新教材人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)全冊(cè)2022新高考一輪復(fù)習(xí)課件(第四章數(shù)列、第五章導(dǎo)數(shù))

4.1數(shù)列的概念4.2

等差數(shù)列P364.3

等比數(shù)列P754.4數(shù)學(xué)歸納法P122數(shù)列求和P142第四章數(shù)列5.1、5.2導(dǎo)數(shù)的概念、意義及運(yùn)算P1745.3.1函數(shù)的單調(diào)性P2035.3.2函數(shù)的極值與最大（?。┲礟232導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用P267第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用人教A版選擇性必修第二冊(cè)復(fù)習(xí)課件課標(biāo)要求1.通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例,了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是一種特殊函數(shù).備考指導(dǎo)本節(jié)內(nèi)容是數(shù)列的基礎(chǔ),復(fù)習(xí)時(shí)要注意數(shù)列的函數(shù)特征,理解Sn與an的關(guān)系,能根據(jù)已知的遞推公式特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髷?shù)列的通項(xiàng)公式.對(duì)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)有一定的要求.4.1數(shù)列的概念【知識(shí)篩查】

1.數(shù)列的相關(guān)概念(1)定義:把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng),常用符號(hào)a1表示,第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng),用a2表示……第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng),用an表示.其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng).(2)數(shù)列的一般形式是a1,a2,…,an,…,簡記為{an},an是數(shù)列的第n項(xiàng).溫馨提示對(duì)數(shù)列概念的理解(1)多項(xiàng)性:數(shù)列概念中強(qiáng)調(diào)了“一列數(shù)”,即數(shù)列不止一個(gè)數(shù),也就是說數(shù)列不止一項(xiàng).(2)有序性:一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān),而且與這些數(shù)的排列順序有關(guān),注意與集合中元素的無序性區(qū)別開來.(3)重復(fù)性:數(shù)列的項(xiàng)可重復(fù)出現(xiàn),注意與集合中元素的互異性區(qū)別開來.(4)標(biāo)準(zhǔn)性:數(shù)列有固定的標(biāo)準(zhǔn)表示形式,例如數(shù)列中項(xiàng)與項(xiàng)之間用“,”隔開,不能用“、”隔開;an與{an}也不同,an表示數(shù)列{an}的第n項(xiàng),其中下標(biāo)n表示項(xiàng)的位置序號(hào),而{an}表示數(shù)列a1,a2,…,an,….2.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系由于數(shù)列{an}中的每一項(xiàng)an與它的序號(hào)n有下面的對(duì)應(yīng)關(guān)系:序號(hào)

1

2

3

…

n

…

↓↓↓

↓項(xiàng)

a1

a2

a3

…

an…所以數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù),其自變量是序號(hào)n,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an,記為an=f(n).3.數(shù)列的分類

溫馨提示有窮數(shù)列的最后一項(xiàng)也叫數(shù)列的末項(xiàng),無窮數(shù)列沒有末項(xiàng).4.數(shù)列的表示方法5.數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,常用an=f(n)(n∈N*)表示.問題思考數(shù)列的通項(xiàng)公式an=3n+5與函數(shù)y=3x+5有何區(qū)別與聯(lián)系?數(shù)列的通項(xiàng)公式an=3n+5是特殊的函數(shù),其定義域?yàn)镹*,而函數(shù)y=3x+5的定義域是R,an=3n+5的圖象是離散的點(diǎn),且在y=3x+5的圖象上.6.數(shù)列的遞推公式像an=3an-1(n≥2)這樣,如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.知道了首項(xiàng)和遞推公式,就能求出數(shù)列的每一項(xiàng).7.數(shù)列的前n項(xiàng)和及前n項(xiàng)和公式我們把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和,稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,記作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.【知識(shí)鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用通項(xiàng)公式表示.(

)(2)數(shù)列{an}和集合{a1,a2,a3,…,an}是一回事.(

)(3)若數(shù)列用圖象表示,則從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn).(

)(4)一個(gè)確定的數(shù)列,它的通項(xiàng)公式只有一個(gè).(

)(5)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則對(duì)?n∈N*,都有an=Sn-Sn-1.(

)××√××3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=9+12n,則在下列各數(shù)中,不是數(shù)列{an}的項(xiàng)的是(

)A.21 B.33

C.152 D.153B根據(jù)數(shù)列的前5項(xiàng)歸納總結(jié)可得,或根據(jù)選項(xiàng)檢驗(yàn),B選項(xiàng)符合題意.C依次令an=21,33,152,153,若能得到正整數(shù)解,則是數(shù)列中的項(xiàng),否則不是.5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n2+2n,則an=

.

