高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3 1兩角和與差的三角函數(shù)3 1 3兩角和與差的正切教案蘇教版必修4

3．1.3兩角和與差的正切eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設(shè)計(jì)))教學(xué)分析由于學(xué)生有了推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦公式的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，因此，教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生獨(dú)立地推導(dǎo)兩角和與差的正切公式．對(duì)于公式的成立條件，可以讓學(xué)生推導(dǎo)出公式觀察、比較、分析，以便在掌握公式結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上加以討論．對(duì)于公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的分析、歸納、總結(jié)，可以結(jié)合教科書(shū)中“思考”引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，并結(jié)合例題的解答幫助學(xué)生更好地掌握這些特點(diǎn)，同時(shí)體會(huì)這些特點(diǎn)在解題中的作用．三維目標(biāo)1．會(huì)由兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式．2．能用兩角和與差的正切公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及三角恒等式證明．3．通過(guò)推導(dǎo)兩角和與差的正切公式以及運(yùn)用公式解決具體問(wèn)題，使學(xué)生從中體會(huì)化歸思想的作用．4．通過(guò)對(duì)例題解題思路的探求，使學(xué)生學(xué)會(huì)用分析的方法尋求解題思路．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)及運(yùn)用．教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及恒等式證明過(guò)程中解題思路的探求．課時(shí)安排2課時(shí)eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過(guò)程))第1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)前面我們推出了公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α＋β)、S(α－β)后自然想到兩角和與差的正切，即有沒(méi)有tan(α－β)，tan(α＋β)的公式呢？由此導(dǎo)入新課．思路2.(問(wèn)題導(dǎo)入)我們現(xiàn)在很容易由兩角和與差的正弦、余弦公式求出sin15°和cos15°，再由同角三角函數(shù)關(guān)系求出tan15°，那么能不能直接由tan45°和tan30°求出tan15°呢？推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))1．推導(dǎo)兩角和與差的正切公式．2．用兩角和與差的正切公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及三角恒等式的證明．教師引導(dǎo)學(xué)生回顧并寫(xiě)出兩角和與差的正弦、余弦公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式．點(diǎn)撥學(xué)生推出tan(α－β)，tan(α＋β)．學(xué)生很容易想到利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，化弦為切得到．但學(xué)生很可能想不到討論，這時(shí)教師不要直接提醒，讓學(xué)生自己悟出來(lái)．當(dāng)cos(α＋β)≠0時(shí)，tan(α＋β)＝eq\f(sinα＋β,cosα＋β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ－sinαsinβ).如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0時(shí)，分子分母同除以cosαcosβ，得tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，根據(jù)角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，則有tan(α－β)＝eq\f(tanα＋tan－β,1－tanαtan－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).由此推得兩角和與差的正切公式，簡(jiǎn)記為T(mén)(α－β)、T(α＋β)．