第17講圓錐曲線中的阿基米德三角形（高階拓展）（教師版）

第17講圓錐曲線中的阿基米德三角形（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為512分【備考策略】1.理解、掌握?qǐng)A錐曲線阿基米德三角形的定義2.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的阿基米德三角形問(wèn)題及其相關(guān)計(jì)算【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識(shí)講解橢圓中的阿基米德三角形設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的弦為AB,過(guò)A，B兩點(diǎn)做橢圓切線，交于Q點(diǎn)，稱△ABQ為阿基米德三角形,則有:

性質(zhì)1:弦AB繞雙曲線中的阿基米德三角形設(shè)雙曲線C:x2a2?y2b2=1a,b>0的弦為AB,過(guò)A，B兩點(diǎn)做雙曲線切線，交于Q點(diǎn)，稱△ABQ為阿基米德三角形,則有:

性質(zhì)1:弦拋物線中的阿基米德三角形拋物線的弦為AB,阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸若阿基米德三角形的底邊即弦AB過(guò)拋物線內(nèi)的定點(diǎn)C,則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為一條直線若直線l與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過(guò)定點(diǎn)(若直線l方程為:ax+by+底邊為a的阿基米德三角形的面積最大值為a3若阿基米德三角形的底邊過(guò)焦點(diǎn),頂點(diǎn)Q的軌跡為準(zhǔn)線,且阿基米德三角形的面積最小值為p在阿基米德三角形中,∠AF?拋物線上任取一點(diǎn)I(不與A,B重合),過(guò)I作拋物線切線交QA,QB于S,T,連接考點(diǎn)一、阿基米德三角形的認(rèn)識(shí)及簡(jiǎn)單應(yīng)用1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作拋物線的弦，與拋物線交于，兩點(diǎn)，分別過(guò)，兩點(diǎn)作拋物線的切線，相交于點(diǎn)，又常被稱作阿基米德三角形．的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)出直線的方程，利用弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)，求出兩條切線的方程得出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式可得.【詳解】設(shè)，，由題意可得直線AB的斜率不為0,因?yàn)橹本€AB過(guò)焦點(diǎn)，所以設(shè)直線AB的方程；聯(lián)立得，所以，由拋物線的性質(zhì)可得過(guò)點(diǎn)，的拋物線的切線方程為：，聯(lián)立得，，即.點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理求解弦長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出三角形的高，根據(jù)面積公式的特點(diǎn)求出最值，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2．（2023·甘肅·高三?？茧A段練習(xí)）拋物線上任意兩點(diǎn)，處的切線交于點(diǎn)，稱為“阿基米德三角形”，當(dāng)線段經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，具有以下特征：①點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②．若經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的一條弦為，“阿基米德三角形”為，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由為“阿基米德三角形”，且線段經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，得到點(diǎn)，進(jìn)而得到直線的斜率，再由，得到直線的斜率即可.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)闉椤鞍⒒椎氯切巍?，且線段經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上，所以點(diǎn)，直線的斜率為．又因?yàn)?，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故選：A．3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）阿基米德（Archimedes，公元前287年公元前212年），出生于古希臘西西里島敘拉古（今意大利西西里島上），偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，與高斯、牛頓并稱為世界三大數(shù)學(xué)家．有一類(lèi)三角形叫做阿基米德三角形（過(guò)拋物線的弦與過(guò)弦端點(diǎn)的兩切線所圍成的三角形），他利用“通近法”得到拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的（即右圖中陰影部分面積等于面積的）．若拋物線方程為，且直線與拋物線圍成封閉圖形的面積為6，則（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】D【分析】根據(jù)題目所給條件可得阿基米德三角形的面積，再利用三角形面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的弦垂直于x軸時(shí)，即時(shí)，，即，故選：D．4．（2023·新疆克拉瑪依·克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）我們把圓錐曲線的弦AB與過(guò)弦的端點(diǎn)A，B處的兩條切線所圍成的三角形（P為兩切線的交點(diǎn)）叫做“阿基米德三角形”．拋物線有一類(lèi)特殊的“阿基米德三角形”，當(dāng)線段AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F時(shí)，具有以下性質(zhì)：①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②；③．已知直線與拋物線交于A，B點(diǎn)，若，則拋物線的“阿基米德三角形”的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件求出直線PF方程，進(jìn)而求出點(diǎn)P坐標(biāo)及長(zhǎng)即可求出的面積.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，依題意，，設(shè)，，由消去y并整理得，則，，，解得，即，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椤鞍⒒椎氯切巍?，則直線PF斜率，直線PF方程為：，點(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線上，點(diǎn)，，又，于是得，由對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，同理有，所以的面積是.故選：A1．（2022秋·廣東茂名·高三統(tǒng)考）阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希臘偉大的物理學(xué)家，數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號(hào).他研究拋物線的求積法，得出了著名的阿基米德定理．在該定理中，拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”．若拋物線上任意兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，則為“阿基米德三角形”，且當(dāng)線段經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，具有以下特征：（1）點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；（2）；（3）．若經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的一條弦為，“阿基米德三角形”為，且點(diǎn)在直線上，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題意可得到點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，又在直線上，從而可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)，即可求出直線的斜率，從而可求出直線的方程.