D2n+1當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1.當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3,也適合上式.綜上,an=2n+1.能力形成點(diǎn)1由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式解

(1)偶數(shù)項(xiàng)為正數(shù),奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù),故通項(xiàng)公式必含有因式(-1)n;觀察各項(xiàng)的絕對(duì)值,后一項(xiàng)的絕對(duì)值總比它前一項(xiàng)的絕對(duì)值大6,故該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an=(-1)n(6n-5).解題心得1.根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí),要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn),抓住其幾方面的特征:分式(分?jǐn)?shù))中分子、分母的各自特征,相鄰項(xiàng)的變化特征,拆項(xiàng)后的各部分特征,符號(hào)特征,進(jìn)而觀察an與n之間的關(guān)系,可使用添項(xiàng)、通分、分割等辦法,轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項(xiàng)公式來求.對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化,可用(-1)n或(-1)n+1來調(diào)整.2.若此類問題為選擇題,則可以利用給出數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)排除,即可得到正確的選項(xiàng).C(方法一:直接法)由第2,3,4項(xiàng)的分母可知,通項(xiàng)公式的分母為奇數(shù)1,3,5,7,…,故a1的分母為1,an的分母為2n-1.由第2,3,4項(xiàng)的分子可知,通項(xiàng)公式的分子為偶數(shù)0,2,4,6,…,故a1的分子為0,an的分子為2(n-1).綜上,該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為

,故選C.CD能力形成點(diǎn)2由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式例2

(1)在數(shù)列{an}中,Sn是其前n項(xiàng)和,且Sn=2an+1,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=

.

(2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和(Sn≠0),且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=

.-2n-1由題意得Sn+1=2an+1+1,Sn=2an+1,兩式相減,得Sn+1-Sn=2an+1-2an,即an+1=2an.又S1=2a1+1=a1,因此a1=-1,所以數(shù)列{an}是以a1=-1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以an=-2n-1.(2)因?yàn)閍n+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,所以Sn+1-Sn=SnSn+1.解題心得1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,則通項(xiàng)公式

當(dāng)n=1時(shí),若a1適合Sn-Sn-1,則n=1的情況可并入n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式an;當(dāng)n=1時(shí),若a1不適合Sn-Sn-1,則用分段函數(shù)的形式表示.2.已知Sn與an的關(guān)系式,則應(yīng)根據(jù)所求選擇變化方向.若求通項(xiàng)公式,則將已知的n用n-1代替,兩式作差,轉(zhuǎn)化為項(xiàng)之間的關(guān)系再求解;若求和,則直接利用an=Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*)將已知轉(zhuǎn)化為和之間的關(guān)系再求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2-2n+2,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=

.

當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-3.因?yàn)閚=1時(shí),a1=1≠2×1-3,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(3)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=2,an+1=2Sn,則Sn=

.

(-2)n-12×3n-1因?yàn)閍n+1=Sn+1-Sn,an+1=2Sn,所以Sn+1-Sn=2Sn,即Sn+1=3Sn.因?yàn)镾1=a1=2,所以{Sn}是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列.故Sn=2×3n-1.能力形成點(diǎn)3由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式命題角度1形如an+1=anf(n),求an例3

在數(shù)列{an}中,已知a1=1,nan-1=(n+1)an(n≥2),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.命題角度2形如an+1=an+f(n),求an例4

在數(shù)列{an}中,已知a1=2,an+1=an+3n+2,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解

∵an+1=an+3n+2,∴an+1-an=3n+2,∴an-an-1=3n-1(n≥2).∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(3n-1)+(3n-4)+…+5+2拓展延伸本例改為:在數(shù)列{an}中,已知a1=3,,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=

.

命題角度3形如an+1=pan+q,求an例5

已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+2,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解

∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1).∴數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列,且公比q=3.又a1+1=2,∴an+1=2·3n-1.∴an=2·3n-1-1.命題角度4由含an+1與an的二次三項(xiàng)式求an例6

已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1,(1)求a2,a3;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(3)在數(shù)列{an}中,a1=1,若an+1=2an+3n,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=

.(4)已知數(shù)列{an}對(duì)任意的n∈N*都有an+1=an-2an+1an,若,則a8=

.

3n-2n由an+1=2an+3n,得an+1-3n+1=2(an-3n).則數(shù)列{an-3n}是首項(xiàng)為a1-31=-2,公比q=2的等比數(shù)列,于是an-3n=-2×2n-1,即an=3n-2n.思想方法——用函數(shù)的思想求數(shù)列中項(xiàng)的最值

數(shù)列是一種特殊的函數(shù),通過函數(shù)的思想觀點(diǎn)去直觀地認(rèn)識(shí)數(shù)列的本質(zhì)是高考能力立意的指導(dǎo)思想.數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的作用在于刻畫an及Sn與n的函數(shù)關(guān)系,數(shù)列的性質(zhì)可以通過函數(shù)的性質(zhì)反映出來,這為數(shù)列問題的解決提供了一個(gè)新的方向.在數(shù)列中,求an和Sn的最值問題都可以通過求相應(yīng)函數(shù)的最值的方法解決,通常利用函數(shù)的單調(diào)性,要注意自變量不連續(xù).典例1

已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,且對(duì)于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是

.