讓學(xué)生自己聯(lián)想思考，兩角和與差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的嗎？學(xué)生回顧自己的公式探究過(guò)程可知，α、β、α±β都不能等于eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，并引導(dǎo)學(xué)生分析公式結(jié)構(gòu)特征，加深公式記憶．至此，教師與學(xué)生一起歸類(lèi)總結(jié)，我們把前面六個(gè)公式分類(lèi)比較可得：C(α＋β)、S(α＋β)、T(α＋β)叫和角公式；S(α－β)、C(α－β)、T(α－β)叫差角公式．并由學(xué)生綜合分析以上六個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程，從而得出以下邏輯聯(lián)系圖．可讓學(xué)生自己畫(huà)出這六個(gè)框圖．通過(guò)邏輯聯(lián)系圖，深刻理解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，借以理解并靈活運(yùn)用這些公式．同時(shí)教師應(yīng)提醒學(xué)生注意：不僅要掌握這些公式的正用，還要注意它們的逆用及變形用．如兩角和與差的正切公式的變形式：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，在化簡(jiǎn)求值中就經(jīng)常應(yīng)用到，使解題過(guò)程大大簡(jiǎn)化，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美．對(duì)于兩角和與差的正切公式，當(dāng)tanα，tanβ或tan(α±β)的值不存在時(shí)，不能使用T(α±β)處理某些相關(guān)問(wèn)題，但可改用誘導(dǎo)公式或其他方法，例如：化簡(jiǎn)tan(eq\f(π,2)－β)，因?yàn)閠aneq\f(π,2)的值不存在，所以改用誘導(dǎo)公式tan(eq\f(π,2)－β)＝eq\f(sin\f(π,2)－β,cos\f(π,2)－β)＝eq\f(cosβ,sinβ)來(lái)處理等．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))例1課本本節(jié)例1.變式訓(xùn)練在△ABC中，已知tanA、tanB是方程3x2＋8x－1＝0的兩個(gè)根，求tanC的值．解：∵tanA、tanB是方程3x2＋8x－1＝0的兩根，∴tanA＋tanB＝－eq\f(8,3)，tanAtanB＝－eq\f(1,3).∴tanC＝tan[180°－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\f(－\f(8,3),1－－\f(1,3))＝2.例2課本本節(jié)例2.變式訓(xùn)練求tan11°＋tan34°＋tan11°tan34°的值．解：原式＝tan45°(1－tan11°tan34°)＋tan11°tan34°＝1－tan11°tan34°＋tan11°tan34°＝1.點(diǎn)評(píng)：充分利用兩角和與差的正切公式的變形式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1tanαtanβ).例3課本本節(jié)例3.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))課本本節(jié)練習(xí)1、2、3、4.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))由于學(xué)生有了推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦公式的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，因此，教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生獨(dú)立地推導(dǎo)兩角和與差的正切公式．對(duì)于公式的成立條件，可以讓學(xué)生推導(dǎo)出公式觀察、比較、分析，以便在掌握公式結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上加以討論．對(duì)于公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的分析、歸納、總結(jié)，可以結(jié)合教科書(shū)中“思考”引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，并結(jié)合例1和例2的解答幫助學(xué)生更好地掌握這些特點(diǎn)，同時(shí)體會(huì)這些特點(diǎn)在解題中的作用．本小節(jié)共兩課時(shí)，本節(jié)課為第1課時(shí)，主要是推導(dǎo)公式、討論探究公式的成立條件，并完成課本例1、例2、例3.例3是一道具有幾何背景的簡(jiǎn)單問(wèn)題，在該題的教學(xué)中，要注意讓學(xué)生體會(huì)已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，確定角的方法．