量子力學(xué)中的力學(xué)量

量子力學(xué)中的力學(xué)量算符代表對(duì)波函數(shù)進(jìn)行某種運(yùn)算或變換的符號(hào)算符對(duì)函數(shù)的運(yùn)算得到另一個(gè)函數(shù)。一、算符定義用算式表示為：是算符其作用是對(duì)函數(shù)微商，稱(chēng)為微商算符。例：1）§3.1表示力學(xué)量的算符令第2頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天2)3）是算符是算符4）是算符二、算符的一般特性1.算符相等和作用于任意函數(shù)有:注意是對(duì)任意函數(shù):但:第3頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.算符的和對(duì)任意函數(shù)有:(1).交換律:(2).結(jié)合律:2.單位算符作用于任意函數(shù)有:稱(chēng)為單位算符第4頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.算符乘積對(duì)任意函數(shù)有:(1).一般情況下稱(chēng):和不對(duì)易與不對(duì)易例：證：第5頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天稱(chēng):和反對(duì)易(2).若:稱(chēng):和對(duì)易例:(3).若:(4).若和對(duì)易,和對(duì)易,但是和未必對(duì)易.例:與對(duì)易,與對(duì)易,第6頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.逆算符若:若:和互為逆算符記為:證明:證:對(duì)任意函數(shù)有:則:第7頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天6.算符的復(fù)共軛、轉(zhuǎn)置和厄米共軛算符（1）內(nèi)積（標(biāo)積）性質(zhì)：（2）算符的復(fù)共軛算符第8頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天（3）算符的轉(zhuǎn)置算符定義：性質(zhì)：ⅰ證：第9頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天性質(zhì)：ⅱ證明方法與上面證明方法相同。性質(zhì)：ⅲ對(duì)任意算符、，有：第10頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天（4）算符的厄米共軛算符1.定義:

滿(mǎn)足下列關(guān)系的算符稱(chēng)為厄密共軛算符.

和是任意函數(shù)，則有:第11頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天7.線性算符定義:和是任意復(fù)常數(shù)，和是任意兩個(gè)函數(shù)。動(dòng)量算符：?jiǎn)挝凰惴菏蔷€性算符。不是線性算符。8.算符的本征值與本征函數(shù)作用于函數(shù)，等于函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)。稱(chēng)是的本征值第12頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天方程稱(chēng)為算符的本征值方程若是分立的本征值：相應(yīng)的本征函數(shù):記為：取不同的值，對(duì)應(yīng)不同的本征函數(shù)一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的能級(jí)和波函數(shù)：

第13頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天動(dòng)量是一個(gè)力學(xué)量，與之對(duì)應(yīng)的是動(dòng)量算符：稱(chēng)為：動(dòng)量算符表示動(dòng)量這個(gè)力學(xué)量。直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)的算符表示坐標(biāo)力學(xué)量：能量力學(xué)量用哈密頓算符表示：第14頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天9.量子力學(xué)中力學(xué)量算符的構(gòu)成在經(jīng)典力學(xué)中力學(xué)量是坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù),把坐標(biāo)保持不變,動(dòng)量換為動(dòng)量算符就構(gòu)成了量子力學(xué)中相應(yīng)的力學(xué)量算符例:第15頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天10.算符函數(shù)

設(shè)給定一函數(shù),其各階導(dǎo)數(shù)均存在,可以用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)。（收斂）算符的函數(shù)可以用冪級(jí)數(shù)展開(kāi):算符、的函數(shù)為:；第16頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天例:將算符函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)解：第17頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天11.厄密算符（1）定義:

滿(mǎn)足下列關(guān)系的算符稱(chēng)為厄密算符.其中和是兩個(gè)任意的波函數(shù)(ⅰ)兩個(gè)厄密算符之和仍是厄密算符。

(ⅱ)兩個(gè)厄密算符之積一般不是厄密算符,除非二算符對(duì)易（2）定理:厄密算符的本征值一定是實(shí)數(shù)。與比較即：當(dāng)是厄密算符時(shí)，第18頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天若則有,證畢.（2）定理:厄密算符的本征值一定是實(shí)數(shù)。證明:第19頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天（1）是實(shí)數(shù)，是厄密算符。（2）第20頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天如開(kāi)方算符、取復(fù)共軛就不是線性算符。注意：描寫(xiě)可觀測(cè)量的力學(xué)量算符都是線性算符，這是態(tài)疊加原理的反映。

量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符必需是線性,厄密算符,且它的本征函數(shù)構(gòu)成完備系.第21頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3.2動(dòng)量算符和角動(dòng)量算符1.定義：一、

函數(shù)0x或：0x0x第22頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.性質(zhì)：?、ⅱ＂アあΦ?3頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.