答案:(-3,+∞)(方法二)因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列,所以an<an+1對(duì)任意的n∈N*恒成立,即n2+λn<(n+1)2+λ(n+1),解得λ>-2n-1.由于(-2n-1)max=-3,則λ>-3.典例2

已知數(shù)列{an}.(1)若an=n2-5n+4,①數(shù)列{an}中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)?②當(dāng)n為何值時(shí),an取最小值?請(qǐng)求出最小值.(2)若an=-n2+kn+4,且對(duì)于n∈N*,都有an+1<an,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解:(1)①由n2-5n+4<0,解得1<n<4.∵n∈N*,∴n=2,3.∴數(shù)列{an}中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù),即為a2,a3.∴當(dāng)n=2或n=3時(shí),an有最小值,其最小值為a2=a3=-2.(2)由an+1<an知,該數(shù)列是一個(gè)遞減數(shù)列.∵通項(xiàng)公式an=-n2+kn+4,可以看作關(guān)于n的二次函數(shù),考慮到n∈N*,∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-∞,3).反思提升1.如果數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看作一個(gè)定義在正整數(shù)集N*上的二次函數(shù),那么可以利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸來研究其單調(diào)性.2.不要忽略了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性,即自變量是正整數(shù).3.數(shù)列是一種特殊的函數(shù),但數(shù)列an=f(n)和函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性是不同的,如典例1中定義在正整數(shù)上的函數(shù)f(n)在滿足

時(shí)即單調(diào)遞增,但定義在R上的f(x)不是增函數(shù).4.2

等差數(shù)列課標(biāo)要求1.通過生活中的實(shí)例,理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.2.探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.3.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并解決相應(yīng)的問題.4.體會(huì)等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系.備考指導(dǎo)等差數(shù)列是最重要的基本數(shù)列,也是高考必考內(nèi)容.高考既可能在解答題中考查,也可能在選擇題或填空題中出現(xiàn).復(fù)習(xí)時(shí)要牢記基本公式,能準(zhǔn)確進(jìn)行基本量的運(yùn)算,并且掌握相關(guān)性質(zhì)以簡化運(yùn)算.還要注重?cái)?shù)學(xué)文化在等差數(shù)列中的滲透以及對(duì)函數(shù)與方程思想運(yùn)用較多,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【知識(shí)篩查】

1.等差數(shù)列的定義一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母

d表示.2.等差中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)a,A,b組成等差數(shù)列,那么

A叫做a與b的等差中項(xiàng),由等差數(shù)列的定義知

2A=a+b.溫馨提示1.a,A,b是等差數(shù)列的充要條件是2A=a+b.2.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?2an=an-1+an+1(n≥2).3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d.4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式5.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系(1)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d,可得an=dn+(a1-d),當(dāng)d=0時(shí),an=a1為常數(shù)函數(shù),當(dāng)d≠0時(shí),an=a1+(n-1)d是關(guān)于n的一次函數(shù),一次項(xiàng)系數(shù)就是等差數(shù)列的公差,因此等差數(shù)列{an}的圖象是直線y=dx+(a1-d)上的一群均勻分布的孤立的點(diǎn).(2).當(dāng)d≠0時(shí),它是關(guān)于n的二次函數(shù).數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)).溫馨提示當(dāng)d≠0時(shí),an是關(guān)于n的一次函數(shù);當(dāng)d>0時(shí),數(shù)列{an}為遞增數(shù)列;當(dāng)d<0時(shí),數(shù)列{an}為遞減數(shù)列.1.若{an}為等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則ak+al=am+an.2.若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則{a2n}也是等差數(shù)列,公差為2d.3.若{an},{bn}是等差數(shù)列,則{pan+qbn}也是等差數(shù)列.4.若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.6.若{an}是等差數(shù)列,Sm,S2m,S3m分別為{an}的前m項(xiàng)、前2m項(xiàng)、前3m項(xiàng)的和,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差數(shù)列.【知識(shí)鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.(

)(2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列.(

)(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(

)(4)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.(

)(5)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù).(

)×√√√×2.已知等差數(shù)列{an}滿足a3=13,a13=33,則a7等于(

)A.19 B.20 C.21 D.22CD由題意可得,2a11=a9+a13,即a13=7.由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,4.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a3=0,a6+a7=14,則S7=

.

5.在100以內(nèi)(包括100)的正整數(shù)中有

個(gè)能被6整除.

14設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a3=0,a6+a7=14,16由題意知,能被6整除的數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{an},則a1=6,d=6,得an=6+(n-1)×6=6n.由an=6n≤100,即

,則在100以內(nèi)(包括100)的正整數(shù)中有16個(gè)能被6整除.能力形成點(diǎn)1等差數(shù)列基本量的運(yùn)算例1

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m等于(

)A.3 B.4

C.5 D.6C設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.(方法一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,∴d=am+1-am=1,∵m≠0,∴a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.(方法二)由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,則等差數(shù)列的公差d=am+1-am=3-2=1.(2)若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5=25,且a2=3,則a7等于(

)A.12 B.13 C.14 D.15B(3)(2020全國Ⅱ,文14)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=-2,a2+a6=2,則S10=

.