eq\o(\s\up7(),\s\do5(設(shè)計(jì)感想))本節(jié)課從內(nèi)容上來(lái)看，難度較小，但兩角和與差的正切公式有其成立的條件．這點(diǎn)教材中未做特別說(shuō)明，是學(xué)生易出錯(cuò)的地方．在教學(xué)中，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)公式的結(jié)構(gòu)特征仔細(xì)觀察，清楚公式變形的本質(zhì)屬性，解題時(shí)靈活選用．同時(shí)注意鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行一題多解，一題多變，并從中體會(huì)重要的數(shù)學(xué)思想方法，這才是本節(jié)教學(xué)的核心問(wèn)題，而不是一些特殊的變換技巧．eq\o(\s\up7(),\s\do5(備課資料))一、對(duì)兩角和與差的正切公式的理解1．兩角和的正切公式是根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系式eq\f(sinα,cosα)＝tanα及正、余弦的和角公式導(dǎo)出的，因?yàn)楣絊(α＋β)與C(α＋β)具有一般性，因此公式T(α＋β)也具有一般性，在公式T(α＋β)中以－β代β便可得到公式T(α－β)．2．兩公式只有當(dāng)tanα，tanβ或tan(α±β)都存在，即α≠kπ＋eq\f(π,2)，β≠kπ＋eq\f(π,2)，α±β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)才成立，這是由任意角的正切函數(shù)的定義域所決定的．3．當(dāng)tanα，tanβ或tan(α±β)的值不都存在時(shí)，不能使用T(α±β)來(lái)處理某些相關(guān)問(wèn)題，但可改用誘導(dǎo)公式或其他方法，如化簡(jiǎn)tan(eq\f(π,2)＋β)，因?yàn)閠aneq\f(π,2)的值不存在，不能利用公式T(α＋β)，所以要改用誘導(dǎo)公式來(lái)解，則tan(eq\f(π,2)＋β)＝eq\f(sin\f(π,2)＋β,cos\f(π,2)＋β)＝eq\f(cosβ,－sinβ)＝－eq\f(1,tanβ).二、備用習(xí)題1．如果tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，cot(α＋eq\f(π,4))＝4，則tan(β－eq\f(π,4))為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(13,18)C.eq\f(3,22)D.eq\f(13,22)2．已知tan(α－eq\f(β,2))＝eq\f(1,2)，tan(β－eq\f(α,2))＝－eq\f(1,3)，則taneq\f(α＋β,2)的值等于________．3．已知tan(α＋eq\f(π,4))＝－eq\f(9,40)，則tanα＝________，tan(α－eq\f(π,4))＝________.4．已知tanα，tanβ是方程x2＋(4m＋1)x＋2m＝0的兩個(gè)根，且m≠－eq\f(1,2)，求eq\f(sinα＋β,cosα－β).5．已知α、β都是銳角，cosα＝eq\f(4,5)，tan(α－β)＝－eq\f(1,3)，求cosβ的值．參考答案：1．C2.eq\f(1,7)3．－eq\f(9,40)eq\f(40,9)解析：∵tan(α＋eq\f(π,4))＝－eq\f(9,40)，∴eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝－eq\f(9,40).解得tanα＝－eq\f(49,31)，tan(α－eq\f(π,4))＝eq\f(tanα－1,1＋tanα)＝eq\f(40,9).4．解：由題意tanα＋tanβ＝－(4m＋1)，tanαtanβ＝2m，∴eq\f(sinα＋β,cosα－β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ＋sinαsinβ)＝eq\f(tanα＋tanβ,1＋tanαtanβ)＝－eq\f(4m＋1,2m＋1).5．解：由題意tanα＝eq\f(3,4)，∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝eq\f(tanα－tanα－β,1＋tanαtanα－β)＝eq\f(\f(3,4)＋\f(1,3),1＋\f(3,4)×－\f(1,3))＝eq\f(13,9).又∵cos2β＝eq\f(1,1＋tan2β)＝eq\f(1,1＋\f(169,81))＝eq\f(81,250)，∴cosβ＝eq\f(9\r(10),50).(設(shè)計(jì)者：王光玲)第2課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)讓學(xué)生回顧前面所學(xué)的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，從分析公式的推導(dǎo)過(guò)程入手，揭示它們的邏輯關(guān)系．思路2.(習(xí)題導(dǎo)入)①已知α＋β＝45°，求(1＋tanα)(1＋tanβ)的值．(答案：2)②已知sinα＝－eq\f(3,5)，α是第四象限角，求tan(eq\f(π,4)－α)的值．