第8章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析（單元提升卷）

第8章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析（單元提升卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，16題每題4分，712題每題5分，1．收集數(shù)據(jù)，利用列聯(lián)表，分析學(xué)習(xí)成績好與上課注意力集中是否有關(guān)時，提出的零假設(shè)為：學(xué)習(xí)成績好與上課注意力集中無關(guān)．（填有關(guān)或無關(guān)）【分析】根據(jù)零假設(shè)的含義，即可得解．【解答】解：零假設(shè)等價于兩個變量相互獨立，所以此題中的零假設(shè)為：學(xué)習(xí)成績好與上課注意力集中無關(guān)．故答案為：無關(guān)．【點評】本題考查獨立性檢驗，理解零假設(shè)的含義是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．2．已知變量，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，則變量，之間的相關(guān)系數(shù)．6810126532【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式求解即可．【解答】解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算可知，，變量，之間的相關(guān)系數(shù)．故答案為：．【點評】本題考查相關(guān)系數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．3．為了提高學(xué)生參加體育鍛煉的積極性，某校本學(xué)期依據(jù)學(xué)生特點針對性的組建了五個特色運動社團，學(xué)校為了了解學(xué)生參與運動的情況，對每個特色運動社團的參與人數(shù)進行了統(tǒng)計，其中一個特色運動社團開學(xué)第1周至第5周參與運動的人數(shù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示．周次12345參與運動的人數(shù)3536403945若表中數(shù)據(jù)可用回歸方程來預(yù)測，則本學(xué)期第11周參與該特色運動社團的人數(shù)約為57．（精確到整數(shù)）【分析】由已知求出樣本點的中心的坐標(biāo)，代入線性回歸方程，再取求解．【解答】解：，，把代入，得．可得線性回歸方程為．把代入，可得．故答案為：57．【點評】本題考查線性回歸方程及其應(yīng)用，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．4．已知，的對應(yīng)值如下表所示：02468113若與線性相關(guān)，且回歸直線方程為，則1．【分析】根據(jù)樣本中心必在回歸直線上求解．【解答】解：，，所以這組數(shù)據(jù)的樣本中心點是，又點，在回歸直線上，所以，解得．故答案為：1．【點評】本題考查回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．某產(chǎn)品的廣告支出費用（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如表：2456830405070已知關(guān)于的線性回歸方程為，則表格中實數(shù)的值為48．【分析】計算樣本中心點，代入回歸方程，求解即可．【解答】解：根據(jù)表格可知，，，關(guān)于的線性回歸方程為，即，解得．故答案為：48．【點評】本題考查線性回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．一項研究同年齡段的男、女生的注意力差別的腦功能實驗，實驗數(shù)據(jù)如表：注意力穩(wěn)定注意力不穩(wěn)定男生297女生335依據(jù)，該實驗支持該年齡段的學(xué)生在注意力的穩(wěn)定性上對于性別沒有顯著差異（填拒絕或支持），參考公式：，．【分析】根據(jù)卡方公式計算即可作出判斷．【解答】解：由表中數(shù)據(jù)：，所以沒有足夠把握認(rèn)為學(xué)生在注意力的穩(wěn)定性上與性別有關(guān)，即該實驗支持該年齡段的學(xué)生在注意力的穩(wěn)定性上對于性別沒有顯著差異．故答案為：支持．【點評】本題考查獨立性檢驗相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．7．某公司為了了解某商品的月銷售量（單位：萬件）與月銷售單價（單位：元件）之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了5個月的銷售量與銷售單價，并制作了如下對照表：月銷售單價（元件）1015202530月銷售量（萬件）1110865由表中數(shù)據(jù)可得回歸方程中，試預(yù)測當(dāng)月銷售單價為40元件時，月銷售量為1.6萬件．【分析】先求出樣本中心點坐標(biāo)，，代入回歸方程求出的值，再進行預(yù)測即可．【解答】解：由題意可知，，，所以樣本中心點坐標(biāo)為，代入回歸方程得，，解得，所以回歸方程為，當(dāng)時，，即當(dāng)月銷售單價為40元件時，月銷售量約為1.6萬件．故答案為：1.6．【點評】本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，屬于中檔題．8．