機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的D-H表示法

2.8機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的D-H表示法在1955年，Denavit和Hartenberg在“ASMEJournalofAppliedMechanics”發(fā)表了一篇論文，后來利用這篇論文來對(duì)機(jī)器人進(jìn)行表示和建模，并導(dǎo)出了它們的運(yùn)動(dòng)方程，這已成為表示機(jī)器人和對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)進(jìn)行建模的標(biāo)準(zhǔn)方法，所以必須學(xué)習(xí)這局部?jī)?nèi)容。Denavit-Hartenberg(D-H)模型表示了對(duì)機(jī)器人連桿和關(guān)節(jié)進(jìn)行建模的一種非常簡(jiǎn)單的方法，可用于任何機(jī)器人構(gòu)型，而不管機(jī)器人的結(jié)構(gòu)順序和復(fù)雜程度如何。它也可用于表示已經(jīng)討論過的在任何坐標(biāo)中的變換，例如直角坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)、歐拉角坐標(biāo)及RPY坐標(biāo)等。另外，它也可以用于表示全旋轉(zhuǎn)的鏈?zhǔn)綑C(jī)器人、SCARA機(jī)器人或任何可能的關(guān)節(jié)和連桿組合。盡管采用前面的方法對(duì)機(jī)器人直接建模會(huì)更快、更直接，但D-H表示法有其附加的好處，使用它已經(jīng)開發(fā)了許多技術(shù)，例如，雅克比矩陣的計(jì)算和力分析等。假設(shè)機(jī)器人由一系列關(guān)節(jié)和連桿組成。這些關(guān)節(jié)可能是滑動(dòng)〔線性〕的或旋轉(zhuǎn)〔轉(zhuǎn)動(dòng)〕的，它們可以按任意的順序放置并處于任意的平面。連桿也可以是任意的長(zhǎng)度〔包括零〕，它可能被彎曲或扭曲，也可能位于任意平面上。所以任何一組關(guān)節(jié)和連桿都可以構(gòu)成一個(gè)我們想要建模和表示的機(jī)器人。為此，需要給每個(gè)關(guān)節(jié)指定一個(gè)參考坐標(biāo)系，然后，確定從一個(gè)關(guān)節(jié)到下一個(gè)關(guān)節(jié)〔一個(gè)坐標(biāo)系到下一個(gè)坐標(biāo)系〕來進(jìn)行變換的步驟。如果將從基座到第一個(gè)關(guān)節(jié)，再?gòu)牡谝粋€(gè)關(guān)節(jié)到第二個(gè)關(guān)節(jié)直至到最后一個(gè)關(guān)節(jié)的所有變換結(jié)合起來，就得到了機(jī)器人的總變換矩陣。在下一節(jié)，將根據(jù)D-H表示法確定一個(gè)一般步驟來為每個(gè)關(guān)節(jié)指定參考坐標(biāo)系，然后確定如何實(shí)現(xiàn)任意兩個(gè)相鄰坐標(biāo)系之間的變換，最后寫出機(jī)器人的總變換矩陣。圖2.25通用關(guān)節(jié)—連桿組合的D-H表示假設(shè)一個(gè)機(jī)器人由任意多的連桿和關(guān)節(jié)以任意形式構(gòu)成。圖2.25表示了三個(gè)順序的關(guān)節(jié)和兩個(gè)連桿。雖然這些關(guān)節(jié)和連桿并不一定與任何實(shí)際機(jī)器人的關(guān)節(jié)或連桿相似，但是他們非常常見，且能很容易地表示實(shí)際機(jī)器人的任何關(guān)節(jié)。這些關(guān)節(jié)可能是旋轉(zhuǎn)的、滑動(dòng)的、或兩者都有。盡管在實(shí)際情況下，機(jī)器人的關(guān)節(jié)通常只有一個(gè)自由度，但圖2.25中的關(guān)節(jié)可以表示一個(gè)或兩個(gè)自由度。圖2.25〔a〕表示了三個(gè)關(guān)節(jié)，每個(gè)關(guān)節(jié)都是可以轉(zhuǎn)動(dòng)或平移的。第一個(gè)關(guān)節(jié)指定為關(guān)節(jié)n，第二個(gè)關(guān)節(jié)為關(guān)節(jié)n+1，第三個(gè)關(guān)節(jié)為關(guān)節(jié)n+2。在這些關(guān)節(jié)的前后可能還有其他關(guān)節(jié)。連桿也是如此表示，連桿n位于關(guān)節(jié)n-1與n+1之間，連桿n+1位于關(guān)節(jié)n+1與n+2之間。