(huán)形薄圓盤(pán)的內(nèi)半徑為a、外半徑為b，電荷面密度為。在環(huán)形薄圓盤(pán)上取面積元

，其位置矢量為，它所帶的電量為。而薄圓盤(pán)軸線(xiàn)上的場(chǎng)點(diǎn)的位置矢量為，因此有P(0,0,z)brRyzx均勻帶電的環(huán)形薄圓盤(pán)dSa故由于39例題求真空中半徑為a，帶電量為Q的導(dǎo)體球在球外空間中產(chǎn)生E分析可知：電場(chǎng)方向沿半徑方向電場(chǎng)大小只與場(chǎng)點(diǎn)與球心的距離相關(guān)解：在球面上取面元ds，該面元在P點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)徑向分量為：式中：40說(shuō)明：與位于球心的點(diǎn)電荷Q在空間中產(chǎn)生的電場(chǎng)等效41庫(kù)侖定律電場(chǎng)強(qiáng)度作業(yè)2.7，2.9422.2.2靜電場(chǎng)的散度與旋度高斯定理表明：靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)，電力線(xiàn)起始于正電荷，終止于負(fù)電荷。電場(chǎng)散度僅與電荷分布相關(guān)靜電場(chǎng)的散度（微分形式）1.靜電場(chǎng)散度與高斯定理靜電場(chǎng)的高斯定理（積分形式）環(huán)路定理表明：靜電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)，是保守場(chǎng)，電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)。靜電場(chǎng)的旋度（微分形式）2.靜電場(chǎng)旋度與環(huán)路定理靜電場(chǎng)的環(huán)路定理（積分形式）靜電場(chǎng)的基本方程43靜電場(chǎng)環(huán)路定律證明當(dāng)A點(diǎn)和B點(diǎn)重合時(shí)：物理意義：在靜電場(chǎng)中將單位電荷沿任一閉合路徑移動(dòng)一周，靜電力做功為零——靜電場(chǎng)為保守場(chǎng)。（電力線(xiàn)不構(gòu)成閉合回路）靜電場(chǎng)環(huán)路定律斯托克斯公式44小結(jié)：真空中靜電場(chǎng)的基本方程微分形式積分形式靜電場(chǎng)性質(zhì)：是一種有源無(wú)旋場(chǎng)，是保守場(chǎng)。靜電場(chǎng)的源：電荷討論：對(duì)靜電場(chǎng)，恒有：

為標(biāo)量函數(shù)靜電場(chǎng)可以由一標(biāo)量函數(shù)的梯度表示。45

在電場(chǎng)分布具有一定對(duì)稱(chēng)性的情況下，可以利用高斯定理計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度。

3.利用高斯定理計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度具有以下幾種對(duì)稱(chēng)性的場(chǎng)可用高斯定理求解：

球?qū)ΨQ(chēng)分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。均勻帶電球體帶電球殼多層同心球殼46

無(wú)限大平面電荷：如無(wú)限大的均勻帶電平面、平板等。

軸對(duì)稱(chēng)分布：如無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電的直線(xiàn)，圓柱面，圓柱殼等。(a)(b)47例題一求電荷密度為的無(wú)限大面電荷在空間中產(chǎn)生的電場(chǎng)。解：取如圖所示高斯面。由高斯定律，有分析：電場(chǎng)方向垂直表面。在平行電荷面的面上大小相等。S48例題二求無(wú)限長(zhǎng)線(xiàn)電荷在真空中產(chǎn)生的電場(chǎng)。解：取如圖所示高斯面。由高斯定律，有分析：電場(chǎng)方向垂直圓柱面。電場(chǎng)大小只與r有關(guān)。49

例2.2.2

求真空中均勻帶電球體的場(chǎng)強(qiáng)分布。已知球體半徑為a

，電荷密度為

0。

解：（1）球外某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)（2）求球體內(nèi)一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)ar

0rrEa(r≥a)（r<a）分析：電場(chǎng)方向垂直于球面。電場(chǎng)大小只與r有關(guān)。50小結(jié)：利用高斯定理求解靜電場(chǎng)關(guān)鍵：高斯面的選擇。高斯面的選擇原則：用高斯定理求解電場(chǎng)的方法只能適用于一些呈對(duì)稱(chēng)分布的電荷系統(tǒng)。1）場(chǎng)點(diǎn)位于高斯面上；2）高斯面為閉合面；3）在整個(gè)或分段高斯面上，或?yàn)楹愣ㄖ怠?1靜電場(chǎng)的散度與旋度作業(yè)2.112.132.15522.3真空中恒定磁場(chǎng)的基本規(guī)律1.

