材料力學(xué)第07章a(應(yīng)力狀態(tài))-06

材料力學(xué)第07章a(應(yīng)力狀態(tài))-06問(wèn)題的提出AFFAszsxs

ysxs

ysztyxtyztzytzxtxytxzAA一、什么是一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)§7–1應(yīng)力狀態(tài)概述一點(diǎn)的受力狀態(tài)。二、一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的表示方法（1）單元體szsxs

ysxs

ysztyxtyztzytzxtxytxz單元體各面上應(yīng)力均布；相互平行的面上應(yīng)力相等。（2）應(yīng)力分量AA三、為什么要研究一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)

MeFlAAApAAFFy云紋圖x云紋圖xy云紋圖FF

y云紋圖

x云紋圖FFsxsy

xysysx四、主平面、主應(yīng)力：（1）主平面(PrincipalPlane)：

切應(yīng)力為零的截面。（2）主應(yīng)力(PrincipalStress）：

主面上的正應(yīng)力。主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，AAA任意一點(diǎn)都可以找到三個(gè)相互垂直的主平面。s1s2s3

sxsyszs1≥s2≥s31、單向應(yīng)力狀態(tài)（UnidirectionalStateofStress）：一個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。

2、二向應(yīng)力狀態(tài)（PlaneStateofStress）：二個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。3、三向應(yīng)力狀態(tài)（Three—DimensionalStateof

Stress）：三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)。五、應(yīng)力狀態(tài)分類s1s1s1s1s2s2s3s3s1s1s2s2FF[例1]畫(huà)出圖中的A點(diǎn)的應(yīng)力單元體。Ass§7–2二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例dxdx[例2]

畫(huà)出圖中A點(diǎn)的應(yīng)力單元體。ttttttMeMeA純剪切應(yīng)力狀態(tài)[例3]

畫(huà)出圖中各點(diǎn)的應(yīng)力單元體。FSMsMtFS12345F1F2qst123451sss1s12345F1F2qs1st123452ttss212345F1F2qst1234532tt3s112345F1F2qtt34st123453ttss412345F1F2q2s1s5st123455ss12345F1F2q32s14如圖所示為承受內(nèi)壓的薄壁容器。容器所承受的內(nèi)壓力為p，容器直徑D，壁厚

。[例4]pDs

用橫截面將容器截開(kāi)，l受力如圖所示,根據(jù)平衡方程≥ls

s

ls

s

ll

'

'

''

''pll

''

''ls

s

壓力容器應(yīng)力測(cè)量工程實(shí)例xyz§7–3二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法sxtxysytyxtyxtxysxsy平面應(yīng)力狀態(tài):單元體有一對(duì)平面上的應(yīng)力為零。一、任意斜截面上的應(yīng)力二、最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力三、主平面和主應(yīng)力四、應(yīng)力圓（莫爾圓）sxtxysytyxsysx一、任意斜截面上的應(yīng)力sa

a已知：

x、

y、

xy求：

、

sata

xysysx

yxsxsytyxtyxtxysxsytxy

、

y

x

xy

x

y

yxdAcos

dAsin

sata解：設(shè)斜截面面積為dA，dA

yxsasysxtatn

xy由平衡得：由tyx=txy和三角變換，得：同理：(1)正應(yīng)力拉為正；正負(fù)號(hào)規(guī)定：

yxsasysxtatn

xysxsytyxtyxtxysxsytxy

n(2)切應(yīng)力繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正；(3)a逆時(shí)針為正。求斜截面上的應(yīng)力，單位MPa[例4]20x5030°30°30解：

[例5]已知：F=180kN，l=1.5m，求A點(diǎn)斜截面上的應(yīng)力。FAll30°z20300120108020

x60°A+－90kN90kN+135kN

m[例5]已知：F=180kN，l=1.5m，求A點(diǎn)斜截面上的應(yīng)力。z20300120108020解：

x60°∴FAll30°+

60°

60°A

60°

60°τxysysxτyxsata

二、最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力二、最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力得：

xysysx

yxsata

切應(yīng)力箭頭所在象限就是最大正應(yīng)力所在象限。

0sminsmaxsmaxsminx令

=0，可得主平面的方位：即：最大和最小正應(yīng)力就是主應(yīng)力。由得三、主平面和主應(yīng)力sminsmaxs1=smaxs2=smins1=s2=

