中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《綜合題解答》測試卷-附帶答案

第第頁中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《綜合題解答》測試卷-附帶答案學(xué)校:___________班級:___________姓名:___________考號:___________1.（2024·上海奉賢二模25）如圖，已知半圓的直徑為，點在半徑上，為的中點，點在上，以為鄰邊作矩形，邊交于點．（1）如果，，求邊的長；（2）連接，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，求的度數(shù)；（3）連接并延長，交于點，如果，求的值．2.（2024·上海虹口二模25）如在梯形中，，點在射線上，點在射線上，連接、相交于點，．（1）如圖①，如果，點、分別在邊、上．求證：；（2）如圖②，如果，，，．在射線的下方，以為直徑作半圓，半圓與的另一個交點為點．設(shè)與弧的交點為．①當(dāng)時，求和的長；②當(dāng)點為弧的中點時，求的長．3.（2024·上海黃浦二模25）已知：如圖，是圓O的內(nèi)接三角形，，、的中點分別為M、N，與、、分別交于點P、T、Q．（1）求證：；（2）當(dāng)是等邊三角形時，求的值；（3）如果圓心O到弦、的距離分別為7和15，求線段的長．4.（2024·上海金山二模25）如圖，已知：等腰梯形中，，，以A為圓心，為半徑的圓與相交于點E，與相交于點F，聯(lián)結(jié)，設(shè)分別與相交于點G、H，其中H是的中點．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）如圖1，如果，求的值；（3）如圖2，如果，求的余弦值．5.（2024·上海靜安二模25）如圖1，中，已知為銳角，．（1）求的值；（2）如圖2，點P在邊上，點Q是邊的中點，經(jīng)過點A，與外切，且的直徑不大于，設(shè)的半徑為x，的半徑為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）在第（2）小題條件下，連接，如果是等腰三角形，求的長．6.（2024·上海閔行二模25）如圖，是的半徑，弦垂直于弦，點M是弦的中點，過點M作的平行線，交于點E和點F．（1）如圖1，當(dāng)時．①求的度數(shù)；②連接OE，求證：；（2）如圖2，連接，當(dāng)時，，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出定義域．7.（2024·上海浦東二模25）已知：和相交于A、B兩點，線段的延長線交于點C，、的延長線分別交于點D、E．（1）連接、，、分別與連心線相交于點H、點G，如圖1，求證：；（2）如果．①如圖2，當(dāng)點G與O重合，的半徑為4時，求的半徑；②連接、，與連心線相交于點F，如圖3，當(dāng)，且的半徑為2時，求的長．8.（2024·上海普陀二模25）如圖，在梯形中，（），，．將梯形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點與點重合，此時點、的對應(yīng)點分別是點、．（1）當(dāng)點正好落在的延長線上時，求的度數(shù)；（2）聯(lián)結(jié)，設(shè)，．①求關(guān)于的函數(shù)解析式；②定義：同中心同邊數(shù)的兩個正多邊形稱為雙同正多邊形．設(shè)是一個正多邊形的中心角，聯(lián)結(jié)，請說明以線段、為邊的正多邊形是雙同正多邊形的理由．當(dāng)這兩個正多邊形的面積比是時，求雙同正多邊形的邊數(shù)．9.（2024·上海青浦二模25）在中，，以C為圓心、為半徑的弧分別與射線、射線相交于點，直線與射線相交于點F．（1）如圖，當(dāng)點D在線段上時．①設(shè)，求；（用含的式子表示）②當(dāng)時，求的值；（2）如圖，當(dāng)點D在的延長線上時，點分別為的中點，連接，如果，求的長．10.（2024·上海松江二模25）如圖，已知矩形中，，，點是邊上一動點，過點作，垂足為點，連接，過點作，交邊于點（點與點不重合）．（1）當(dāng)是的中點時，求證：；（2）當(dāng)?shù)拈L度取不同值時，在中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；（3）延長交邊于點，連接，與能否相似，若能相似，求出此時的長；若不能相似，請說明理由．11.（2024·上海徐匯二模25）如圖，在扇形中，，，點、是弧上的動點（點在點的上方，點不與點重合，點不與點重合），且．