(答案：7)③求tan70°＋tan50°－eq\r(3)tan50°tan70°的值．(答案：－eq\r(3))學(xué)生練習(xí)，教師講評(píng)中導(dǎo)入新課．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))本節(jié)為兩角和與差的三角函數(shù)的最后一節(jié)內(nèi)容，對(duì)兩角和與差公式進(jìn)一步熟練掌握．上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩角和與差的正切公式，請(qǐng)同學(xué)們默寫(xiě)這些公式，并思考這些公式的使用條件．我們上節(jié)課初步運(yùn)用這些公式解決了一些有關(guān)三角函數(shù)的求值和化簡(jiǎn)問(wèn)題，利用這些公式除了能進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)之外，我們還可以運(yùn)用其解決一些三角函數(shù)式的證明問(wèn)題，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題．這就是我們本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))例1課本本節(jié)例4.變式訓(xùn)練在銳角△ABC中，A、B、C是它的三個(gè)內(nèi)角，記S＝eq\f(1,1＋tanA)＋eq\f(1,1＋tanB)，求證：S<1.證明：∵S＝eq\f(1＋tanA＋1＋tanB,1＋tanA1＋tanB)＝eq\f(1＋tanA＋tanB＋1,1＋tanA＋tanB＋tanAtanB)，又A＋B>90°，∴90°>A>90°－B>0°.∴tanA>tan(90°－B)＝cotB>0.∴tanAtanB>1.∴S<1.例2課本本節(jié)例5.例3求證：eq\f(sinα＋βsinα－β,sin2αcos2β)＝1－eq\f(tan2β,tan2α).活動(dòng)：證明三角恒等式，一般要遵循“由繁到簡(jiǎn)”的原則，另外“化弦為切”與“化切為弦”也是在三角式的變換中經(jīng)常使用的方法．證法一：左邊＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ,sin2αcos2β)＝eq\f(sin2αcos2β－cos2αsin2β,sin2αcos2β)＝1－eq\f(cos2αsin2β,sin2αcos2β)＝1－eq\f(tan2β,tan2α)＝右邊．∴原式成立．證法二：右邊＝1－eq\f(cos2αsin2β,sin2αcos2β)＝eq\f(sin2αcos2β－cos2αsin2β,sin2αcos2β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ,sin2αcos2β)＝eq\f(sinα＋βsinα－β,sin2αcos2β)＝左邊．∴原式成立．點(diǎn)評(píng)：此題進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生三角恒等式的變形，靈活運(yùn)用三角函數(shù)公式的能力以及邏輯推理能力．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))課本本節(jié)練習(xí)1、2、3、4.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))我們?cè)趯W(xué)習(xí)兩角和與差的正切公式的時(shí)候，不僅要熟練掌握公式本身，更應(yīng)該掌握公式的變形公式，尤其是在解決有關(guān)三角函數(shù)式的證明和化簡(jiǎn)問(wèn)題時(shí)，更應(yīng)該注意靈活運(yùn)用公式的變形公式．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))課本習(xí)題3.1(3)8、9、10.eq\o(\s\up7(),\s\do5(設(shè)計(jì)感想))作為兩角和與差公式的最后一節(jié)課，學(xué)生對(duì)兩角和與差的正切(包括正弦、余弦)公式及其應(yīng)用有了比較深刻的理解．對(duì)于本節(jié)來(lái)說(shuō)，教學(xué)中可以更多地讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，探究解決問(wèn)題的來(lái)龍去脈，使學(xué)生更好地掌握用分析的方法尋求解題思路．特別是本節(jié)課本例4是一個(gè)優(yōu)美的三角恒等式，可讓學(xué)生課后繼續(xù)探究它的對(duì)稱(chēng)美、簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美、結(jié)構(gòu)美等特征，讓學(xué)生從中體會(huì)數(shù)學(xué)的美麗生動(dòng)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(備課資料))備選習(xí)題1．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，則tan(β－2α)的值為()A．－1B．－eq\f(1,2)C.eq\f(5,7)D.eq\f(1,7)2．