0

xysysx

yxsata

x[例5]20x5030求主應(yīng)力大小和主平面方位，并在單元體上畫(huà)出主平面和主應(yīng)力。單位MPa解：∴20x5030在單元體上畫(huà)出主平面和主應(yīng)力s1s1s3s3切應(yīng)力箭頭所在象限就是最大正應(yīng)力所在象限。分析受扭構(gòu)件的應(yīng)力狀態(tài)。解:(1)單元體如圖所示(2)主應(yīng)力xytxytyx[例6]

MeCAMeAtxytyxs1=ts1s3=-ts3MeMes1s1s3s3鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞斷口分析求C截面左側(cè)a、b兩點(diǎn)的主應(yīng)力及主平面。[例7]+–200kN50kN+bsbasa

aaz1515270120b9250kNABC1.6m2m解：az1515270120b9asa

aaz1515270120basa

axs1s1s3s3bsb[例8

]求圓桿表面A點(diǎn)的主應(yīng)力及主平面。已知：F=6.28kN，Me=47.1N·m，d=20mm。MeMeAFF

A

TMeAFNF[例8

]求圓桿表面A點(diǎn)的主應(yīng)力及主平面。已知：F=6.28kN，Me=47.1N·m，d=20mm。解：

A

MeMeAFFxs1s1s3s3MeMeAFFA

MeMeAFFxs1s1s3s3對(duì)上述方程消去參數(shù)（2

），得到曲線的表達(dá)式：（1）應(yīng)力圓（

StressCircle）§7–4二向應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法

兩邊相加得：sytyxsxsataatxy此圓稱為應(yīng)力圓（或莫爾圓，由德國(guó)工程師：OttoMohr引入）與圓方程相比較：

R①建立應(yīng)力坐標(biāo)系，如下圖所示，（注意選好比例尺）（2）應(yīng)力圓的畫(huà)法②在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出點(diǎn)A(

x，

xy)和B(

y，

yx)

③AB與s

軸的交點(diǎn)C便是圓心。④以C為圓心，以AC為半徑畫(huà)圓——應(yīng)力圓；OstCB(sy,tyx)A(sx,txy)sxsytyxtyxtxysxsytxy①斜截面面上的應(yīng)力(

，

)應(yīng)力圓上一點(diǎn)(

，

)D(sa,

ta)（3）單元體與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系②斜截面的法線應(yīng)力圓的半徑③x軸與斜截面的夾角為

兩半徑夾角2

；且轉(zhuǎn)向一致。點(diǎn)面對(duì)應(yīng)，轉(zhuǎn)向相同，轉(zhuǎn)角兩倍。xA(sx,txy)B(sy,tyx)OstC2ansxtxysynxsytyxsxsataatxy（5）主平面和主應(yīng)力O

CstA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a0smaxsmin（4）最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力sminsmaxs2=smins1=s2=

0smaxs1=

求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置。(單位：MPa)解：3、連接A、B兩點(diǎn)，與s軸的交點(diǎn)C便是圓心;2、在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出點(diǎn)[例9

]10x40301、應(yīng)力坐標(biāo)系如圖s10MPaτOBAC4、以C為圓心，以AC為半徑畫(huà)圓得應(yīng)力圓。5、應(yīng)力圓與s軸的交點(diǎn)便是主應(yīng)力，6、從應(yīng)力圓上可得s3與x軸的夾角為：s10MPaτOBACs3s12

