思想專題之特殊與一般思想（3）-滬教版（上海）高中數(shù)學(xué)2019-2020學(xué)年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教案（教育機(jī)構(gòu)專用）

滬教版（上海）高中數(shù)學(xué)2019-2020學(xué)年度高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)思想專題之特殊與一般思想③教學(xué)目標(biāo)理解特殊與一般的思想，掌握由特殊到一般再由一般到特殊研究方法，通過對個例的認(rèn)識和研究，形成對事物的認(rèn)識。【解讀：掌握特殊值求解題目的技巧，能夠根據(jù)題目所給條件歸納猜想，給出一個合理的結(jié)論】知識梳理由特殊到一般,再由一般到特殊反復(fù)認(rèn)識的過程是人們認(rèn)識世界的基本過程之一，通過對個例認(rèn)識與研究，形成對事物的認(rèn)識，由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)、由局部到整體、由實(shí)踐到理論。對數(shù)學(xué)而言，這種由特殊到一般,再由一般到特殊的研究數(shù)學(xué)問題的基本認(rèn)識的過程,就是數(shù)學(xué)研究的特殊與一般的思想。在高考中，會設(shè)計一些構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找特殊點(diǎn)、確立特殊位置，利用特殊值、特殊方程，由特殊到一般進(jìn)行歸納法猜想和類比法猜想的試題?！窘庾x：本部分內(nèi)容主要體現(xiàn)在特殊性上，老師可以根據(jù)情況給學(xué)生舉一個實(shí)例，體現(xiàn)特殊法的優(yōu)越性：快速、準(zhǔn)確】典例精講例1．（★★）若，則下列代數(shù)式中值最大的是（）A．B．C．D．分析：本題比較大小，可以取特殊值，也可以作差比較，還可以用基本不等式或排序不等式。解法一：特殊值法.取，通過計算比較最大。選A解法二：解法三：根據(jù)排序不等式知、、中，最大，再取特值比較與答案：A.【本題中有多種做法，其中取特殊值法最簡單，最直接】例2.（★★）如果函數(shù)y=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線對稱，那么a=.解：因為是函數(shù)y=sin2x+acos2x的一條對稱軸，且該函數(shù)定義域為R，所以當(dāng)x=0和時函數(shù)值相等，即，易得a=1.

【一個結(jié)論在一定范圍內(nèi)成立時，那么這個結(jié)論對這個范圍內(nèi)的所有值都成立，這時特殊值是有效的】例3.（★★★）若正數(shù)a，b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是_______．解法一由a、b∈R+，由基本不等式得a+b≥2，則ab=a+b+3≥2+3，即≥≥≥3，∴ab≥9．解法二由已知得a(b-1)=b+3，顯然b>1，∴，≥，即ab≥9．解法三由基本不等式的思想，變量相等時取得最值。由本題條件看出，a與b在條件和結(jié)論中“地位等價”，故a,b相等時取得最值，即a=b=3時取得最值，得ab最值為9，然后再令a=2得b=5，這時ab=10,故可知9為ab的最小值.【當(dāng)兩個變量在條件中可以互換，結(jié)論中互換而對題目不產(chǎn)生影響的前提下，我們可以認(rèn)為兩個字母“等價”，最值是在兩變量相等時取到。“等價”思想可以解決很多復(fù)雜的問題，特別是在選擇填空題中，幫我們快速準(zhǔn)確找到答案。如2012年理科填空題14題】例4.（★★★）已知函數(shù)則①；②.分析：①可以直接代入計算，也可以整體處理；②尋找規(guī)律，整體處理.解析：，經(jīng)計算，得，.【通過題目要求的值，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后推廣到一般，這是解決探索規(guī)律題的一般方法。