（1）①請直接寫出弧、弧和弧之間的數(shù)量關(guān)系；②分別連接、和，試比較和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）分別交、于點、．①當(dāng)點在弧上運(yùn)動過程中，的值是否變化，若變化請說明理由；若不變，請求的值；②當(dāng)時，求圓心角的正切值．12.（2024·上海楊浦二模25）已知以為直徑的半圓上有一點，，垂足為點，點是半徑上一點（不與點、重合），作交弧于點，連接．（1）如圖，當(dāng)?shù)难娱L線經(jīng)過點時，求的值；（2）如圖，作，垂足為點，連接．試判斷與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；當(dāng)是等腰三角形，且，求的值．13.（2024·上海嘉定二模25）在菱形中，，點在射線上，連接、．（1）如圖，當(dāng)點是邊的中點，求的正切值；（2）如圖，當(dāng)點在線段的延長線上，連接與邊交于點，如果，的面積等于，求的長；（3）當(dāng)點在邊上，與交于點，連接并延長與的延長線交于點，如果，與以點、、所組成的三角形相似，求的長．14.（2024·上海長寧二模25）（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題10分）己知在中，，點O為邊AB上一點，以點O為圓心，OA為半徑作，交邊AC于點D（點D不與點A、C重合）．圖1備用圖備用圖（1）當(dāng)時，判斷點B與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）過點C作，交OD延長線于點E．以點E為圓心，EC為半徑作，延長CE，交于點．①如圖1，如果與的公共弦恰好經(jīng)過線段EO的中點，求CD的長；②聯(lián)結(jié)、OC，如果與的一條邊平行，求的半徑長．15.（2024·上海寶山二模25）已知AB是半圓O的直徑，C是半圓O上不與A、B重合的點，將弧AC沿直線AC翻折，翻折所得的弧交直徑AB于點D，E是點D關(guān)于直線AC的對稱點．（1）如圖12，點D恰好落在點O處.①用尺規(guī)作圖在圖12中作出點E（保留作圖痕跡），聯(lián)結(jié)AE、CE、CD，求證：四邊形ADCE是菱形；②聯(lián)結(jié)BE，與AC、CD分別交于點F、G，求的值；（2）如果AB＝10，OD＝1，求折痕AC的長．圖圖12備用圖16.（2024·上海寶山二模25）如圖，已知中，，，，點D是射線BA上一動點（不與A、B重合），過點D作，交射線BC于點E，點Q為DE中點，聯(lián)結(jié)AQ并延長，交射線BC于點P．（1）如圖1，當(dāng)點D在線段AB上時，=1\*GB3①若，求PC的長；=2\*GB3②當(dāng)與相似時，求AD的長．A（2）當(dāng)是以AD為腰的等腰三角形時，試判斷以點A為圓心、AD為半徑的⊙A與以C為圓心、CE為半徑的⊙C的位置關(guān)系，并說明理由．ADDQQABC備用圖2ABC備用圖1BCPE第25題圖1ABC備用圖2ABC備用圖1BCPE第25題圖1參考答案1.（2024·上海奉賢二模25）如圖，已知半圓的直徑為，點在半徑上，為的中點，點在上，以為鄰邊作矩形，邊交于點．（1）如果，，求邊的長；（2）連接，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，求的度數(shù)；（3）連接并延長，交于點，如果，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（）連接，過點作，垂足為，由圓周角定理可得，進(jìn)而可得，再證明，根據(jù)，可得，即可求解；（）連接，設(shè)，則，，求出，得到，進(jìn)而得到，，分和兩種情況解答即可求解；（）由可得，，進(jìn)而得到，可證明，得到，，設(shè)，，則，，證明，得到，即可到，由勾股定理，即可求解；【小問1詳解】解：連接，過點作，垂足為，∵點是中點，∴，∵，∴，∴，∴，∵矩形，∴，∵，∴，，∴，在與中，，∴，∴，解得，∴；【小問2詳解】解：連接，設(shè)，則，，∴在中，，∴，∴，，當(dāng)時，，即，解得，∴，∵，∴；當(dāng)時，，即，不存在；∴；【小問3詳解】解：如圖，由可得，，，，∴，∴，∴，，設(shè)，，由題意得，，∵四邊形為矩形，∴，∴，，，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴．2.（2024·上海虹口二模25）如在梯形中，，點在射線上，點在射線上，連接、相交于點，．（1）如圖①，如果，點、分別在邊、上．求證：；（2）如圖②，如果，，，．在射線的下方，以為直徑作半圓，半圓與的另一個交點為點．設(shè)與弧的交點為．