2024年新高考數學一輪復習題型歸類與強化測試專題31解三角形的應用學生版_第1頁
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文檔簡介

專題31解三角形的應用一、【知識梳理】【考綱要求】1.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.2.能利用正弦定理、余弦定理解決三角形中的最值和范圍問題.【考點預測】1.仰角和俯角在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角,目標視線在水平視線上方叫仰角,目標視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).2.方位角從正北方向起按順時針轉到目標方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點的方位角為α(如圖2).3.方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角,如南偏東30°,北偏西45°等.4.坡度:坡面與水平面所成的二面角的正切值.【常用結論】1.不要搞錯各種角的含義,不要把這些角和三角形內角之間的關系弄混.2.解決與平面幾何有關的計算問題關鍵是找清各量之間的關系,從而應用正、余弦定理求解.【方法技巧】1.在測量高度時,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一鉛垂面內,視線與水平線的夾角.2.準確理解題意,分清已知條件與所求,畫出示意圖.3.運用正、余弦定理,有序地解相關的三角形,逐步求解問題的答案,注意方程思想的運用.4.距離問題的類型及解法(1)類型:兩點間既不可達也不可視,兩點間可視但不可達,兩點都不可達.(2)解法:選擇合適的輔助測量點,構造三角形,將問題轉化為求某個三角形的邊長問題,從而利用正、余弦定理求解.5.測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上,畫出表示實際問題的圖形,并在圖形中標出有關的角和距離,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后將解得的結果轉化為實際問題的解.6.方向角是相對于某點而言的,因此在確定方向角時,必須先弄清楚是哪一個點的方向角.7.平面幾何中解三角形問題的求解思路(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形,然后在各個三角形內利用正弦、余弦定理求解;(2)尋找各個三角形之間的聯系,交叉使用公共條件,求出結果.8.解三角形與三角函數的綜合應用主要體現在以下兩方面:(1)利用三角恒等變換化簡三角函數式進行解三角形;(2)解三角形與三角函數圖象和性質的綜合應用.二、【題型歸類】【題型一】解三角形應用舉例(距離、高度、角度)【典例1】如圖是隋唐天壇,古叫圜丘,它位于唐長安城明德門遺址東約950米,即今西安市雁塔區(qū)陜西師范大學以南.天壇初建于隋而廢棄于唐末,比北京明清天壇早1000多年,是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之處.某數學興趣小組為了測得天壇的直徑,在天壇外圍測得AB=60米,BC=60米,CD=40米,∠ABC=60°,∠BCD=120°,據此可以估計天壇的最下面一層的直徑AD大約為(結果精確到1米)()(參考數據:eq\r(2)≈1.414,eq\r(3)≈1.732,eq\r(5)≈2.236,eq\r(7)≈2.646)A.39米 B.43米 C.49米 D.53米【典例2】2020年12月8日,中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86(單位:m).三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一,如圖是三角高程測量法的一個示意圖,現有A,B,C三點,且A,B,C在同一水平面上的投影A′,B′,C′滿足∠A′C′B′=45°,∠A′B′C′=60°.由C點測得B點的仰角為15°,BB′與CC′的差為100;由B點測得A點的仰角為45°,則A,C兩點到水平面A′B′C′的高度差AA′-CC′約為(eq\r(3)≈1.732)()A.346 B.373 C.446 D.473【典例3】海洋藍洞是地球罕見的自然地理現象,被譽為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產”,我國擁有世界上已知最深的海洋藍洞,若要測量如圖所示的海洋藍洞的口徑(即A,B兩點間的距離),現取兩點C,D,測得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,則圖中海洋藍洞的口徑為________.【題型二】求解平面幾何問題【典例1】如圖,在平面四邊形ABCD中,0<∠DAB<eq\f(π,2),AD=2,AB=3,△ABD的面積為eq\f(3\r(3),2),AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值;(2)若∠BCD=eq\f(2π,3),求BC的長.