tan30°＋tan15°＋tan15°tan30°的值等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．13.eq\f(tan55°－tan385°,1－tan－305°tan－25°)＝________.4．已知tan110°＝a，則tan50°的值為_(kāi)_______．5．若tanx＝eq\f(1－tan20°,1＋tan20°)，則x＝________.6．已知sinα＝－eq\f(3,5)，cosβ＝eq\f(5,13)，且α，β的終邊在同一象限，求tan(α＋β)的值．7．若3sinx＋eq\r(3)cosx＝2eq\r(3)sin(x＋φ)且φ∈(0，eq\f(π,2))，求tan(φ＋eq\f(π,4))的值．8．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在以原點(diǎn)O為圓心、6為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，線段OP與以O(shè)為圓心、2為半徑的圓交于R點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為M，過(guò)R作PM的垂線，垂足為Q，求∠POQ的最大值．參考答案：1．D2.D3.eq\f(\r(3),3)4.eq\f(a－\r(3),1＋\r(3)a)(或eq\f(1－a2,2a))5．25°＋k·180°(k∈Z)6.eq\f(63,16).7．分析：如何求φ是本題的關(guān)鍵．解：∵3sinx＋eq\r(3)cosx＝2eq\r(3)(eq\f(\r(3),2)sinx＋eq\f(1,2)cosx)＝2eq\r(3)(sinxcoseq\f(π,6)＋cosxsineq\f(π,6))＝2eq\r(3)sin(x＋eq\f(π,6))，∴2eq\r(3)sin(x＋φ)＝2eq\r(3)sin(x＋eq\f(π,6))．又∵φ∈(0，eq\f(π,2))，∴φ＝eq\f(π,6).∴tan(φ＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanφ,1－tanφ)＝eq\f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝eq\f(3＋\r(3),3－\r(3))＝eq\f(9＋3＋6\r(3),32－3)＝2＋eq\r(3).8．解：本應(yīng)考慮點(diǎn)P在四個(gè)象限的情形，由于對(duì)稱(chēng)性，可不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，設(shè)∠x(chóng)OP＝α，∠x(chóng)OQ＝β，則∠POQ＝α－β，Q(6cosα，2sinα)，tanβ＝eq\f(2sinα,6cosα)＝eq\f(1,3)tanα.故tan∠POQ＝tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(tanα－\f(1,3)tanα,1＋\f(1,3)tan2α)＝eq\f(2tanα,3＋tan2α).設(shè)tan∠POQ＝y(tǒng)，tanα＝t，則y＝eq\f(2t,3＋t2)，即yt2－2t＋3y＝0.由α是銳角，可知t＞0，從而y＝eq\f(2t,3＋t2)＞0.又Δ＝4－12y2≥0，故0＜y≤eq\f(\r(3),3)，且當(dāng)t＝eq\r(3)時(shí)，y＝eq\f(\r(3),3).故y的最大值，即tan∠POQ的最大值為eq\f(\r(3),3).所以∠POQ的最大值為eq\f(π,6).附：(設(shè)計(jì)者：王光玲)3．1.3兩角和與差的正切第1課時(shí)作者：徐金花，江蘇省銅山縣棠張中學(xué)教師，本教學(xué)設(shè)計(jì)獲江蘇省教學(xué)設(shè)計(jì)大賽二等獎(jiǎng)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設(shè)計(jì)))設(shè)計(jì)思想數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上．”“教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈骄亢秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解與掌握基本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)．”蘇霍姆林斯基曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，學(xué)生心靈深處有一種根深蒂固的需要——希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探究者．本節(jié)課根據(jù)新課標(biāo)和新課程的教學(xué)理念，采用自主探究與合作交流的教學(xué)方法，讓學(xué)生積極主動(dòng)的參與學(xué)習(xí)，給予他們充分的時(shí)間和空間，進(jìn)行探索、猜想和發(fā)現(xiàn)兩角和與差的正切公式．對(duì)于例習(xí)題的處理是通過(guò)一題多解、一題多變等形式讓教學(xué)成為師生對(duì)話、溝通、合作、共建的交往活動(dòng)．