【詳解】根據(jù)題意，可知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，又點(diǎn)在直線上，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，所以直線的方程為，即.故選：A.2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）我們把圓錐曲線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)，處的兩條切線所圍成的三角形（為兩切線的交點(diǎn)）叫做“阿基米德三角形”，拋物線有一類(lèi)特殊的“阿基米德三角形”，當(dāng)線段經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，具有以下性質(zhì)：①點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②；③.已知直線：與拋物線：交于，點(diǎn)，若，記此時(shí)拋物線的“阿基米德三角形”為，則點(diǎn)為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，求出過(guò)點(diǎn)的切線方程，兩方程聯(lián)立方程組解得點(diǎn)坐標(biāo)，直線的方程代入拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得，由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式求得，從而可得點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】設(shè)，，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，由得，，，，切線方程為，化簡(jiǎn)得，同理過(guò)點(diǎn)的切線方程是，由，得，由，得，，，直線過(guò)焦點(diǎn)，所以，，，異號(hào)，所以，，，所以．故選：A．3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）阿基米德（公元前287年公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號(hào)．拋物線上任意兩點(diǎn)A，B處的切線交于點(diǎn)P，稱三角形PAB為“阿基米德三角形”.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線的方程為，關(guān)于“阿基米德三角形”△PAB，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．點(diǎn)P的坐標(biāo)為【答案】D【分析】聯(lián)立方程可解得，則，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得，可判斷，利用點(diǎn)斜式可求得兩條切線方程和，聯(lián)立求P，再求，可判斷．【詳解】聯(lián)立方程，消去得：，解得或即，則，A正確；∵，即對(duì)于，切線斜率分別為∴，即，B正確；在點(diǎn)A的切線方程為，即同理可得在點(diǎn)B的切線方程為聯(lián)立方程，解得，即P，D不正確；∵，則，∴，即，C正確；故選：D．4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家.他研究拋物線的求積法得出著名的阿基米德定理，并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號(hào).拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形.如圖，上有兩個(gè)不同的點(diǎn)，以A，B為切點(diǎn)的拋物線的切線相交于P.給出如下結(jié)論，其中正確的為（

）（1）若弦過(guò)焦點(diǎn)，則為直角三角形且；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是；（3）的邊所在的直線方程為；（4）的邊上的中線與y軸平行（或重合）.A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）【答案】D【分析】設(shè)，，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線斜率，利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)得，正確；寫(xiě)出切線方程，聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，得（2）錯(cuò)誤；用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出，寫(xiě)出直線方程，并化簡(jiǎn)可得（3）正確；設(shè)為拋物線弦的中點(diǎn)，立即得（4）正確；【詳解】由題意設(shè)，，，由，得，則，所以，，若弦過(guò)焦點(diǎn)，∴，∴，∴，故（1）正確；以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為，以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立消去得，將代入，得，所以，故（2）錯(cuò)誤；設(shè)為拋物線弦的中點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為，因此則直線平行于軸，即平行于拋物線的對(duì)稱軸，故（4）正確；設(shè)直線的斜率為，故直線的方程為，化簡(jiǎn)得，故（3）正確，故選：D.．【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，焦點(diǎn)弦性質(zhì)，考查學(xué)生的推理論證能力，屬于中檔題．考點(diǎn)二、阿基米德三角形之定點(diǎn)問(wèn)題1．（2023秋·江西上饒·高三統(tǒng)考期末）（多選）若，，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為曲線，直線，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，，切點(diǎn)為，，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．的最小值為B．直線恒過(guò)定點(diǎn)C．的最小值為0D．當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為【答案】ABC【分析】由題知，點(diǎn)的軌跡曲線為，對(duì)于A，即可判斷；對(duì)于B，設(shè)，根據(jù)條件得到直線，由，得，即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)條件得到，為全等的等腰直角三角形，得，即可判斷；對(duì)于D，求出四邊形的面積，得到A和B的坐標(biāo),即可判斷.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，，點(diǎn)滿足，所以，即，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡曲線為，圓心為，半徑.對(duì)于A，因?yàn)橹本€，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，，切點(diǎn)為，，設(shè)圓心到直線l的距離為d,所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，所以，以為圓心，為半徑的圓的方程為，①因?yàn)闉?，②由①，②相減,得直線，即，由，得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，根?jù)幾何性質(zhì)可知，，在中，，因?yàn)?，所以，所以此時(shí)，為全等的等腰直角三角形，所以，，即有，所以，所以的最小值為0，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e為，此時(shí)四邊形為正方形，，所以直線的方程為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為為的中點(diǎn).（1）證明軸；（2）直線是否恒過(guò)定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）直線恒過(guò)定點(diǎn)．