安培力定律

安培對(duì)電流的磁效應(yīng)進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)研究，在1821—1825年之間，設(shè)計(jì)并完成了電流相互作用的精巧實(shí)驗(yàn)，得到了電流相互作用力公式，稱(chēng)為安培力定律。

實(shí)驗(yàn)表明，真空中的載流回路C1對(duì)載流回路C2的作用力

載流回路C2對(duì)載流回路C1的作用力安培力定律2.3.1安培力定律磁感應(yīng)強(qiáng)度

滿(mǎn)足牛頓第三定律53其中：為真空中磁導(dǎo)率。C1上電流元對(duì)C2上電流元磁場(chǎng)力為：式中：為真空中介電常數(shù)。對(duì)比：542.磁感應(yīng)強(qiáng)度

電流在其周?chē)臻g中產(chǎn)生磁場(chǎng)，描述磁場(chǎng)分布的基本物理量是磁感應(yīng)強(qiáng)度，單位為T(mén)（特斯拉）。

磁場(chǎng)的重要特性：會(huì)對(duì)處于其中的運(yùn)動(dòng)電荷（電流）產(chǎn)生力的作用，稱(chēng)為磁場(chǎng)力。載流回路C1對(duì)載流回路C2的作用力是回路C1中的電流I1產(chǎn)生的磁場(chǎng)對(duì)回路C2中的電流I2的作用力。在磁場(chǎng)空間中，若電荷q0以速度運(yùn)動(dòng)：說(shuō)明：的方向與電荷受磁場(chǎng)力為零時(shí)的運(yùn)動(dòng)方向相同。55則，電流元在磁場(chǎng)中受到的磁場(chǎng)力為：若由電流元產(chǎn)生，則由安培力定律可知，電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：畢奧－薩伐爾定律說(shuō)明：、、三者滿(mǎn)足右手螺旋關(guān)系。56真空中任意電流回路產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)一步推導(dǎo)573、磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量積分公式（1）、體電流（2）、面電流（3）、載流為I的無(wú)限長(zhǎng)線(xiàn)電流在空間中產(chǎn)生磁場(chǎng)584.幾種典型電流分布的磁感應(yīng)強(qiáng)度

載流直線(xiàn)段的磁感應(yīng)強(qiáng)度：

載流圓環(huán)軸線(xiàn)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度：（有限長(zhǎng)）（無(wú)限長(zhǎng)）載流直線(xiàn)段載流圓環(huán)59例題求半徑為a的電流環(huán)在其軸線(xiàn)上產(chǎn)生的磁場(chǎng)。分析：在軸線(xiàn)上，磁場(chǎng)方向沿z向。電流分布呈軸對(duì)稱(chēng)。解：建立如圖柱面坐標(biāo)系。在電流環(huán)上任取電流元，令其坐標(biāo)位置矢量為。易知：60可見(jiàn)，線(xiàn)電流圓環(huán)軸線(xiàn)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度只有軸向分量，這是因?yàn)閳A環(huán)上各對(duì)稱(chēng)點(diǎn)處的電流元在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的徑向分量相互抵消。當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)P遠(yuǎn)離圓環(huán)，即z>>a時(shí)，因，故

在圓環(huán)的中心點(diǎn)上，z=0，磁感應(yīng)強(qiáng)度最大，即61安培力定律磁感應(yīng)強(qiáng)度作業(yè)2.162.18622.3.2恒定磁場(chǎng)的散度和旋度真空中恒定磁場(chǎng)基本方程一、磁場(chǎng)的基本量1、源量：2、磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量（磁通密度矢量）由安培力定律，知電流元產(chǎn)生的為：則整個(gè)電流回路產(chǎn)生的為：63說(shuō)明:也為磁通密度矢量。由密度的定義：式中：為垂直于磁力線(xiàn)的面元；

為穿過(guò)ds面元的磁通量。穿過(guò)閉合曲面S的磁通量為：3、磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量

磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量表征磁場(chǎng)對(duì)電流或者永久磁體產(chǎn)生磁力作用的能力。64二、真空中恒定磁場(chǎng)的散度

在恒定磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量穿過(guò)任意閉合面的磁通量為0，即：上式表明：磁力線(xiàn)在空間任意位置是連續(xù)的。磁通連續(xù)性定律（積分形式）上式表明：恒定磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)

由矢量場(chǎng)的散度定理，可推得：孤立磁荷不存在說(shuō)明：，故可用一矢量函數(shù)的旋度來(lái)表示。65三、真空中恒定磁場(chǎng)的旋度安培環(huán)路定律

在恒定磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量沿任意閉合路徑的環(huán)量等于其與回路交鏈的電流之和，即：安培環(huán)路定律(積分形式)說(shuō)明:(1)指回路C所圍電流的代數(shù)和；(2)指回路C上的總磁場(chǎng)強(qiáng)度(由C內(nèi)外電流共同產(chǎn)生）。66由斯托克斯定理：安培環(huán)路定律(微分形式)上式表明：恒定磁場(chǎng)是有旋場(chǎng)，是非保守場(chǎng)。電流為磁場(chǎng)的漩渦源。小結(jié)：恒定磁場(chǎng)性質(zhì)恒定磁場(chǎng)為有旋無(wú)源場(chǎng)，非保守場(chǎng)67四、總結(jié)真空中恒定磁場(chǎng)基本方程1.