為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進行動物試驗，得到如圖所示列聯(lián)表：藥物疾病合計未患病患病服用50未服用50合計8020100取顯著性水平，若本次考察結(jié)果支持“藥物對疾病預(yù)防有顯著效果”，則的最小值為44．（參考公式：；參考值：【分析】由題意可知，，求出的范圍，再結(jié)合，求解即可．【解答】解：由題意可知，，整理得，解得或，又因為，，所以的最小值為44．故答案為：44．【點評】本題主要考查了獨立性檢驗的應(yīng)用，屬于中檔題．9．已知一組成對數(shù)據(jù)，，，的回歸方程為，則該組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)（精確到．【分析】一組成對數(shù)據(jù)的平均值，一定在回歸方程上，可求得，再利用相關(guān)系數(shù)的計算公式算出即可．【解答】解：由條件可得，，，，一定在回歸方程上，代入解得，故，，，，．故答案為：．【點評】本題考查相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．10．以下是一些城市的海拔高度與該城市的大氣壓的對照表．我們已知大氣壓與海拔高度是近似線性的關(guān)系．城市海拔高度大氣壓北京31.299.86哈爾濱171.798.51上海4.5100.53昆明1891.480.80拉薩3658.065.23則我們可以利用一元線性回歸分析（其中海拔高度為解釋變量，大氣壓為反應(yīng)變量），估計珠穆朗瑪峰頂（海拔8848.9米）的大氣壓為12.01（近似到小數(shù)點后兩位）．【分析】設(shè)海拔高度為，則大氣壓為，根據(jù)，，得到線性回歸方程，將代入即可．【解答】解：設(shè)海拔高度為，則大氣壓為，故，．，，可用一元線性回歸模型擬合與的關(guān)系，根據(jù)，，所以，，所以回歸方程為，當(dāng)時，，故珠穆朗瑪峰頂（海拔8848.9米）的大氣壓為．故答案為：12.01．【點評】本題考查線性回歸方程的應(yīng)用，屬于中檔題．11．已知變量關(guān)于的回歸方程為，若對兩邊取自然對數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)與線性相關(guān)．現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如表所示，當(dāng)時，預(yù)測值為．1234【分析】，化為線性相關(guān)，結(jié)合回歸直線過樣本點的中心求，再預(yù)測即可．【解答】解：，，令，列表格如下，12341346故，，故，故，故當(dāng)時，，故，故答案為：．【點評】本題考查非線性回歸與線性回歸方程的運用，解題的關(guān)鍵是利用線性回歸方程恒過樣本中心點，這是線性回歸方程中最?？嫉闹R點．屬于中檔題．12．某種活性細胞的存活率與存放溫度之間具有線性相關(guān)關(guān)系，樣本數(shù)據(jù)如表所示：存放溫度104存活率20445680經(jīng)計算得回歸直線的斜率為．若存放溫度為，則這種細胞存活率的預(yù)報值為34．【分析】由題意求出，，代入公式求值，從而得到回歸直線方程；代入代入即可得答案．【解答】解：由題意，設(shè)回歸方程為，由表中數(shù)據(jù)可得：，；代入回歸方程可得．當(dāng)時，可得故答案為：34【點評】本題考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，屬于基礎(chǔ)題．二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題只有一個正確答案，13/14題每題4分，15/16題5分。13．已知兩組數(shù)據(jù)，，，和，，，，其中且時，；且時，，，我們研究這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)性，在集合，11，12，中取一個元素作為的值，使得相關(guān)性最強，則A．8 B．11 C．12 D．13【分析】根據(jù)相關(guān)性與線性回歸方程的關(guān)系得到答案．【解答】解：由題意前9個點位于直線上，而，要使相關(guān)性最強，就要最接近10，四個選項中11最接近10．故選：．【點評】本題考查了兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)性強弱的判斷，屬于基礎(chǔ)題．14．對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得以下散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)題目給出的散點圖，先判斷是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，然后根據(jù)點的集中程度分析相關(guān)系數(shù)的大?。窘獯稹拷猓河山o出的四組數(shù)據(jù)的散點圖可以看出，圖1和圖3是正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)大于0，圖2和圖4是負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)小于0，圖1和圖2的點相對更加集中，所以相關(guān)性要強，所以接近于1，接近于，由此可得．故選：．【點評】本題考查了兩個變量的線性相關(guān)，考查了相關(guān)系數(shù)，散點分布在左下角至右上角，說明兩個變量正相關(guān)；分布在左上角至右下角，說明兩個變量負(fù)相關(guān)，散點越集中在一條直線附近，相關(guān)系數(shù)越接近于1（或，此題是基礎(chǔ)題．15．