為了用D-H表示法對(duì)機(jī)器人建模，所要做的第一件事是為每個(gè)關(guān)節(jié)指定一個(gè)本地的參考坐標(biāo)系。因此，對(duì)于每個(gè)關(guān)節(jié)，都必須指定一個(gè)z軸和x軸，通常并不需要指定y軸，因?yàn)閥軸總是垂直于x軸和z軸的。此外，D-H表示法根本就不用y軸。以下是給每個(gè)關(guān)節(jié)指定本地參考坐標(biāo)系的步驟：所有關(guān)節(jié)，無一例外的用z軸表示。如果關(guān)節(jié)是旋轉(zhuǎn)的，z軸位于按右手規(guī)那么旋轉(zhuǎn)的方向。如果關(guān)節(jié)是滑動(dòng)的，z軸為沿直線運(yùn)動(dòng)的方向。在每一種情況下，關(guān)節(jié)n處的z軸〔以及該關(guān)節(jié)的本地參考坐標(biāo)系〕的下標(biāo)為n-1。例如，表示關(guān)節(jié)n+1的z軸是。這些簡(jiǎn)單規(guī)那么可使我們很快地定義出所有關(guān)節(jié)的z軸。對(duì)于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，繞z軸的旋轉(zhuǎn)〔角〕是關(guān)節(jié)變量。對(duì)于滑動(dòng)關(guān)節(jié)，沿z軸的連桿長(zhǎng)度d是關(guān)節(jié)變量。如圖2.25〔a〕所示，通常關(guān)節(jié)不一定平行或相交。因此，通常z軸是斜線，但總有一條距離最短的公垂線，它正交于任意兩條斜線。通常在公垂線方向上定義本地參考坐標(biāo)系的x軸。所以如果表示與之間的公垂線，那么的方向?qū)⒀亍Ｍ瑯?，在與之間的公垂線為，的方向?qū)⒀?。注意相鄰關(guān)節(jié)之間的公垂線不一定相交或共線，因此，兩個(gè)相鄰坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置也可能不在同一個(gè)位置。根據(jù)上面介紹的知識(shí)并考慮下面例外的特殊情況，可以為所有的關(guān)節(jié)定義坐標(biāo)系。如果兩個(gè)關(guān)節(jié)的z軸平行，那么它們之間就有無數(shù)條公垂線。這時(shí)可挑選與前一關(guān)節(jié)的公垂線共線的一條公垂線，這樣做就可以簡(jiǎn)化模型。如果兩個(gè)相鄰關(guān)節(jié)的z軸是相交的，那么它們之間就沒有公垂線〔或者說公垂線距離為零〕。這時(shí)可將垂直于兩條軸線構(gòu)成的平面的直線定義為x軸。也就是說，其公垂線是垂直于包含了兩條z軸的平面的直線，它也相當(dāng)于選取兩條z軸的叉積方向作為x軸。這也會(huì)使模型得以簡(jiǎn)化。在圖2.25〔a〕中，角表示繞z軸的旋轉(zhuǎn)角，d表示在z軸上兩條相鄰的公垂線之間的距離，a表示每一條公垂線的長(zhǎng)度〔也叫關(guān)節(jié)偏移量〕，角表示兩個(gè)相鄰的z軸之間的角度〔也叫關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)〕。通常，只有和d是關(guān)節(jié)變量。下一步來完成幾個(gè)必要的運(yùn)動(dòng)，即將一個(gè)參考坐標(biāo)系變換到下一個(gè)參考坐標(biāo)系。假設(shè)現(xiàn)在位于本地坐標(biāo)系，那么通過以下四步標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)即可到達(dá)下一個(gè)本地坐標(biāo)系。〔1〕繞軸旋轉(zhuǎn)〔如圖2.25〔a〕與〔b〕所示〕，它使得和互相平行，因?yàn)楹投际谴怪庇谳S的，因此繞軸旋轉(zhuǎn)使它們平行〔并且共面〕。〔2〕沿軸平移距離，使得和共線〔如圖2.25〔c〕所示〕。因?yàn)楹鸵呀?jīng)平行并且垂直于，沿著移動(dòng)那么可使它們互相重疊在一起。〔3〕沿軸平移的距離，使得和的原點(diǎn)重合〔如圖2.25〔d〕和〔e〕所示〕。這是兩個(gè)參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)處在同一位置?！?〕將軸繞軸旋轉(zhuǎn)，使得軸與軸對(duì)準(zhǔn)〔如圖2.25〔f〕所示〕。這時(shí)坐標(biāo)系n和n+1完全相同〔如圖2.25〔g〕所示〕。至此，我們成功的從一個(gè)坐標(biāo)系變換到了下一個(gè)坐標(biāo)系。