函數(shù)積分形式：

函數(shù)的積分表示式.令、,則作代換：推廣到三維：第24頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天

函數(shù)不是普通的函數(shù),但是在運(yùn)算中可以將它的微商看作普通函數(shù)來(lái)處理.4.函數(shù)的微商例:對(duì)于一個(gè)連續(xù)函數(shù)積分表示式：第25頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、動(dòng)量算符的本征值和本征函數(shù)1.動(dòng)量本征方程I.求解采用分離變量法令：代入動(dòng)量本征方程第26頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天解方程式可以得到等式兩邊除以，得：同理可得：第27頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.歸一化系數(shù)的確定無(wú)法正常歸一化.連續(xù)譜本征函數(shù)的歸一化

連續(xù)譜本征函數(shù)規(guī)定歸一化為

數(shù)即:若的本征值是連續(xù)譜，即：（是連續(xù)譜）則規(guī)定：第28頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天（是連續(xù)譜）則規(guī)定：如動(dòng)量本征函數(shù)的歸一化?。旱?9頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天xyzAA’oL在箱子邊界的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A,A’上加上其波函數(shù)相等的條件，此邊界條件稱(chēng)為周期性邊界條件。周期性邊界條件如果加上適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，則可以用以前的歸一化方法來(lái)歸一，這種方法稱(chēng)為箱歸一化。（3）箱歸一化第30頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天由此得：這表明只能取分立值。換言之，加上周期性邊界條件后，連續(xù)譜變成了分立譜。第31頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天歸一化的本征函數(shù)為：這時(shí)歸一化系數(shù)c可由歸一化條件來(lái)確定：波函數(shù)變?yōu)榈?2頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天討論：（2）只有分立譜才能歸一化.連續(xù)譜歸一化為

函數(shù)（4）周期性邊界條件是動(dòng)量算符厄米性的要求。（1）由、、,知：相鄰兩本征值的間隔

p=2

/L與L成反比。當(dāng)L選的足夠大時(shí)，本征值間隔可任意小，當(dāng)L

時(shí)，本征值變成為連續(xù)譜。（3）是自由粒子波函數(shù)在它所描寫(xiě)的狀態(tài)中，粒子動(dòng)量有確定值，該確定值就是動(dòng)量算符在這個(gè)態(tài)中的本征值。第33頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、角動(dòng)量算符（1）角動(dòng)量算符(I)直角坐標(biāo)系定義角動(dòng)量平方算符：第34頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)球坐標(biāo)系r

xyzP0對(duì)于任意函數(shù)其中：第35頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天將式兩邊分別對(duì)x，y，z求偏導(dǎo)數(shù)第36頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天將式兩邊分別對(duì)x，y，z求偏導(dǎo)數(shù)將式兩邊分別對(duì)x，y，z求偏導(dǎo)數(shù)第37頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天在球坐標(biāo)中的表達(dá)式為：第38頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天(3)的本征值問(wèn)題是算符的本征函數(shù)，本征值是。該方程的解就是球諧函數(shù)，其表達(dá)式：為使Y(

,

)在

變化的整個(gè)區(qū)域[0,]內(nèi)都是有限的，則必須滿(mǎn)足：第39頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天是連帶勒讓德多項(xiàng)式。（階次連帶勒讓德多項(xiàng)式）補(bǔ)充:令：代入上式得：整理：第40頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天由周期性條件：只能取整數(shù)和零，即：則：第41頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天這是連帶勒讓德方程。區(qū)間內(nèi)有限解第42頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天勒讓德多項(xiàng)式的微分式由正交歸一化條件，確定歸一化常數(shù):第43頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天的本征值是,對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)—角量子數(shù)，—磁量子數(shù)由于量子數(shù)表征了角動(dòng)量的大小，所以稱(chēng)為角量子數(shù)；稱(chēng)為磁量子數(shù)。本征函數(shù)性質(zhì)：第44頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天(4)本征值的簡(jiǎn)并度的本征值是,對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)值，取值為0,±1,±2,±3,...,±共個(gè)值。當(dāng)