【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)，，求出導(dǎo)數(shù)，由此可得切線斜率，得切線方程，同時(shí)設(shè)，代入切線方程并整理，同理得方程，從而可得是方程的兩根，利用韋達(dá)定理得，求出點(diǎn)橫坐標(biāo)可證得結(jié)論；（2）利用（1）再求得點(diǎn)縱坐標(biāo)，由兩點(diǎn)坐標(biāo)求得直線的斜率，然后得出直線方程后可得定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）設(shè)切點(diǎn)，，，∴切線的斜率為，切線，設(shè)，則有，化簡(jiǎn)得，同理可的∴，是方程的兩根，∴，，，∴軸.（2）∵，∴..，∴直線，即，∴直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，方法是設(shè)切點(diǎn)，，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，把點(diǎn)坐標(biāo)代入兩切線方程得出是一元二次方程的根，利用韋達(dá)定理得出，這樣可得中點(diǎn)坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)出直線方程可得定點(diǎn)坐標(biāo)．是設(shè)而不求思想的運(yùn)用．3．（2021·北京·高三專(zhuān)題練習(xí)）拋物線，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，.（1）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求該圓的面積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）或.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，，，利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，再利用斜率公式求出切線的斜率，進(jìn)而求出直線的方程，從而可證明直線過(guò)定點(diǎn)；（2）將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出點(diǎn)坐標(biāo)，借助向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，求得或，進(jìn)而求得圓的面積.【詳解】（1）設(shè)，，則，由，所以，所以切線的斜率為，故，整理得，設(shè)，同理可得，所以直線的方程為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).（2）由（1）得直線的方程為，由，得，，，設(shè)為線段的中點(diǎn)，則，由于，而，與向量平行，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，圓半徑，所以圓的面積為，當(dāng)時(shí)，圓半徑，所以圓的面積為.所以，該圓的面積為或.【點(diǎn)睛】本題考查了直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題及直線與拋物線的位置關(guān)系，其中涉及到利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率、斜率公式及向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握能力，屬于中檔題.4．（2023·湖南岳陽(yáng)·高三?？迹┮阎€C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．（1）證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)；（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的方程．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）或．【解析】（1）設(shè)，則，利用導(dǎo)數(shù)求斜率及兩點(diǎn)求斜率可得設(shè)，同理可得，從而得到直線AB的方程為，再由直線系方程求直線AB過(guò)的定點(diǎn)；（2）由（1）得直線AB的方程為，與拋物線聯(lián)立，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及根與系數(shù)的關(guān)系求得線段AB的中點(diǎn)，再由，可得關(guān)于的方程，可得到t=0或，然后分類(lèi)求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，則．由于，所以切線DA的斜率為，故．整理得設(shè)，同理可得．故直線AB的方程為．所以直線AB過(guò)定點(diǎn)．（2）由（1）得直線AB的方程為．由，可得．于是．設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則．由于，而，與直線AB的方向向量平行，所以．解得t=0或．當(dāng)=0時(shí)，=2，所求圓的方程為；當(dāng)時(shí)，，所求圓的方程為．【點(diǎn)睛】此題第一問(wèn)是圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題和第二問(wèn)是求圓的方程，屬于常規(guī)題型，按部就班地求解就可以，思路較為清晰，但計(jì)算量不小，屬于中檔題．1．（2023秋·山東臨沂·高三?？计谀┮阎?，動(dòng)點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，則直線是否過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)【分析】（1）點(diǎn)點(diǎn)距離，列等量，化簡(jiǎn)即可求解軌跡方程，（2）根據(jù)四點(diǎn)共圓得方程，進(jìn)而根據(jù)兩圓方程得相交弦方程，進(jìn)而可求定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，依題意知，整理得，曲線的方程為.（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，由題意可知：四點(diǎn)共圓且在以為直徑的圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四頂點(diǎn)共圓），設(shè)該圓為圓,設(shè)，則圓心，半徑，于是圓的方程為：即，又在圓上，即，（直線是兩圓的公共弦所在直線，故兩圓方程相減便得其方程）.由得所以直線過(guò)定點(diǎn)..2．（2023·遼寧大連·高三?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率；(3)若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，探究：直線是否過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)；(2)；(3)過(guò)定點(diǎn).【分析】（1）利用兩點(diǎn)間距離公式列式化簡(jiǎn)作答.（2）求出點(diǎn)到直線距離，再利用點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算作答.（3）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程即可推理作答.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得，整理得，所以曲線的軌跡方程為.（2）依題意，，且，則點(diǎn)到邊的距離為，于是，解得，所以直線的斜率為.（3）依題意，，則都在以為直徑的圓上，而是直線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則圓的圓心為，圓的方程為，即，又因?yàn)樵谇€上，由，得，因此直線的方程為，即過(guò)定點(diǎn)，所以直線是過(guò)定點(diǎn).3．（2023秋·山西太原·高三?？计谀┮阎c(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足．記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）設(shè)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)分別是，．證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）把已知條件用坐標(biāo)表示，并化簡(jiǎn)即得的方程；（2）設(shè)，，，利用導(dǎo)數(shù)得出切線的方程，由在切線上，從而可得直線的方程，由直線方程可得定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）設(shè)，則，，，，所以，可以化為，化簡(jiǎn)得．所以，的方程為．（2）由題設(shè)可設(shè)，，，由題意知切線，的斜率都存在，由，得，則，所以，直線的方程為，即，①因?yàn)樵谏?