【典例2】如圖,在平面四邊形ABCD中,∠ABC為銳角,AD⊥BD,AC平分∠BAD,BC=2eq\r(3),BD=3+eq\r(6),△BCD的面積S=eq\f(3(\r(2)+\r(3)),2).(1)求CD;(2)求∠ABC.【典例3】如圖,在平面四邊形ABCD中,∠ACB與∠D互補,cos∠ACB=eq\f(1,3),AC=BC=2eq\r(3),AB=4AD.(1)求AB的長;(2)求sin∠ACD.【題型三】三角函數與解三角形的交匯問題【典例1】已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,________,若b=eq\r(13),________.請從下面的三個條件中任選一個,兩個結論中任選一個,組成一個完整的問題,并給出解答.條件:①asineq\f(A+C,2)=bsinA,②bsinA=acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B-\f(π,6))),③a2+c2-b2=abcosA+a2cosB.結論:①求△ABC周長的取值范圍;②求△ABC面積的最大值.【典例2】在銳角三角形ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且eq\f(b,cosAsinC)=eq\f(c,sinC)+eq\f(a,cosA).(1)求角C的大??;(2)若b=1,求c的取值范圍.【典例3】△ABC中的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=2a-2ccosB.(1)求角C的大小;(2)求eq\r(3)cosA+sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B+\f(π,3)))的最大值,并求出取得最大值時角A,B的值.三、【培優(yōu)訓練】【訓練一】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若ccosA+acosC=2,AC邊上的高為eq\r(3),則∠ABC的最大值為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(2π,3)【訓練二】已知△ABC中,AC=eq\r(2),BC=eq\r(6),△ABC的面積為eq\f(\r(3),2),若線段BA的延長線上存在點D,使∠BDC=eq\f(π,4),則CD=________.【訓練三】國慶閱兵式上舉行升國旗儀式,在坡度為15°的觀禮臺上,某一列座位與旗桿在同一垂直于地面的平面上,某同學在該列的第一排和最后一排測得旗桿頂端的仰角分別為60°和30°,第一排和最后一排的距離為24.5米,則旗桿的高度約為()A.17米B.22米C.30米D.35米【訓練四】如圖,已知扇形的圓心角∠AOB=eq\f(2π,3),半徑為4eq\r(2),若點C是eq\o(AB,\s\up8(︵))上的一動點(不與點A,B重合).(1)若弦BC=4(eq\r(3)-1),求eq\o(BC,\s\up8(︵))的長;(2)求四邊形OACB面積的最大值.【訓練五】如圖所示,經過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB,AC,根據規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M,N(異于村莊A),要求PM=PN=MN=2(單位:千米).如何設計,使得工廠產生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠)?【訓練六】如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C,現有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1min后,再勻速步行到C.假設纜車勻速直線運動的速度為130m/min,山路AC長為1260m,經測量得cosA=eq\f(12,13),sinB=eq\f(63,65).(1)問乙出發(fā)多少min后,乙在纜車上與甲的距離最短?(2)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3min,乙步行的速度應控制在什么范圍內?四、【強化測試】【單選題】1.在相距2km的A,B兩點處測量目標點C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,則A,C兩點之間的距離為()A.eq\r(6)km B.eq\r(2)km C.eq\r(3)km D.2km2.如圖,在200m高的山頂上,測得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30°,60°,則塔高為()A.eq\f(400,3)m B.eq\f(400\r(3),3)mC.eq\f(200\r(3),3)m D.eq\f(200,3)m3.如圖,設A,B兩點在河的兩岸,在A所在河岸邊選一定點C,測量AC的距離為50m,∠ACB=30°,∠CAB=105°,則可以計算A,B兩點間的距離是()A.25eq\r(2)m B.50eq\r(2)mC.25eq\r(3)m D.50eq\r(3)m4.