確定后，還有個(gè)磁量子狀態(tài)不確定。則本征值為的線性獨(dú)立的波函數(shù)有個(gè)。對(duì)于一個(gè)本征值有多個(gè)線性無(wú)關(guān)的本征函數(shù)的現(xiàn)象稱(chēng)為簡(jiǎn)并。第45頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)應(yīng)于同一個(gè)本征值的本征函數(shù)的數(shù)目稱(chēng)為簡(jiǎn)并度。算符本征值的簡(jiǎn)并度是，或稱(chēng)為本征值是度簡(jiǎn)并的。是和的共同本征函數(shù)，即：兩式聯(lián)合解得上式態(tài)稱(chēng)為態(tài)。第46頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3.3電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)一、有心力場(chǎng)下的Schr?dinger方程1.哈密頓算符在球坐標(biāo)系中：的本征方程：第47頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天應(yīng)用的表達(dá)式：（2）分離變量求解方程第48頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天等式兩邊同除以角向方程徑向方程第49頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天角向方程的解：中心力場(chǎng)問(wèn)題歸結(jié)為求解徑向方程：顯然，對(duì)于不同的值，有不同的徑向方程。先求得方程的通解，再考慮波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件，即可得到能級(jí)和波函數(shù)。一般講，能級(jí)和徑向波函數(shù)：它們都與兩個(gè)量子數(shù)和有關(guān)。第50頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、電子在庫(kù)侖場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)1.庫(kù)侖場(chǎng)（SI）(CGS)2.求解徑向方程：我們只討論束縛態(tài)E<0對(duì)的任何值，有滿(mǎn)足方程的解。體系的能量具有連續(xù)譜。第51頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天因?yàn)?，可將方程改?xiě)為：令：第52頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天令：(I)解的漸近行為時(shí)，方程變?yōu)榈?3頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天根據(jù)有限性條件的要求A'=0解為(I)解的漸近行為時(shí)，方程變?yōu)?II)求級(jí)數(shù)解令：代入方程求解第54頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天(III)能量本征值—主量子數(shù)—徑量子數(shù)—角量子數(shù)在粒子能量小于零情況下（束縛態(tài)）僅當(dāng)粒子能量取En給出的分立值時(shí)，波函數(shù)滿(mǎn)足有限性條件的要求。第55頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天(IV)徑向波函數(shù)—第一Borh軌道半徑將代入徑向波函數(shù)中得：第56頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天徑向波函數(shù)：波函數(shù)為：—締合拉蓋爾多項(xiàng)式—合流超幾何多項(xiàng)式第57頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.歸一化系數(shù)歸一化系數(shù)表達(dá)式：第58頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天下面列出了前幾個(gè)徑向波函數(shù)表達(dá)式：P63第59頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、小結(jié)（1）能級(jí)和波函數(shù)（2）能級(jí)簡(jiǎn)并性能量只與主量子數(shù)n有關(guān)，而本征函數(shù)與n,

,m有關(guān)，故能級(jí)存在簡(jiǎn)并。第60頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天基態(tài)是非簡(jiǎn)并態(tài)。稱(chēng)為基態(tài)能量。相應(yīng)基態(tài)波函數(shù)是：當(dāng)確定后，?？梢匀€(gè)值，最大值為。當(dāng)確定后，，共有個(gè)值。所以對(duì)于能級(jí)其簡(jiǎn)并度為：能級(jí)是度簡(jiǎn)并(不考慮自旋)。對(duì)應(yīng)于能量最小態(tài)：第61頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天（3）是共同本征函數(shù)。由可以證明.第62頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天

由上面求解過(guò)程可以知道，由于中心力場(chǎng)是球?qū)ΨQ(chēng)的，所以徑向方程與m無(wú)關(guān)，而與

有關(guān)。因此，對(duì)一般的有心力場(chǎng)，解得的能量E不僅與徑量子數(shù)nr有關(guān)，而且與

有關(guān)，即E=Enl，簡(jiǎn)并度就為(2

+1)度。但是對(duì)于庫(kù)侖場(chǎng)-Ze2/r這種特殊情況，得到的能量只與n=nr+

+1有關(guān)。所以又出現(xiàn)了對(duì)