25設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵a1=-2,∴a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1.解題心得1.等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出公差d,由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1,an,d,n,Sn,已知其中三個(gè)就能求出另外兩個(gè),體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想.3.減少運(yùn)算量的設(shè)元的技巧,若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則可設(shè)這三個(gè)數(shù)為a-d,a,a+d;若四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則可設(shè)這四個(gè)數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27,a10=8,則a100等于(

)A.100 B.99

C.98 D.97C(2)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a12=-8,S9=-9,則S16=

.

(3)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S8=4S4,則a10=

.

-72能力形成點(diǎn)2等差數(shù)列的判定與證明例2

已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且nan+1-(n+1)·an=2n2+2n.(1)求a2,a3;(2)證明數(shù)列

是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解

由已知,得a2-2a1=4,則a2=2a1+4.又a1=1,所以a2=6.由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15.解題心得等差數(shù)列的判定方法(1)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列的基本方法有兩種:①利用等差數(shù)列的定義證明,即證明an+1-an=d;②利用等差中項(xiàng)證明,即證明an+2+an=2an+1.(2)解答選擇題、填空題時(shí),也可用通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式直接判斷:①通項(xiàng)法:若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù),即an=An+B,則{an}是等差數(shù)列.②前n項(xiàng)和法:若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn可以化為Sn=An2+Bn的形式(A,B是常數(shù)),則{an}是等差數(shù)列.(3)判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列,只需說明某連續(xù)三項(xiàng)(如前三項(xiàng))不是等差數(shù)列即可.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.能力形成點(diǎn)3等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用命題角度1等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)的應(yīng)用例3

(1)在等差數(shù)列{an}中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8等于(

)A.95 B.100 C.135 D.80B由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8構(gòu)成新的等差數(shù)列,于是a7+a8=(a1+a2)+(4-1)[(a3+a4)-(a1+a2)]=40+3×20=100.(2)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,則S8等于(

)A.72 B.88 C.92 D.98C(方法一)由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,則數(shù)列{an}是公差d=3的等差數(shù)列.又a4+a5=23=2a1+7d=2a1+21,(方法二)由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,則數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列,(3)已知{an},{bn}都是等差數(shù)列,若a1+b10=9,a3+b8=15,則a5+b6=

.21因?yàn)閧an},{bn}都是等差數(shù)列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即2×15=9+(a5+b6),解得a5+b6=21.命題角度2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用例4

(1)在等差數(shù)列{an}中,a1=-2021,其前n項(xiàng)和為Sn,若,則S2021的值等于(

)A.-2020 B.-2018

C.-2021 D.-2019CA(3)在等差數(shù)列{an}中,若前m項(xiàng)的和為30,前2m項(xiàng)的和為100,則前3m項(xiàng)的和為

.

210

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)已知等差數(shù)列{an},若a2=2,a3+a5+a7=15,則數(shù)列{an}的公差d等于(

)A.0 B.1 C.-1 D.2B根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),a3+a5+a7=3a5=15,得a5=5,即a5-a2=3=3d,可得d=1,故選B.(2)已知等差數(shù)列{an}的前17項(xiàng)和S17=51,則a5-a7+a9-a11+a13等于(

)A.3 B.6 C.17 D.51A由題意知,S17==17a9=51,得a9=3.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)a5+a13=a7+a11,故a5-a7+a9-a11+a13=a9=3.D(4)在等差數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)和為Sn,S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=

.

45∵{an}為等差數(shù)列,∴S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列.∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6).∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.能力形成點(diǎn)4等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題例5

(1)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a4<0,a5>|a4|,則使Sn>0成立的最小正整數(shù)n為(

)A.6 B.7 C.8 D.9C在等差數(shù)列{an}中,∵a4<0,a5>|a4|,∴a5>0,a5+a4>0,∴使Sn>0成立的最小正整數(shù)n為8.故選C.(2)在等差數(shù)列{an}中,已知a1=20,前n項(xiàng)和為Sn,且S10=S15,求當(dāng)n取何值時(shí),Sn取得最大值,并求出它的最大值.解題心得求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法(1)利用函數(shù)的性質(zhì):將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))看作二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.②利用相關(guān)性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng),便可求得前n項(xiàng)和的最值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a5+a7=4,a6+a8=-2,則當(dāng)Sn取最大值時(shí),n的值是(

)A.5 B.6 C.7 D.8B依題意得2a6=4,2a7=-2,則a6=2>0,a7=-1<0;又?jǐn)?shù)列{an}是等差數(shù)列,因此在該數(shù)列中,前6項(xiàng)均為正數(shù),自第7項(xiàng)起以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù),于是當(dāng)Sn取最大值時(shí),n=6,選B.(2)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=-7,S3=-15.①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;②求Sn,并求Sn的最小值.解

①設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由題意得3a1+3d=-15.由a1=-7,得d=2.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-9.②由①得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.故當(dāng)n=4時(shí),Sn取得最小值,最小值為-16.思想方法——整體思想在等差數(shù)列中的應(yīng)用

整體思想,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí),通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征,從而對(duì)問題進(jìn)行整體處理的解題方法.從整體上去認(rèn)識(shí)問題、思考問題,常常能化繁為簡、變難為易,同時(shí)又能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性.整體思想的主要表現(xiàn)形式有整體代入、整體加減、整體代換、整體聯(lián)想等.在等差數(shù)列中,當(dāng)要求的Sn所需要的條件未知或不易求出時(shí),可以考慮整體代入.典例1

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a3+a4+a5=12,則S7的值為

.