恒定磁場(chǎng)的散度與磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理表明：恒定磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)，磁感應(yīng)線(xiàn)是無(wú)起點(diǎn)和終點(diǎn)的閉合曲線(xiàn)。恒定場(chǎng)的散度（微分形式）磁通連續(xù)性原理（積分形式）安培環(huán)路定理表明：恒定磁場(chǎng)是有旋場(chǎng)，是非保守場(chǎng)、電流是磁場(chǎng)的旋渦源。恒定磁場(chǎng)的旋度（微分形式）2.恒定磁場(chǎng)的旋度與安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理（積分形式）68五、利用安培環(huán)路定律求解空間磁場(chǎng)分布1、建立方程直接求解

若已知空間電流分布，則可建立方程：

直接求解法在理論上可以求出空間磁場(chǎng)分布，但一般不采用此法(難于求解)，而利用輔助函數(shù)求解。692、利用安培環(huán)路定律求解

當(dāng)電流呈軸對(duì)稱(chēng)分布時(shí)，可利用安培環(huán)路定律求解空間磁場(chǎng)分布。

若存在一閉合路徑C，使得在其上整段或分段為定值，則可以用安培環(huán)路定律求解。70

解：分析場(chǎng)的分布，取安培環(huán)路如圖根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，有，故

在磁場(chǎng)分布具有一定對(duì)稱(chēng)性的情況下，可以利用安培環(huán)路定理計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度。

例2.3.2

求電流面密度為的無(wú)限大電流薄板產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。71例題：半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)體內(nèi)通有電流I，計(jì)算空間磁場(chǎng)強(qiáng)度分布。分析：電流均勻分布在導(dǎo)體截面上，呈軸對(duì)稱(chēng)分布。解：根據(jù)安培環(huán)路定律

當(dāng)r>a時(shí)

當(dāng)r<a時(shí)72例2.3.3

求載流無(wú)限長(zhǎng)同軸電纜產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。題意分析：建立同軸電纜的結(jié)構(gòu)模型示意圖－半徑為a的內(nèi)導(dǎo)體圓柱、外殼為半徑分別是b、c的無(wú)限長(zhǎng)中空導(dǎo)體圓柱，內(nèi)導(dǎo)體沿軸向有恒定的均勻傳導(dǎo)電流I，外導(dǎo)體殼有恒定的均勻傳導(dǎo)電流－I

。求空間各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度分析：電流均勻分布在導(dǎo)體截面上，呈軸對(duì)稱(chēng)分布。建立柱坐標(biāo)系73

解選用圓柱坐標(biāo)系，則應(yīng)用安培環(huán)路定理，得取安培環(huán)路，交鏈的電流為根據(jù)安培環(huán)路定律74應(yīng)用安培環(huán)路定律，得752.212.222.3.2恒定磁場(chǎng)的散度和旋度真空中恒定磁場(chǎng)基本方程作業(yè)762.4媒質(zhì)的電磁特性

1.電介質(zhì)的極化現(xiàn)象

電介質(zhì)的分子分為無(wú)極分子和有極分子。在電場(chǎng)作用下，介質(zhì)中無(wú)極分子的束縛電荷發(fā)生位移，有極分子的固有電偶極矩的取向趨于電場(chǎng)方向，這種現(xiàn)象稱(chēng)為電介質(zhì)的極化。通常，無(wú)極分子的極化稱(chēng)為位移極化，有極分子的極化稱(chēng)為取向極化。2.4.1

電介質(zhì)的極化電位移矢量無(wú)極分子

有極分子無(wú)外加電場(chǎng)

媒質(zhì)對(duì)電磁場(chǎng)的響應(yīng)可分為三種情況：極化、磁化和傳導(dǎo)。

描述媒質(zhì)電磁特性的參數(shù)為：

介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率。無(wú)極分子有極分子有外加電場(chǎng)

E77極化媒質(zhì)宏觀上表現(xiàn)出電特性電場(chǎng)作用782.極化強(qiáng)度矢量

極化強(qiáng)度矢量

是描述介質(zhì)極化程度的物理量，定義為

——分子的平均電偶極矩

的物理意義：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)分子電偶極矩的矢量和。

極化強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度有關(guān)，其關(guān)系一般比較復(fù)雜。在線(xiàn)性、各向同性的電介質(zhì)中，與電場(chǎng)強(qiáng)度成正比，即

——電介質(zhì)（媒質(zhì)）的電極化率（或極化系數(shù)）

En表示分子密度79

由于極化，正、負(fù)電荷發(fā)生位移，在電介質(zhì)內(nèi)部可能出現(xiàn)凈余的極化電荷分布，同時(shí)在電介質(zhì)的表面上有面分布的極化電荷。3.極化電荷（束縛電荷）(1)

極化電荷體密度介質(zhì)被極化后，每個(gè)分子可以看作是一個(gè)電偶極子，其電偶極矩為在電介質(zhì)內(nèi)任意作一閉合面S，只有電偶極矩穿過(guò)S的分子對(duì)S內(nèi)的極化電荷有貢獻(xiàn)。在閉合面S所圍體積內(nèi)取小體積元

E

S穿出dS面的電荷量為：80穿出整個(gè)S面的電荷量為：由電荷守恒和電中性性質(zhì)，S面所圍電荷量為說(shuō)明：若媒質(zhì)均勻極化（與空間位置無(wú)關(guān)），則介質(zhì)無(wú)體極化電荷。均勻媒質(zhì)被極化后，一般不存在體極化電荷。81(2)