，所以，即，②將②代入①得，所以直線的方程為同理可得直線的方程為．因?yàn)樵谥本€上，所以，又在直線上，所以，所以直線的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，考查拋物線中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解題方法是設(shè)出切線坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出切線方程，再由在切線上，根據(jù)直線方程的意義得出直線方程，然后得定點(diǎn)坐標(biāo)．4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)為，.（1）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；（2）若以線段為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)和圓的方程.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2），.【分析】（1），，，，，利用導(dǎo)數(shù)的意義，求解直線的斜率，然后求解直線系方程，推出定點(diǎn)坐標(biāo)即可．（2）直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積，求解，然后求解圓的方程與半徑即可．【詳解】（1）證明：，，，因?yàn)?，所以，所以，化?jiǎn)得，同理，故直線的方程為，即，所以過(guò)定點(diǎn).（2）由（1）得直線的方程為，聯(lián)立，所以，，因?yàn)槿粢跃€段為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則圓的方程為，；當(dāng)時(shí)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則圓的方程為，.考點(diǎn)三、阿基米德三角形之定值問(wèn)題1．（2023·河南鄭州·高三?？计谀┤鐖D，已知拋物線：（）上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為1，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)為（異于點(diǎn)，），且直線交線段于點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可求解；（2）利用判別式求出切線的斜率，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線的方程，表示出，的坐標(biāo)，即可證明為定值.【詳解】（1）拋物線：（）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)榇藪佄锞€上到焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，，所以拋物線方程為；（2）證明：設(shè)直線：，由可得，則，解得，則，解得，不妨令直線：，直線：，則，，設(shè)，，設(shè)直線：，由可得，由，可得或（舍），則，直線：．由解得即，故為定值．1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)的橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn).(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中，的斜率分別為，，求證：為定值.【答案】(1)橢圓的方程為，拋物線的方程為；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用待定系數(shù)法，由已知列出方程組，解方程組即可求出橢圓和拋物線的方程；（2）假設(shè)過(guò)點(diǎn)P與拋物線相切的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得，由及其根與系數(shù)的關(guān)系即可證明為定值．【詳解】（1）設(shè)橢圓和拋物線的方程分別為，，，橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，，解得，，橢圓的方程為，拋物線的方程為．（2）由題意知過(guò)點(diǎn)與拋物線相切的直線斜率存在且不為0，設(shè)，則切線方程為，聯(lián)立，消去，得，由，得，直線，的斜率分別為，，，為定值．考點(diǎn)四、阿基米德三角形之面積問(wèn)題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于直線的斜率.（1）求拋物線C的方程及準(zhǔn)線方程；（2）點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求面積的最小值.【答案】（1）拋物線方程為，其準(zhǔn)線方程為；（2）最小值為.【分析】（1）求出直線斜率可得即可寫(xiě)出拋物線方程及準(zhǔn)線方程；（2）利用切線求出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，求出弦長(zhǎng)，再有點(diǎn)到直線的距離即可求出三角形面積，利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】（1）由題意，，即，可知拋物線方程為，其準(zhǔn)線方程為.（2），則切線：，即；同理：.分別代入點(diǎn)可得，對(duì)比可知直線的方程為：.(即切點(diǎn)弦方程)聯(lián)解，可知，點(diǎn)到直線的距離為，因此，，而，故.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及三角形面積問(wèn)題，一般可利用直線聯(lián)立拋物線方程求出弦長(zhǎng)，再由點(diǎn)到直線距離求出高，即可表示三角面積，屬于中檔題.2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)A（0，2），動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離比動(dòng)點(diǎn)M到直線y＝﹣1的距離大1，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）Q為直線y＝﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q作曲線C的切線，切點(diǎn)分別為D、E，求△QDE的面積S的最小值【答案】（1）x2＝8y；（2）4．【分析】（1）確定動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為拋物線，計(jì)算得到答案.（2）設(shè)Q（m，﹣1），設(shè)切線的斜率為k，計(jì)算得到k1+k2，k1k2，得到，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與動(dòng)點(diǎn)M到直線y＝﹣2的距離相等，∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為拋物線，且焦點(diǎn)為A，準(zhǔn)線為y＝﹣2，∴曲線C的方程為：x2＝8y；（2）設(shè)Q（m，﹣1），設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為：y+1＝k（x﹣m），代入拋物線整理：x2﹣8kx+8km+8＝0，由△＝0得：64k2＝32（km+1），∴km＝2k2﹣1，∴x2﹣8kx+16k2＝0，解得：x＝4k，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（4k，2k2），由2k2﹣km﹣1＝0，得k1+k2，k1k2，設(shè)直線QD與QE的夾角為θ，則tanθ＝||，則sin2∠QDE＝1﹣cos2∠QDE.令切點(diǎn)（4k，2k2）到Q的距離為d，則d2＝（4k﹣m）2+（2k2+1）2＝16k2﹣8km+m2+（km+2）2＝16k2﹣8km+m2+k2m2+4km+＝（8+m2）（k2+1），∴|QD|，|QE|，∴S（8+m2）??（8+m2）??4，∴當(dāng)m＝0，即Q（0，﹣1）時(shí)，△QDE的面積S取得最小值4．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線方程，面積的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線的方程為，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：切線和互相垂直；（2）求證：直線與軸平行；（3）求面積的最小值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）4.