2024年中考數(shù)學(xué)專題之函數(shù)的面積、最值和系數(shù)問題 講義

中考專題之函數(shù)練習(xí)題及答案）模型1一點(diǎn)一垂線基本圖形S△AOP＝eq\f(1,2)|k|S△AOC＝S△BOD＝eq\f(1,2)|k|基本圖形S△ABC＝eq\f(1,2)|k|S△ABC＝eq\f(1,2)|k|模型特征反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)及過這點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線的垂足與另一坐標(biāo)軸上一點(diǎn)(含原點(diǎn))構(gòu)成的三角形的面積等于eq\f(1,2)|k|訓(xùn)練1．如圖，Rt△OAB與Rt△OBC位于平面直角坐標(biāo)系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB.若AB＝eq\r(,3)，反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)恰好經(jīng)過點(diǎn)C，則k＝________.答案：4eq\r(3)2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB為直角三角形，∠A＝90°，∠AOB＝30°，OB＝4.若反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的圖象經(jīng)過OA的中點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，則k＝________.答案：eq\f(3\r(3),4)3．如圖，A，B是雙曲線y＝eq\f(k,x)(x>0)上的兩點(diǎn)，連接OA，OB.過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D.若D為AC的中點(diǎn)，△AOD的面積為3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m,2)，則m的值為________．答案：6模型2一點(diǎn)兩垂線基本圖形S矩形PMON＝|k|S1＝S2模型特征過反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)作兩條坐標(biāo)軸的垂線，垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積等于|k|訓(xùn)練4．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A分別作AM⊥x軸于點(diǎn)M，AN⊥y軸于點(diǎn)N.若四邊形AMON的面積為2，則k的值是()A．2 B．－2C．1 D．－1答案：A5．(2023·紹興)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k為大于0的常數(shù)，x>0)圖象上的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，滿足x2＝2x1.△ABC的邊AC∥x軸，邊BC∥y軸．若△OAB的面積為6，則△ABC的面積是________．答案：2模型3兩點(diǎn)一垂線基本圖形S△ABM＝|k|S△ABM＝|k|基本圖形S△ABC＝S△ADC＋S△CDB＝eq\f(1,2)CD·|yA－yB|S△ABC＝S△BCD＋S△ACD＝eq\f(1,2)CD·|xB－xA|模型特征反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)及由其中一個(gè)交點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作垂線的垂足所構(gòu)成的三角形面積等于|k|.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)及坐標(biāo)軸上任意一點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為坐標(biāo)軸所分的兩個(gè)三角形面積之和訓(xùn)練6．如圖，反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k＜0)的圖象與直線y＝－3x相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為－1，連接BC，則S△ABC＝()A．4B．6C．2D．3答案：D7．如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)的圖象相交于A(－1，n)，B(2，－1)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C.若點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，則S△ABD＝________.答案：3模型4兩點(diǎn)兩垂線基本圖形S△APP′＝2|k|S?AMBN＝AM·NM＝AM·2OM＝2|k|模型特征反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)所連線段及由交點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作的兩條垂線圍成的圖形面積等于2|k|訓(xùn)練8．如圖，點(diǎn)P(m,1)，點(diǎn)Q(－2，n)都在反比例函數(shù)y＝eq\f(4,x)的圖象上，過點(diǎn)P分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為點(diǎn)M，N.連接OP，OQ，PQ.若四邊形OMPN的面積記作S1，△POQ的面積記作S2，則()A．S1∶S2＝2∶3 B．S1∶S2＝1∶1C．S1∶S2＝4∶3 D．S1∶S2＝5∶3答案：C9．如圖，正比例函數(shù)y＝kx與反比例函數(shù)y＝eq\f(6,x)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，BC∥x軸，AC∥y軸，則S△ABC＝________.答案：1210．如圖，正比例函數(shù)y＝－x與反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象相交于A，C兩點(diǎn)，AB⊥x軸于點(diǎn)B，CD⊥x軸于點(diǎn)D，當(dāng)四邊形ABCD的面積為6時(shí)，則k＝________.答案：-3模型5兩曲一平行基本圖形S△AOB＝eq\f(1,2)|k1－k2|S△ABC＝S△AOB＝eq\f(1,2)|k1|＋eq\f(1,2)|k2|基本圖形S矩形ABCD＝|k1－k2|S矩形ABDC＝2|k1|＋|k2|＋S矩形OECF模型特征兩條雙曲線上的兩點(diǎn)的連線與一條坐標(biāo)軸平行，求該兩點(diǎn)與原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)構(gòu)成的圖形面積，一般是過兩點(diǎn)向另一坐標(biāo)軸作垂線，結(jié)合k的幾何意義求解訓(xùn)練11．