教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容在上兩節(jié)正、余弦和、差角公式的基礎(chǔ)上，利用同角三角函數(shù)關(guān)系推導(dǎo)出正切的和差角公式，并通過(guò)三個(gè)例題及變式題的處理(主要是公式的正用、逆用和變用)鞏固所學(xué)知識(shí)．教學(xué)目標(biāo)分析1．知識(shí)與技能：會(huì)由正、余弦的和、差角公式推導(dǎo)出正切的和差、角公式．能用正切的和、差角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及恒等式的證明．2．過(guò)程與方法：學(xué)生利用正、余弦的和、差角公式自主探究正切的和、差角公式，并從推導(dǎo)的過(guò)程中感悟化歸思想．3．情感與態(tài)度：通過(guò)對(duì)問(wèn)題的自主探究和合作交流，體驗(yàn)團(tuán)隊(duì)合作的快樂(lè)，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)、開(kāi)放的思維習(xí)慣，感悟化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、整體思想、方程思想，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正切公式的推導(dǎo)及用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式的證明．教學(xué)難點(diǎn)：公式的靈活應(yīng)用．教學(xué)準(zhǔn)備實(shí)物投影儀多媒體eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過(guò)程))情景創(chuàng)設(shè)(多媒體出示)回顧3.1.1節(jié)例2中求tan15°的過(guò)程，我們先分別求出sin15°和cos15°，再由同角三角函數(shù)關(guān)系求出tan15°，這個(gè)計(jì)算方法較煩瑣，由15°＝45°－30°，我們猜想，能否由tan45°和tan30°直接求出tan15°呢？這就是我們這節(jié)課研究的課題——兩角和與差的正切．(教師板書(shū)課題)學(xué)生活動(dòng)：回顧求解過(guò)程、感受計(jì)算量．自主探究：(1)如何化未知角為已知角？(2)如何化未知函數(shù)名為已知函數(shù)名？(“切”化“弦”)學(xué)生活動(dòng)學(xué)生就上面的問(wèn)題展開(kāi)討論，討論將涉及下面的問(wèn)題：1．同角的三角函數(shù)有哪些關(guān)系？我們選擇哪個(gè)關(guān)系來(lái)研究本課題？2．問(wèn)題1中涉及到的S(α＋β)和C(α＋β)公式，你能準(zhǔn)確寫(xiě)出來(lái)嗎？3．由問(wèn)題1,2將tan(α±β)表示成α，β的“弦”的形式之后如何化成“切”的形式呢？小組討論，合作交流．推薦兩個(gè)小組代表板演推導(dǎo)兩個(gè)公式的過(guò)程．?dāng)?shù)學(xué)建構(gòu)兩角和與差的正切公式：(教師板書(shū))tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)T(α＋β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)T(α－β)思考：1.公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及適用范圍(符號(hào)特點(diǎn)；結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：要注意到tan(α±β)可以用tanα和tanβ的和(差)與積表示；適用范圍是使公式的兩邊都有意義)．2．公式T(α－β)能否由T(α＋β)來(lái)推導(dǎo)呢？(利用化歸思想，用－β代替β)(教師板書(shū)數(shù)學(xué)思想)3．由T(α＋β)公式，你能否將公式變形得到其他公式？(教師板書(shū)變形公式)變形1tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；變形2tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β).(兩個(gè)變形公式的適用范圍也是使等式兩邊都有意義)學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生在書(shū)上劃出公式，并觀察公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)．思考：(1)求tan(eq\f(π,2)＋α)可以用T(α＋β)公式展開(kāi)嗎？(2)T(α＋β)公式成立的具體條件是什么？自主探究：一中等生口述思路“整體代換”學(xué)生感悟化歸思想．小組討論，合作交流．學(xué)生記下變形公式(不作記憶要求，會(huì)變形應(yīng)用)思考：兩變形公式成立的具體條件是什么？