高三數(shù)學二輪復習 第二部分 考前30天 策略一 學選擇、填空解題技法用書 理-人教版高三數(shù)學試題

【三維設計】（通用版）2017屆高三數(shù)學二輪復習第二部分考前30天策略一學選擇、填空解題技法教師用書理高中數(shù)學題分客觀題與主觀題兩大類，而客觀題分為選擇題與填空題，選擇題屬于“小靈通”題，其解題過程“不講道理”，所以解答選擇題的基本策略是：充分地利用題干和選項兩方面的條件所提供的信息作出判斷，先定性后定量，先特殊后推理，先間接后直接，先排除后求解．而填空題是不要求寫出計算或推理過程，只需要將結論直接寫出的“求解題”．解答此類題目的方法一般有直接法、特例法、數(shù)形結合法、構造法、排除法等．直接法就是直接從題設條件出發(fā)，利用已知條件、相關概念、性質、公式、公理、定理、法則等基礎知識，通過嚴謹推理、準確運算、合理驗證，得出正確結論，此法是解選擇題和填空題最基本、最常用的方法．[典例](1)(2016·全國丙卷)若z＝4＋3i，則eq\f(z,|z|)＝()A．1B．－1C.eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)iD.eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i[解析]∵z＝4＋3i，∴z＝4－3i，|z|＝eq\r(42＋32)＝5，∴eq\f(z,|z|)＝eq\f(4－3i,5)＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i.[答案]D(2)(2016·江蘇高考)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和．若a1＋aeq\o\al(2,2)＝－3，S5＝10，則a9的值是________．[解析]設等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5＝10，知S5＝5a1＋eq\f(5×4,2)d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d.所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋aeq\o\al(2,2)＝－3，化簡得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.[答案]20eq\a\vs4\al([技法領悟])直接法是解決計算型客觀題最常用的方法，在計算過程中，我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應用，將計算過程簡化從而得到結果，這是快速準確地求解客觀題的關鍵．[應用體驗]1．(2016·?？谡{研)設全集U＝R，集合A＝{x|7－6x≤0}，集合B＝{x|y＝lg(x＋2)}，則(?UA)∩B等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(7,6)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,6)，＋∞))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(7,6)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(7,6)))解析：選A依題意得A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(7,6)))))，?UA＝{x|x<eq\f(7,6)}；B＝{x|x＋2>0}＝{x|x>－2}，因此(?UA)∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－2<x<\f(7,6)))))，選A.2．(2016·合肥質檢)若a，b都是正數(shù)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))的最小值為()A．7B．8C．9D．10解析：選C因為a，b都是正數(shù)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))(1＋eq\f(4a,b))＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥5＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，當且僅當b＝2a時取等號，選項C正確．3．(2016·福建質檢)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝eq\f(1,3)，則cos2α的值等于()A.eq\f(7,9)B．－eq\f(7,9)C.eq\f(8,9)D．－eq\f(8,9)解析：選A法一：因為coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝eq\f(1,3)，所以sinα＝－eq\f(1,3)，所以cosα＝±eq\f(2\r(2),3)，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(2\r(2),3)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(7,9)，故選A.法二：因為coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝eq\f(1,3)，所以sinα＝－eq\f(1,3)，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\f(1,9)＝eq\f(7,9)，故選A.4．(2016·武漢調研)已知直線y＝eq\f(2\r(3),3)x和橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)交于不同的兩點M，N，若點M，N在x軸上的射影恰好為橢圓的兩個焦點，則橢圓的離心率e＝()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(2),3)解析：選C由題意知，直線與橢圓的兩交點分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，－\f(b2,a)))，則有eq\f(－\f(b2,a)－\f(b2,a),－c－c)＝eq\f(2\r(3),3)，整理得3b2＝2eq\r(3)ac，即3(a2－c2)＝2eq\r(3)ac，亦即3e2＋2eq\r(3)e－3＝0，解得e＝eq\f(\r(3),3)或e＝－eq\r(3)(舍)，故選C.從題干出發(fā)，通過選取特殊情況代入，將問題特殊化或構造滿足題設條件的特殊函數(shù)或圖形位置，進行判斷．特例法是“小題小做”的重要策略，要注意在怎樣的情況下才可使用，特殊情況可能是：特殊值、特殊點、特殊位置、特殊函數(shù)等．[典例](1)如果a1，a2，…，a8為各項都大于零的等差數(shù)列，公差d≠0，那么()A．a1a8>a4a5B．