2020-2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)評價四新人教A版必修第一冊

單元素養(yǎng)評價(四)

(第五章)

(120分鐘150分)

一、單選題(每小題5分，共40分)

1,若集合M={X|X=45°+k?90°,keZ},N={x|x=90°+k?45°,keZ},則

()

A.M=NB.M壇N

C.M桂ND.MAN=0

【解析】選C.M={x|x=45°+k-90°,keZ}={x|x=(2k+l)?45°,keZ},N={x|x=90°+k-45°,

kez}={x|x=(k+2)-45°,keZ}.因為kez,所以k+2ez,且2k+l為奇數(shù)，所以M殳N.

2.已知點P(tana,cosQ)在第三象限，則角c?的終邊在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解析】選B.由tana<0,cosa<0,所以角a的終邊在第二象限.

3.已知cos二—g，且&是第四象限角,則cos(-3JI+a)=()

4344

A.-B.-C.±-D.—

5555

【解析】選D.因為cos^—+a)=sina,

3

所以sina=--.

5

又a為第四象限角，

所以cosa=J1-sin2a=g

4

所以cos(一3兀+a)=COS(兀一a)二一cosa二一一.

5

、V29

4.設(shè)—(sin17°+cos17°),b=2cos13°-1,c=sin37°,sin670+sin53°sin23°,

2

則（）

A.c<a<bB.b<c<a

C.a<b<cD.b<a<c

【解析】選A.a=cos450sin170+sin45°cos17°=sin62°,b=cos26°=sin64°，c=sin

37°cos23°+cos37°sin23°=sin60°，故c<a<b.

3〉。，。《小J的圖象（部分）如圖所示，則3和6的取值

5.若函數(shù)f(x)=sin(sx+6)

是（）

71

6=—

33

1n1n

C.3二一,力二一D.3=-,巾

2626

,n\2元1

【解析】選c.由題中圖象知,T=4+-1=4兀=一，所以3二一.

(T0）2

2元

又當(dāng)x二一時，y=l,

3

所以sinQX271,\nn

一+e=2kn+-,kez,

32

n

當(dāng)k=0時，@=".

6

y/2

6.（2020?內(nèi)江高一檢測）已知a,B為銳角,角a的終邊過點（3,4）,sin（a+B）二一,則

2

cosB=()

3、泛y/2

A.——B.一

1010

7427、他

c.—以二或1-

101010

43

【解析】選B.a,8為銳角，角a的終邊過點(3,4),所以sina=",cosa=-,

55

sin(a+0)=—<sina,所以a+p為鈍角，

2

所以cos(a+s)=_Jl_sin2(a+份=S

則cosB=cos[+伊-a]

=cos(a+P)cosa+sin(a+P)sina

V23V2472

=——X-+—x-=—.

252510

(itn\

7.函數(shù)y=2sin(-%"(0WxW9)的最大值與最小值之和為()

A.2-V3B.0

C.-lD.-1-V3

【解析】選A.因為0WxW9,

nnTi7n

所以—W-x—W—，

3636

\[3(nn\

—Wsin(—―)Wl,

2\637

所以-J5w2sin(w%"&)W2.

所以函數(shù)y=2sin(0WxW9)的最大值與最小值之和為2-V3.

8.(2020?荊州高一檢測)設(shè)f(x)=asin2x+bcos2x(a,b￡R,abWO),若f(x)W，(&)卜寸

一切xGR恒成立，給出以下結(jié)論:

①f隱)0；

巾偌葉(頷

TT57T

③f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是krr+—>krrT——(kez)；

36J

④函數(shù)y=f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；

⑤存在經(jīng)過點(a,b)的直線與函數(shù)f(x)的圖象不相交?其中正確結(jié)論的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【解析】選C.因為f(x)=asin2x+bcos+b^sin(2x+0),由f(x)W/(三)卜寸一

切x￡R恒成立，可得為函數(shù)f(x)的最大值或最小值，

nTt

所以2X-+0=kn+-(k￡Z),

32

n

所以。=k?！?k￡Z),

6

所以令f(x)=asin2x+bcos2x

=V(12+b2sin(2x--),

6

或f(x)=Va2+b2sin(2%+g)

經(jīng)計算驗證①②正確.

