安徽省合肥市潤安公學高三數學文期末試題含解析

安徽省合肥市潤安公學高三數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.高鐵、掃碼支付、共享單車、網購并稱中國“新四大發(fā)明”，近日對全國100個城市的共享單車和掃碼支付的使用人數進行大數據分析，其中共享單車使用的人數分別為，它們的平均數為，方差為；其中掃碼支付使用的人數分別為，，，，，它們的平均數為，方差為，則，分別為（

）A.， B.， C.， D.，參考答案：C【分析】由樣本數據的平均數和方差的公式，化簡、運算，即可求解，得到答案.【詳解】由平均數的計算公式，可得數據的平均數為數據的平均數為：，數據的方差為，數據的方差為：故選C.【點睛】本題主要考查了樣本數據的平均數和方差的計算與應用，其中解答中熟記樣本數據的平均數和方差的計算公式，合理化簡與計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.2.如圖是某幾何體的三視圖，則其體積為

．參考答案：3.已知函數且則（

）

A.0

B.1

C.4

D.參考答案：A4.已知函數，則關于的方程的實根個數不可能為（

）（A）個

（B）個

（C）個

（D）個參考答案：A5.已知，且非p是非q的充分條件，則a的取值范圍為（

）

A.

-1<a<6

B.

C.

D.

參考答案：答案：B6.設復數，則的共軛復數（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D7.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各頂點都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的體積為，則這個直三棱柱的體積等于（）A． B． C．2 D．參考答案：B【考點】球內接多面體；棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】計算題；空間位置關系與距離．【分析】根據直三棱柱的性質和球的對稱性，得球心O是△ABC和△A1B1C1的外心連線段的中點，連接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C．在△ABC中利用正、余弦定理算出O1A=1，由球O的體積算出OA=，然后在Rt△O1OA中，用勾股定理算出O1O=2，得三棱柱的高O1O2=4，最后算出底面積S△ABC=，可得此直三棱柱的體積．【解答】解：設△ABC和△A1B1C1的外心分別為O1、O2，連接O1O2，可得外接球的球心O為O1O2的中點，連接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C△ABC中，cosA==﹣∵A∈（0，π），∴A=根據正弦定理，得△ABC外接圓半徑O1A==1∵球O的體積為V==，∴OA=R=Rt△O1OA中，O1O==2，可得O1O2=2O1O=4∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面積S△ABC=AB?ACsin=∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為S△ABC×O1O2=故選：B【點評】本題給出直三棱柱的底面三角形的形狀和外接球的體積，求此三棱柱的體積，著重考查了球的體積公式式、直三棱柱的性質和球的對稱性等知識，屬于中檔題．8.若則實數的取值范圍是（

）A．

B.

C.

D.參考答案：B9.已知集合且,若，則(

)A.－3≤m≤4

B.－3<m<4

C.2<m<4 D.2<m≤4參考答案：D10.函數f(x)＝ln(4＋3x－x2)的遞減區(qū)間是()A.

B.

C.

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數的最大值是__________．參考答案：5略12.過拋物線的焦點的直線交該拋物線于兩點，若，則=______。參考答案：設及；則點到準線的距離為，得：

又?！久}立意】本題考查等直線與拋物線相交問題的運算。13.已知變量，滿足，則的最小值為

．參考答案：0畫出表示的可行域，如圖，由，可得平移直線，由圖知，當直線經過點，直線在以y軸上截距最小，此時最小值為，故答案為0.

14.已知，則=

.

參考答案：15.當函數取得最大值時，

.參考答案：16.已知命題p：“對?x∈R，?m∈R使4x－2x＋1＋m＝0”，若命題p是假命題，則實數m的取值范圍是__________．參考答案：(－∞，1]略17.若將一顆質地均勻的骰子(各面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲兩次，向上的點數依次為m，n，則方程x2＋2mx＋n＝0無實數根的概率是________．參考答案：共有36種等可能基本事件，其中要求方程x2＋2mx＋n＝0無實根，即m2＜n的事件為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共7個基本事件，因此所求概率為.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題14分)已知數列{an}中,a1=6,an+1=an+1,數列{bn},點(n,bn)在過點A(0,1)的直線l上,若l上有兩點B、C,向量=(1,2).(1)求數列{an},{bn}的通項公式；(2)設cn=2,在ak與ak+1之間插入k個ck,依次構成新數列,試求該數列的前2013項之和;(3)對任意正整數n,不等式(1+)(1+)·…·(1+)?a3030恒成立,求正數a的范圍.參考答案：解:(1)∵an+1?an=1且a1=6,\an=n+5