的簡(jiǎn)并度，這種簡(jiǎn)并稱(chēng)為附加簡(jiǎn)并。這是由于庫(kù)侖場(chǎng)具有比一般中心力場(chǎng)有更高的對(duì)稱(chēng)性的表現(xiàn)。

（4）簡(jiǎn)并度與力場(chǎng)對(duì)稱(chēng)性第63頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3.4氫原子量子力學(xué)發(fā)展史上最突出得成就之一是對(duì)氫原子光譜和化學(xué)元素周期律給予了相當(dāng)滿(mǎn)意得解釋。氫原子是最簡(jiǎn)單的原子，其Schr?dinger方程可以嚴(yán)格求解，氫原子理論還是了解復(fù)雜原子及分子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。經(jīng)典二體運(yùn)動(dòng)可化為：I一個(gè)具有折合質(zhì)量的粒子在場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)II二粒子作為一個(gè)整體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)第64頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.氫原子的Schr?dinger方程：一、二體問(wèn)題的處理第65頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.二體問(wèn)題化為一體問(wèn)題—質(zhì)心坐標(biāo)—相對(duì)坐標(biāo)作變量變換:第66頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天—總質(zhì)量第67頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天同樣方法得：代入氫原子的Schr?dinger方程，得：—約化質(zhì)量（或折合質(zhì)量）僅是坐標(biāo)的函數(shù)，則：代入上面Schr?dinger方程，整理可得：第68頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天左邊僅是與時(shí)間有關(guān)，右邊僅是與坐標(biāo)有關(guān)。則兩邊應(yīng)等于一個(gè)常數(shù)，以表示。即：左邊：解為：右邊：第69頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天該是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程，描述能量為的自由粒子的定態(tài)Schr?dinger方程，說(shuō)明質(zhì)心以能量作自由運(yùn)動(dòng)。這是電子相對(duì)于核運(yùn)動(dòng)的Schr?dinger方程。它描述一個(gè)質(zhì)量為

的粒子在勢(shì)能為的力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。相對(duì)運(yùn)動(dòng)能量就是電子的能級(jí)。第70頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、氫原子能級(jí)和波函數(shù)該Schr?dinger方程的解前面我們已給出，只要令：Z=1,換為折合質(zhì)量即可。氫原子能級(jí)和相應(yīng)的本征函數(shù)是：約化質(zhì)量與電子質(zhì)量差別很小，可用電子質(zhì)量代替約化質(zhì)量。第71頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天(1）能級(jí)ⅰ.基態(tài)及電離能n=1的態(tài)是基態(tài):當(dāng)n→∞時(shí)，E∞=0，則電離能為：若用約化質(zhì)量：第72頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天ⅱ.氫原子譜線電子由能級(jí)躍遷到能級(jí)時(shí)輻射出光的頻率：

氫原子能級(jí)躍遷與光譜圖第73頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天

氫原子能級(jí)躍遷與光譜圖萊曼系巴耳末系布拉開(kāi)系-13.6eV-3.40eV-1.51eV-0.85eV-0.54eV0n=1n=2n=3n=4n=5n=

帕邢系第74頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天ⅰ.氫原子的徑向波函數(shù)（2）波函數(shù)和電子在氫原子中的幾率分布第75頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天第76頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天ⅱ.徑向幾率分布

按照波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋?zhuān)趹B(tài)中，在附近體積元處找到電子的概率為：在(r,r+dr)球殼中（不管方向如何）找到電子的概率為第77頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天可以證明的極大值所在位置為rn為最可幾半徑.表示態(tài)的曲線是的節(jié)點(diǎn)數(shù).曲線有2個(gè)節(jié)點(diǎn)。的態(tài)，稱(chēng)為“圓軌道”，無(wú)節(jié)點(diǎn)。第78頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天ⅲ.幾率密度隨角度變化電子在附近立體角內(nèi)的幾率該幾率與

角無(wú)關(guān)，即對(duì)繞z軸旋轉(zhuǎn)是對(duì)稱(chēng)的。下面給出了各種

,m態(tài)下，W

m(

)關(guān)于

的函數(shù)關(guān)系圖，由于它與

角無(wú)關(guān)，所以圖形都是繞z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)的立體圖形。第79頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天是一球面—電子—電子—電子第80頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、類(lèi)氫離子以上結(jié)果對(duì)于類(lèi)氫離子（He+,Li++,Be+++等）也都適用，只要把核電荷+es換成Zes，me換成相應(yīng)的折合質(zhì)量mμ即可。類(lèi)氫離子的能級(jí)公式為：第81頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3.5厄密算符的本征值與本征函數(shù)一、厄密算符的本征函數(shù)的正交性