某疾病預(yù)防中心隨機調(diào)查了339名50歲以上的公民，研究吸煙習(xí)慣與慢性氣管炎患病的關(guān)系，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表：不吸煙者吸煙者總計不患慢性氣管炎者121162283患慢性氣管炎者134356總計134205339假設(shè)：患慢性氣管炎與吸煙沒有關(guān)系，即它們相互獨立．通過計算統(tǒng)計量，得，根據(jù)分布概率表：，，，．給出下列3個命題，其中正確的個數(shù)是①“患慢性氣管炎與吸煙沒有關(guān)系”成立的可能性小于②有的把握認(rèn)為患慢性氣管炎與吸煙有關(guān)③分布概率表中的0.05、0.01等小概率值在統(tǒng)計上稱為顯著性水平，小概率事件一般認(rèn)為不太可能發(fā)生A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】根據(jù)與臨界值比較即可得出結(jié)論．【解答】解：因為，所以有的把握認(rèn)為患慢性氣管炎與吸煙有關(guān)，即“患慢性氣管炎與吸煙沒有關(guān)系”成立的可能性小于，故①②正確，分布概率表中的0.05、0.01等小概率值在統(tǒng)計上稱為顯著性水平，小概率事件一般認(rèn)為不太可能發(fā)生，故③正確．故選：．【點評】本題主要考查了獨立性檢驗的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．為了研究關(guān)于的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)（見下表）：若已求得一元線性回歸方程為，則下列選項中正確的是123450.50.911.11.5A． B．當(dāng)時，的預(yù)測值為2.2 C．樣本數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為1 D．去掉樣本點后，與的樣本相關(guān)系數(shù)不會改變【分析】先求出樣本中心點坐標(biāo)為，代入線性回歸方程，可求出的值，再結(jié)合線性回歸方程的性質(zhì)，以及中位數(shù)的定義判斷各個選項．【解答】解：對于，因為，，所以樣本中心點坐標(biāo)為，代入線性回歸方程，得，解得，故錯誤；對于，由可知，線性回歸方程為，當(dāng)時，的預(yù)測值為，故錯誤；對于，樣本數(shù)據(jù)的值從小到大排列為：0.5，0.9，1，1.1，1.5，因為，所以第40百分位數(shù)為，故錯誤；對于，因為樣本中心點坐標(biāo)為，所以去掉樣本點后，與的樣本相關(guān)系數(shù)不會改變，故正確．故選：．【點評】本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，考查了百分位數(shù)的定義，屬于中檔題．三、解答題（本大題共有5題78分，1719題每題14分，20/21每題18分），解答下列各題必須寫出必要的步驟。17．某校舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)作為樣本（樣本容量為進行統(tǒng)計，按照，，，，，，，，，的分組作出如圖所示的頻率分布直方圖，已知得分在，，，的頻數(shù)分別為16，4．（1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的，的值；（2）在選取的樣本中，若男生和女生人數(shù)相同，我們規(guī)定在70分以上稱為“優(yōu)秀”，70分以下稱為“不優(yōu)秀”，其中男、女生中成績優(yōu)秀的分別有24人和30人，請完成列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“學(xué)生的成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”？男生女生總計優(yōu)秀不優(yōu)秀總計附：，．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【分析】（1）根據(jù)得分，的頻數(shù)，結(jié)合其在頻率直方圖中的頻率計算總的樣本容量，并由此求得的值，進而利用各組的頻率之和等于1求得的值；（2）根據(jù)已知男、女生中不優(yōu)秀的人數(shù)，填寫列聯(lián)表，并利用公式計算的觀測值，與臨界值比較，得到結(jié)論．【解答】解：（1）由題意可知，樣本容量，，．（2）100位學(xué)生中男女生各有50名，成績優(yōu)秀共有54名，所以學(xué)生的成績優(yōu)秀與性別列聯(lián)表如下表：男生女生總計優(yōu)秀243054不優(yōu)秀262046總計5050100，沒有的把握認(rèn)為“學(xué)生的成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”．【點評】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查獨立性檢驗，是中檔題．18．環(huán)境監(jiān)測部門為調(diào)研汽車流量對空氣質(zhì)量的影響，在某監(jiān)測點統(tǒng)計每日過往的汽車流量（單位：輛）和空氣中的的平均濃度（單位：．調(diào)研人員采集了50天的數(shù)據(jù)，制作了關(guān)于，，2，3，，的散點圖，并用直線與將散點圖分成如圖所示的四個區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入對應(yīng)區(qū)域的樣本點的個數(shù)依次為6，20，16，8．