質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程：求解單個(gè)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題、簡(jiǎn)單質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題動(dòng)力學(xué)普遍定理：動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理等在許多實(shí)際問(wèn)題中，并不需要求出質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，而只有知道整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的某些特征就夠了。因此，本章將建立描述描述整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)特征的一些物理量（如動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能等），并建立作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力與這些物理量的變化率之間的關(guān)系，這些關(guān)系統(tǒng)稱為動(dòng)力學(xué)普遍定理第2頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天

質(zhì)點(diǎn)系在力的作用下，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不但與各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量有關(guān)，而且與質(zhì)量的分布情況有關(guān)?！?質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)量中心是反映質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布特征的物理量之一。第3頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天（一）質(zhì)量中心（質(zhì)心或慣性中心）問(wèn)題：系統(tǒng)由幾個(gè)剛體構(gòu)成，每個(gè)剛體質(zhì)心位置已知，1.系統(tǒng)質(zhì)心如何確定？2.質(zhì)心的速度如何確定？3.質(zhì)心的加速度如何確定？第4頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天在重力場(chǎng)內(nèi)，質(zhì)心與重心重合質(zhì)心坐標(biāo)質(zhì)心是永遠(yuǎn)存在，而重心只有在重力場(chǎng)中才存在第5頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天（二）質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)求和系統(tǒng)外部對(duì)i質(zhì)點(diǎn)的合力系統(tǒng)內(nèi)部其它所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)i質(zhì)點(diǎn)的合力第6頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天－－質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心就像一個(gè)質(zhì)點(diǎn)那樣運(yùn)動(dòng)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量，而且在這個(gè)質(zhì)點(diǎn)上作用著質(zhì)點(diǎn)系的所有外力。對(duì)于剛體系統(tǒng)：第7頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天結(jié)論：2.無(wú)論剛體（系）、質(zhì)點(diǎn)系做何形式的運(yùn)動(dòng)，此定理成立。1.質(zhì)心“像一個(gè)質(zhì)點(diǎn)一樣遵循牛頓第二定理”。－－質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理3.質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)僅與質(zhì)系的外力有關(guān)，與內(nèi)力無(wú)關(guān)。第8頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，某些質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題可以直接用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)理論來(lái)解答。如剛體平移。剛體平移問(wèn)題完全可以看作為質(zhì)點(diǎn)問(wèn)題來(lái)求解。質(zhì)點(diǎn)系的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)總可以看作隨同質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)與相對(duì)于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)（相對(duì)于隨同質(zhì)心平移的坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)）兩部分合成的結(jié)果。應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求出質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，也就確定了質(zhì)點(diǎn)系隨同質(zhì)心的平移。第9頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天直角坐標(biāo)表示法：自然表示法：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的表示方法第10頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天直角坐標(biāo)表示法：自然表示法：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的表示方法(剛體)第11頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天特殊情形：