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立直線和拋物線的方程得到韋達(dá)定理，得到，即得切線和互相垂直；（2）設(shè)點(diǎn)，得到，即中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，而點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為，所以直線與軸平行；（3）求出，即得面積的最小值.【詳解】解：（1）由題意，開(kāi)口向上的拋物線的切線斜率存在.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程，，消去，得，由，得，記關(guān)于的一元二次方程的兩根為，則分別為切線的斜率，由根與系數(shù)的關(guān)系知，所以切線和互相垂直.（2）設(shè)點(diǎn)，由，知，則，所以過(guò)點(diǎn)的切線方程為，將點(diǎn)代入，化簡(jiǎn)得，同理可得，所以是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，所以，即中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，而點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為，所以直線與軸平行.（3）點(diǎn)，則，則，由（2）知，，則，，，當(dāng)時(shí)，面積的最小值為4.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線的最值問(wèn)題常用的求解方法有：（1）函數(shù)法；（2）導(dǎo)數(shù)法；（3）數(shù)形結(jié)合法；（4）基本不等式法.要根據(jù)已知條件靈活選擇合適的方法求解.2（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知拋物線上的點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為1，焦點(diǎn)為F，且，過(guò)點(diǎn)作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，D為線段PA上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作拋物線的切線，切點(diǎn)為E（異于點(diǎn)A，B），且直線DE交線段PB于點(diǎn)H.(1)求拋物線C的方程；(2)（i）求證：為定值；（ii）設(shè)，的面積分別為，求的最小值.【答案】(1)(2)6【分析】（1）依據(jù)拋物線定義即可求得拋物線C的方程；（2）依據(jù)設(shè)而不求的方法得到的表達(dá)式再去證明其為定值；依據(jù)設(shè)而不求的方法得到的表達(dá)式再去求其最小值即可.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線則，則，拋物線C的方程為（2）（i）設(shè)直線AP：由，可得則，解得則，解得不妨令直線AP：，直線BP：，則設(shè)，設(shè)直線由，可得由，可得或（舍）則，直線由，可得故，為定值.（ii）由（i）得，，則，故，令則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增則，故的最小值為6.考點(diǎn)五、阿基米德三角形之切線垂直1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）拋物級(jí)的焦點(diǎn)到直線的距離為2.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，分別過(guò)，兩點(diǎn)作拋物線的兩條切線，兩切線的交點(diǎn)為，求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用拋物線的定義求出即可得出結(jié)論；（2）聯(lián)立直線和拋物線的方程，得出韋達(dá)定理，設(shè)切線的斜率為，切線的斜率為，點(diǎn)坐標(biāo)為，利用已知條件對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得出切線的斜率，寫(xiě)出切線方程，求出兩切線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意知：，則焦點(diǎn)到直線的距離為：，所以拋物線的方程為：；（2）證明：把直線代入消得：，又，利用韋達(dá)定理得，由題意設(shè)切線的斜率為，切線的斜率為，點(diǎn)坐標(biāo)為，由（1）可得：，則，所以，則切線的方程為：，切線的方程為：，則，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)整理得：，把代入整理得：，則，，則【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用定義求拋物線的方程，直線與拋物線應(yīng)用.做這道題的時(shí)候要注意，利用韋達(dá)定理，得出兩根的關(guān)系，設(shè)出兩切線的交點(diǎn)，認(rèn)真計(jì)算.屬于中檔題.1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線的方程為，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.（1）若點(diǎn)坐標(biāo)為，求切線的方程；（2）若點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，求證：切線和互相垂直.【答案】（1）和；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，由根的判別式為零求得切線的斜率，由此可求得切線的方程．（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，由根的判別式為零求得切線的斜率間的關(guān)系，根據(jù)直線垂直的條件可證得切線和互相垂直.【詳解】解：（1）由題意，開(kāi)口向上的拋物線的切線斜率存在，設(shè)切線斜率為，點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程，消去，得，由，解得，所以切線的方程分別為和，即切線方程分別為和；（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程，消去，得，由，得，記關(guān)于的一元二次方程的兩根為，則分別為切線的斜率，由根與系數(shù)的關(guān)系知，所以切線和互相垂直.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求拋物線的切線方程的方法：方法一：將拋物線轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求解切線方程，這在開(kāi)口朝上的拋物線中經(jīng)常用到。方法二：設(shè)切線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，采用判別式法求解．考點(diǎn)六、阿基米德三角形之角度問(wèn)題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，分別是橢圓的上、下焦點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)若動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且過(guò)點(diǎn)作軌跡的兩條切線、，切點(diǎn)為A、B，試猜想與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論的正確性.【答案】(1)(2)猜想，證明見(jiàn)解析【分析】（1）由橢圓，可得，的坐標(biāo)，從而可得動(dòng)點(diǎn)到定直線與定點(diǎn)的距離相等，由此可得軌跡的方程；（2）猜想，先求切線AP、BP的方程，聯(lián)立可得P的坐標(biāo)，進(jìn)一步可得、、的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式，可得，從而可得結(jié)論.【詳解】（1）解：，，橢圓半焦距長(zhǎng)為，，，，動(dòng)點(diǎn)到定直線與定點(diǎn)的距離相等，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以定直線為準(zhǔn)線，定點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，軌跡的方程是；（2）解：猜想證明如下：由（1）可設(shè)，，，則，切線的方程為：同理，切線的方程為：聯(lián)立方程組可解得的坐標(biāo)為，在拋物線外，，，同理1．（江西·高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).（1）求△APB的重心G的軌跡方程.（2）證明∠PFA=∠PFB．