極化電荷面密度

緊貼電介質(zhì)表面取如圖所示的閉合曲面，則穿過(guò)面積元的極化電荷為故得到電介質(zhì)表面的極化電荷面密度為

式中：為媒質(zhì)極化強(qiáng)度為媒質(zhì)表面外法向單位矢量82說(shuō)明：1)極化電荷不能自由運(yùn)動(dòng)，也稱(chēng)為束縛電荷2)由電荷守恒定律，極化電荷總量為零；3)極化媒質(zhì)分界面上一般存在極化電荷；4)若極化媒質(zhì)內(nèi)存在自由電荷，則在自由電荷處一般存在極化電荷。5）兩種介質(zhì)分界面上的極化電荷83空間中原電場(chǎng)：介質(zhì)被極化－>極化電荷：介質(zhì)空間中電場(chǎng)：介質(zhì)空間外加電場(chǎng)，實(shí)際電場(chǎng)為，變化與介質(zhì)性質(zhì)有關(guān)。引入電位移矢量作為描述空間電場(chǎng)分布的輔助量.844.電位移矢量介質(zhì)中的高斯定理

介質(zhì)的極化過(guò)程包括兩個(gè)方面：外加電場(chǎng)的作用使介質(zhì)極化，產(chǎn)生極化電荷；極化電荷反過(guò)來(lái)激發(fā)電場(chǎng)，兩者相互制約，并達(dá)到平衡狀態(tài)。無(wú)論是自由電荷，還是極化電荷，它們都激發(fā)電場(chǎng)，服從同樣的庫(kù)侖定律和高斯定理。自由電荷和極化電荷共同激發(fā)的結(jié)果

介質(zhì)中的電場(chǎng)應(yīng)該是外加電場(chǎng)和極化電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的疊加，應(yīng)用高斯定理得到：85任意閉合曲面電位移矢量D的通量等于該曲面包含自由電荷的代數(shù)和

引入電位移矢量（單位：C/m2)將極化電荷體密度表達(dá)式代入，有則有

其積分形式為

式中：為真空中的介電常數(shù)為媒質(zhì)的極化強(qiáng)度為外加電場(chǎng)強(qiáng)度86在這種情況下其中稱(chēng)為介質(zhì)的介電常數(shù)，稱(chēng)為介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)（無(wú)量綱）。*

介質(zhì)有多種不同的分類(lèi)方法，如：均勻和非均勻介質(zhì)各向同性和各向異性介質(zhì)時(shí)變和時(shí)不變介質(zhì)線(xiàn)性和非線(xiàn)性介質(zhì)確定性和隨機(jī)介質(zhì)5.電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

極化強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度之間的關(guān)系由介質(zhì)的性質(zhì)決定。對(duì)于線(xiàn)性各向同性介質(zhì)，

和

有簡(jiǎn)單的線(xiàn)性關(guān)系87小結(jié)：靜電場(chǎng)是有源無(wú)旋場(chǎng)：

1）電介質(zhì)中的基本方程為

（積分形式）

（微分形式），

2）真空中點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位移矢量為：3）真空中靜電場(chǎng)的基本方程：88駐極體：外場(chǎng)消失后，仍保持極化狀態(tài)的電介質(zhì)體。解：在駐極體內(nèi)：駐極體在表面上：例題一

求半徑為a，永久極化強(qiáng)度為的球形駐極體中的極化電荷分布。已知：89例題二半徑為a的球形電介質(zhì)體，其相對(duì)介電常數(shù)若在球心處存在一點(diǎn)電荷Q，求極化電荷分布。解：由高斯定律，可以求得在媒質(zhì)內(nèi)：體極化電荷分布:面極化電荷分布:在球心點(diǎn)電荷處：90例題三

在線(xiàn)性均勻媒質(zhì)中，已知電位移矢量的z分量為，極化強(qiáng)度求：介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移矢量。解：由定義，知：910、分子電流模型電子繞核運(yùn)動(dòng)，形成分子電流。分子電流將產(chǎn)生微觀磁場(chǎng)。分子電流的磁特性可用分子極矩表示。式中：為電子運(yùn)動(dòng)形成的微觀電流；為分子電流所圍面元；2.4.2磁介質(zhì)的磁化磁場(chǎng)強(qiáng)度921.磁介質(zhì)的磁化

介質(zhì)中分子或原子內(nèi)的電子運(yùn)動(dòng)形成分子電流，形成分子磁矩?zé)o外加磁場(chǎng)外加磁場(chǎng)B

在外磁場(chǎng)作用下，分子磁矩定向排列，宏觀上顯示出磁性，這種現(xiàn)象稱(chēng)為磁介質(zhì)的磁化。

無(wú)外磁場(chǎng)作用時(shí)，分子磁矩不規(guī)則排列，宏觀上不顯磁性。93B2.磁化強(qiáng)度矢量

磁化強(qiáng)度是描述磁介質(zhì)磁化程度的物理量，定義為單位體積中的分子磁矩的矢量和，即單位為A/m。一般介質(zhì)被磁化的程度與外加磁場(chǎng)強(qiáng)度成正比，即：式中：為磁介質(zhì)的磁化率（磁化系數(shù)）943.磁化電流

磁介質(zhì)被磁化后，在其內(nèi)部與表面上可能出現(xiàn)宏觀的電流分布，稱(chēng)為磁化電流（束縛電流）。

考察穿過(guò)任意圍線(xiàn)C所圍曲面S的電流。只有分子電流與圍線(xiàn)相交鏈的分子才對(duì)電流有貢獻(xiàn)。與線(xiàn)元dl相交鏈的分子，中心位于如圖所示的斜圓柱內(nèi)，所交鏈的電流BC穿過(guò)曲面S的磁化電流為（1）磁化電流體密度95由，即得到磁化電流體密度