在n+1和n+2坐標(biāo)系間嚴(yán)格地按照同樣的四個(gè)運(yùn)動(dòng)順序可以將一個(gè)坐標(biāo)變換到下一個(gè)坐標(biāo)系。如有必要，可以重復(fù)以上步驟，就可以實(shí)現(xiàn)一系列相鄰坐標(biāo)系之間的變換。從參考坐標(biāo)系開始，我們可以將其轉(zhuǎn)換到機(jī)器人的基座，然后到第一個(gè)關(guān)節(jié)，第二個(gè)關(guān)節(jié)……，直至末端執(zhí)行器。這里比擬好的一點(diǎn)是，在任何兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換均可采用與前面相同的運(yùn)動(dòng)步驟。通過右乘表示四個(gè)運(yùn)動(dòng)的四個(gè)矩陣就可以得到變換矩陣A，矩陣A表示了四個(gè)依次的運(yùn)動(dòng)。由于所有的變換都是相對(duì)于當(dāng)前坐標(biāo)系的〔即他們都是相對(duì)于當(dāng)前的本地坐標(biāo)系來測(cè)量與執(zhí)行〕，因此所有的矩陣都是右乘。從而得到結(jié)果如下：〔2.51〕〔2.52〕比方，一般機(jī)器人的關(guān)節(jié)2與關(guān)節(jié)3之間的變換可以簡(jiǎn)化為：〔2.53〕在機(jī)器人的基座上，可以從第一個(gè)關(guān)節(jié)開始變換到第二個(gè)關(guān)節(jié)，然后到第三個(gè)……，再到機(jī)器人的手，最終到末端執(zhí)行器。假設(shè)把每個(gè)變換定義為，那么可以得到許多表示變換的矩陣。在機(jī)器人的基座與手之間的總變換那么為：〔2.54〕其中n是關(guān)節(jié)數(shù)。對(duì)于一個(gè)具有六個(gè)自由度的機(jī)器人而言，有6個(gè)A矩陣。為了簡(jiǎn)化A矩陣的計(jì)算，可以制作一張關(guān)節(jié)和連桿參數(shù)的表格，其中每個(gè)連桿和關(guān)節(jié)的參數(shù)值可從機(jī)器人的原理示意圖上確定，并且可將這些參數(shù)代入A矩陣。表2.1可用于這個(gè)目的。在以下幾個(gè)例子中，我們將建立必要的坐標(biāo)系，填寫參數(shù)表，并將這些數(shù)值代入A矩陣。首先從簡(jiǎn)單的機(jī)器人開始，以后再考慮復(fù)雜的機(jī)器人。表2.1 D-H參數(shù)表#da123456對(duì)于如圖2.26所示的簡(jiǎn)單機(jī)器人，根據(jù)D-H表示法，建立必要的坐標(biāo)系，并填寫相應(yīng)的參數(shù)表。解：為方便起見，在此例中，假設(shè)關(guān)節(jié)2，3和4在同一平面內(nèi)，即它們的值為0。為建立機(jī)器人的坐標(biāo)系，首先尋找關(guān)節(jié)〔如圖2.26所示〕。該機(jī)器人有六個(gè)自由度，在這個(gè)簡(jiǎn)單機(jī)器人中，所有的關(guān)節(jié)都是旋轉(zhuǎn)的。第一個(gè)關(guān)節(jié)〔關(guān)節(jié)1〕在連桿0〔固定基座〕和連桿1之間，關(guān)節(jié)2在連桿1和連桿2之間，等等。首先，如前面已經(jīng)討論過的那樣，對(duì)每個(gè)關(guān)節(jié)建立z軸，接著建立z軸。觀察圖2.27和圖2.28所示的坐標(biāo)可以發(fā)現(xiàn)，圖2.28是圖2.27的簡(jiǎn)化線圖。應(yīng)注意每個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)3在它所在位置的原因。圖2.26具有六個(gè)自由度的簡(jiǎn)單鏈?zhǔn)綑C(jī)器人圖2.27簡(jiǎn)單六個(gè)自由度鏈?zhǔn)綑C(jī)器人的參考坐標(biāo)系圖2.28簡(jiǎn)單六個(gè)自由度鏈?zhǔn)綑C(jī)器人的參考坐標(biāo)系線圖從關(guān)節(jié)1開始，表示第一個(gè)關(guān)節(jié)，它是一個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。選擇與參考坐標(biāo)系的x軸平行，這樣做僅僅是為了方便，是一個(gè)固定的坐標(biāo)軸，表示機(jī)器人的基座，它是不動(dòng)的。第一個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)是圍繞著-軸進(jìn)行的，但這兩個(gè)軸并不運(yùn)動(dòng)。接下來，在關(guān)節(jié)2處設(shè)定，因?yàn)樽鴺?biāo)軸和是相交的，所以垂直于和。