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【詳解】本試題主要考查了軌跡方程的求解和證明角的相等問(wèn)題．解：（1）設(shè)切點(diǎn)，坐標(biāo)分別為和，切線的方程為：；切線的方程為：；由于既在又在上，所以解得，所以的重心的坐標(biāo)為，，所以，由點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心的軌跡方程為：，即．（2）方法1：因?yàn)?，，．由于點(diǎn)在拋物線外，則．，同理有，．方法2：①當(dāng)時(shí)，由于，不妨設(shè)，則，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線AF的距離為：；而直線的方程：，即．所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：所以，即得．②當(dāng)時(shí)，直線AF的方程：，即，直線的方程：，即，所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：，同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離，因此由，可得到．考點(diǎn)七、阿基米德三角形之點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線的距離比到點(diǎn)的距離大7．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，點(diǎn)M在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作曲線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)N是平面內(nèi)一定點(diǎn)，線段MA，NA，NB，MB的中點(diǎn)依次為E，F(xiàn)，G，H，若當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形EFGH總為矩形，求定點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合拋物線定義求出點(diǎn)P的軌跡方程作答.（2）求出四邊形EFGH為矩形的等價(jià)條件，再由特殊位置判斷點(diǎn)N的位置，設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，借助導(dǎo)數(shù)求出切線方程進(jìn)而建立關(guān)系，然后用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算推理作答.【詳解】（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到直線的距離比到點(diǎn)的距離大7，則動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離等于到點(diǎn)的距離，因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是．（2）分別為線段的中點(diǎn)，若四邊形EFGH為矩形，則，當(dāng)點(diǎn)M在處時(shí)，兩個(gè)切點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，要使，則點(diǎn)N必須在y軸上，于是設(shè)，，，，曲線C的方程為，求導(dǎo)得，則切線MA的斜率，直線MA的方程為，又點(diǎn)M在直線MA上，因此，整理得，同理得，則和是一元二次方程的根，有，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：拋物線在點(diǎn)處的切線斜率；拋物線在點(diǎn)處的切線斜率.2．（2023春·廣東茂名·高三?？茧A段練習(xí)）已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，P到定點(diǎn)的距離與P到定直線的距離之比為，(1)記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，求C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作做曲線C的兩條切線，切點(diǎn)分別是，求面積的最大值，并確定此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).注：橢圓：上任意一點(diǎn)處的切線方程是：.【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用直接法列方程，然后化簡(jiǎn)可得；（2）根據(jù)題中結(jié)論可得切線方程，由切線過(guò)點(diǎn)和切線結(jié)構(gòu)特征可得直線的方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式可得面積，然后換元，利用導(dǎo)數(shù)求最值可得.【詳解】（1）設(shè)d是點(diǎn)P到直線的距離，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡就是集合．由此得．將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)，得.（2）設(shè)，則，切線方程：，切線方程：，因?yàn)閮芍本€都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，得，，從而直線的方程是：，由，得，由韋達(dá)定理，得，，點(diǎn)到直線的距離，，其中，令，則，令，則，在上遞增，，即時(shí)，的面積取到最大值，此時(shí)點(diǎn).【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題難點(diǎn)在于根據(jù)切線過(guò)點(diǎn)和結(jié)構(gòu)特征求直線的方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式表示出面積，然后利用換元法和導(dǎo)數(shù)求解即可.1．（2023秋·湖北武漢·高三華中師大一附中?？计谀┮阎獟佄锞€的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸，點(diǎn)拋物線上，且到拋物線的準(zhǔn)線的距離為2.(1)求拋物線的方程；(2)動(dòng)點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線分別交軸于兩點(diǎn)，當(dāng)面積為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用拋物線的焦半徑公式與標(biāo)準(zhǔn)方程得到關(guān)于的方程組，解之即可；（2）先由面積得到，再聯(lián)立切線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到，從而求得，由此得解.【詳解】（1）依題意，設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，則，因?yàn)榈綊佄锞€準(zhǔn)線的距離為，所以，聯(lián)立，解得，所以拋物線的方程為.（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，直線的方程為，令兩個(gè)方程中的，則可得，此時(shí)，因?yàn)?，所以，則，設(shè)過(guò)點(diǎn)的拋物線的切線方程為，聯(lián)立方程，消去，得，因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以，整理得，由題知直線為拋物線的兩條切線，則為方程的兩根，所以，由得，解得，此時(shí)，對(duì)于，有，滿足題意，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【能力提升】1．（2022·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）拋物線上任意兩點(diǎn)?處的切線交于點(diǎn)，稱為“阿基米德三角形”.當(dāng)線段經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)時(shí)，具有以下特征：①點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②為直角三角形，且；③.若經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的一條弦為，阿基米德三角形為，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由△PAB為“阿基米德三角形”，且線段AB經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)，可得：P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上，可求出點(diǎn)P（?1，4），從而得到直線PF的斜率為?2，又，所以直線AB的斜率為，再利用點(diǎn)斜式即可求出直線AB的方程.