如圖,兩座相距60m的建筑物AB,CD的高度分別為20m,50m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于()A.30° B.45° C.60° D.75°5.如圖,一架飛機從A地飛往B地,兩地相距500km.飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層,從A點起飛以后,就沿與原來的飛行方向AB成12°角的方向飛行,飛行到中途C點,再沿與原來的飛行方向AB成18°角的方向繼續(xù)飛行到終點B點.這樣飛機的飛行路程比原來的路程500km大約多飛了(sin12°≈0.21,sin18°≈0.31)()A.10km B.20kmC.30km D.40km6.岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓,江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”,是“中國十大歷史文化名樓”之一,世稱“天下第一樓”.其地處岳陽古城西門城墻之上,緊靠洞庭湖畔,下瞰洞庭,前望君山.始建于東漢建安二十年(215年),歷代屢加重修,現存建筑沿襲清光緒六年(1880年)重建時的形制與格局.因北宋滕宗諒重修岳陽樓,邀好友范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世.自古有“洞庭天下水,岳陽天下樓”之美譽.小李為測量岳陽樓的高度選取了與底部水平的直線AC,如圖,測得∠DAC=30°,∠DBC=45°,AB=14米,則岳陽樓的高度CD約為(eq\r(2)≈1.414,eq\r(3)≈1.732)()A.18米 B.19米C.20米 D.21米7.第6號臺風“煙花”于2021年7月25日12時30分前后登陸舟山普陀區(qū).如圖,A點,正北方向的C市受到臺風侵襲,一艘船從A點出發(fā)前去實施救援,以24nmile/h的速度向正北航行,在A處看到S島在船的北偏東15°方向,船航行eq\f(3,4)h后到達B處,在B處看到S島在船的北偏東45°方向.此船從A點到C市航行過程中距離S島的最近距離為()A.9eq\r(2)nmile B.9(eq\r(2)-1)nmileC.9(eq\r(3)-1)nmile D.9(eq\r(3)-eq\r(2))nmile8.△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=2,B=2A,則b的取值范圍為()A.(0,4) B.(2,2eq\r(3))C.(2,4) D.(2eq\r(2),4)【多選題】9.某人向正東走了xkm后向右轉了150°,然后沿新方向走了3km,結果離出發(fā)點恰好eq\r(3)km,那么x的值是()A.eq\r(3) B.2eq\r(3)C.3 D.610.在銳角△ABC中,邊長a=1,b=2,則邊長c可能的取值是()A.eq\r(2) B.2C.2eq\r(2) D.eq\f(\r(13),2)11.如圖,△ABC的三個內角A,B,C對應的三條邊長分別是a,b,c,∠ABC為鈍角,BD⊥BA,cos2∠ABC=-eq\f(7,25),c=2,b=eq\f(8\r(5),5),則下列結論正確的有()A.sinA=eq\f(\r(5),5)B.BD=2C.5eq\o(CD,\s\up6(→))=3eq\o(DA,\s\up6(→))D.△CBD的面積為eq\f(4,5)12.在△ABC中,D在線段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-eq\f(\r(5),5),則()A.sin∠BCD=eq\f(3,10) B.△ABC的面積為8C.△ABC的周長為8+4eq\r(5) D.△ABC為鈍角三角形【填空題】13.海上有A,B兩個小島相距10nmile,從A島望C島和B島成60°的視角,從B島望C島和A島成75°的視角,那么B島和C島間的距離是________nmile.14.一船自西向東勻速航行,上午10時到達燈塔P的南偏西75°,距燈塔68海里的M處,下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處,則此船航行的速度為________海里/小時.15.如圖,在△ABC中,已知M為邊BC上一點,eq\o(BC,\s\up6(→))=4eq\o(BM,\s\up6(→)),∠AMC=eq\f(π,3),AM=2,△AMC的面積為3eq\r(3),則CM=________;cos∠BAC=________.16.在等腰△ABC中,∠BAC=120°,AD為邊BC上的高,點E滿足eq\o(AD,\s\up6(→))=3eq\o(AE,\s\up6(→)),若AB=m,則BE的長為________.【解答題】17.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,(2a-c)·cosB-bcosC=0.(1)求角B的大??;(2)設函數f(x)=2sinxcosxcosB-eq\f(\r(3),2)cos2x,求函數f(x)的最大值及當f(x)取得最大值時x的值.18.如圖,漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處,且與島嶼A相距12海里,漁船乙以10海里

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