山東省煙臺(tái)市魯東大學(xué)附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

山東省煙臺(tái)市魯東大學(xué)附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)f(x)＝x|x|＋bx＋c，給出下列四個(gè)命題：①c＝0時(shí)，f(x)是奇函數(shù) ②b＝0，c>0時(shí)，方程f(x)＝0只有一個(gè)實(shí)根③f(x)的圖象關(guān)于(0，c)對(duì)稱 ④方程f(x)＝0至多兩個(gè)實(shí)根

其中正確的命題是A．①④

B．①③ C．①②③ D．①②④參考答案：C2.已知直線ax－by－2=0與曲線y=x3在點(diǎn)P(l，1）處的切線互相垂直，則的

值為

（

）

A．

B．

C．－

D．－參考答案：D3.若（為虛數(shù)單位），則使的值可能是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：答案:A4.若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镸＝{x|－2≤x≤2}，值域?yàn)镹＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是(

)．參考答案：B5.以拋物線上的任意一點(diǎn)為圓心作圓與直線相切，這些圓必過(guò)一定點(diǎn)，則這一定點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

（

）

A．

B．（2，0）

C．（4，0）

D．參考答案：B6.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的的外接球的體積是（）A.

B.

C.

D.參考答案：C7.如圖，已知橢圓C1：+y2=1，雙曲線C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓與C2的一條漸近線交于A、B兩點(diǎn)，且C1與該漸近線的兩交點(diǎn)將線段AB三等分，則C2的離心率為（）A． B．5 C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】求出一條漸近線方程，聯(lián)立直線方程和圓的方程、橢圓方程，求得交點(diǎn)，再由兩點(diǎn)的距離公式，將|AB|=3|CD|，化簡(jiǎn)整理，即可得到b=2a，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，即可得到結(jié)論．【解答】解：雙曲線C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=x，以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓的方程為x2+y2=11，聯(lián)立漸近線方程和圓的方程，可得交點(diǎn)A（，），B（﹣，﹣），聯(lián)立漸近線方程和橢圓C1：+y2=1，可得交點(diǎn)C（，），D（﹣，﹣），由于C1與該漸近線的兩交點(diǎn)將線段AB三等分，則|AB|=3|CD|，即有=，化簡(jiǎn)可得，b=2a，則c==a，則離心率為e==．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，考查離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題．8.已知a，b，c∈R，且滿足2a＜2b＜2c＜1，則（）A．log（ab）＜log（bc）＜log（ac）B．log（ab）＜log（ac）＜log（bc）C．log（bc）＜log（ac）＜log（ab）D．log（ac）＜log（ab）＜log（bc）參考答案：B【考點(diǎn)】4M：對(duì)數(shù)值大小的比較．【分析】2a＜2b＜2c＜1，可得a＜b＜c＜0．a(chǎn)b＞ac＞bc＞0，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：∵2a＜2b＜2c＜1，∴a＜b＜c＜0．∴ab＞ac＞bc＞0，∴l(xiāng)og（ab）＜log（ac）＜log（bc），故選：B．9.已知是方程的解,是方程的解,函數(shù)，則(

)A.

B.C.

D.參考答案：A略10.拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上的任意一點(diǎn)，令，當(dāng)取得最大值時(shí)，直線的斜率是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：如圖，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，所以設(shè)點(diǎn)P在第一象限,當(dāng)最小時(shí)，最大，所以當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，最小，設(shè)直線：與拋物線方程聯(lián)立，，，解得，故選B.考點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)【一題多解】本題主要考察了拋物線的幾何性質(zhì)，屬于中檔題型，拋物線有一條重要的性質(zhì)：拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和其到準(zhǔn)線的距離相等，這樣就將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，可得本題就是求過(guò)點(diǎn)的拋物線的切線的斜率，法一，可以設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立方程，令，求斜率，或者設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)，求切點(diǎn)，再求切線的斜率.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)集合，，記，則點(diǎn)集所表示的軌跡長(zhǎng)度為

．參考答案：由題意，圓的圓心在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)變化時(shí)，該圓在繞著原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，集合表示的區(qū)域如下圖所示的環(huán)形區(qū)域，直線恰好與環(huán)形的小圓相切，所以所以表示的是直線截圓所得弦長(zhǎng)，又原點(diǎn)到直線的距離為，所以弦長(zhǎng)為．

12.設(shè)全集設(shè)的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)等于 .參考答案：-160，，由，所以，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)等于-160.13.記一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的和為A.若A是不超過(guò)5的奇數(shù)，從這些兩位數(shù)中任取一個(gè)，其個(gè)位數(shù)為1的概率為

