湖南省益陽市高三數(shù)學(xué)（理）5月18日統(tǒng)考試卷

高三數(shù)學(xué)考試卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A．B．5C．D．102.設(shè)全集，集合，，則（）A．B．C．D．3.中國古代十進(jìn)位制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造.據(jù)史料推測，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國初年.算籌記數(shù)的方法是：個(gè)位、百位、萬位……的數(shù)按縱式的數(shù)碼擺出；十位、千位、十萬位……的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出，如7738可用算籌表示為.縱式：橫式： 12345678919這9個(gè)數(shù)字的縱式與橫式的表示數(shù)碼如上圖所示，則的運(yùn)算結(jié)果可用算籌表示為（）A．B．C．D．4.若雙曲線（）的焦距等于離心率，則（）A．B．C.D．5.設(shè)有下面四個(gè)命題若，則；若，則；若的中間項(xiàng)為20；的中間項(xiàng)為.其中真命題為（）A．，B．，C.，D．，6.某幾何體的三視圖如圖所示，三個(gè)視圖中的曲線都是圓弧，則該幾何體的表面積為（）A．B．C.D．7.已知表示除以余，例如，，則如圖所示的程序框圖的功能是（）A．求被5除余1且被7除余3的最小正整數(shù)B．求被7除余1且被5除余3的最小正整數(shù)C.求被5除余1且被7除余3的最小正奇數(shù)D．求被7除余1且被5除余3的最小正奇數(shù)8.若，且，則（）A．B．C.D．9.設(shè)，滿足約束條件若的最大值為6，則的最大值為（）A．B．2C.4D．510.若函數(shù)與都在區(qū)間（）上單調(diào)遞減，則的最大值為（）A．B．C.D．11.在正方體中，，以為球心，為半徑的球與棱，分別交于，兩點(diǎn)，則二面角的正切值為（）A．B．C.D．12.設(shè)函數(shù)，若存在互不相等的4個(gè)實(shí)數(shù)，，，，使得，則的取值范圍為（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.在中，，，且，則．14.現(xiàn)有8本雜志，其中有3本是完全相同的文學(xué)雜志，還有5本是互不相同的數(shù)學(xué)雜志，從這8本里選取3本，則不同選法的種數(shù)為．15.在平行四邊形中，，，，且，則平行四邊形的面積的最大值為．16.為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使得，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，設(shè)點(diǎn)為橢圓短軸上一頂點(diǎn)，直線與交于、兩點(diǎn)，則．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.如圖，在三棱錐中，，，兩兩垂直，，平面平面，且與棱，，分別交于，，三點(diǎn).（1）過作直線，使得，，請寫出作法并加以證明；（2）若將三棱錐19.“某大型水果超市每天以10元/千克的價(jià)格從水果基地購進(jìn)若干A水果，然后以15元/千克的價(jià)格出管，若有剩余，則將剩余的水果以8元/千克的價(jià)格退回水果基地，為了確定進(jìn)貨數(shù)量，該超市記錄了A水果最近50天的日需求量（單位：千克)，整理得下表：日需求量140150160170180190200頻數(shù)51088775以50天記錄的各日需求量的頻率代替各日需求量的概率.（1）若該超市一天購進(jìn)水果150千克，記超市當(dāng)天水果獲得的利潤為(單位：元)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；（2）若該超市計(jì)劃一天購進(jìn)水果150千克或160千克，請以當(dāng)天水果獲得的利潤的期望值為決策依據(jù)，在150千克與160千克之中選其一，應(yīng)選哪一個(gè)？若受市場影響，剩余的水果以7元/千克的價(jià)格退回水果基地，又該選哪一個(gè)?20.已知直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)且與此拋物線交于，兩點(diǎn)，，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)在軸的兩側(cè).（1）證明：為定值；（2）求直線的斜率的取值范圍；（3）已知函數(shù)在（）處取得最小值，求線段的中點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值（用表示）.21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.（二）選考題：共10分.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且）.（1）以曲線上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率為參數(shù)，寫出曲線的參數(shù)方程；（2）若曲線與的兩個(gè)交點(diǎn)為，，直線與直線的斜率之積為，求的值.23.選修45：不等式選講已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，，求的取值范圍.試卷答案一、選擇題15:CADAD610:BDBCB11、12：BC二、填空題13.714.2615.16.三、解答題17.解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則.從而，故.（2）∵，∴.記，則，∴，∴，故18.解：（1）作法：取的中點(diǎn)，連接，則直線即為要求作的直線.證明如下：∵，，且，∴平面.∵平面平面，且平面，平面平面，∴，∴平面，∴.又，為的中點(diǎn)，則，從而直線即為要求作的直線.（2）∵將三棱錐分成體積之比為8：19的兩部分，∴四面體的體積與三棱錐的體積之比為8:27，又平面平面，∴.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得.則.故直線與平面所成角的正弦值為.19.解：（1）若水果日需求量為140千克，則元，且.若水果日需求量不小于150千克，則元，且.故的分布列為6807500.10.9元.（2）設(shè)該超市一天購進(jìn)水果160千克，當(dāng)天的利潤為（單位：元），則的可能取值為，，，即660,730,800，的分布列為6607308000.10.20.7元.因?yàn)?，所以該超市?yīng)購進(jìn)160千克.若剩余的水果以7元/千克的價(jià)格退回水果基地，同理可得，的分布列分別為6707500.10.96407208000.10.20.7因?yàn)?，所以該超市還是應(yīng)購進(jìn)1610千克.20.（1）證明：由題意可得，直線的斜率存在，故可設(shè)的方程為（），聯(lián)立得，則，則為定值.（2）解：由（1）知，，，則，即.聯(lián)立得，∵，兩點(diǎn)在軸的兩側(cè)，∴，，即.由及可得或，故直線的斜率的取值范圍為.（3）解：設(shè)，，，則，，∵，∴.又，∴，故點(diǎn)的軌跡方程為（或）.21.（1）解：，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，得，則的單調(diào)遞增區(qū)間為.令，得，得的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）證明：由得，設(shè)，則，由得；由，得.故.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.不妨設(shè)，則，.等價(jià)于，∵，且在上單調(diào)遞增，∴要證，只需證，即，即證.設(shè)，，則，令，則，∵，∴，∴在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，從而得證.22.解：（1）將消去參數(shù)，得（）.由得.故曲線的參數(shù)方程