這種思想在解答題中也有明顯的體現(xiàn)：前幾問往往是給后面的問題做鋪墊。當(dāng)沒有解題思路是，可以考慮從前面的問題方向思考】例5.（★★★）7位同學(xué)站成一排，（1）甲在最左端的排法共有多少種？（2）甲不在兩端的排法共有多少種？（3）甲、乙在兩端的排法共有多少種？（4）甲、乙不在兩端的排法共有多少種？（5）甲不在左端，乙不在右端的排法共有多少種？解：（1）先把甲固定在最左端，其他人任意排，（2）先把甲排在中間5個中的一個，其他任意排，（3）先把甲乙在兩端排好，，然后其他人任意排，，所以答案是（4）先把甲乙在中間排好，，然后其他人任意排，，所以答案是（5）排除法，總的情況減掉甲在左端的，再減乙在右端的情況，再加上多間的部分（重復(fù)的）故答案是【特殊優(yōu)先是排列組合問題中非常重要的方法，特殊元素或位置要優(yōu)先考慮。另外，排除法也是對特殊情況的排除】課堂檢測（★★）已知成等比數(shù)列，是的等差中項，是的等差中項，則.解：特殊法，取，（★★★）若為奇函數(shù)，則最小正數(shù)的值為.解：由函數(shù)為奇函數(shù)，且定義域為R可知，，可求得,即，可得，然后對k取值，使為正，可知當(dāng)k=1時，符合條件，這時.（★★★）設(shè)x，y均為正實(shí)數(shù)，且，則xy的最小值為.解：方法一由可化為xy=8+x+y,x，y均為正實(shí)數(shù)xy=8+x+y（當(dāng)且僅當(dāng)x=y等號成立）即xy-2-8可解得,即xy16故xy的最小值為16。方法二由x,y“地位等價”，故當(dāng)x=y時取得最值，帶入條件得x=y=4，故xy的最值為16.（★★★★）已知兩正數(shù)x,y滿足x+y=1,則z=的最小值為。解：方法一z===，令t=xy,則，由在上單調(diào)遞減,故當(dāng)t=時有最小值,所以當(dāng)時z有最小值。方法二由條件可知x與y“地位等價”，所以時z有最小值5.（★★★）已知為等差數(shù)列的前項和，.⑴求；⑵求；⑶求.分析利用求出，把絕對值符號去掉轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題.解，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，.由，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，.⑴；⑵；⑶當(dāng)時，，當(dāng)時，【本題中第（1）（2）問是為第（3）做鋪墊，在答題時注意借鑒前面幾問的結(jié)論和方法】6.（★★★）給出四個函數(shù)圖象分別滿足：①②③④與下列函數(shù)圖象對應(yīng)的是（）A．①②③④B.①②③④C.①②③④D.①②③④解:D；顯然滿足①的函數(shù)應(yīng)是這種類型，故圖象應(yīng)是；滿足②應(yīng)該是指數(shù)函數(shù)，故圖象應(yīng)是；滿足③的應(yīng)是對數(shù)函數(shù)，故圖象應(yīng)是；滿足④的應(yīng)是冪函數(shù)，就本題而言，其圖象應(yīng)是7.（★★★）設(shè)非零向量=，=，且的夾角為鈍角，求的取值范圍解:的夾角為鈍角,解得或(1)又由共線且反向可得(2)由(1),(2)得的范圍是回顧總結(jié)1.特殊與一般的思想方法是廣泛適用的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，對于一般性問題、抽象問題、運(yùn)動變化問題和不確定問題都可考慮運(yùn)用特殊與一般的思想方法去探求解題途徑.2.對于遞推數(shù)列問題，采用“歸納——猜想——證明”的方法去解決問題，首先通過特例探索，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，然后再用這個規(guī)律來解決其它特殊問題，這是特殊與一般思想最常見的應(yīng)用之一.3.對于某些特殊的問題，如求值、比較大小等，要注意研究其數(shù)量特征，發(fā)現(xiàn)一般模型，再由一般解決特殊.4.抽象函數(shù)問題