答案:28解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵a3+a5=2a4,∴由a3+a4+a5=12,得3a4=12,即a4=4.∴a1+3d=4,故S7=7a1+=7(a1+3d)=7×4=28.典例2

在等差數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)和為Sn.已知Sn=m,Sm=n(m≠n),則Sm+n=

.

答案:-(m+n)4.3

等比數(shù)列課標(biāo)要求1.通過生活中的實(shí)例,理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.2.探索并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.3.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系,并解決相應(yīng)的問題.4.體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.備考指導(dǎo)作為與等差數(shù)列并重的一個(gè)特殊數(shù)列,復(fù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)可類比等差數(shù)列,牢記相關(guān)公式和性質(zhì),并注意與等差數(shù)列的不同點(diǎn),重點(diǎn)訓(xùn)練基本量的運(yùn)算和性質(zhì)應(yīng)用.分類討論和函數(shù)與方程思想是本節(jié)涉及較多的思想方法,對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)也有一定的要求.【知識(shí)篩查】

1.等比數(shù)列的定義一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母

q(q≠0)表示.2.等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使

a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).此時(shí),G2=ab.溫馨提示在等比數(shù)列{an}中,任取相鄰的三項(xiàng)an,an+1,an+2,則an+1是an與an+2的等比中項(xiàng),即問題思考“b2=ac”是“a,b,c”成等比數(shù)列的什么條件?必要不充分條件.因?yàn)楫?dāng)b2=ac時(shí)不一定有a,b,c成等比數(shù)列,比如a=0,b=0,c=1.但a,b,c成等比數(shù)列一定有b2=ac.3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為a1,公比為q的等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1.溫馨提示等比數(shù)列{an}的圖象是指數(shù)型函數(shù)

的圖象上的一群孤立的點(diǎn).4.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式首項(xiàng)為a1,公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(5)若Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則當(dāng)q≠-1或q=-1,且n為奇數(shù)時(shí),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列,其公比為

qn.1.在等比數(shù)列{an}中,等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…為等比數(shù)列,公比為qk.【知識(shí)鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)滿足an+1=qan(q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列.(

)(2)等比數(shù)列中不存在數(shù)值為0的項(xiàng).(

)(3)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,bn=a2n-1+a2n,則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列.(

)(4)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列.(

)×√××2.在等比數(shù)列{an}中,若a3=12,a4=18,則a6等于(

)A.27 B.36 C. D.543.已知{an}為等差數(shù)列,公差為1,且a5是a3與a11的等比中項(xiàng),Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則S12的值為(

)A.21 B.42

C.63 D.54CD4.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a2a3=16,則數(shù)列{log2an}的前4項(xiàng)和等于

.

5.一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存1KB,然后每3分鐘自身復(fù)制一次,復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍,那么開機(jī)

分鐘,該病毒占據(jù)內(nèi)存64MB(1MB=210KB).

8由等比數(shù)列的性質(zhì),得a2a3=a1a4=16,則log2a1+log2a2+log2a3+log2a4=log2(a1a2a3a4)=log2(16×16)=8.48由題意可知,病毒每復(fù)制一次所占內(nèi)存的大小構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列{an},且a1=2,公比q=2,即an=2n,由2n=64×210=216,得n=16,即病毒共復(fù)制了16次.故所需時(shí)間為16×3=48(分鐘).能力形成點(diǎn)1等比數(shù)列基本量的運(yùn)算B(2)(2020全國Ⅱ,文6)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a5-a3=12,a6-a4=24,則

等于(

)A.2n-1 B.2-21-n

C.2-2n-1 D.21-n-1B32解題心得解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常見思想方法(1)方程的思想:等比數(shù)列中有五個(gè)量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q,問題可迎刃而解.(2)分類討論的思想:因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論,所以當(dāng)某一參數(shù)為公比,進(jìn)行求和時(shí),就要對(duì)參數(shù)是否為1進(jìn)行分類求和.(3)整體思想:應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí),常把qn或

當(dāng)成整體進(jìn)行求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)已知等比數(shù)列{an}中,a5=3,a4a7=45,則

的值為(

)A.3 B.5 C.9 D.25D(2)已知{an}為等比數(shù)列,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差數(shù)列,則a3+a5等于(

)A.189 B.72 C.60 D.33C設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)?a1,2a2,a3成等差數(shù)列,所以4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,所以q2-4q+4=0,得q=2.所以a3+a5=a1(q2+q4)=3×(4+16)=60.(3)已知等比數(shù)列{an}中的各項(xiàng)均為正數(shù),Sn是其前n項(xiàng)和,且滿足2S3=8a1+3a2,a4=16,則S4=

.