①當(dāng)時，求和的長；②當(dāng)點為弧的中點時，求的長．【答案】（1）見解析（2）①；；②【分析】（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得，，，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出，進(jìn)而可得，即可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）①同（1）證明，如圖所示，過點作于點，連接，得出，，解直角三角形，分別求得，，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得的長；②根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)垂徑定理得出，根據(jù)題意可設(shè)，，則，得出，設(shè)，則，則，在中，得出，根據(jù)得出，即可求解．【小問1詳解】證明：∵梯形中，，，∴，，，又∵，∴∴，∴；小問2詳解】解：∵，∵，則∴∴∵∴又∵∴，如圖所示，過點作于點，連接，∵，∴，則，，∵∴∵∴又∵∴，在中，∴∴，∵為直徑∴∴，∴，，則，∵∴∴②過點作于點，∵∴∵∴設(shè)，，則∵，則設(shè)，則∴∵∴設(shè)，則，∴，在中，∴又∵∴∴3.（2024·上海黃浦二模25）已知：如圖，是圓O的內(nèi)接三角形，，、的中點分別為M、N，與、、分別交于點P、T、Q．（1）求證：；（2）當(dāng)是等邊三角形時，求的值；（3）如果圓心O到弦、的距離分別為7和15，求線段的長．【答案】（1）見詳解（2）1（3）15或【分析】（1）連接，由題意得，則點A在的中垂線上，結(jié)合圓的性質(zhì)得點O在的中垂線上，則垂直平分即可；（2）連接，由圓周角定理得，證得是等邊三角形，則有，可得即可；（3）連接交于點G，延長交于點H，由（1）得，同理，且，結(jié)合，設(shè)圓O的半徑為r，利用和，整理得到，進(jìn)一部分分當(dāng)與位于元O得兩側(cè)和當(dāng)與位于元O得同側(cè)求解即可．【小問1詳解】證明：連接，如圖，由題意得，則點A在的中垂線上，∵，∴點O在的中垂線上，則垂直平分，那么，；【小問2詳解】連接，如圖，∵是等邊三角形，∴，∴，∵，點N為的中點，∴，∴是等邊三角形，∵，∴，∴；【小問3詳解】連接交于點G，延長交于點H，如圖，由（1）得，同理，且，∵，，∴，設(shè)圓O的半徑為r，∵，，∴，即，當(dāng)與位于元O得兩側(cè)時，則，，解得，（舍去），則，，，∵，∴，則；當(dāng)與位于元O得同側(cè)時，如圖，則，，解得，（舍去），則，，，∵，∴，則；故線段的長為15或．4.（2024·上海金山二模25）如圖，已知：等腰梯形中，，，以A為圓心，為半徑的圓與相交于點E，與相交于點F，聯(lián)結(jié)，設(shè)分別與相交于點G、H，其中H是的中點．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）如圖1，如果，求的值；（3）如圖2，如果，求的余弦值．【答案】（1）見解析（2）（3）【分析】（1）由題意知，，則，，由等腰梯形，可得，則，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）由垂徑定理得，證明，則，設(shè)，則，證明，則，，由勾股定理得，，，則，根據(jù)，求解作答即可；（3）由（2）可知，，則，，由（2）可知，，則，，如圖，作，垂足為點I，連接，則，設(shè)，，則，，證明，可得，，由勾股定理得，，即，可得，根據(jù)，求解作答即可．【小問1詳解】證明：由題意知，，∴，∵，∴，∵等腰梯形，∴，∴，∴，∴四邊形平行四邊形．【小問2詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，由勾股定理得，，∴，∴，∴，∴；【小問3詳解】解：由（2）可知，，∴，∵，∴，由（2）可知，，∴，∴，如圖，作，垂足為點I，連接，∵，∴，設(shè)，，則，，∵∴，∵，，，∴，∴，∴，由勾股定理得，，∴，∴，∴，∴．5.（2024·上海靜安二模25）如圖1，中，已知為銳角，．（1）求的值；（2）如圖2，點P在邊上，點Q是邊的中點，經(jīng)過點A，與外切，且的直徑不大于，設(shè)的半徑為x，的半徑為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）在第（2）小題條件下，連接，如果是等腰三角形，求的長．【答案】（1）（2）（3）的長為或3【分析】（1）構(gòu)建直角三角形，根據(jù)，得出，根據(jù)勾股定理，得出，然后，再運(yùn)用正弦的定義列式計算，即可作答．