逼近與正交多項(xiàng)式

逼近與正交多項(xiàng)式§1

函數(shù)逼近的基本概念

：1.數(shù)值計(jì)算中經(jīng)常要計(jì)算函數(shù)值，如計(jì)算機(jī)中計(jì)算基本初等函數(shù)及其他特殊函數(shù)；2.當(dāng)函數(shù)只在有限點(diǎn)集上給定函數(shù)值，要在包含該點(diǎn)集的區(qū)間上用公式給出函數(shù)的簡(jiǎn)單表達(dá)式.問(wèn)題

這些都涉及到在區(qū)間上用簡(jiǎn)單函數(shù)逼近已知復(fù)雜函數(shù)的問(wèn)題，這就是函數(shù)逼近問(wèn)題.第2頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

插值法就是函數(shù)逼近問(wèn)題的一種.

記作，

本章討論的函數(shù)逼近，是指“對(duì)函數(shù)類(lèi)中給定的函數(shù)中求函數(shù)，使與的誤差在某種度量要在另一類(lèi)簡(jiǎn)單的便于計(jì)算的函數(shù)類(lèi)意義下最小”.

函數(shù)類(lèi)通常是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，記作，稱(chēng)為連續(xù)函數(shù)空間.第3頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

§2正交多項(xiàng)式

1.定義

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定義1設(shè)是有限或無(wú)限區(qū)間，在上的函數(shù)滿(mǎn)足條件：（2）存在且為有限值（3）對(duì)上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，如果則稱(chēng)為上的一個(gè)權(quán)函數(shù).則(1)第5頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

設(shè)是上給定的權(quán)函數(shù),定義2第6頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

內(nèi)積的性質(zhì)第7頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

定義3則稱(chēng)與在上帶權(quán)正交.若上的權(quán)函數(shù)且滿(mǎn)足為第8頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

若函數(shù)族滿(mǎn)足關(guān)系則稱(chēng)是上帶權(quán)的正交函數(shù)族.

若，則稱(chēng)之為標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)族.第9頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

三角函數(shù)族就是在區(qū)間上的正交函數(shù)族.

定義3設(shè)是上首項(xiàng)系數(shù)的次多項(xiàng)式，為上權(quán)函數(shù)，滿(mǎn)足正交關(guān)系式，則稱(chēng)多項(xiàng)式序列為在上帶權(quán)正交，稱(chēng)為上帶權(quán)的次正交多項(xiàng)式.如果多項(xiàng)式序列第10頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

只要給定區(qū)間及權(quán)函數(shù)，均可由一族線性無(wú)關(guān)的冪函數(shù)利用逐個(gè)正交化手續(xù)構(gòu)造出正交多項(xiàng)式序列：第11頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例1

第12頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

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（1）是具有最高次項(xiàng)系數(shù)為1的次多項(xiàng)式.正交多項(xiàng)式序列有以下性質(zhì)：

（2）任何次多項(xiàng)式均可表示為的線性組合.第14頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

2.正交多項(xiàng)式的性質(zhì)第15頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

第16頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

第17頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

定理3設(shè)是在上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式序列，則的個(gè)根都是在區(qū)間內(nèi)的單重實(shí)根.第18頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

第19頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.

勒讓德多項(xiàng)式

羅德利克(Rodrigul）給出了簡(jiǎn)單的表達(dá)式

當(dāng)區(qū)間為，權(quán)函數(shù)時(shí)，并用表示.正交化得到的多項(xiàng)式就稱(chēng)為勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式，由第20頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天由于是次多項(xiàng)式，所以對(duì)其求階導(dǎo)數(shù)后得

最高項(xiàng)系數(shù)為1的勒讓德多項(xiàng)式為于是得首項(xiàng)的系數(shù)第21頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

勒讓德多項(xiàng)式重要性質(zhì)：

性質(zhì)1

證明令，設(shè)是在區(qū)間上階連續(xù)可微的函數(shù)，由分部積分知正交性則第22頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

下面分兩種情況討論:

（1）若是次數(shù)小于的多項(xiàng)式，則故得第23頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天則

（2）若于是第24頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天由于故第25頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

性質(zhì)2

由于是偶次多項(xiàng)式，經(jīng)過(guò)偶次求導(dǎo)仍為偶次多項(xiàng)式，經(jīng)過(guò)奇次求導(dǎo)則為奇次多項(xiàng)式，故為偶數(shù)時(shí)為偶函數(shù)，為奇數(shù)時(shí)為奇函數(shù)，于是性質(zhì)2成立.奇偶性第26頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天由遞推公式利用上述遞推公式就可推出

性質(zhì)3第27頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天圖3-1

圖3-1給出了的圖形.第28頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

在區(qū)間內(nèi)有個(gè)不同的實(shí)零點(diǎn).性質(zhì)4第29頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

4.

切比雪夫多項(xiàng)式

當(dāng)權(quán)函數(shù)，區(qū)間為時(shí)，由序列正交化得到的正交多項(xiàng)式就是切比雪夫(Chebyshev)多項(xiàng)式.

它可表示為若令，則第30頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

性質(zhì)5

切比雪夫多項(xiàng)式有很多重要性質(zhì)：