▲

。參考答案：略14.設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有，當(dāng)x時(shí)若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____參考答案：解：∵∴構(gòu)造函數(shù)則∴是奇函數(shù)∵∴∴在x時(shí)為減函數(shù)∵是奇函數(shù)∴為減函數(shù)∴R上為減函數(shù)∴可化為∴.15.在鈍角△ABC中，∠A為鈍角，令=，=，若=x+y（x，y∈R）．現(xiàn)給出下面結(jié)論：①當(dāng)x=時(shí)，點(diǎn)D是△ABC的重心；②記△ABD，△ACD的面積分別為S△ABD，S△ACD，當(dāng)x=時(shí)，；③若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部（不含邊界），則的取值范圍是；④若=λ，其中點(diǎn)E在直線BC上，則當(dāng)x=4，y=3時(shí)，λ=5．其中正確的有

（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．參考答案：①②③【考點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義．【分析】①設(shè)BC的中點(diǎn)為M，判斷是否與相等即可；②設(shè)，，將△ABD，△ACD的面積轉(zhuǎn)化為△APD，△AQD的面積來(lái)表示；③求出x，y的范圍，利用線性規(guī)劃知識(shí)求出的范圍；④用表示出，根據(jù)共線定理解出λ．【解答】解：①設(shè)BC的中點(diǎn)為M，則=，當(dāng)x=y=時(shí)，=，∴D為AM靠近M的三等分點(diǎn)，故D為△ABC的重心．故①正確．②設(shè)，，則S△APD=S△ABD，S△AQD=S△ACD，∵，∴S△APD=S△AQD，即S△ABD=S△ACD，∴，故②正確．③∵D在△ABC的內(nèi)部，∴，作出平面區(qū)域如圖所示：令=k，則k為過(guò)點(diǎn)N（﹣2，﹣1）的點(diǎn)與平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x，y）的直線的斜率．∴k的最小值為kNS=，最大值為kNR=1．故③正確．④當(dāng)x=4，y=3時(shí)，，∵，∴=，∵E在BC上，∴=1，λ=7，故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．16.函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,3),則函數(shù)的圖象必過(guò)點(diǎn) 參考答案：(4,2)17.復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為．參考答案：4考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題： 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析： 化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為a+bi（a，b∈R），然后由復(fù)數(shù)的實(shí)部等于零且虛部不等于0求出實(shí)數(shù)a的值．解答： 解：=．∵復(fù)數(shù)是純虛數(shù)∴，解得：a=4．故答案為：4．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知?jiǎng)訄A與圓相切，且與圓相內(nèi)切，記圓心的軌跡為曲線；設(shè)為曲線上的一個(gè)不在軸上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn).（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）試探究和的比值能否為一個(gè)常數(shù)？若能，求出這個(gè)常數(shù)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（Ⅲ）記的面積為，求的最大值.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（I）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，半徑為由于動(dòng)圓與圓相切，且與圓相內(nèi)切，所以動(dòng)圓與圓只能內(nèi)切………2分圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，故圓心的軌跡：…………4分（II）設(shè)，直線，則直線由可得：，……………6分由可得：………………8分和的比值為一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為……9分（III），的面積的面積到直線的距離…………11分令，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即，亦即時(shí)取等號(hào)）當(dāng)時(shí)，取最大值……………………14分19.設(shè)命題P：關(guān)于x的不等式（a＞0且a≠1）的解集為{x|﹣a＜x＜2a}；命題Q：y=lg（ax2﹣x+a）的定義域?yàn)镽．如果P或Q為真，P且Q為假，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)題意得命題p、q有且僅有一個(gè)為真命題，分別討論“p真q假”與“p假q真”將兩部分合并，即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：對(duì)于不等式其解得情況如下：當(dāng)a＞1時(shí)，即為x2﹣ax﹣2a2＞0，解得x＜﹣a，或x＞2a當(dāng)0＜a＜1時(shí)即為x2﹣ax﹣2a2＜0，解得﹣a＜x＜2a當(dāng)命題Q：y=lg（ax2﹣x+a）的定義域?yàn)镽為真命題時(shí)，易知a≠0，∴a＞0，且△=1﹣4a2＜0，即a＞∵P或Q為真，P且Q為假

∴P，Q中一真一假，若P真Q假，則有0＜a＜1且a≤，∴0＜a≤若P假Q(mào)真，則有

a＞1且

a＞，∴a＞1綜上所述，P或Q為真，P且Q為假，a的取值范圍是0＜a≤，或a＞1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查含參數(shù)的不等式的解法，對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，復(fù)合命題真假的判斷，以及邏輯思維能力．本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為時(shí)P，Q真假的條件．注意分類討論．20.（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)到直線的距離為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB中點(diǎn)恰好在直線上，求△OAB的面積S的最大值(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))．參考答案：21.（本小題滿分12分