1.若函數(shù)和滿(mǎn)足關(guān)系式：稱(chēng)和相互正交。積分是對(duì)變量的全部區(qū)域的積分?；蛴洖椋海?biāo)積）第82頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天厄密算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)一定正交.證:2.定理若厄密算符的本征值和本征函數(shù)已知,由于厄密算符的本征值是實(shí)數(shù)，即:當(dāng)時(shí)，有：第83頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、厄密算符的正交歸一的本征函數(shù)系1.厄密算符的本征值:是一個(gè)分立譜。對(duì)應(yīng)的本征函數(shù):是歸一化函數(shù)。有：若厄密算符的本征值組成的是連續(xù)譜:且滿(mǎn)足上述條件的函數(shù)系稱(chēng)為正交歸一系。當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)克羅內(nèi)克符號(hào)：

第84頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.厄密算符的一個(gè)本征值有個(gè)本征函數(shù)，本征值對(duì)應(yīng)的波函數(shù)：本征值對(duì)應(yīng)的波函數(shù)：本征值對(duì)應(yīng)的波函數(shù)：即：它們不一定正交，但是線性無(wú)關(guān)?？梢杂脗€(gè)常數(shù)把它們重新線性組合構(gòu)成個(gè)新的互相正交的本征值函數(shù)組。第85頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天由該方程可選擇，使函數(shù)滿(mǎn)足正交歸一化。是厄密算符的本征值的本征函數(shù)第86頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天正交化方法（施密特方法)且互不正交。屬于同一本征值的本征函數(shù)為?。河纱_定系數(shù)即：由確定系數(shù)第87頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天同理可由：得：可以證明是線性獨(dú)立的。第88頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.厄密算符的正交歸一的本征函數(shù)組的例子?。﹦?dòng)量本征函數(shù)ⅱ）一維線性諧振子的能量本征函數(shù)第89頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天ⅲ）角動(dòng)量算符和角動(dòng)量平方算符的共同本征函數(shù)第90頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天ⅳ）氫原子的波函數(shù)第91頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3.6算符與力學(xué)量的關(guān)系一、力學(xué)量算符本征函數(shù)的完備性(1)力學(xué)量算符本征函數(shù)組成完備系1.本征函數(shù)的完備性表示力學(xué)量的算符必須是線性厄密算符，而且有完備的本征函數(shù)系。有一組函數(shù)(n=1,2,...),如果任意函數(shù)可以按這組函數(shù)展開(kāi)則稱(chēng)這組函數(shù)是完備的。第92頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.展開(kāi)系數(shù)設(shè)力學(xué)量算符的本征函數(shù)是正交歸一的，而且是完備的。對(duì)于任意波函數(shù)有：等式兩邊同時(shí)乘，再積分，第93頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.歸一化常數(shù)另一種表示的物理意義：表示在態(tài)中測(cè)量力學(xué)量得到的結(jié)果是的本征值的概率。稱(chēng)為概率振幅。其總的概率為1.第94頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、力學(xué)量的測(cè)量值1.力學(xué)量與算符的關(guān)系（基本假設(shè)）力學(xué)量的算符都是厄密算符。它們的本征函數(shù)組成完全系。當(dāng)體系處于波函數(shù)所描寫(xiě)的態(tài)，且有：測(cè)量力學(xué)量所得的數(shù)值，必定是算符的本征值中一個(gè)。測(cè)得的概率是力學(xué)量在一般的狀態(tài)中沒(méi)有確定的值，只有一系列的可能值。且為算符的本征值，具有確定的概率。第95頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天若體系的狀態(tài)已知，則體系的可以測(cè)量的力學(xué)量的可能測(cè)得值的相應(yīng)的幾率就完全確定了。在這個(gè)意義上講，波函數(shù)完全描述了體系狀態(tài)。2.波函數(shù)完全描述了體系狀態(tài)3.力學(xué)量有確定值的條件推論：當(dāng)體系處于態(tài)時(shí)，測(cè)量力學(xué)量具有確定值的充要條件是必須是算符的一個(gè)本征態(tài)。4.部分力學(xué)量算符的本征函數(shù)系力學(xué)量算符本征函數(shù)系第96頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天力學(xué)量算符本征函數(shù)系三、力學(xué)量的平均值1.一般平均值公式測(cè)量某物理量，測(cè)量得到的概率是，則力學(xué)量的平均值為：一維線性諧振子一維無(wú)限深勢(shì)阱氫原子第97頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明:2.量子力學(xué)中力學(xué)量平均值定義3.