③f(x)的單調(diào)性分情況討論知③錯誤；

④顯然f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故④正確；

⑤因為7dz+b2,yja2+b2<b<v(z2+b2,所以不存在經(jīng)過

點(a,b)的直線與函數(shù)f(x)的圖象不相交，故⑤錯誤.

二、多選題(每小題5分，共20分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0

分）

9.有下列四種變換方式，其中能將正弦曲線y=sinx的圖象變?yōu)閥=sin（21+：）的圖象的

是（）

17T

A.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊?再向左平移一個單位長度

24

171

B.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊?再向左平移一個單位長度

28

n1

C.向左平移一個單位長度，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊粋€單位長度

42

n1

D.向左平移一個單位長度，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊粋€單位長度

82

171

【解析】選BC.A.y=sinx橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼脑傧蜃笃揭埔粋€單位長度，得

24

y=sin[2^x+-）]=sin（21+7）,故A不正確；B.y二sinx橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，再向左平

移%個單位長度，得打sin2（%+§卜in（2%+3故B正確;

C.y=sinx向左平移3個單位長度，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼狞c得尸sin（2%+?）,故C正

確；D.y二sinx向左平移g個單位長度，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼慕穑脃二sin（2%+^）,故D

不正確.

（71n

10.已知函數(shù)f（X）=COS（3x+巾）\3>0,|〈一1在x二-一時取最大值,與之最近的最小值在X一

263

時取到，則以下各式可能成立的是（）

【解析】選AC.設(shè)函數(shù)f(%)的周期為T,則(=；-(一￡)712元

I二一，所以T二一二兀，即3二2.

23

又f(一￡)=c°s2x(-g+w

n\iI7i7i

-----F9)二1，|0卜一，所以6二一,

(3J23

即f(x)=cos(2%+三),

1

所以f(0)=7f

f(?)=?故選人心

11.已知函數(shù)f(x)=sin(：X-g),那么下列式子恒成立的是()

A.f(x+2兀)=f(x—2兀)B.=f(x)

|=f(x)D.-X)=-f(x)

【解析】選AB.因為函數(shù)f(x)=sin所以f(x+2)sinLfi

(x4n\(x27r\

sim,故A成立.

/107T\/57TX71\

所以

nxxn\

：-sinisin故B成立?

32

又f/(5T"TR=\sin后/5TT-x-?n\

=sinWf(x),故C不成立.

又/5江\(/5至7TxnX

f(&R=sin|=COS-T￡f(x),故D不成立.

23

,,，?…1

12.右函數(shù)g(x)=asinxcosx(a>0)的取大值為一,則函數(shù)f(x)=sinx+acosx的圖象的一條對

2

稱軸方程為()

3元

A.x=0B.x=-----

4

Tt57r

C.x二—D.x=—

44

a1

【解析】選BD.g(x)二-sin2x(a>0)的最大值為一,所以a二1,

22

E(7T\TCTtTT

故f(x)=sinx+cosx:-V2sin|XH------),令x+一二一+k兀，k￡Z得x二一+k兀，k￡Z.

k47424

三、填空題(每小題5分，共20分)

n

13.(2020?上海高一檢測)已知扇形的半徑為6,圓心角為一，則扇形的面積為

3

n

【解析】根據(jù)扇形的弧長公式可得1=ar=-X6=2兀，根據(jù)扇形的面積公式可得

3

11

S="lr=~?2兀?6=6兀.

22

答案：6五

1—+a)cosTt

14.已知a滿足sina=",那么cos—a的值為.

34

Tt

【解析】因為COS1+a

7Tn=sinQ-Crj,

COS

L21a

Tl

所以cosY-a

￡+a\4

二sin(：-Q)cos(W-Q)W-sinQ-2cr^

11

二一cos2a="(l-2sin2a)

22

=-[1-2x(-)2]=-

2V3718

答案：—

18

15.設(shè)x￡(0,Ji),則f(x)二=cos2x+sinx的最大值是_______

【解析】因為f（x）=cos'x+sinx

=-sin2x+sinx+1

（.1\25

=-（S171X--j又因為rx￡（0,兀），

所以0<sinxWL

1，…一5

所以當(dāng)sinx=一時，f（x）的取大值是一.

24

_5

答案：一

4

137r

16.已知cos（兀+a）=一—,—<a<2n,則cosa=_______,sin（2n-a）=______.