在和之間的公垂線方向上，在和之間的公垂線方向上，類似地，在和之間的公垂線方向上。最后，和是平行且共線的。表示關(guān)節(jié)6的運(yùn)動(dòng)，而表示末端執(zhí)行的運(yùn)動(dòng)。通常在運(yùn)動(dòng)方程中不包含末端執(zhí)行器，但應(yīng)包含末端執(zhí)行器的坐標(biāo)系，這是因?yàn)樗梢匀菰S進(jìn)行從坐標(biāo)系出發(fā)的變換。同時(shí)也要注意第一個(gè)和最后一個(gè)坐標(biāo)系的原點(diǎn)的位置，它們將決定機(jī)器人的總變換方程?？梢栽诘谝粋€(gè)和最后的坐標(biāo)系之間建立其他的〔或不同的〕中間坐標(biāo)系，但只要第一個(gè)和最后的坐標(biāo)系沒有改變，機(jī)器人的總變換便是不變的。應(yīng)注意的是，第一個(gè)關(guān)節(jié)的原點(diǎn)并不在關(guān)節(jié)的實(shí)際位置，但證明這樣做是沒有問題的，因?yàn)闊o論實(shí)際關(guān)節(jié)是高一點(diǎn)還是低一點(diǎn)，機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)并不會(huì)有任何差異。因此，考慮原點(diǎn)位置時(shí)可不用考慮基座上關(guān)節(jié)的實(shí)際位置。接下來，我們將根據(jù)已建立的坐標(biāo)系來填寫表2.2中的參數(shù)。參考前一節(jié)中任意兩個(gè)坐標(biāo)系之間的四個(gè)運(yùn)動(dòng)的順序。從開始，有一個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)將轉(zhuǎn)到了，為使得與軸重合，需要沿和沿的平移均為零，還需要一個(gè)旋轉(zhuǎn)將轉(zhuǎn)到，注意旋轉(zhuǎn)是根據(jù)右手規(guī)那么進(jìn)行的，即將右手手指按旋轉(zhuǎn)的方向彎曲，大拇指的方向那么為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸的方向。到了這時(shí)，就變換到了。接下來，繞旋轉(zhuǎn)，將轉(zhuǎn)到了，然后沿軸移動(dòng)距離，使坐標(biāo)系原點(diǎn)重合。由于前后兩個(gè)z軸是平行的，所以沒有必要繞x軸旋轉(zhuǎn)。按照這樣的步驟繼續(xù)做下去，就能得到所需要的結(jié)果。必須要認(rèn)識(shí)到，與其他機(jī)械類似，機(jī)器人也不會(huì)保持原理圖中所示的一種構(gòu)型不變。盡管機(jī)器人的原理圖是二維的，但必須要想象出機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)，也就是說，機(jī)器人的不同連桿和關(guān)節(jié)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，與之相連的坐標(biāo)系也隨之運(yùn)動(dòng)。如果這時(shí)原理圖所示機(jī)器人構(gòu)型的坐標(biāo)軸處于特殊的位姿狀態(tài)，當(dāng)機(jī)器人移動(dòng)時(shí)它們又會(huì)處于其他的點(diǎn)和姿態(tài)上。比方，總是沿著關(guān)節(jié)3與關(guān)節(jié)4之間連線的方向。當(dāng)機(jī)器人的下臂繞關(guān)節(jié)2旋轉(zhuǎn)而運(yùn)動(dòng)。在確定參數(shù)時(shí)，必須記住這一點(diǎn)。表2.2例2.19機(jī)器人的參數(shù)#da1009020030040-90500906000表示旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量，d表示滑動(dòng)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量。因?yàn)檫@個(gè)機(jī)器人的關(guān)節(jié)全是旋轉(zhuǎn)的，因此所有關(guān)節(jié)變量都是角度。通過簡(jiǎn)單地從參數(shù)表中選取參數(shù)代入A矩陣，便可寫出每?jī)蓚€(gè)相鄰關(guān)節(jié)之間的變換。例如，在坐標(biāo)系0和1之間的變換矩陣可通過將〔sin=1,cos=0,=〕以及指定為等代入A矩陣得到，對(duì)其他關(guān)節(jié)的~矩陣也是這樣，最后得：〔2.55〕特別注意：為簡(jiǎn)化最后的解，將用到以下三角函數(shù)關(guān)系式：〔2.56〕在機(jī)器人的基座