在緊貼磁介質(zhì)表面取一長(zhǎng)度元dl，與此交鏈的磁化電流為（2）磁化電流面密度則即的切向分量96說(shuō)明：1、若媒質(zhì)被均勻磁化，無(wú)體磁化電流；2、磁化介質(zhì)表面一般存在磁化電流；3、磁化電流仍然遵循電流守恒關(guān)系；4、若在磁介質(zhì)內(nèi)部存在自由線(xiàn)電流，則在自由電流處存在磁化線(xiàn)電流。974.磁場(chǎng)強(qiáng)度介質(zhì)中安培環(huán)路定理

分別是傳導(dǎo)電流密度和磁化電流密度。

將極化電荷體密度表達(dá)式代入，有,即

外加磁場(chǎng)使介質(zhì)發(fā)生磁化，磁化導(dǎo)致磁化電流。磁化電流同樣也激發(fā)磁感應(yīng)強(qiáng)度，兩種相互作用達(dá)到平衡，介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)是所有電流源激勵(lì)的結(jié)果：定義磁場(chǎng)強(qiáng)度為：98則得到介質(zhì)中的安培環(huán)路定理為：磁通連續(xù)性定理為小結(jié)：恒定磁場(chǎng)是有源無(wú)旋場(chǎng)，磁介質(zhì)中的基本方程為

（積分形式）

（微分形式）99其中，稱(chēng)為介質(zhì)的磁化率（也稱(chēng)為磁化系數(shù)）。這種情況下其中稱(chēng)為介質(zhì)的磁導(dǎo)率，稱(chēng)為介質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率（無(wú)量綱）。順磁質(zhì)抗磁質(zhì)鐵磁質(zhì)磁介質(zhì)的分類(lèi)5.磁介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

磁化強(qiáng)度

和磁場(chǎng)強(qiáng)度

之間的關(guān)系由磁介質(zhì)的物理性質(zhì)決定，對(duì)于線(xiàn)性各向同性介質(zhì)，與之間存在簡(jiǎn)單的線(xiàn)性關(guān)系：100磁場(chǎng)強(qiáng)度磁化強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度

例2.4.1

有一磁導(dǎo)率為μ

，半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)磁圓柱，其軸線(xiàn)處有無(wú)限長(zhǎng)的線(xiàn)電流I，圓柱外是空氣（μ0），試求圓柱內(nèi)外的、和的分布。

解磁場(chǎng)為平行平面場(chǎng),且具有軸對(duì)稱(chēng)性，應(yīng)用安培環(huán)路定律，得1012.4.3媒質(zhì)的傳導(dǎo)特性恒定電場(chǎng)的本構(gòu)關(guān)系

對(duì)于線(xiàn)性和各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)，媒質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)的電流密度矢量J和電場(chǎng)強(qiáng)度E成正比，表示為這就是歐姆定律的微分形式。式中的比例系數(shù)稱(chēng)為媒質(zhì)的電導(dǎo)率，單位是S/m（西/米）。晶格帶電粒子

存在可以自由移動(dòng)帶電粒子的介質(zhì)稱(chēng)為導(dǎo)電媒質(zhì)。在外場(chǎng)作用下，導(dǎo)電媒質(zhì)中將形成定向移動(dòng)電流。

102恒定電場(chǎng)的本構(gòu)關(guān)系的推導(dǎo)導(dǎo)電媒質(zhì)電導(dǎo)率體積元內(nèi)存在：由歐姆定律：導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場(chǎng)本構(gòu)關(guān)系。式中：為導(dǎo)電媒質(zhì)電導(dǎo)率。103討論：1）在理想導(dǎo)體內(nèi)，恒定電場(chǎng)為0；恒定電場(chǎng)可以存在于非理想導(dǎo)體內(nèi)。2)在導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)，恒定電場(chǎng)和的方向相同導(dǎo)電媒質(zhì)中能量損耗關(guān)系小體積元內(nèi)，產(chǎn)生的焦耳熱功率為：所以，單位體積功率損耗為：導(dǎo)電媒質(zhì)焦耳功率損耗密度。1042.5電磁感應(yīng)定律和位移電流

電磁感應(yīng)定律

——揭示時(shí)變磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)。

位移電流

——揭示時(shí)變電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)。

重要結(jié)論：在時(shí)變情況下，電場(chǎng)與磁場(chǎng)相互激勵(lì)，形成統(tǒng)一的電磁場(chǎng)。105電磁感應(yīng)現(xiàn)象與楞次定律實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)穿過(guò)導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電流。——電磁感應(yīng)現(xiàn)象楞次定律：回路總是企圖以感應(yīng)電流產(chǎn)生的穿過(guò)回路自身的磁通，去反抗引起感應(yīng)電流的磁通量的改變。1062.5.1電磁感應(yīng)定律

自從1820年奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)之后，人們開(kāi)始研究相反的問(wèn)題，即磁場(chǎng)能否產(chǎn)生電流。

1881年法拉第發(fā)現(xiàn)，當(dāng)穿過(guò)導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中就會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電流和電動(dòng)勢(shì)，且感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與磁通量的變化有密切關(guān)系，由此總結(jié)出了著名的法拉第電磁感應(yīng)定律。107負(fù)號(hào)表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)總是阻止磁通量的變化。1.