32

,1/11371

【解析】由cos（兀+a）二一一,得一cosa=一一，貝！Jcosa二一；又一<a<2n,

3332

所以sin（2n-a）=-sina=JlpOS2境、「（步竽

生生12在

答案：―---

33

四、解答題（共70分）

17.（10分）已知角a的頂點在原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點P的坐標(biāo)是（-1,

2).

⑴求sina，tana.

2sm

⑵求，

sinc2n^a)+cos(7r+a)

..rp22\15

【解析】⑴因為角a的終邊過點P(T,2),所以|0P|=V5.則sina=—=---,tana=~2.

V55

2sin-sin瑞-a)

⑵

sm(27r-a，+cos(7r+a)

2sina^cosa

^sina^cosa

2tana^l-5

-----=-=-5.

-tana^l1

13

18.（12分）已知a,6為銳角,sina二一，cos(a+8)=-.

75

(1)求sin(a+z)的值;

(2)求cosB的值.

1

【解析】（1）因為a為銳角，sina=-,

7

所以cosa二l-s山2a二手,

所以sin(Q+￡)=sinTtTt1y/347315遍

acos"+cosasin—X—+---X-----,

66727214

（2）因為a,B為銳角,所以a+8e(0,Ji),

3

由cos(a+B)二一,

5

得sin(a+B)=11-COS2m+伊A

所以cosB=cos卜a+儀-a]

cos(a+0)cosa+sin(a+B)sina

3414+12百

=-X——+-X-=------------.

575735

19.（12分）已知函數(shù)y=3sin

n7n

⑴用“五點法”在坐標(biāo)系中作出上述函數(shù)在一2—上的圖象.

166

（請先列表,再描點,圖中每個小矩形的寬度為卷）

（2）請描述上述函數(shù)圖象可以由函數(shù)尸sinx怎樣變換而來?

…一」，「九77r

【解析】（1）因為x￡—>—

166.

7T

所以[0?2/r].

列表如下:

7T5TT27rUTT77r

X

612T126

n7T37r

2x-0Jl2n

32T

y=3sin(2%-

030-30

描點、連線，得出所要求作的圖象如圖:

(2)第一步：把y=sinx的圖象向右平移3個單位，可得y=sin(1一的圖象;

第二步：把所得圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉硪骺v坐標(biāo)不變，可得尸in

的圖象;

第三步：把所得圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變，可得y=3sin的圖象.

(答案不唯一)

20.(12分)已知函數(shù)f(x)V^cos（2%”工）,x￡R.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和對稱中心;

nn

⑵求函數(shù)f(x)在區(qū)間一->一上的最小值和最大值，并求出取得最值時x的值.

82」

【解析】(1)因為f(x)=>/2cos(2x-；

,2n

所以函數(shù)f(X)的取小正周期為T=—=3T.

2

n11

由2x—="+k兀，k￡Z,

42

311

所以2x=—+k兀，k￡Z,

4

-311k

所以x二一+-Ti,kFZ,

82

所以函數(shù)f(x)的對稱中心為(q—F-TC>0),k￡Z.

n][u

⑵因為f(x)=V2cos(2x-在區(qū)間-上單調(diào)遞增，在區(qū)間一-上單調(diào)遞減,

8j1821

f(；)=>/2cos(Tri2cosz=T,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間一；,；上的最大值為

此時x=—；最小值為T,此時x=—

82

21.(12分)港口一天內(nèi)的水深y(單位：米)是時間t(0WtW24,單位：時)的函數(shù)，下面是水

深數(shù)據(jù)：

t/時03691215182124

y/米10139.97101310.1710

根據(jù)表中數(shù)據(jù)描成的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦型函數(shù)y=Asin

cot+B(A>0,3>0)的圖象.

⑴試根據(jù)數(shù)據(jù)和曲線，求出y=Asinat+B的解析式；

(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船

底與水面的距離)為7米，那么該船在什么時間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它

在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間？(忽略離港所用的時間)

【解析】(1)從擬合的曲線可知，函數(shù)y=Asin3t+B的一個周期為12小時，因止匕3=2=二

T6

=

又因為ymin=7,ymax13,

所以A=一(ymax-ymin)=3,B=~(ymax+ymin)=10.

22

所以函數(shù)的解析式為y=3sin-t+10(0WtW24).

6

(2)由題意知,水深y24