………1分設l上任意一點P(x,y),則=(x,y?1),由已知可得//.\y=2x+1,又過點(n,bn)\bn=2n+1

………4分(2)新數列：a1,c1,a2,c2,c2,a3,c3,c3,c3,a4,…,ak,ck,…,ak+1,共計項數：k+1+·k經估算k=62,k+1+·k=2016,項數接近2013,

………5分\S2013=(a1+a2+…+a62)+(1′c1+2′c2+…+62′c62)?2c62

………6分令T=1′c1+2′c2+…+62′c62,T=1′23+2′25+3′27+…+62′21254T=

1′25+2′27+…+61′2125+62′2127兩式相減得：T=

………8分\S2013=+?2′2125=2263+

………9分(3)變量分離得：a￡恒成立.

………10分令g(n)=

………11分\=′=31

………13分

{g(n)}遞增數列。\a?(0,g(1))=(0,]

………14分

略19.（本題12分）已知銳角中內角的對邊分別為，且，向量,,且∥.

（1）求的大?。?/p>

（2）若，求的值.參考答案：∴又,且為銳角，∴∴

………………12分略20.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，CD=2，AC與BD交于O，且AC⊥BD，矩形ACEF⊥底面ABCD，M為EF上一動點，滿足=λ．（Ⅰ）若AM∥平面EBD，求實數λ的值；（Ⅱ）當λ=時，銳二面角D﹣AM﹣B的余弦值為，求多面體ABCDEF的體積．參考答案：【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（I）連結OE，根據線面平行的性質可知OE∥AM，故而四邊形EMAO為平行四邊形，于是；（II）以O為原點建立空間坐標系，求出平面ADM和平面ABM的法向量，根據二面角的大小，列方程求出CE，代入棱錐的體積公式即可．【解答】解：（Ⅰ）連接OE，在梯形ABCD中，AB∥CD，∴△DOC∽△BOA，∴．∵AM∥平面BDE，平面ACM∩平面BDE=OE，AM?平面ACM，∴AM∥OE．又ME∥AO，∴四邊形MEOA為平行四邊形，∴EM=AO．∴==，即λ=．（Ⅱ）∵距形ACEF⊥底面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，∴CE⊥底面ABCD．∵，∴OM⊥底面ABCD．以O為原點，以OA，OB，OM所在直線為坐標軸建立如圖所示空間直角坐標系，設CE=a（a＞0），∵△DAB≌△CBA，∴∠OBA=OAB，∴OA=OB=2，同理OC=OD=，∴A（2，0，0），B（0，2，0），D（0，﹣，0），M（0，0，a），∴=（﹣2，0，a），=（﹣2，﹣，0），=（﹣2，2，0）．設平面AMD的法向量為=（x1，y1，z1），平面AMB的法向量為=（x2，y2，z2）．則，，∴，令x1=x2=a，得=（a，﹣2a，2），=（a，a，2）．∴cos＜，＞==，∴||=，解得：a=2．∴多面體的體積為V=VD﹣ACEF+VB﹣ACEF=+===12．21.

已知函數的最小正周期是，將函數圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變；再將所得函數圖象向右平移個單位，得到函數的圖象．

(I)的解析式；

(Ⅱ)在△ABC.中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，△ABC的面積為3，求邊長a的值．參考答案：略22.如圖（1），在平面四邊形ABCD中，AC是BD的垂直平分線，垂足為E，AB中點為F，，，，沿BD將折起，使C至位置，如圖（2）.（1）求證：；（2）當平面平面ABD時，求直線與平面所成角的正弦值.參考答案：（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）折疊過程中，保持不變，又由線面垂直，從而得證線線垂直。（2）由兩平面垂直可得兩兩垂直，以它們?yōu)樽鴺溯S建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面的法向量，由線面角的向量法求