法拉第電磁感應(yīng)定律的表述

設(shè)任意導(dǎo)體回路C圍成的曲面為S，其單位法向矢量為，則穿過(guò)回路的磁通為

當(dāng)通過(guò)導(dǎo)體回路所圍面積的磁通量

發(fā)生變化時(shí)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

in的大小等于磁通量的時(shí)間變化率的負(fù)值，方向是要阻止回路中磁通量的改變，即108

導(dǎo)體回路中有感應(yīng)電流，表明回路中存在感應(yīng)電場(chǎng)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可表示為

感應(yīng)電場(chǎng)是由變化的磁場(chǎng)所激發(fā)的電場(chǎng)。感應(yīng)電場(chǎng)是有旋場(chǎng)。

感應(yīng)電場(chǎng)不僅存在于導(dǎo)體回路中，也存在于導(dǎo)體回路之外的空間。對(duì)空間中的任意回路（不一定是導(dǎo)體回路）C，都有因而有

對(duì)感應(yīng)電場(chǎng)的討論：109相應(yīng)的微分形式為(1)

回路不變，磁場(chǎng)隨時(shí)間變化這就是推廣的法拉第電磁感應(yīng)定律。

若空間同時(shí)存在由電荷產(chǎn)生的電場(chǎng),則總電場(chǎng)應(yīng)為與之和，即。由于，故有2.引起回路中磁通變化的幾種情況磁通量的變化由磁場(chǎng)隨時(shí)間變化引起，因此有法拉第電磁感應(yīng)定律微分形式110稱(chēng)為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，這就是發(fā)電機(jī)工作原理。(2)

導(dǎo)體回路在恒定磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)(3)

回路在時(shí)變磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)111

（1），矩形回路靜止；xbaoyx均勻磁場(chǎng)中的矩形環(huán)L

（3），且矩形回路上的可滑動(dòng)導(dǎo)體L以勻速運(yùn)動(dòng)。

解：(1)均勻磁場(chǎng)

隨時(shí)間作簡(jiǎn)諧變化，而回路靜止，因而回路內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是由磁場(chǎng)變化產(chǎn)生的，故

例2.5.1

長(zhǎng)為a、寬為b的矩形環(huán)中有均勻磁場(chǎng)

垂直穿過(guò)，如圖所示。在以下三種情況下，求矩形環(huán)內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

（2），矩形回路的寬邊b=常數(shù)，但其長(zhǎng)邊因可滑動(dòng)導(dǎo)體L以勻速運(yùn)動(dòng)而隨時(shí)間增大；112(3)矩形回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是由磁場(chǎng)變化以及可滑動(dòng)導(dǎo)體L在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，故得(2)均勻磁場(chǎng)

為恒定磁場(chǎng)，而回路上的可滑動(dòng)導(dǎo)體以勻速運(yùn)動(dòng)，因而回路內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)全部是由導(dǎo)體L在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，故得或113

（1）線(xiàn)圈靜止時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；

解:

（1）線(xiàn)圈靜止時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是由時(shí)變磁場(chǎng)引起，故

（2）線(xiàn)圈以角速度ω

繞x

軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

例2.5.2

在時(shí)變磁場(chǎng)中，放置有一個(gè)的矩形線(xiàn)圈。初始時(shí)刻，線(xiàn)圈平面的法向單位矢量與成α角，如圖所示。試求：xyzabB時(shí)變磁場(chǎng)中的矩形線(xiàn)圈114

假定時(shí)，則在時(shí)刻t時(shí)，與y

軸的夾角，故

方法一：利用式計(jì)算

（2）線(xiàn)圈繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，的指向?qū)㈦S時(shí)間變化。線(xiàn)圈內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可以用兩種方法計(jì)算。115

上式右端第一項(xiàng)與(1)相同，第二項(xiàng)xyzabB時(shí)變磁場(chǎng)中的矩形線(xiàn)圈12234

方法二：利用式計(jì)算。116

在時(shí)變情況下，安培環(huán)路定理是否要發(fā)生變化？有什么變化？即問(wèn)題：隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)要產(chǎn)生電場(chǎng)，那么隨時(shí)間變化的電場(chǎng)是否會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)？2.5.2位移電流

靜態(tài)情況下的電場(chǎng)基本方程在非靜態(tài)時(shí)發(fā)生了變化，即

這不僅是方程形式的變化，而是一個(gè)本質(zhì)的變化，其中包含了重要的物理事實(shí)，即時(shí)變磁場(chǎng)可以激發(fā)電場(chǎng)。（恒定磁場(chǎng)）

（時(shí)變場(chǎng)）1171.全電流定律安培環(huán)路定律的局限性

如圖：以閉合路徑為邊界的曲面有無(wú)限多個(gè)，取如圖所示的兩個(gè)曲面S1,S2。結(jié)論：恒定磁場(chǎng)中推導(dǎo)得到的安培環(huán)路定律不適用于時(shí)變場(chǎng)的問(wèn)題。對(duì)S2面：則對(duì)S1面：118位移電流假說(shuō)

在電容器極板間，不存在自由電流，但存在隨時(shí)間變化的電場(chǎng)。

為了克服安培環(huán)路定律的局限性，麥克斯韋提出了位移電流假說(shuō)。他認(rèn)為：在電容器之間，存在著另外一種形式的電流，其量值與回路中自由電流相等。