30由題意得,2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,即2a3-a2-6a1=0.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),則2a1q2-a1q-6a1=0,即2q2-q-6=0,能力形成點(diǎn)2等比數(shù)列的判定與證明例2

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n.(1)求a2,a3的值;(2)求證:數(shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列;(3)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(1)解

因?yàn)閍1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n,所以當(dāng)n=1時(shí),a1=2×1=2;當(dāng)n=2時(shí),a1+2a2=(a1+a2)+4,得a2=4;當(dāng)n=3時(shí),a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,得a3=8.綜上,a2=4,a3=8.(2)證明

因?yàn)閍1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n,①所以當(dāng)n≥2時(shí),a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-2)·Sn-1+2(n-1).②由①-②,得nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2=nan-Sn+2Sn-1+2.可得-Sn+2Sn-1+2=0,即Sn=2Sn-1+2,則Sn+2=2(Sn-1+2).因?yàn)镾1+2=4≠0,所以Sn-1+2≠0,所以

故{Sn+2}是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.(3)解

由(2)可知,Sn+2=4×2n-1=2n+1.所以Sn=2n+1-2.當(dāng)n≥2時(shí),有an=Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2)=2n+1-2n=2n.由(1)知,a1=2,故當(dāng)n=1時(shí),上式也成立.綜上,an=2n.解題心得1.判斷數(shù)列{an}為等比數(shù)列的方法

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2an-3n.(1)求a1,a2,a3的值.(2)是否存在常數(shù)λ,使得{an+λ}為等比數(shù)列?若存在,求出λ的值和通項(xiàng)公式an;若不存在,請(qǐng)說明理由.解

(1)根據(jù)題意可知當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=2a1-3,解得a1=3;當(dāng)n=2時(shí),S2=a1+a2=2a2-6,解得a2=9;當(dāng)n=3時(shí),S3=a1+a2+a3=2a3-9,解得a3=21.(2)假設(shè)存在常數(shù)λ,使得{an+λ}是等比數(shù)列,則(a2+λ)2=(a1+λ)(a3+λ),即(9+λ)2=(3+λ)(21+λ),解得λ=3.下面證明{an+3}為等比數(shù)列:∵Sn=2an-3n,∴Sn+1=2an+1-3n-3,∴an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3,即2an+3=an+1,∴2(an+3)=an+1+3,∵a1+3=6≠0,∴an+3≠0,∴存在λ=3,使得數(shù)列{an+3}是首項(xiàng)為a1+3=6,公比為2的等比數(shù)列.∴an+3=6×2n-1,即an=3(2n-1).能力形成點(diǎn)3等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用命題角度1等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)的應(yīng)用例3

(1)在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中,若a3a4a5=3π,則sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值為(

)B(2)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,則n=

.

14命題角度2等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用例4

在等比數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)和為48,前2n項(xiàng)和為60,則其前3n項(xiàng)和為

.

63解題心得1.在解答等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí),為簡化解題過程常常利用等比數(shù)列項(xiàng)的如下性質(zhì):(1)通項(xiàng)公式的推廣:an=amqn-m;(2)等比中項(xiàng)的推廣與變形:=am·an(m+n=2p)及ak·al=am·an(k+l=m+n).2.對(duì)已知等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和,求其前多少項(xiàng)和的問題,應(yīng)用公比不為-1的等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì):Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列比較簡便.(2)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若an>0,公比q>1,a3+a5=20,a2a6=64,則S5=

.

31(4)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2,S3n=14,則S4n=

.

30由題意知公比大于0,由等比數(shù)列的性質(zhì)知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…仍為等比數(shù)列.設(shè)S2n=x,則2,x-2,14-x成等比數(shù)列.由(x-2)2=2×(14-x),解得x=6或x=-4(舍去).即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.又S3n=14,所以S4n=14+2×23=30.能力形成點(diǎn)4等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題解題心得等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題,涉及的知識(shí)面很廣,題目的變化也很多,但是萬變不離其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分運(yùn)用方程、函數(shù)、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,合理調(diào)用相關(guān)知識(shí),就不難解決這類問題.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4已知等差數(shù)列{an}滿足a1=2,且a1,a2,a5成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,是否存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,說明理由.解

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,根據(jù)題意,2,2+d,2+4d成等比數(shù)列,故有(2+d)2=2(2+4d),化簡得d2-4d=0,解得d=0或d=4.當(dāng)d=0時(shí),an=2;當(dāng)d=4時(shí),an=2+(n-1)·4=4n-2.綜上,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2或an=4n-2.(2)當(dāng)an=2時(shí),Sn=2n.顯然2n<60n+800,此時(shí)不存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800成立.當(dāng)an=4n-2時(shí),令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此時(shí)存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值為41.綜上,當(dāng)an=2時(shí),不存在滿足題意的n;當(dāng)an=4n-2時(shí),存在滿足題意的n,其最小值為41.能力形成點(diǎn)5等差數(shù)列、等比數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用例6