平均值公式第98頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天如果波函數(shù)未歸一化,則可以用下面的公式：四、連續(xù)譜處于態(tài)時(shí)測(cè)量得到的值在的概率是歸一化條件：平均值公式：第99頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天分立譜與連續(xù)譜的比較：第100頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天五、分立譜和連續(xù)譜同時(shí)存在力學(xué)量算符的本征值既有分立譜又有連續(xù)譜：1.本征函數(shù)的正交歸一性2.完備性3.歸一化條件4.平均值公式第101頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1：粒子在(0,a)一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，狀態(tài)由求：測(cè)量粒子能量的可能值及相應(yīng)幾率描述。解：能級(jí)和波函數(shù)已經(jīng)知道一般方法，由進(jìn)行計(jì)算。簡(jiǎn)單方法第102頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天因?yàn)楹?，相?yīng)的概率是表明測(cè)量能量得到的本征值分別是第103頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2：已知空間轉(zhuǎn)子處于如下?tīng)顟B(tài)試問(wèn)：(1)是否是的本征態(tài)？ (2)是否是的本征態(tài)？ (3)求的平均值； (4)在態(tài)中分別測(cè)量和時(shí)得到的可能值及其相應(yīng)的概率。解：(1)不是的本征態(tài)。第104頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天是的本征態(tài)，本征值為。(2)（3）求的平均值方法I：第105頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天第106頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天方法II:波函數(shù)未歸一化時(shí)，力學(xué)量的平均值：由：可知：(4)測(cè)量的結(jié)果測(cè)量力學(xué)量的本征值為，相應(yīng)的概率：第107頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天測(cè)量力學(xué)量的本征值為，相應(yīng)的概率：測(cè)量力學(xué)量的本征值為，相應(yīng)的概率：本題可先將波函數(shù)歸一化：第108頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天歸一化波函數(shù):第109頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3.求氫原子處于基態(tài)時(shí)電子動(dòng)量的概率分布。解：氫原子基態(tài)波函數(shù)為：電子動(dòng)量的本征函數(shù)：氫原子基態(tài)波函數(shù)按動(dòng)量算符本征函數(shù)展開(kāi)：第110頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天取方向?yàn)閦軸方向,第111頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天動(dòng)量的概率密度：僅與有關(guān)在范圍內(nèi)的概率第112頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3.7算符的對(duì)易關(guān)系兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系一、算符的對(duì)易關(guān)系1.對(duì)易子或?qū)σ桌ㄌ?hào)2.對(duì)易子的性質(zhì)（1）（2）（3）是任意常數(shù)（4）第113頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天（5）（6）(6)式稱(chēng)為Jacobi恒等式證明（5）式：第114頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.基本對(duì)易關(guān)系證明：，即和不對(duì)易。（1）坐標(biāo)與動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系證：設(shè)任意波函數(shù)第115頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天證：設(shè)任意波函數(shù)是任意波函數(shù)，有：同理可證明另兩個(gè)對(duì)易關(guān)系第116頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天坐標(biāo)和動(dòng)量的其它對(duì)易關(guān)系坐標(biāo)算符與其共軛動(dòng)量不對(duì)易,但與其非共軛動(dòng)量對(duì)易，各坐標(biāo)之間對(duì)易,各動(dòng)量之間相互對(duì)易?？梢院?jiǎn)單表示為:第117頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天注意:若和對(duì)易,和對(duì)易,但是和未必對(duì)易.例:（2）角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系?。?角動(dòng)量定義式第118頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天證：同理可以證明另外兩式.第119頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天另外有：證明：第120頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件體系處于任意狀態(tài)時(shí)，力學(xué)量一般沒(méi)有確定值。如果力學(xué)量有確定值，