由電流連續(xù)性方程，知在極板間，有119上式中：為傳導(dǎo)電流，即自由電荷運(yùn)動(dòng)形成的電流。若定義：為位移電流，為全電流，則

若用全電流代替安培環(huán)路定律中的自由電流,則安培環(huán)路定律在時(shí)變場(chǎng)中仍然適用。全電流遵循電流守恒定律120廣義安培環(huán)路定律微分形式上式物理意義：隨時(shí)間變化的電場(chǎng)能產(chǎn)生磁場(chǎng)。說(shuō)明：位移電流理論最初只是一種假說(shuō)。但在此假說(shuō)的基礎(chǔ)上，麥克斯韋預(yù)言了電磁波的存在，而赫茲通過(guò)試驗(yàn)證明了電磁波確實(shí)存在，從而反過(guò)來(lái)證明了位移電流理論的正確性。三、安培環(huán)路定律廣義形式

一般情況下，時(shí)變場(chǎng)空間同時(shí)存在真實(shí)電流(傳導(dǎo)電流)和位移電流，則121

解決辦法：對(duì)安培環(huán)路定理進(jìn)行修正由將修正為：矛盾解決

時(shí)變電場(chǎng)會(huì)激發(fā)磁場(chǎng)而由時(shí)變情況下，電荷分布隨時(shí)間變化，由電流連續(xù)性方程有

發(fā)生矛盾在時(shí)變的情況下不適用隨時(shí)間變化的電場(chǎng)能產(chǎn)生磁場(chǎng)時(shí)變場(chǎng)的觀點(diǎn)122全電流定律：——

微分形式——

積分形式

全電流定律揭示不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場(chǎng)，變化的電場(chǎng)也可以激發(fā)磁場(chǎng)。它與變化的磁場(chǎng)激發(fā)電場(chǎng)形成自然界的一個(gè)對(duì)偶關(guān)系。1232.位移電流密度電位移矢量隨時(shí)間的變化率，能像電流一樣產(chǎn)生磁場(chǎng)，故稱(chēng)“位移電流”。注意：在絕緣介質(zhì)中，無(wú)傳導(dǎo)電流，但有位移電流。在理想導(dǎo)體中，無(wú)位移電流，但有傳導(dǎo)電流。在一般介質(zhì)中，既有傳導(dǎo)電流，又有位移電流。位移電流只表示電場(chǎng)的變化率，與傳導(dǎo)電流不同，它不產(chǎn)生熱效應(yīng)。位移電流的引入是建立麥克斯韋方程組的至關(guān)重要的一步，它揭示了時(shí)變電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)這一重要的物理概念。124

例2.5.3

海水的電導(dǎo)率為4S/m，相對(duì)介電常數(shù)為81，求頻率為1MHz時(shí)，位移電流振幅與傳導(dǎo)電流振幅的比值。

解：設(shè)電場(chǎng)隨時(shí)間作正弦變化，表示為則位移電流密度為其振幅值為傳導(dǎo)電流的振幅值為故125式中的k為常數(shù)。試求：位移電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度。

例

2.5.4

自由空間的磁場(chǎng)強(qiáng)度為

解

自由空間的傳導(dǎo)電流密度為0，故由式,得126

例2.5.5

銅的電導(dǎo)率、相對(duì)介電常數(shù)。設(shè)銅中的傳導(dǎo)電流密度為。試證明：在無(wú)線(xiàn)電頻率范圍內(nèi)，銅中的位移電流與傳導(dǎo)電流相比是可以忽略的。而傳導(dǎo)電流密度的振幅值為通常所說(shuō)的無(wú)線(xiàn)電頻率是指f=300MHz以下的頻率范圍，即使擴(kuò)展到極高頻段（f=30～300GHz），從上面的關(guān)系式看出比值Jdm/Jm也是很小的，故可忽略銅中的位移電流。

解：銅中存在時(shí)變電磁場(chǎng)時(shí)，位移電流密度為位移電流密度的振幅值為127電磁感應(yīng)定律和位移電流作業(yè)2.252.262.271282.6麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組

——宏觀電磁現(xiàn)象所遵循的基本規(guī)律，是電磁場(chǎng)的基本方程。

麥克斯韋在引入位移電流假說(shuō)的基礎(chǔ)上，總結(jié)前人研究成果，將揭示電、磁場(chǎng)基本性質(zhì)的幾個(gè)方程結(jié)合在一起，構(gòu)成了麥克斯韋方程組。微分形式積分形式限定形式129

2.6.1麥克斯韋方程組的積分形式1302.6.2麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋第一方程，表明傳導(dǎo)電流和變化的電場(chǎng)都能產(chǎn)生磁場(chǎng)－（推廣的安培環(huán)路定律）麥克斯韋第二方程，表明變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)－（法拉第電磁感應(yīng)定律）麥克斯韋第三方程，表明磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)，磁感線(xiàn)總是閉合曲線(xiàn)－（磁通連續(xù)性定律）麥克斯韋第四方程，表明電荷產(chǎn)生電場(chǎng)－（高斯定律）注意：時(shí)變電磁場(chǎng)的源：1、真實(shí)源（變化的電流和電荷）2、變化的電場(chǎng)和變化的磁場(chǎng)。1312.6.3媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系麥克斯韋方程組的限定形式代入麥克斯韋方程組中，有限定形式的麥克斯韋方程（均勻媒質(zhì)）各向同性線(xiàn)性媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系為與媒質(zhì)特性相關(guān)132時(shí)變電場(chǎng)的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場(chǎng)；而時(shí)變磁場(chǎng)的激發(fā)源除了傳導(dǎo)電流以外，還有變化的電場(chǎng)。電場(chǎng)和磁場(chǎng)互為激發(fā)源，相互激發(fā)。時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)不再相互獨(dú)立，而是相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成一個(gè)整體——