【詳解】解：由題意可知，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線方程為：x＝﹣1，由△PAB為“阿基米德三角形”，且線段AB經(jīng)過(guò)拋物線y2＝4x焦點(diǎn)，可得：P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上，∴點(diǎn)P（﹣1，4），∴直線PF的斜率為：＝﹣2，又∵PF⊥AB，∴直線AB的斜率為，∴直線AB的方程為：y﹣0＝，即x﹣2y﹣1＝0，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義，以及拋物線的性質(zhì)，是中檔題.2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個(gè)兩千多年的古老圖形，蘊(yùn)藏著很多性質(zhì)．已知拋物線，過(guò)焦點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)必在直線上，且以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)B．點(diǎn)必在直線上，但以為直徑的圓不過(guò)點(diǎn)C．點(diǎn)必在直線上，但以為直徑的圓不過(guò)點(diǎn)D．點(diǎn)必在直線上，且以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)【答案】D【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義可證得過(guò)拋物線上一點(diǎn)的切線方程為，由此可確定在處的切線方程，進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)得到直線方程，代入可知點(diǎn)必過(guò)直線；結(jié)合韋達(dá)定理可得，知，由此可得結(jié)論.【詳解】設(shè)為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由得：，在處的切線方程為：，即，；同理可得：當(dāng)時(shí)，在處的切線方程切線方程為；經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，時(shí)，切線方程為，滿足，過(guò)拋物線上一點(diǎn)的切線方程為：；設(shè)，則拋物線在處的切線方程為和，，點(diǎn)滿足直線方程：，又直線過(guò)焦點(diǎn)，，解得：，點(diǎn)必在直線上；AC錯(cuò)誤；由題意知：，，，，；設(shè)直線方程為：，由得：，，，即，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)；B錯(cuò)誤，D正確.故選：D.3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）圓錐曲線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形，過(guò)拋物線焦點(diǎn)作拋物線的弦，與拋物線交于，兩點(diǎn)，分別過(guò)，兩點(diǎn)作拋物線的切線，相交于點(diǎn)，那么阿基米德三角形滿足以下特性：①點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②為直角三角形，且為直角；③，已知為拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則阿基米德三角形面積的最小值為（

）A． B． C．2 D．1【答案】B【分析】設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程求得，通過(guò)PF⊥AB求得，再過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，進(jìn)而得到為中點(diǎn)，由表示出三角形PAB的面積，結(jié)合基本不等式求出最小值即可．【詳解】易知，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，消整理得，則，，又PF⊥AB，可得，即，化簡(jiǎn)得，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，如圖所示：則，所以為中點(diǎn)，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故三角形PAB的面積的最小值為．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，且證明為中點(diǎn)，得到，從而得到阿基米德三角形面積關(guān)于，的表達(dá)式，再結(jié)合基本不等式求解．4．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過(guò)焦點(diǎn)，則過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線的斜率之積為定值．設(shè)拋物線，弦AB過(guò)焦點(diǎn)，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，設(shè)直線為，代入拋物線方程，由韋達(dá)定理得，設(shè)過(guò)的切線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式得，則過(guò)點(diǎn)A的切線為，同理得過(guò)的切線斜率為，過(guò)點(diǎn)B的切線為，可得，可證得，則的面積，結(jié)合圖形特征，可得面積的最小值．【詳解】設(shè)且，直線，聯(lián)立，整理得，則．設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立，整理得，由，可得，則過(guò)A的切線為：，即，即，即，同理可得過(guò)點(diǎn)的切線斜率為，過(guò)點(diǎn)B的切線方程為：，聯(lián)立兩切線，則，所以兩條切線的交點(diǎn)在準(zhǔn)線上，則，兩式相減得，，可得，，又因?yàn)橹本€的斜率為，（也成立），如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，的面積，當(dāng)軸時(shí)，最短（最短為），也最短（最短為），此時(shí)的面積取最小值．故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)且，，聯(lián)立拋物線應(yīng)用韋達(dá)定理有，求過(guò)的切線，進(jìn)而確定在準(zhǔn)線上且，利用面積公式討論最小值情況.5．（2023·寧夏銀川·六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離比到定點(diǎn)的距離大1.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程.（2）若為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，，切點(diǎn)為，，為的中點(diǎn).①求證：軸；②直線是否恒過(guò)一定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）①證明見(jiàn)解析；②.【分析】（1）由題意知，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離等于到定點(diǎn)的距離，符合拋物線的定義，求軌跡的方程為；（2）①設(shè)動(dòng)點(diǎn)，，，利用導(dǎo)數(shù)求出切線的方程分別為：、，從而有，為方程的兩根，證明點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，從而證得軸；②由①中的結(jié)論，把直線的方程寫(xiě)成含有參數(shù)的形式，即并把方程看成關(guān)于的一次函數(shù)，從而得到定點(diǎn)為．【詳解】（1）由動(dòng)點(diǎn)到直線的距離比到定點(diǎn)的距離大1得，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離等于到定點(diǎn)的距離，所以點(diǎn)的軌跡為頂點(diǎn)在原點(diǎn)、開(kāi)口向上的拋物線，其中，軌跡方程為.（2）①設(shè)切點(diǎn)，，，所以切線的斜率為，切線.設(shè)，則有，化簡(jiǎn)得.同理可得.所以，為方程的兩根.則有，，所以.因此軸.②因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以直線，即.即直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義求方程、利用導(dǎo)數(shù)求切線方程、直線與拋物線相切、直線過(guò)定點(diǎn)等知識(shí)，考查運(yùn)算求解和邏輯推理能力．