010x4030s1s1s3s3x根據(jù)比例量得主應(yīng)力的大?。?/p>

用圖解法求圖示單元體斜截面上的應(yīng)力。(單位：MPa)解：[例10

]10x70s10MPa

OA30°B60°

用圖解法求圖示單元體斜截面上的應(yīng)力。(單位：MPa)解：[例11

]40x40s10MPaτO30°12345F1F2qst1234551432梁的主應(yīng)力及其主應(yīng)力跡線1s3s15st2a0ts2a0=–90°st2a02s1s3a0233s1s3–45°4s1s3a04D1D2s3s1xD1D2s3s1D1D2s1s3x主應(yīng)力跡線（StressTrajectories)（P220）主應(yīng)力方向線的包絡(luò)線——曲線上每一點(diǎn)的切線都指示著該點(diǎn)的拉主應(yīng)力方位（或壓主應(yīng)力方位）。紅實(shí)線表示拉主應(yīng)力跡線；藍(lán)虛線表示壓主應(yīng)力跡線。q

1

3

3

1拉應(yīng)力壓應(yīng)力

1

3qxy主應(yīng)力跡線的畫(huà)法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面xyzs2s1s31、空間應(yīng)力狀態(tài)§7–5三向應(yīng)力狀態(tài)分析sxsztxysxs

ytyxtyztxztzytzxs

y主應(yīng)力狀態(tài)2、三向應(yīng)力分析xyzs2s1s3s1s2s3s1s3s3s2satas2s12、三向應(yīng)力分析xyzs2s1s3s1s2s3s2s1s1s3s1s3s2s2s1s3s3s2sata一點(diǎn)的最大切應(yīng)力為：tmaxs2s1s3s1s2s3一點(diǎn)的最大正應(yīng)力為：斜面上的應(yīng)力在三向應(yīng)力圓的陰影內(nèi)三向應(yīng)力圓是一點(diǎn)處所有各個(gè)不同方位截面上應(yīng)力的集合。D求圖示單元體的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。（MPa）由單元體圖知：yz面為主面5040xyz30解：503040[例11]

求圖示單元體的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。（MPa）由單元體圖知：yz面為主面解：3040∴[例11]

505040xyz30§7–8

廣義胡克定律一、一點(diǎn)的變形

(線應(yīng)變和角應(yīng)變)設(shè)單元體的三個(gè)邊長(zhǎng)分別為lx、ly、lz受力后三個(gè)邊長(zhǎng)分別伸長(zhǎng)Δx、Δy、Δz線應(yīng)變角應(yīng)變sxsztxysxs

ytyxtyztxztzytzxs

yxyz二、單向拉（壓）時(shí)的胡克定律sxFFA三、純剪的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系tttt

A

x

yxyz四、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系根據(jù)疊加原理計(jì)算各應(yīng)變

szsytxysxsxsxsysyszsztxytyxtzytyztzxtxzxyz

szsytxysxxyzsxsxsysyszsz上式稱為廣義胡克定律sxxsxsysyszsztxytyxtzytyztzxtxz上式稱為廣義胡克定律

szsytxysxxyz主應(yīng)力-主應(yīng)變關(guān)系s1s3s2最大線應(yīng)變sxsytyxtyxtxysxsytxy對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)問(wèn)題：∵[劉題7.26]

P259已知：E=200GPa,

=0.3，應(yīng)力單位為MPa，求對(duì)角線AC的改變量ΔlACA15C30°3025[劉題7.26]P259已知：E=200GPa,

=0.3，應(yīng)力單位為MPa，求對(duì)角線AC的改變量ΔlACA15C30°30251530°

30°x

-60°解：A15C30°30251530°

30°x

-60°[例13]已知：E=200GPa，

=0.3，F(xiàn)=3kN，Me=12N·m，d=10mm，求A點(diǎn)圖示方向的線應(yīng)變。A

AF45°解：TAFN

－45°

45°AA

－45°

45°A圖示28a工字鋼梁，查表知，IZ/SZ=24.62cm,腹板厚d=8.5mm，材料的E=200GPa，

=0.3，在梁中性層處粘貼應(yīng)變片，測(cè)得與軸線成45°方向的線應(yīng)變?yōu)?/p>

=－2.6×10－4，求載荷F的大小。[例14]zyFAB2m1m45°ts3s1s1=ts3=－t解：ts3s1=ts1s3=－t∵∵AsxsytyxtyxtxysxsytxyA0°90°