電磁場(chǎng)。電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別是電磁場(chǎng)的兩個(gè)分量。在離開(kāi)輻射源（如天線(xiàn)）的無(wú)源空間中，電荷密度和電流密度矢量為零，電場(chǎng)和磁場(chǎng)仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波。133在無(wú)源空間中，兩個(gè)旋度方程分別為

可以看到兩個(gè)方程的右邊相差一個(gè)負(fù)號(hào)，而正是這個(gè)負(fù)號(hào)使得電場(chǎng)和磁場(chǎng)構(gòu)成一個(gè)相互激勵(lì)又相互制約的關(guān)系。當(dāng)磁場(chǎng)減小時(shí)，電場(chǎng)的旋渦源為正，電場(chǎng)將增大；而當(dāng)電場(chǎng)增大時(shí)，使磁場(chǎng)增大，磁場(chǎng)增大反過(guò)來(lái)又使電場(chǎng)減小。134麥克斯韋方程組的地位：揭示了電磁場(chǎng)場(chǎng)量與源之間的基本關(guān)系，揭示了時(shí)變電磁場(chǎng)的基本性質(zhì)，是電磁場(chǎng)理論的基礎(chǔ)。說(shuō)明：靜場(chǎng)只是時(shí)變場(chǎng)的一種特殊情況。135麥克斯韋方程組時(shí)變場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)緩變場(chǎng)迅變場(chǎng)電磁場(chǎng)(EM)準(zhǔn)靜電場(chǎng)(EQS)準(zhǔn)靜磁場(chǎng)(MQS)靜磁場(chǎng)(MS)小結(jié)：麥克斯韋方程適用范圍：一切宏觀電磁現(xiàn)象。靜電場(chǎng)(ES)恒定電場(chǎng)(SS)136

解：(1)導(dǎo)線(xiàn)中的傳導(dǎo)電流為忽略邊緣效應(yīng)時(shí)，間距為d

的兩平行板之間的電場(chǎng)為E=u/d

，則

例

2.6.1

正弦交流電壓源連接到平行板電容器的兩個(gè)極板上，如圖所示。(1)證明電容器兩極板間的位移電流與連接導(dǎo)線(xiàn)中的傳導(dǎo)電流相等；(2)求導(dǎo)線(xiàn)附近距離連接導(dǎo)線(xiàn)為r

處的磁場(chǎng)強(qiáng)度。CPricu平行板電容器與交流電壓源相接137與閉合線(xiàn)鉸鏈的只有導(dǎo)線(xiàn)中的傳導(dǎo)電流，故得(2)以r

為半徑作閉合曲線(xiàn)C，由于連接導(dǎo)線(xiàn)本身的軸對(duì)稱(chēng)性，使得沿閉合線(xiàn)的磁場(chǎng)相等，故式中的S0為極板的面積，而為平行板電容器的電容。則極板間的位移電流為138

例2.6.2

在無(wú)源的電介質(zhì)中，若已知電場(chǎng)強(qiáng)度矢量，式中的E0為振幅、ω為角頻率、k為相位常數(shù)。試確定k與ω

之間所滿(mǎn)足的關(guān)系，并求出與相應(yīng)的其他場(chǎng)矢量。

解：是電磁場(chǎng)的場(chǎng)矢量，應(yīng)滿(mǎn)足麥克斯韋方程組。因此，利用麥克斯韋方程組可以確定k與ω

之間所滿(mǎn)足的關(guān)系，以及與相應(yīng)的其他場(chǎng)矢量。對(duì)時(shí)間

t積分，得139由以上各個(gè)場(chǎng)矢量都應(yīng)滿(mǎn)足麥克斯韋方程，將以上得到的H和D代入式1402.7電磁場(chǎng)的邊界條件

什么是電磁場(chǎng)的邊界條件?

為什么要研究邊界條件?媒質(zhì)1媒質(zhì)2

如何討論邊界條件?

實(shí)際電磁場(chǎng)問(wèn)題都是在一定的物理空間內(nèi)發(fā)生的，該空間中可能是由多種不同媒質(zhì)組成的。邊界條件就是不同媒質(zhì)的分界面上的電磁場(chǎng)矢量滿(mǎn)足的關(guān)系，是在不同媒質(zhì)分界面上電磁場(chǎng)的基本屬性。物理：由于在分界面兩側(cè)介質(zhì)的特性參數(shù)發(fā)生突變，場(chǎng)在界面兩側(cè)也發(fā)生突變。麥克斯韋方程組的微分形式在分界面兩側(cè)失去意義，必須采用邊界條件。數(shù)學(xué)：麥克斯韋方程組是微分方程組，其