（2）設(shè)的半徑為，的半徑為，作圖，根據(jù)已有的條件得出，結(jié)合勾股定理，得出，，在中，，代入數(shù)值進(jìn)行計算，即可作答．（3）因為是等腰三角形，所以進(jìn)行分類討論，分為,以及，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)以及線段的和差運(yùn)算，列式作答即可．【小問1詳解】解：過點A作∵為銳角，．∴在解得∴∵∴∴在∴；【小問2詳解】解：如圖：∵與外切，設(shè)的半徑為，的半徑為∴∵∴∵，點Q是邊的中點∴過點P作于點G∵∴則在中，則∴當(dāng)時，則，得出；當(dāng)時，則，得出；∵∴則【小問3詳解】解：∵是等腰三角形，∴當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，則，∵點Q是邊的中點，∴點P是邊的中點，∴，∴當(dāng)時，，此時∴解出（舍去）綜上：是等腰三角形，的長為或36.（2024·上海閔行二模25）如圖，是的半徑，弦垂直于弦，點M是弦的中點，過點M作的平行線，交于點E和點F．（1）如圖1，當(dāng)時．①求的度數(shù)；②連接OE，求證：；（2）如圖2，連接，當(dāng)時，，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出定義域．【答案】（1）（1）①，②見詳解（2）【分析】（1）①連接，，由已知條件可得出，，由三角形內(nèi)角和得出，由外角的性質(zhì)可得出，進(jìn)而可得出，即可證明A，O，C三點共線，再利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求出答案．②連接，由平行的性質(zhì)可得出，由，可得出，，進(jìn)而可得出，再由直角三角形的性質(zhì)可得出．（2）過點A作與點G，過O點作與點P．設(shè)半徑為r，則，由得出，由平行線的性質(zhì)可得出，，進(jìn)而證明，由相似三角形性的性質(zhì)可得出，即可求出，，再求證，即可得出，即，根據(jù)y的取值范圍即可求出x的取值范圍．【小問1詳解】解：①連接，，∵，∴，，∵，且，∴，∴A，O，C三點共線，∵，∴平分，∵，∴．②連接，∵，∴，∵，∴，在中，，∴．【小問2詳解】過點A作與點G，過O點作與點P．設(shè)半徑為r，則，∵∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵∴，∵，，∴∴，∴，∵，∴，則有，∴．7.（2024·上海浦東二模25）已知：和相交于A、B兩點，線段的延長線交于點C，、的延長線分別交于點D、E．（1）連接、，、分別與連心線相交于點H、點G，如圖1，求證：；（2）如果．①如圖2，當(dāng)點G與O重合，的半徑為4時，求的半徑；②連接、，與連心線相交于點F，如圖3，當(dāng)，且的半徑為2時，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）①；②【分析】（1）先證明，可得，再證明，可得；（2）①如圖，連接，，，，證明三點共線，證明，再利用勾股定理求解即可；②如圖，連接，，，證明，可得，證明，求解，證明，再利用相似三角形的性質(zhì)與勾股定理求解即可．【小問1詳解】證明：∵，，∴，∴，∵，∴，同理：，∴，∴；【小問2詳解】①如圖，連接，，，，∵為的直徑，∴，∴三點共線，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵，，∴；②如圖，連接，，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，而，，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，，∴，∴，∵在中，，∴，∴，整理得：，解得：或（舍去），∴．8.（2024·上海普陀二模25）如圖，在梯形中，（），，．將梯形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點與點重合，此時點、的對應(yīng)點分別是點、．（1）當(dāng)點正好落在的延長線上時，求的度數(shù)；（2）聯(lián)結(jié)，設(shè)，．①求關(guān)于的函數(shù)解析式；②定義：同中心同邊數(shù)的兩個正多邊形稱為雙同正多邊形．設(shè)是一個正多邊形的中心角，聯(lián)結(jié)，請說明以線段、為邊的正多邊形是雙同正多邊形的理由．當(dāng)這兩個正多邊形的面積比是時，求雙同正多邊形的邊數(shù)．