（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷至少有多大把握認(rèn)為“平均濃度不小于與“汽車日流量不小于1500輛”有關(guān)；汽車日流量汽車日流量合計的平均濃度的平均濃度合計（2）經(jīng)計算得回歸方程為，且這50天的汽車日流量的標(biāo)準(zhǔn)差，的平均濃度的標(biāo)準(zhǔn)差．①求相關(guān)系數(shù)，并判斷該回歸方程是否有價值；②若這50天的汽車日流量滿足，試推算這50天的日均濃度的平均數(shù)．（精確到參考公式：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828回歸方程，其中．相關(guān)系數(shù)．若，則認(rèn)為與有較強的線性相關(guān)性．【分析】（1）根據(jù)題意，完成列聯(lián)表，再計算，結(jié)合表格即可求得結(jié)果．（2）代入公式計算可判斷與的相關(guān)性強弱，由可得，結(jié)合回歸直線必過樣本中心可求得的值．【解答】解：（1）列聯(lián)表如下：汽車日流量汽車日流量合計的平均濃度16824的平均濃度62026合計222850零假設(shè)：“平均濃度不小于”與“汽車日流量不小于1500輛”無關(guān)，因為，所以至少有的把握（但還不能有的把握）認(rèn)為“平均濃度不小于”與“汽車日流量不小于1500輛有關(guān)”．（2）①因為回歸方程為，所以，又因為，，所以．，與有較強的相關(guān)性，該回歸方程有價值．②，解得而樣本中心點位于回歸直線上，因此可推算．【點評】本題主要考查線性回歸方程的應(yīng)用，以及獨立性檢驗公式，屬于中檔題．19．一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如表數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090（1）能否有的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（附，，（2）從該地的人群中任選一人，表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，表示事件“選到的人患有該疾病”與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為．①證明：；②利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出，的估計值，并利用①的結(jié)果給出的估計值．【分析】（1）計算，對照題目中的表格，得出統(tǒng)計結(jié)論；（2）①利用條件概率的概率公式證明；②由題意可知，，，再結(jié)合①的結(jié)果求出的估計值即可．【解答】解：（1）零假設(shè)：患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣無差異，易知，因為，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們有充分證據(jù)推出不成立，則有的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；（2）①證明：因為；②因為，，此時，，所以．【點評】本題主要考查了獨立性檢驗的應(yīng)用，考查了條件概率的概率公式，屬于中檔題．20．某連鎖便利店從2014年到2018年銷售商品品種為2000種，從2019年開始，該便利店進行了全面升級，銷售商品品種為3000種．下表中列出了從2014年到2023年的利潤額．年份2014201520162017201820192020202120222023利潤額萬元27.642.038.448.063.663.772.880.160.599.3（1）若某年的利潤額超過45.0萬元，則該便利店當(dāng)年會被評選為示范店；若利潤額不超過45.0萬元，則該便利店當(dāng)年不會被評選為示范店．試完成列聯(lián)表，并判斷商品品種數(shù)量與便利店是否為示范店有關(guān)？（顯著性水平，品種為2000種品種為3000種總計被評為示范店次數(shù)未被評為示范店次數(shù)總計（2）請根據(jù)2014年至2023年（剔除2022年的數(shù)據(jù)）的數(shù)據(jù)建立與的線性回歸模型①；根據(jù)2019年至2023年的數(shù)據(jù)建立與的線性回歸模型②．分別用這兩個模型，預(yù)測2024年該便利店的利潤額并說明這樣的預(yù)測值是否可靠？（回歸系數(shù)精確到0.001，利潤精確到0.1萬元）回歸系數(shù)與的公式如下：，．【分析】（1）列出列聯(lián)表后計算出后，與3.841比較大小即可得；（2）分別計算出線性回歸模型后，結(jié)合所得數(shù)據(jù)進行判斷即可得．【解答】解：（1）列聯(lián)表為：品種為2000種品種為3000種總計被評為示范店次數(shù)257未被評為示范店次數(shù)303總計5510，可以判斷商品品種的提升與該便利店是否是示范店有關(guān)．（2）線性回歸模型①：，，則，則，故，當(dāng)時，預(yù)測值為；線性回歸模型②：，，，，，當(dāng)時，預(yù)測值為．模型①的預(yù)測不可靠，根據(jù)（1）可以知道商品品種與便利店的品質(zhì)有關(guān)，影響了利潤額，因此按照經(jīng)濟發(fā)展規(guī)律，應(yīng)該用比較新的數(shù)據(jù)即品種為3000種的數(shù)據(jù)進行預(yù)測；模型②的預(yù)測不可靠，2022年可能因為受疫情影響或者其它不可因素，其利潤額60.5為異常數(shù)據(jù)，應(yīng)該剔除．【點評】本題考查回歸方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解