必為的本征態(tài)，即如果有另一個(gè)力學(xué)量在態(tài)中也有確定值，則

必也是的一個(gè)本征態(tài)，即結(jié)論：當(dāng)在

態(tài)中測(cè)量力學(xué)量和時(shí)，如果同時(shí)具有確定值，那么

必是是二力學(xué)量共同本征函數(shù)。第121頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理：若兩個(gè)力學(xué)量算符有一組共同完備的本征函數(shù)系，則二算符對(duì)易。證：則:由于組成完備系，所以任意態(tài)函數(shù)可以按其展開(kāi)：已知函數(shù)分別是和的本征函數(shù)：第122頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天因?yàn)槭侨我夂瘮?shù),所以2.逆定理：如果兩個(gè)力學(xué)量算符對(duì)易，則此二算符有組成完備系的共同的本征函數(shù)。逆定理的證明從略推廣到二個(gè)以上的算符：若一組力學(xué)量算符有共同完備的本征函數(shù)系，則這組算符中任何一個(gè)算符和其它算符對(duì)易。第123頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天若一組力學(xué)量算符中任何一個(gè)算符和其它算符對(duì)易，則這組算符有共同完備的本征函數(shù)系?？梢园焉厦娴挠懻摎w結(jié)為如下一個(gè)定理.例1：動(dòng)量算符：兩兩對(duì)易具有共同的本征函數(shù)系：各自的本征值：定理：一組力學(xué)量算符具有共同完備本征函數(shù)系的充要條件是這組算符兩兩對(duì)易。第124頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2：氫原子中：兩兩對(duì)易具有共同的本征函數(shù)系：各自的本征值：具有共同的本征函數(shù)系：各自的本征值：例3：定軸轉(zhuǎn)子：兩兩對(duì)易第125頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4：空間轉(zhuǎn)子：兩兩對(duì)易具有共同的本征函數(shù)系：各自的本征值：三、力學(xué)量完全集合例1：三維空間中自由粒子，完全確定其狀態(tài)需要三個(gè)兩兩對(duì)易的力學(xué)量：定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對(duì)易的力學(xué)量算符的最?。〝?shù)目）集合，稱(chēng)為力學(xué)量完全集。第126頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3：一維諧振子，只需要一個(gè)力學(xué)量就可完全確定其狀態(tài)：例2：氫原子，完全確定其狀態(tài)也需要三個(gè)兩兩對(duì)易的力學(xué)量：（2）力學(xué)量完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般與體系自由度數(shù)相同。（3）由力學(xué)量完全集所確定的本征函數(shù)系，構(gòu)成該體系一組完備的本征函數(shù)，即體系的任何狀態(tài)均可用它展開(kāi)。第127頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系（1）引言由上節(jié)討論表明，兩力學(xué)量算符對(duì)易則同時(shí)有確定值；若不對(duì)易，一般來(lái)說(shuō)，不存在共同本征函數(shù)，不同時(shí)具有確定值。問(wèn)題：兩個(gè)不對(duì)易算符所對(duì)應(yīng)的力學(xué)量在某一狀態(tài)中究竟不確定到什么程度？即不確定度是多少？不確定度：測(cè)量值與平均值的偏差的大小。（1）測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)I.說(shuō)明：若為厄密算符，則偏差仍為厄密算符。第128頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天是算符或普通數(shù)II：測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)設(shè)二厄密算符對(duì)易關(guān)系為：為求二量不確定度引入實(shí)參量的輔助積分：第129頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天第130頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天由代數(shù)二次式理論可知，該不等式成立的條件是系數(shù)必須滿(mǎn)足下列關(guān)系：該式就是測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式其中：第131頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天均方偏差：二、坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系1.坐標(biāo)與動(dòng)量測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系第132頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天或?qū)懗桑汉?jiǎn)記為：這就是坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：坐標(biāo)與動(dòng)量的均方偏差不能同時(shí)為零，其一越小，另一就越大。2.線性諧振子的零點(diǎn)能振子能量：其中：第133頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天x的奇函數(shù)有：是實(shí)函數(shù)第134頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天二均方偏差不能同時(shí)為零，故E最小值也不能是零。為求E的最小值，取式中等號(hào)。則：第135頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天因均方偏差不能小于零，故取正求極值：解得：零點(diǎn)能正是測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系所要求的最小能量第136頁(yè),共147頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、角動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系上