【答案】（1）（2）①；②理由見解析，雙同正多邊形的邊數(shù)為【解析】【分析】（1）當(dāng)點正好落在的延長線上時，連接，根據(jù)平行線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊對等角的性質(zhì)，得出，結(jié)合三角形內(nèi)角和為求出度數(shù)即可；（2）①連接、、、，過點作于點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定定理，證明，得出，結(jié)合勾股定理，用含的代數(shù)式表示出、，代入中整理得出關(guān)于的函數(shù)解析式即可；②根據(jù)①過程中，，，已知，說明以線段、為邊的正多邊形是雙同正多邊形即可；根據(jù)當(dāng)這兩個正多邊形的面積比是時，相似多邊形的面積比等于相似比的平方，得出相似比為，求出的長，結(jié)合勾股定理計算，求出，得出，計算即可得出雙同正多邊形的邊數(shù)．【小問1詳解】解：如圖，當(dāng)點正好落在的延長線上時，連接，∵，，將梯形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點與點重合，此時點、對應(yīng)點分別是點、，∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），，，∴，∴；【小問2詳解】解：①如圖，連接、、、，過點作于點，∵將梯形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點與點重合，此時點、的對應(yīng)點分別是點、，∴，和都等于旋轉(zhuǎn)角，即，∵，∴，∴，∵，，，∴，，∴四邊形是矩形，∴，，，∴，∴，，∵，∴，，，整理得：；②以線段、為邊的正多邊形是雙同正多邊形，理由如下，如圖，由①過程得：，，，∵，是一個正多邊形的中心角，將梯形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點與點重合，此時點、的對應(yīng)點分別是點、，∴，∴也是一個正多邊形的中心角，∴以線段、為邊，以點為的中心的兩個正多邊形的中心角也相等，即這兩個正多邊形是雙同正多邊形，∴這兩個正多邊形也是相似多邊形，∵當(dāng)這兩個正多邊形的面積比是時，∴，∴，∴，∴，∴，∴這兩個正多邊形的中心角，∴這兩個正多邊形的邊數(shù)，∴當(dāng)這兩個正多邊形的面積比是時，雙同正多邊形的邊數(shù)為．9.（2024·上海青浦二模25）在中，，以C為圓心、為半徑的弧分別與射線、射線相交于點，直線與射線相交于點F．（1）如圖，當(dāng)點D在線段上時．①設(shè)，求；（用含的式子表示）②當(dāng)時，求的值；（2）如圖，當(dāng)點D在的延長線上時，點分別為的中點，連接，如果，求的長．【答案】（1）①②（2）【分析】（1）①根據(jù)等邊對等角得到，，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是計算解題；②先根據(jù)得到，然后推導(dǎo)，得到，可以求出長，過點A作于點G，然后求出值即可；（2）設(shè)交于點H，設(shè)，則，然后證明，得到，然后根據(jù)平行線分線段成比例得到，，再根據(jù)，就可得到，代入數(shù)值即可解題．【小問1詳解】解：①∵，∴，，又∵，∴，∴；②∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，即，解得：或（舍）；過點A作于點G，則，∴；【小問2詳解】解：設(shè)交于點H，設(shè)，∵M(jìn)是的中點，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∵∴，又∵，，∴，∴，∴，∴，∵∴，又∵是的中點，∴，∴，即，解得：或（舍），∴．10.（2024·上海松江二模25）如圖，已知矩形中，，，點是邊上一動點，過點作，垂足為點，連接，過點作，交邊于點（點與點不重合）．（1）當(dāng)是的中點時，求證：；（2）當(dāng)?shù)拈L度取不同值時，在中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；（3）延長交邊于點，連接，與能否相似，若能相似，求出此時的長；若不能相似，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，PF的長度不變，（3）能相似，【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)及判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)的比值關(guān)系等知識點，靈活運(yùn)用角的等量關(guān)系建立邊的比值關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）利用斜邊的中線是斜邊的一半的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，通過角的等量代換得到即可；（2）通過角的等量代換和相似三角形的判定方法證出，即可根據(jù)比值關(guān)系求解；（3）連接，過點作，垂足為，通過角的等量代換和邊的比值關(guān)系判定出四邊形是矩形，然后再利用角的等量代換證出，當(dāng)時（均為鈍角）時，可得到，從而得到，再利用勾股定理運(yùn)算求解即可．