為了加強(qiáng)環(huán)保建設(shè),提高社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益,某市計(jì)劃用幾年時(shí)間更換一萬輛燃油型公交車.每更換一輛新車,則淘汰一輛舊車,更換的新車為電力型車和混合動(dòng)力型車.今年初投入了電力型公交車120輛,混合動(dòng)力型公交車300輛,計(jì)劃以后電力型公交車每年的投入量比上一年增加50%,混合動(dòng)力型公交車每年比上一年多投入m輛.設(shè)an,bn分別為第n年投入的電力型公交車、混合動(dòng)力型公交車的數(shù)量,Sn,Tn分別為n年里投入的電力型公交車、混合動(dòng)力型公交車的總數(shù)量.(1)求Sn,Tn,并求n年里投入的所有新公交車的總數(shù)Fn;(2)該市計(jì)劃用8年的時(shí)間完成全部更換,求m的最小值.(參考數(shù)據(jù):1.58≈25.6)解題心得解答數(shù)列應(yīng)用題需過好“四關(guān)”對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5紙張的規(guī)格是指紙張制成后,經(jīng)過修整切邊,裁成一定的尺寸.現(xiàn)在我國采用國際標(biāo)準(zhǔn),規(guī)定以A0,A1,A2,B1,B2,…等標(biāo)記來表示紙張的幅面規(guī)格.復(fù)印紙幅面規(guī)格只采用A系列和B系列,其中An(n∈N,n≤8)系列的幅面規(guī)格為①A0,A1,A2,…,A8所有規(guī)格的紙張的幅寬(以x表示)和長度(以y表示)的比例關(guān)系都為;②將A0紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分,便成為A1規(guī)格,A1紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分,便成為A2規(guī)格,……如此對(duì)開至A8規(guī)格.現(xiàn)有A0,A1,A2,…,A8紙各一張.若A4紙的幅寬為2dm,則A1紙的長度為

dm;A1,A2,…,A8八張紙的面積之和等于

dm2.

8以數(shù)陣為背景的數(shù)列問題所謂數(shù)陣,是指將某些數(shù)按照一定的規(guī)律排成若干行和列,形成圖表,也稱之為數(shù)表.數(shù)陣中數(shù)的排列比較常見的是等差數(shù)列或等比數(shù)列,它重點(diǎn)考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí),有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)其他類型的數(shù)列,解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)的排列找出其中的規(guī)律.(1)直角三角形數(shù)陣排列形狀為直角三角形的數(shù)陣稱為直角三角形數(shù)陣.典例1

下面為一個(gè)“直角三角形數(shù)陣”.滿足每一列成等差數(shù)列,從第三行起,每一行的數(shù)成等比數(shù)列,且每一行的公比相等,記第i行第j列的數(shù)為a(i,j)(i,j∈N*),則a(20,20)=

.

(2)等腰三角形數(shù)陣排列形狀為等腰三角形的數(shù)陣稱為等腰三角形數(shù)陣.典例2

將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣,如下圖所示.按照以上排列的規(guī)律,第n行從左向右的第3個(gè)數(shù)為

.

(3)矩形數(shù)陣排列形狀為矩形的數(shù)陣稱為矩形數(shù)陣.典例3

在下面的表格中,如果每格填上一個(gè)數(shù)后,每一行成等差數(shù)列,每一列成等比數(shù)列,那么x+y的值為

.

解析:由題意,設(shè)第一行構(gòu)成等差數(shù)列{an},且公差為d,可得a1=6,a3=8,則a3=a1+2d,即6+2d=8,解得d=1,則a4=a1+3d=9;設(shè)第二行構(gòu)成等差數(shù)列{bn},且公差為d1,可得b1=3,b3=4,解題心得解決數(shù)陣中數(shù)列問題的解題策略:(1)抓住問題中所給各行與各列所構(gòu)成數(shù)列的特征,根據(jù)所給出的特殊項(xiàng)推出各行、各列的前幾項(xiàng),進(jìn)而求出通項(xiàng)公式,從而順利地解決相關(guān)問題.(2)以數(shù)陣的每一行的第一個(gè)數(shù)或最后一個(gè)數(shù)構(gòu)成的新數(shù)列為研究對(duì)象,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律特征,應(yīng)用數(shù)列知識(shí)求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而可以求出數(shù)陣每一行的第一個(gè)數(shù)或最后一個(gè)數(shù),最后根據(jù)數(shù)陣每行的特征規(guī)律求解未知量.(3)以數(shù)陣的每一行中的數(shù)依次排列構(gòu)成新數(shù)列,求解新數(shù)列的每行項(xiàng)數(shù),進(jìn)而通過項(xiàng)數(shù)求解出數(shù)列的每一項(xiàng).4.4數(shù)學(xué)歸納法課標(biāo)要求了解數(shù)學(xué)歸納法的原理,能用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中的一些簡單命題.備考指導(dǎo)本節(jié)為選學(xué)內(nèi)容,不作考試要求.但是對(duì)于歸納—猜想—證明的思想還是應(yīng)該注意理解,提升邏輯推理素養(yǎng).【知識(shí)篩查】

