高數(shù)對(duì)面積的曲面積分

高數(shù)對(duì)面積的曲面積分引例:設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度類似求曲線形構(gòu)件質(zhì)量的思想,采用可得

“分割，近似，求和，取極限”

的方法,求質(zhì)量M.其中,

表示n

小塊曲面的直徑的最大值(曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者).9.3.1對(duì)面積的曲面積分（第一類曲面積分）第2頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義9.3.1設(shè)為光滑曲面,“乘積和式極限”

都存在,的曲面積分其中叫做被積

是定義在上的一個(gè)有界函數(shù),記作或第一類曲面積分。若對(duì)做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn),則稱此極限為函數(shù)在曲面上對(duì)面積函數(shù),

叫做積分曲面,dS叫做曲面面積元素。第3頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天據(jù)此定義,曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為注：則有：若是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面第4頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天則對(duì)面積的曲面積分存在。在光滑曲面

上連續(xù),?

積分的存在性:第5頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天------與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分性質(zhì)類似（1）關(guān)于被積函數(shù)的線性性質(zhì)（2）關(guān)于積分曲面的可加性（3）關(guān)于被積函數(shù)的不等式性質(zhì)（4）估值定理（5）積分中值定理對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)

第6頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天第7頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理設(shè)有光滑曲面

在上連續(xù),存在,且有對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法

則曲面積分證明由定義知第8頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天而(光滑)第9頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天說(shuō)明

1）計(jì)算方法可概括為“一代、二換、三投影，曲面積分化為二重積分”。“一代”將代入被積函數(shù)，得；“二換”將dS換成相應(yīng)的曲面面積元素的表達(dá)式：如，則“三投影”認(rèn)清在平面上的投影區(qū)域，二重積分是在區(qū)域上進(jìn)行的。第10頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天如：球面、柱面的面積元素可有類似的公式.2)如果曲面方程為3)若曲面為參數(shù)方程,只要求出在參數(shù)意義下dS的表達(dá)式,也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的二重積分。第11頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天回顧球面坐標(biāo)下的體積元素

為了把三重積分中的變量從直角坐標(biāo)變換為球面坐標(biāo)，用三組坐標(biāo)平面r=常數(shù)，=常數(shù)，θ=常數(shù)把積分區(qū)域Ω分成許多小閉區(qū)域。考慮由r，,θ各取得微小增量dr，，dθ所成的六面體的體積（如圖）。不計(jì)高階無(wú)窮小，可把這個(gè)六面體看作長(zhǎng)方形，其經(jīng)線方向的長(zhǎng)為，緯線方向的寬為，向徑方向的高為dr，于是得這就是球面坐標(biāo)系中的體積元素。dθxyzrdrrOθ第12頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1計(jì)算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解第13頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考若是球面被平行平面z=±h

截出的上下兩部分,則第14頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天奇偶函數(shù)在對(duì)稱曲面上的積分性質(zhì)第15頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天第16頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2解第17頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天（或直接由對(duì)稱性）第18頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3

計(jì)算其中

是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.解設(shè)上的部分,則與

原式=分別表示

在平面第19頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4

計(jì)算，其中：被柱面割下的有限部分。

解

ya2aOx第20頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天說(shuō)明

Σ也可往yOz或zOx平面投影而計(jì)算此曲面積分，但投影區(qū)域的表示及二重積分的計(jì)算都較復(fù)雜。ya2aOx第21頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5

設(shè)計(jì)算解錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分,它在xoy面上的投影域?yàn)閯t第22頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考若例3

中被積函數(shù)改為計(jì)算結(jié)果如何?第23頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天解Σ關(guān)于xOy平面對(duì)稱，所以Σ關(guān)于zOx平面對(duì)稱，所以所以例6

求

利用重心公式A第24頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天例7計(jì)算其中

是球面利用對(duì)稱性可知解顯然球心為半徑為利用重心公式第25頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天例8求半徑為R

的均勻半球殼

的重心。解設(shè)的方程為利用對(duì)稱性可知重心的坐標(biāo)而用球面坐標(biāo)系第26頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天例9

計(jì)算解取球面坐標(biāo)系,則第27頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天例10

計(jì)算其中

是介于平面之間的圓柱面分析若將曲面分為前后(或左右)則解取曲面面積元素兩片,則計(jì)算較繁。第28頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天例11求橢圓柱面位于xoy面上方及平面

z=y

下方那部分柱面

的側(cè)面積S

。解取第29頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天內(nèi)容小結(jié)1.定義:2.計(jì)算:設(shè)則(曲面的其他兩種情