數(shù)學(xué)應(yīng)用(例題用多媒體出示、變式題用實(shí)物投影儀出示)例1(1)已知tanα＝eq\f(1,2)，求tan(α＋eq\f(π,4))；(2)已知tanα＝－eq\f(1,2)，tanβ＝－5，求tan(α＋β)．分析：直接應(yīng)用公式，注意公式及運(yùn)算的準(zhǔn)確性．變式1：(教材例1)已知tanα，tanβ是方程x2＋5x－6＝0的兩根，求tan(α＋β)的值．分析：思路一：可以根據(jù)方程解出tanα，tanβ，再代入公式計(jì)算即可．思路二：通過(guò)計(jì)算tanα＋tanβ，tanαtanβ的值來(lái)求tan(α＋β)．反思：思路二是利用整體思想方法來(lái)解題，較思路一簡(jiǎn)捷．變式題2(教材本節(jié)練習(xí)4)已知tan(α＋β)＝eq\f(1,3)，tanα＝－2，求tanβ的值．分析：思路一：利用“β＝(α＋β)－α”變換方法，代入T(α－β)公式求解即可．思路二：由eq\f(1,3)＝tan(α＋β)展開(kāi)，將tanα＝－2代入，建立關(guān)于tanβ的方程．反思：思路一通過(guò)角的變換，化未知為已知，滲透了化歸思想；思路二是建立方程，體現(xiàn)了方程的思想．(以上幾題均是公式的正用)思考：公式及變形公式有什么作用？學(xué)生活動(dòng)：一中等學(xué)生口述分析思路一，師板書(shū)．一優(yōu)等生口述分析思路二并板書(shū)關(guān)鍵步驟．學(xué)生回顧韋達(dá)定理的內(nèi)容并感悟整體思想方法．兩中等生口述分析思路一、思路二．(師多媒體出示解答過(guò)程，強(qiáng)調(diào)規(guī)范書(shū)寫(xiě)，并給出評(píng)分標(biāo)準(zhǔn))思考：兩種思路體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是什么？例2(教材例2)求證：eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)＝eq\r(3).分析：思路一：由1＝tan45°，等式左邊的結(jié)構(gòu)與tan(α＋β)相似，考慮逆用兩角和的正切公式．思路二：本題也可由eq\r(3)聯(lián)想到tan60°，進(jìn)而聯(lián)想到兩角和的正切公式，找到證明途徑(公式正用)．思路三：利用15°＝45°－30°，再代入T(α－β)公式求解．(化未知角為已知角再正用公式)自主探究：(1)如何證明等式？(2)觀察等式左、右兩邊的結(jié)構(gòu)有何特點(diǎn)？一優(yōu)等生分析口述思路一(師板書(shū))，一中等生分析思路二(師及時(shí)表?yè)P(yáng)學(xué)生的巧妙聯(lián)想)，一潛能生分析思路三(師肯定學(xué)生的轉(zhuǎn)化方法)．變式題1.求證：eq\f(cos15°＋sin15°,cos15°－sin15°)＝eq\r(3).分析：思路一：利用15°＝45°－30°，再代入S(α±β)和C(α±β)公式計(jì)算即可(此法較為煩瑣)．思路二：“弦化切”處理之后即為例2，可證．思路三：逆用兩角和與差的正、余弦公式化簡(jiǎn)可證．其中：cos15°－sin15°＝eq\r(2)(eq\f(\r(2),2)cos15°－eq\f(\r(2),2)sin15°)＝eq\r(2)sin(45°－15°)＝eq\f(\r(2),2).cos15°＋sin15°＝eq\r(2)(eq\f(\r(2),2)cos15°＋eq\f(\r(2),2)sin15°)＝eq\r(2)sin(45°＋15°)＝eq\f(\r(6),2).思路四：由等式左邊是正值，可證其平方為3，而平方后可逆用和、差角公式，令m＝eq\f(cos15°＋sin15°,cos15°－sin15°)，則m>0，從而m2＝eq\f(1＋2sin15°cos15°,1－2sin15°cos15°)＝eq\f(1＋sin30°,1－sin30°)＝eq\f(\f(3,2),\f(1,2))＝3，可證．思路五：構(gòu)造向量，利用向量的內(nèi)積定義及坐標(biāo)表示來(lái)證明．令a＝(1，－1)，b＝(cos15°，sin15°)，則cos15°－sin15°＝(1，－1)·(cos15°，sin15°)＝eq\r(2)×1×cosθ，其中θ為a與b的夾角，且數(shù)形結(jié)合可知θ＝15°＋45°＝60°，從而cos15°－sin15°＝eq\r(2)cos60°＝eq\f(\r(2),2)，同理可求cos15°＋sin15°＝eq\r(2)cos30°＝eq\f(\r(6),2)，從而可證．反思：本題是一題多解，開(kāi)闊學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，滲透數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想(思路二)和整體思想(思路四)和數(shù)形結(jié)合思想(思路五)．小組討論，合作交流．不同解法的小組派代表展示證明方法．(前四種不同解法)(通過(guò)合作探究問(wèn)題的過(guò)程，體驗(yàn)團(tuán)隊(duì)合作的快樂(lè)，體會(huì)公式的靈活應(yīng)用、感悟化歸、數(shù)形結(jié)合、整體、方程的數(shù)學(xué)思想．)(師啟發(fā)思路五并多媒體出示解答過(guò)程，留時(shí)間讓學(xué)生體會(huì)構(gòu)造方法)變式題2.利用和(差)公式證明