【小問1詳解】解：∵，為的中點，∴，∴，∵四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：的長度不變，理由如下：∵，∴，∵四邊形為矩形，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴；【小問3詳解】（3）連接，過點作，垂足為，如圖所示：∴，，由題意可得：，∴，∴，∴，∴，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴當(dāng)時（均為鈍角），，∴，∴，∵，∴，∴．11.（2024·上海徐匯二模25）如圖，在扇形中，，，點、是弧上的動點（點在點的上方，點不與點重合，點不與點重合），且．（1）①請直接寫出弧、弧和弧之間的數(shù)量關(guān)系；②分別連接、和，試比較和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）分別交、于點、．①當(dāng)點在弧上運(yùn)動過程中，的值是否變化，若變化請說明理由；若不變，請求的值；②當(dāng)時，求圓心角的正切值．【答案】（1）①；②，證明見解析；（2）①的值不變，；②或．【分析】（1）①根據(jù)“同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等”即可得到答案；②在弧上取點連接，使得，可得，根據(jù)角的和差關(guān)系可得，則，即可得到答案；（2）①證明，即可得到答案；②過點在下方作，截取，連接、，證得，可得，進(jìn)一步證得，則可得，由勾股定理和線段的和差關(guān)系可得，聯(lián)立解得，過點N作于點F，則，利用勾股定理求得，，根據(jù)正切的概念計算即可．【小問1詳解】解：①，，，；②．證明如下：在弧上取點連接，使得，；、可得；，，；；．【小問2詳解】解：①的值不變，．，，；，，；；；．②如圖，過點在下方作，截取，連接、，，，，，；又，，，，；，；解得或；過點N作于點F，則，，，，設(shè)，則，當(dāng)時，在中，，即，解得：，；當(dāng)時，在中，，即，解得：，．12.（2024·上海楊浦二模25）已知以為直徑的半圓上有一點，，垂足為點，點是半徑上一點（不與點、重合），作交弧于點，連接．（1）如圖，當(dāng)?shù)难娱L線經(jīng)過點時，求的值；（2）如圖，作，垂足為點，連接．試判斷與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；當(dāng)是等腰三角形，且，求的值．【答案】（1）；（2），理由見解析；的值為或或．【分析】（）利用垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（）延長交于點，延長交于點，延長交于點，連接，，，，利用垂徑定理，三角形的中位線定理得到，利用垂徑定理得到，再利用四邊形的內(nèi)角和定理和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得到，再利用相等的圓心角所對的弧相等的性質(zhì)，等弧對等弦的性質(zhì)得到則結(jié)論可得；利用分類討論的方法分三種情況解答：當(dāng)時，利用全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理解答即可；當(dāng)時，過點作于點，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理和勾股定理解答即可；當(dāng)時，則，連接，利用矩形的判定與性質(zhì)和勾股定理解答即可．