a1a8<C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4[解析]取特殊數(shù)列1，2，3，4，5，6，7，8，顯然只有1×8<4×5成立．[答案]B(2)(2015·四川高考)設四邊形ABCD為平行四邊形，||＝6，||＝4.若點M，N滿足，，則＝()A．20B．15C．9D．6[解析]法一：(特例法)若四邊形ABCD為矩形，建系如圖．由，，知M(6，3)，N(4，4)∴＝(6，3)，＝(2，－1)＝6×2＋3×(－1)＝9.法二：如圖所示，由題設知：＝eq\f(1,3)×36－eq\f(3,16)×16＝9.[答案]Ceq\a\vs4\al([技法領悟])特例法具有簡化運算和推理的功效，比較適用于題目中含有字母或具有一般性結論的選擇題，但用特例法解選擇題時，要注意以下兩點：第一，取特例盡可能簡單，有利于計算和推理；第二，若在不同的特殊情況下有兩個或兩個以上的結論相符，則應選另一特例情況再檢驗，或改用其他方法求解．[應用體驗]1．設[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則對任意實數(shù)x，有()A．[－x]＝－[x]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝[x]C．[2x]＝2[x]D．[x]＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝[2x]解析：選D當x＝eq\f(1,2)時，可排除A、B、C.2.如圖，在棱柱的側棱A1A和B1B上各有一動點P，Q滿足A1P＝BQ，過P，Q，C三點的截面把棱柱分成兩部分，A．3∶1B．2∶1C．4∶1D.eq\r(3)∶1解析：A1，Q→A1，Q→B，此時仍滿足條件A1P＝BQ(＝0)，則有VC-AA1B＝VA1-ABC＝eq\f(VABC-A1B1C1,3).故過P，Q，C三點的截面把棱柱分成的兩部分體積之比為2∶1(或1∶2)．3．已知等比數(shù)列{an}滿足an＞0，n＝1，2，3，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，當n≥1時，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)解析：選C因為a5·a2n－5＝22n(n≥3)，所以令n＝3，代入得a5·a1＝26，再令數(shù)列為常數(shù)列，得每一項為8，則log2a1＋log2a3＋log2a54．設橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的長軸的兩端點分別是M，N，P是C上異于M，N的任意一點，則PM與PN的斜率之積等于________．解析：取特殊點，設P為橢圓的短軸的一個端點(0，eq\r(3))，又M(－2，0)，N(2，0)，所以kPM·kPN＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(\r(3),－2)＝－eq\f(3,4).答案：－eq\f(3,4)數(shù)形結合法是指在處理數(shù)學問題時，能夠將抽象的數(shù)學語言與直觀的幾何圖形有機結合起來思考，促使抽象思維和形象思維有機結合，通過對規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到簡捷解決的方法．[典例](1)如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1<x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1<x≤1}D．{x|－1<x≤2}[解析]令g(x)＝log2(x＋1)，作出函數(shù)g(x)圖象如圖．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,y＝log2（x＋1），))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))∴結合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1<x≤1}．[答案]C(2)(2016·北京高考)設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3－3x，x≤a，,－2x，x>a.))①若a＝0，則f(x)的最大值為________；②若f(x)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是________．[解析]當x≤a時，由f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1.如圖是函數(shù)y＝x3－3x與y＝－2x在沒有限制條件時的圖象．①若a＝0，則f(x)max＝f(－1)＝2.②當a≥－1時，f(x)有最大值；當a<－1時，y＝－2x在x>a時無最大值，且－2a>(x3－3x)max，所以a[答案]①2②(－∞，－1)eq\a\vs4\al([技法領悟])平面幾何圖形、Venn圖、三角函數(shù)線、函數(shù)的圖象等，都是常用的圖形．利用函數(shù)圖象或某些數(shù)學知識的幾何意義，將數(shù)的問題(如解方程、解不等式、判斷單調性、求取值范圍等)與某些圖形結合起來，利用圖象的直觀性，再輔以簡單計算，確定正確答案，從而有效地降低這類客觀題的錯誤率．[應用體驗]1．(2016·山東高考)若變量x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0，))則x2＋y2的最大值是()A．4B．9C．10D．12解析：選C作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．x2＋y2表示平面區(qū)域內點到原點距離的平方，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－3y＝9))得A(3，－1)，由圖易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.故選C.2．已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，向量a，b的夾角為120°，且|b|＝2|a|，則向量a與c的夾角為()A．60°B．90°C．120°D．150°解析：選B如圖，因為〈a，b〉＝120°，|b|＝2|a|，a＋b＋c＝0，所以在△OBC中，BC與CO的夾角為90°，即a與c的夾角為90°.3．(2016·四川高考)已知正三角形ABC的邊長為2eq\r(3)，平面ABC內的動點P，M滿足||＝1，的最大值是()A.eq\f(43,4)B.eq\f(49,4)C.eq\f(37＋6\r(3),4)D.eq\f(37＋2\r(33),4)解析：選B設BC的中點為O，以點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則B(－eq\r(3)，0)，C(eq\r(3)，0)，A(0，3)．又||＝1，∴點P的軌跡方程為x2＋(y－3)2＝1.