特別是在求證直線過(guò)定點(diǎn)進(jìn)，也可以有另外的思路，即把直線設(shè)成的形式，然后尋找的關(guān)系，再把直線方程轉(zhuǎn)化成只含變量或變量的方程．6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2.(1)求拋物線的方程；(2)點(diǎn)為圓：上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Р作拋物線C的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，求點(diǎn)О到直線AB距離的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合拋物線的定義求得，由此求得拋物線的方程.（2）設(shè)出的坐標(biāo)，求得過(guò)兩點(diǎn)的切線方程，從而求得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)在圓上以及點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得點(diǎn)О到直線AB距離的最大值.【詳解】（1）依題意，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，所以，所以拋物線方程為.（2）設(shè)在第一象限（）、在第四象限（），當(dāng)時(shí)，直線的方程為，，①，當(dāng)，即直線的斜率不存在時(shí)①也符合.所以直線的方程為①.拋物線在第一象限部分，，所以過(guò)的切線斜率為，所以過(guò)點(diǎn)的拋物線的切線方程為，即.拋物線在第四象限部分，，所以過(guò)的切線斜率為，所以過(guò)點(diǎn)的拋物線的切線方程為，即.由，則，且，，到直線的距離..，，所以，，所以，故的最大值為..7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖已知是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，與軸分別交于.（1）求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；（2）設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，記兩點(diǎn)到直線的距離分別為；求當(dāng)取最大值時(shí)的面積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，；（2）4.【解析】（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)與拋物線相切的直線方程為：，與拋物線方程聯(lián)立得，設(shè)是該方程的兩根，由韋達(dá)定理表示及直線方程可得答案.（2）求出，直線方程和，由利用基本不等式得，再由可得答案.【詳解】（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)與拋物線相切的直線方程為：，由，得，因?yàn)橄嗲?，所以，即得，設(shè)是該方程的兩根，由韋達(dá)定理得：，分別表示切線斜率的倒數(shù)，且每條切線對(duì)應(yīng)一個(gè)切點(diǎn)，所以切點(diǎn)，所以，所以直線為：，得，直線方程為：，所以過(guò)定點(diǎn).（2）由（1）知，由（1）知點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以直線方程為：，即：，所以，分居直線兩側(cè)可得，所以，∴∴當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，又由，令得：，.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中直線過(guò)定點(diǎn)和三角形面積的問(wèn)題，本題的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè)直線方程的形式和求出的最小值，考查了學(xué)生的推理能力、計(jì)算能力，具有一定的難度.8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)A（﹣4，4）、B（4，4），直線AM與BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為﹣2，點(diǎn)M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的軌跡方程；（2）Q為直線y=﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q作曲線C的切線，切點(diǎn)分別為D、E，求△QDE的面積S的最小值．【答案】（1）（2）最小值4【詳解】試題分析：（Ⅰ）設(shè)，由題意得，化簡(jiǎn)可得曲線的方程為；（Ⅱ）設(shè)，切線方程為，與拋物線方程聯(lián)立互為，由于直線與拋物線相切可得，解得，可切點(diǎn)，由，利用韋達(dá)定理，得到，得到為直角三角形，得出三角形面積的表達(dá)式，即可求解三角形的最小值．試題解析：（1）設(shè)M（x，y），由題意可得：，化為x2=4y．∴曲線C的軌跡方程為x2=4y且（x≠±4）．（2）聯(lián)立，化為x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直線與拋物線相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切點(diǎn)（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1?k2=﹣1．∴切線QD⊥QE．∴△QDE為直角三角形，|QD|?|QE|．令切點(diǎn)（2k，k2）到Q的距離為d，則d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），∴|QD|=，|QE|=，∴（4+m2）=≥4，當(dāng)m=0時(shí)，即Q（0，﹣1）時(shí)，△QDE的面積S取得最小值4．考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；軌跡方程的求解．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了直線與拋物線相切的性質(zhì)、切線方程、相互垂直的斜率之間的關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式、三角形的面積公式、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力、推理與運(yùn)算能力，試題有一定的難度，屬于難題，本題的解答中把切線的方程代入拋物線的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出三角形的面積是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線的方程為，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，且到拋物線焦點(diǎn)的距離為2．（1）求拋物線的方程；（2）點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求面積的最小值．【答案】（1）；（2）1.【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義可得，求出即可求解，（2）設(shè)，設(shè)切線方程為，，將直線與拋物線聯(lián)立，求出切點(diǎn)，利用韋達(dá)定理判斷，的面積，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出、，代入面積公式即可求解.【詳解】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用．（1）設(shè)拋物線焦點(diǎn)為，由題意可得，故，∴拋物線的方程為．（2）設(shè)，由題可知切線的斜率存在且不為0，故可設(shè)切線方程為，．聯(lián)立，消去得．由直線與拋物線相切可得，∴，即．∴，解得，可得切點(diǎn)坐標(biāo)為，故可設(shè)，．由，可得，，∴，∴為直角三角形，∴的面積．令切點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則，∴，，∴，當(dāng)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，的面積取得最小值1．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系中的面積問(wèn)題，此題對(duì)計(jì)算能力要求比較高，屬于難題.10．（2022春·安徽滁州·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知拋物線上的任意一點(diǎn)到焦