逼近與正交多項(xiàng)式

逼近與正交多項(xiàng)式§1

函數(shù)逼近的基本概念

：1.數(shù)值計算中經(jīng)常要計算函數(shù)值，如計算機(jī)中計算基本初等函數(shù)及其他特殊函數(shù)；2.當(dāng)函數(shù)只在有限點(diǎn)集上給定函數(shù)值，要在包含該點(diǎn)集的區(qū)間上用公式給出函數(shù)的簡單表達(dá)式.問題

這些都涉及到在區(qū)間上用簡單函數(shù)逼近已知復(fù)雜函數(shù)的問題，這就是函數(shù)逼近問題.第2頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

插值法就是函數(shù)逼近問題的一種.

記作，

本章討論的函數(shù)逼近，是指“對函數(shù)類中給定的函數(shù)中求函數(shù)，使與的誤差在某種度量要在另一類簡單的便于計算的函數(shù)類意義下最小”.

函數(shù)類通常是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，記作，稱為連續(xù)函數(shù)空間.第3頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

§2正交多項(xiàng)式

1.定義

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定義1設(shè)是有限或無限區(qū)間，在上的函數(shù)滿足條件：（2）存在且為有限值（3）對上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，如果則稱為上的一個權(quán)函數(shù).則(1)第5頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)是上給定的權(quán)函數(shù),定義2第6頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

內(nèi)積的性質(zhì)第7頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

定義3則稱與在上帶權(quán)正交.若上的權(quán)函數(shù)且滿足為第8頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

若函數(shù)族滿足關(guān)系則稱是上帶權(quán)的正交函數(shù)族.

若，則稱之為標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)族.第9頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

三角函數(shù)族就是在區(qū)間上的正交函數(shù)族.

定義3設(shè)是上首項(xiàng)系數(shù)的次多項(xiàng)式，為上權(quán)函數(shù)，滿足正交關(guān)系式，則稱多項(xiàng)式序列為在上帶權(quán)正交，稱為上帶權(quán)的次正交多項(xiàng)式.如果多項(xiàng)式序列第10頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

只要給定區(qū)間及權(quán)函數(shù)，均可由一族線性無關(guān)的冪函數(shù)利用逐個正交化手續(xù)構(gòu)造出正交多項(xiàng)式序列：第11頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

例1

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（1）是具有最高次項(xiàng)系數(shù)為1的次多項(xiàng)式.正交多項(xiàng)式序列有以下性質(zhì)：

（2）任何次多項(xiàng)式均可表示為的線性組合.第14頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

2.正交多項(xiàng)式的性質(zhì)第15頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

第16頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

第17頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

定理3設(shè)是在上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式序列，則的個根都是在區(qū)間內(nèi)的單重實(shí)根.第18頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

第19頁,共32頁，2024年2月25日，星期天3.

勒讓德多項(xiàng)式

羅德利克(Rodrigul）給出了簡單的表達(dá)式

當(dāng)區(qū)間為，權(quán)函數(shù)時，并用表示.正交化得到的多項(xiàng)式就稱為勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式，由第20頁,共32頁，2024年2月25日，星期天由于是次多項(xiàng)式，所以對其求階導(dǎo)數(shù)后得

最高項(xiàng)系數(shù)為1的勒讓德多項(xiàng)式為于是得首項(xiàng)的系數(shù)第21頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

勒讓德多項(xiàng)式重要性質(zhì)：

性質(zhì)1

證明令，設(shè)是在區(qū)間上階連續(xù)可微的函數(shù)，由分部積分知正交性則第22頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

下面分兩種情況討論:

（1）若是次數(shù)小于的多項(xiàng)式，則故得第23頁,共32頁，2024年2月25日，星期天則

（2）若于是第24頁,共32頁，2024年2月25日，星期天由于故第25頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

性質(zhì)2

由于是偶次多項(xiàng)式，經(jīng)過偶次求導(dǎo)仍為偶次多項(xiàng)式，經(jīng)過奇次求導(dǎo)則為奇次多項(xiàng)式，故為偶數(shù)時為偶函數(shù)，為奇數(shù)時為奇函數(shù)，于是性質(zhì)2成立.奇偶性第26頁,共32頁，2024年2月25日，星期天由遞推公式利用上述遞推公式就可推出

性質(zhì)3第27頁,共32頁，2024年2月25日，星期天圖3-1

圖3-1給出了的圖形.第28頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

在區(qū)間內(nèi)有個不同的實(shí)零點(diǎn).性質(zhì)4第29頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

4.

切比雪夫多項(xiàng)式

當(dāng)權(quán)函數(shù)，區(qū)間為時，由序列正交化得到的正交多項(xiàng)式就是切比雪夫(Chebyshev)多項(xiàng)式.

它可表示為若令，則第30頁,共32頁，2024年2月25日，星期天

性質(zhì)5

切比雪夫多項(xiàng)式有很多重要性質(zhì)：