由知點M為PC的中點，設M點的坐標為(x，y)，相應點P的坐標為(x0，y0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋\r(3),2)＝x，,\f(y0＋0,2)＝y(tǒng)，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－\r(3)，,y0＝2y，))∴(2x－eq\r(3))2＋(2y－3)2＝1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，∴點M的軌跡是以Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)))為圓心，r＝eq\f(1,2)為半徑的圓，∴|BH|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\r(3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝3，∴||的最大值為3＋r＝3＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)，∴||2的最大值為eq\f(49,4).4．(2015·湖南高考)若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是________．解析：由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐標系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所示，則當0＜b＜2時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，從而函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點．答案：(0，2)用構造法解客觀題的關鍵是利用已知條件和結論的特殊性構造出新的數(shù)學模型，從而簡化推理與計算過程，使較復雜的數(shù)學問題得到解決．它需要對基礎知識和基本方法進行積累，從一般的方法原理中進行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經遇到的類似問題中尋找靈感，構造出相應的具體的數(shù)學模型，使問題簡化．[典例]如圖，已知球O的球面上有四點A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r(2)，則球O的體積等于________．[解析]如圖，以DA，AB，BC為棱長構造正方體，設正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以CD＝eq\r(（\r(2)）2＋（\r(2)）2＋（\r(2)）2)＝2R，所以R＝eq\f(\r(6),2)，故球O的體積V＝eq\f(4πR3,3)＝eq\r(6)π.[答案]eq\r(6)πeq\a\vs4\al([技法領悟])構造法實質上是轉化與化歸思想在解題中的應用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構造的方向，通過構造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型，從而轉化為自己熟悉的問題．本題巧妙地構造出正方體，而球的直徑恰好為正方體的體對角線，問題很容易得到解決．[應用體驗]1．(2016·全國丙卷)已知a＝2eq\s\up6(\f(4,3))，b＝3eq\s\up6(\f(2,3))，c＝25eq\s\up6(\f(1,3))，則()A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b解析：選Aa＝2eq\s\up6(\f(4,3))＝4eq\s\up6(\f(2,3))，b＝3eq\s\up6(\f(2,3))，c＝25eq\s\up6(\f(1,3))＝5eq\s\up6(\f(2,3)).∵y＝xeq\s\up6(\f(2,3))在第一象限內為增函數(shù)，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.2．已知三個互不重合的平面α，β，γ，α∩β＝m，n?γ，且直線m，n不重合，由下列三個條件：①m∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③m?γ，n∥β.能推得m∥n的條件是________(填序號)．解析：構建長方體模型，如圖，觀察選項特點，可優(yōu)先判斷條件②：取平面α為平面ADD′A′，平面β為平面ABCD，則直線m為直線AD.因m∥γ，故可取平面γ為平面A′B′C′D′，因為n?γ且n∥β，故可取直線n為直線A′B′.則直線AD與直線A′B′為異面直線，故m與n不平行；對于①：α，β?、谥衅矫妫∑矫姒脼槠矫鍮CC′B′，可取直線n為直線BC，故可推得m∥n；對于③：α，β?、谥衅矫?，取γ為平面AB′C′D，取直線n為直線B′C′故可推得結論．答案：①③排除法也叫篩選法、淘汰法．它是解選擇題的一種常用方法，使用排除法的前提條件是答案唯一，具體的做法是采用簡捷有效的手段對各個備選答案進行“篩選”，將其中與題干相矛盾的干擾選項逐一排除，從而獲得正確結論．[典例](1)(2016·浙江高考)函數(shù)y＝sinx2的圖象是()[解析]∵y＝sin(－x)2＝sinx2，∴函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A項和C項；當x＝±eq\r(\f(π,2))時，y＝sinx2＝1，而eq\r(\f(π,2))＜eq\f(π,2)，且y＝sineq\f(π2,4)＜1，故D項正確．[答案]D(2)(2016·北京高考)已知x，y∈R，且x>y>0，則()A.eq\f(1,x)－eq\f(1,y)>0B．sinx－siny>0C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)<0D．lnx＋lny>0[解析]因為x>y>0，選項A，取x＝1，y＝eq\f(1,2)，則eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝1－2＝－1<0，排除A；選項B，取x＝π，y＝eq\f(π,2)，則sinx－siny＝sinπ－sineq\f(π,2)＝－1<0，排除B；選項D，取x＝2，y＝eq\f(1,2)，則lnx＋lny＝ln(xy)＝ln1＝0，排除D，故選C.[答案]Ceq\a\vs4\al([技法領悟])(1)排除法適應于定性型或不易直接求解的選擇題．當題目中的條件多于一個時，先根據(jù)某些條件在選項中找出明顯與之矛盾的予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小選項的范圍內找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的答案．(2)排除法有時會與特例法相結合，通過取一些特殊值，排除錯誤選項，得到正確答案．[應用體驗]1．(2016·福建質檢)已知a＞0，b＞0，則“ab＞1”是“a＋b＞2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A因為a＞0，b＞0，若ab＞1，則a＋b≥2eq\r(ab