【小問1詳解】當(dāng)?shù)难娱L線經(jīng)過點時，∵，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴；【小問2詳解】與的大小關(guān)系為：，理由：延長交于點，延長交于點，延長交于點，連接，，，，如圖，∵∴，∵為直徑，，∴,∴為的中位線，∴，∵為直徑，，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴；∵，，∴，∴設(shè)，則，∴，當(dāng)時，由（）知：，∴，，∵，∴，∴，∴；當(dāng)時，過點作于點，如圖，在和中，，∴，∴，設(shè)，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，當(dāng)時，則，連接，如圖，∵，，，∴四邊形為矩形，∴，在和中，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，，∴，∴，∴，∴綜上，當(dāng)是等腰三角形，且，的值為或或．13.（2024·上海嘉定二模25）在菱形中，，點在射線上，連接、．（1）如圖，當(dāng)點是邊的中點，求的正切值；（2）如圖，當(dāng)點在線段的延長線上，連接與邊交于點，如果，的面積等于，求的長；（3）當(dāng)點在邊上，與交于點，連接并延長與的延長線交于點，如果，與以點、、所組成的三角形相似，求的長．【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）添加輔助線DE，構(gòu)造直角三角形，求正切值；（2）通過面積比求出相關(guān)線段的比值，進(jìn)而用勾股定理等進(jìn)行求解；（3）通過相似三角形構(gòu)建等量關(guān)系，求線段AE的長度?！驹斀狻浚?）聯(lián)結(jié)DE∵菱形ABCD∠DAB=60°，∴△ABD是等邊三角形∵點E是邊AB的中點，∴DE⊥AB，DE⊥CD△CDE是直角三角形在等邊△ADB中，過F作FM⊥AE，交AE于點M?！吡庑蜛BCD∠DCB=∠DAB=60°，∴△DCB是等邊三角形∵AE∥CD在△BEF中，∠B=60°，∴在Rt△BFM中， 設(shè)AE=x,由題意得，△ADE∽△BEG∵△BEG∽△BCH又∵△BEH∽△DCH14.（2024·上海長寧二模25）（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題10分）己知在中，，點O為邊AB上一點，以點O為圓心，OA為半徑作，交邊AC于點D（點D不與點A、C重合）．圖1備用圖備用圖（1）當(dāng)時，判斷點B與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）過點C作，交OD延長線于點E．以點E為圓心，EC為半徑作，延長CE，交于點．①如圖1，如果與的公共弦恰好經(jīng)過線段EO的中點，求CD的長；②聯(lián)結(jié)、OC，如果與的一條邊平行，求的半徑長．【答案】（1）點B在內(nèi).（2）①②【分析】（1）求出OB，OA的長度，然后比較大小，即可；（2）通過添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，解直角三角形及銳角三角比求出線段CD的長度；（3）分類進(jìn)行討論，利用平行線性質(zhì)列比例式，求的半徑CE的長度，本小題綜合性比較高?！驹斀狻浚?）過點O作，垂足為點H.∵過圓心，，∴.∵，∴.∴，∴.∵，∴.∴.∴點B在內(nèi).H（2）過點C作，垂足為點M.H∵，，∴∵，∴.∵，∴.又∵，∴..∴在中，，.設(shè)，則∴∴①兩圓的交點記為P、Q，聯(lián)結(jié)PE、PO∵⊙O、⊙E相交，PQ是公共弦，∴OE垂直平分PQ，即.∵PQ經(jīng)過OE中點，∴PQ垂直平分OE，∴，即.∴.在中，，∴.∴.∴∴.∴.②由于點A在直線AB上，所以不可能與OB平行.1..過點作，垂足為點N.∵，∴.∵，∴∵，∴.∵，∴.∴.∵，∴.∵，∴.∵，∴，∴.在中，，.∴.∴.∴.2..延長OE交延長線于點F.∵，∴.∴.∵，，∴.∴.∴.∵，∴，∴，，.∴.綜上所述：.15.（2024·上海寶山二模25）已知AB是半圓O的直徑，C是半圓O上不與A、B重合的點，將弧AC沿直線AC翻折，翻折所得的弧交直徑AB于點D，E是點D關(guān)于直線AC的對稱點．（1）如圖12，點D恰好落在點O處.①用尺規(guī)作圖在圖12中作出點E（保留作圖痕跡），聯(lián)結(jié)AE、CE、CD，求證：四邊形ADCE是菱形；②聯(lián)結(jié)BE，與AC、CD分別交于點F、G，求的值；（2）如果AB＝10，OD＝1，求折痕AC的長．圖圖12備用圖【答案】（1）①尺規(guī)作圖略，證明見解析；②（2）或【分析】（1）①考查尺規(guī)作圖，O，E關(guān)于直線AC對稱；②利用菱形的性質(zhì)，通過平行線，得出比例線段，求值即可；（2）依題意，分兩類進(jìn)行討論，分當(dāng)點D在點O左側(cè)，右側(cè)進(jìn)行，分析圖形，得出邊角關(guān)系，構(gòu)造直角三角形，通過勾股定理等進(jìn)行