如圖，矩形OABC與反比例函數(shù)y1＝eq\f(k1,x)(k1是非零常數(shù)，x>0)的圖象交于點(diǎn)M，N，與反比例函數(shù)y2＝eq\f(k2,x)(k2是非零常數(shù)，x>0)的圖象交于點(diǎn)B，連接OM，ON.若四邊形OMBN的面積為3，則k1－k2＝()答案：12．如圖，過y＝eq\f(k,x)(x>0)的圖象上一點(diǎn)A，分別作x軸，y軸的平行線交y＝－eq\f(1,x)的圖象于B，D兩點(diǎn)，以AB，AD為鄰邊的矩形ABCD被坐標(biāo)軸分割成四個(gè)小矩形，面積分別記為S1，S2，S3，S4，若S2＋S3＋S4＝eq\f(5,2)，則k的值為()A．4 B．3C．2 D．1答案：C二次函數(shù)最值問題類型1在全體實(shí)數(shù)內(nèi)求最值方法一轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k方法二利用坐標(biāo)公式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))方法三先求出對稱軸x＝－eq\f(b,2a)，再代入解析式求值訓(xùn)練1．拋物線y＝eq\f(2,3)x2－4x＋21的最小值是()A．21 B．－21C．15 D．－152．拋物線y＝x2＋8x＋k－1的最小值是5，則k的值是()A．22 B．－22C．21 D．－21答案：C類型2在自變量取值范圍內(nèi)求最值圖形求自變量取值范圍內(nèi)的最值，需結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行判斷：如圖，求x1≤x≤x2范圍內(nèi)的最值．方法一通過圖象可直接看出y的最大值為y2，最小值為y3方法二通過增減性，可判斷在對稱軸左側(cè)，y3<y≤y1，在對稱軸右側(cè)，y3<y≤y2，所以在對稱軸處y取最小值y3；然后根據(jù)開口向上，離對稱軸越遠(yuǎn)，y的值越大，所以y2>y1，所以y在x2處取得最大值y2訓(xùn)練3．二次函數(shù)y＝－x2－2x＋c在－3≤x≤2的范圍內(nèi)有最小值－5，則c的值是()A．－6 B．－2C．2 D．34．已知二次函數(shù)y＝2(x＋1)2＋1，－2≤x≤1，則函數(shù)y的最小值是________，最大值是________．答案：D19類型3對稱軸不確定，在自變量取值范圍內(nèi)已知最值求參數(shù),以開口向上為例，分三種情況：如圖1，當(dāng)對稱軸在m左側(cè)時(shí)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)<m))，y在x＝m時(shí)取最小值，在x＝n時(shí)取最大值；如圖2，當(dāng)對稱軸在m，n之間時(shí)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m<－\f(b,2a)<n))，y在x＝－eq\f(b,2a)時(shí)取得最小值(頂點(diǎn)縱坐標(biāo))；如圖3，當(dāng)對稱軸在n右側(cè)時(shí)，y在x＝n時(shí)取最小值，在x＝m時(shí)取最大值訓(xùn)練5．關(guān)于x的二次函數(shù)y＝(x－h(huán))2＋3，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，函數(shù)有最小值4，則h的值為()A．0或2 B．2或4C．0或4 D．0或2或46．當(dāng)a－1≤x≤a時(shí)，函數(shù)y＝x2－2x＋1的最小值為1，則a的值為()A．1 B．2C．1或2 D．0或37．當(dāng)－2≤x≤1時(shí)，二次函數(shù)y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，則實(shí)數(shù)m的值為___________．答案：CD2或－eq\r(3)拋物線與系數(shù)a，b，c的關(guān)系類型1由某一函數(shù)圖象確定其他函數(shù)圖象的位置第一步：根據(jù)已知條件確定系數(shù)a，b，c的正負(fù)；第二步：根據(jù)系數(shù)a，b，c的正負(fù)確定新函數(shù)系數(shù)的正負(fù)，若已知坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的坐標(biāo)值，需根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)找出系數(shù)a，b，c大致的取值范圍，得到有關(guān)新函數(shù)系數(shù)的大概范圍；第三步：判斷新函數(shù)的圖象．訓(xùn)練1．一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是()A．B.C.D.答案：c2．若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖，則直線y＝abx＋c的圖象不經(jīng)過()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限答案：D3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖，則一次函數(shù)y＝ax＋b與反比例函數(shù)y＝eq\f(c,x)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為()A.B.C.D.答案：B4．如圖，一次函數(shù)y1＝x與二次函數(shù)y2＝ax2＋bx＋c的圖象相交于P，Q兩點(diǎn)，則函數(shù)y＝ax2＋(b－1)x＋c的圖象可能是()A．B.C.D.答案：A類型2由拋物線的位置確定代數(shù)式的符號或未知數(shù)的值1．解題時(shí)遵循“一擺”(擺出與a，b，c有關(guān)的基本信息)；“二用”(用基本信息判斷各式子是否正確)；“三消元”(若不能解決，則用對稱軸或某點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式消元判斷)．2．常見考法：(1)a＋b與m(am＋b)的大小關(guān)系根據(jù)x＝1和x＝m時(shí)函數(shù)的大小關(guān)系判斷；(2)只有a，b混合，如a＋2b，a－2b根據(jù)對稱軸關(guān)系判斷；(3)只有a，c混合根據(jù)“韋達(dá)定理”判斷；(4)只有b，c混合先用對稱軸把b轉(zhuǎn)換成a，再根據(jù)(3)的情況分析即可．訓(xùn)練5．(2023·雅安)如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交于A(－2,0)，B兩點(diǎn)，對稱軸是直線x＝2，下列結(jié)論中：①a>0；②點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,0)；③c＝3b；④對于任意實(shí)數(shù)m，都有4a＋2b≥am2＋bm