數(shù)學(xué)歸納法一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n=n0(n0∈N*)時(shí)命題成立;(2)(歸納遞推)以“當(dāng)n=k(k∈N*,k≥n0)時(shí)命題成立”為條件,推出“當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立”.只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立,這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法(mathematicalinduction).溫馨提示能使多米諾骨牌全部倒下需要以下兩個(gè)條件:(1)第一塊骨牌倒下;(2)任意相鄰的兩塊骨牌,前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.【知識(shí)鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí),第一步是驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立.(

)(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.(

)(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí),歸納假設(shè)可以不用.(

)(4)不論是等式還是不等式,用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),由n=k到n=k+1時(shí),項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng).(

)(5)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,驗(yàn)證當(dāng)n=1結(jié)論成立時(shí),左邊式子應(yīng)為1+2+22+23.(

)××××√C

345n+1根據(jù)題意可得,a2=3,a3=4,a4=5,故猜想an=n+1.4.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)·(2n+1)時(shí),從n=k到n=k+1,左邊需增添的代數(shù)式是

.

(2k+2)+(2k+3)當(dāng)n=k時(shí),待證等式左邊=1+2+3+…+(2k+1),當(dāng)n=k+1時(shí),待證等式左邊=1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3),所以從n=k到n=k+1,左邊需增添的代數(shù)式是(2k+2)+(2k+3).能力形成點(diǎn)1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式解題心得1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題,要“先看項(xiàng)”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項(xiàng),初始值n0是多少.2.由當(dāng)n=k時(shí)等式成立,推出當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立,一要找出等式兩邊的變化(差異),明確變形目標(biāo);二要充分利用歸納假設(shè),進(jìn)行合理變形,正確寫出證明過程.3.不利用歸納假設(shè)的證明,就不是數(shù)學(xué)歸納法.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1求證:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)(n∈N*).證明

(1)當(dāng)n=1時(shí),等式左邊=2,右邊=2,故等式成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)等式成立,即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k×1×3×5×…×(2k-1),則當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)(2k+2)=2k×1×3×5×…×(2k-1)(2k+1)×2=2k+1×1×3×5×…×(2k-1)(2k+1),即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.由(1)(2)可知,對(duì)所有n∈N*等式都成立.能力形成點(diǎn)2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式解題心得1.當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí),若應(yīng)用其他辦法不容易證明,則可考慮用數(shù)學(xué)歸納法.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k成立,推證n=k+1時(shí)也成立,證明時(shí)用上歸納假設(shè)后,可采用求差(求商)比較法、放縮法、構(gòu)造函數(shù)法等證明方法.能力形成點(diǎn)3歸納—猜想—證明(1)求a2,a3,a4;(2)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.解題心得在解決某些歸納猜想問題時(shí)要注意以下幾點(diǎn):(1)計(jì)算特例時(shí),不僅僅是簡單的計(jì)算過程,有時(shí)要通過計(jì)算過程發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律;(2)如果猜想出來的結(jié)論與正整數(shù)n有關(guān),一般用數(shù)學(xué)歸納法證明.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)求S1,S2,S3,S4;(2)猜想該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn,并證明.用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題典例

用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xn+yn能被x+y整除.證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),xn+yn=x+y,顯然能被x+y整除,命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,且k為奇數(shù))時(shí),命題成立,即xk+yk能被x+y整除.那么當(dāng)n=k+2時(shí),xk+2+yk+2=x2(xk+yk)+yk+2-x2yk=x2(xk+yk)-yk(x+y)(x-y).又根據(jù)假設(shè),xk+yk能被x+y整除,所以x2(xk+yk)能被x+y整除.又yk(x+y)(x-y)能被x+y整除,所以x2(xk+yk)-yk(x+y)(x-y)能被x+y整除,即當(dāng)n=k+2時(shí),命題成立.由(1)(2)可知,當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xn+yn能被x+y整除.解題心得用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時(shí),首先從要證的n=k+1的式子中拼湊出當(dāng)n=k時(shí)的假設(shè)成立的式子,然后證明剩余的式子也能被某式或某數(shù)整除.證明過程中的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”,可采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等方法分析出因子,從而利用當(dāng)n=k時(shí)的假設(shè)使問題得到解決.變式訓(xùn)練證明:(3n+1)×7n-1能被9整除(n∈N*).證明

(1)當(dāng)n=1時(shí),(3n+1)×7n-1=(3+1)×7-1=27是9的倍數(shù),命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),命題成立,即(3k+1)×7k-1能被9整除.那么當(dāng)n=k+1時(shí),[3(k+1)+1]×7k+1-1=(21k+28)×7k-1=(3k+