1、若則

這表明若作用于質(zhì)系的所有外力矢量和恒為零，則質(zhì)心作慣性運(yùn)動(dòng)。

這表明若作用于質(zhì)系的所有外力在某固定軸上投影的代數(shù)和恒為零，則質(zhì)心速度在該軸上的投影保持不變。這兩個(gè)結(jié)論稱為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定理。2、若則外力為零速度為常數(shù)第12頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天問(wèn)題1：兩個(gè)相同均質(zhì)圓盤，初始時(shí)刻皆靜止于光滑的桌面上。受大小、方向相同的力作用，但作用位置不同（如圖示），哪個(gè)圓盤跑得更快？問(wèn)題2：AB、AC為兩相同的均質(zhì)桿，每根質(zhì)量為m。系統(tǒng)初始時(shí)刻靜止于光滑的水平桌面，受大小為F的力作用如圖示。問(wèn)A點(diǎn)的加速度等于？ABC第13頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1：圖示機(jī)構(gòu)，地面光滑，初始時(shí)刻系統(tǒng)靜止。問(wèn)m1下降h時(shí)，m4水平移動(dòng)多少？解：1.建立坐標(biāo)系m1m2m3m4θoxy記四個(gè)物塊的質(zhì)心初始時(shí)刻坐標(biāo)分別為x1、x2、x3、x4。2.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理而初始時(shí)刻系統(tǒng)靜止∵所有的外力都豎直向下，所以第14頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天m1m2m3m4θoxy初始時(shí)刻質(zhì)心坐標(biāo)：m1下降h時(shí)，假設(shè)m4向左水平移動(dòng)S:解：例1：圖示機(jī)構(gòu)，地面光滑，初始時(shí)刻系統(tǒng)靜止。問(wèn)m1下降h時(shí)，m4水平移動(dòng)多少？記四個(gè)物塊的質(zhì)心初始時(shí)刻坐標(biāo)分別為x1、x2、x3、x4。第15頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天Fy例2:電動(dòng)機(jī)重W1，外殼用螺栓固定在基礎(chǔ)上，如圖所示。另有一均質(zhì)桿，長(zhǎng)l，重W2，一端固連在電動(dòng)機(jī)軸上，并與機(jī)軸垂直，另一端剛連一重W3的小球。設(shè)電動(dòng)機(jī)軸以勻角速ω轉(zhuǎn)動(dòng)，求螺栓和基礎(chǔ)作用于電動(dòng)機(jī)的最大總水平力及鉛直力。解：1.取坐標(biāo)系Oxy2.任意時(shí)刻質(zhì)心坐標(biāo)FxW1W3W2第16頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2:電動(dòng)機(jī)重W1，外殼用螺栓固定在基礎(chǔ)上，如圖所示。另有一均質(zhì)桿，長(zhǎng)l，重W2，一端固連在電動(dòng)機(jī)軸上，并與機(jī)軸垂直，另一端剛連一重W3的小球。設(shè)電動(dòng)機(jī)軸以勻角速ω轉(zhuǎn)動(dòng)，求螺栓和基礎(chǔ)作用于電動(dòng)機(jī)的最大總水平力及鉛直力。解：3.質(zhì)心加速度FyFxW1W3W2第17頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理例2:電動(dòng)機(jī)重W1，外殼用螺栓固定在基礎(chǔ)上，如圖所示。另有一均質(zhì)桿，長(zhǎng)l，重W2，一端固連在電動(dòng)機(jī)軸上，并與機(jī)軸垂直，另一端剛連一重W3的小球。設(shè)電動(dòng)機(jī)軸以勻角速ω轉(zhuǎn)動(dòng)，求螺栓和基礎(chǔ)作用于電動(dòng)機(jī)的最大總水平力及鉛直力。FyFxW1W3W2第18頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天Fy解：靜反力附加動(dòng)反力例2:電動(dòng)機(jī)重W1，外殼用螺栓固定在基礎(chǔ)上，如圖所示。另有一均質(zhì)桿，長(zhǎng)l，重W2，一端固連在電動(dòng)機(jī)軸上，并與機(jī)軸垂直，另一端剛連一重W3的小球。設(shè)電動(dòng)機(jī)軸以勻角速ω轉(zhuǎn)動(dòng)，求螺栓和基礎(chǔ)作用于電動(dòng)機(jī)的最大總水平力及鉛直力。FxFyW1W2W3動(dòng)力學(xué)中約束力靜約束力動(dòng)約束力第19頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天蛙式打夯機(jī)振動(dòng)塊第20頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：另外一種解法aC2aC3同理，求得FyFxW1W3W2a3a2第21頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：AO600例3:質(zhì)量m，半徑r的均質(zhì)圓輪在一個(gè)力偶作用下，沿水平面純滾動(dòng)。已知某時(shí)刻輪上最前點(diǎn)A的加速度為aA，方向如圖。試求：（1）質(zhì)心的加速度；（2）圓輪所受摩擦力的大小。1運(yùn)動(dòng)分析(輪作平面運(yùn)動(dòng))2、質(zhì)心加速度以O(shè)為基點(diǎn)其中解得xy

投影方程x軸y軸第22頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.受力分析C3.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理解：例3:質(zhì)量m，半徑r的均質(zhì)圓輪在一個(gè)力偶作用下，沿水平面純滾動(dòng)。已知某時(shí)刻輪上最前點(diǎn)A的加速度為aA，方向如圖。試求：（1）質(zhì)心的加速度；（2）圓輪所受摩擦力的大小。第23頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天A450BECD練習(xí)1：

質(zhì)量50kg，長(zhǎng)度2m的均質(zhì)桿A端擱在光滑水平面上，另一端B與水平桿BD鉸接并用鉛直繩BE懸掛。已知系統(tǒng)靜止于圖示位置，在繩突然剪斷瞬間，B點(diǎn)的加速度為7.35m/s2，方向鉛垂向下。試求此瞬時(shí)水平面對(duì)AB桿的反力。BD桿質(zhì)量不計(jì)。A450BECD解：1.受力分析；FNmgFBD2.運(yùn)動(dòng)分析；

aAaBaBaτABaBatCB以B為基點(diǎn)，分析A點(diǎn)加速度：y再以B為基點(diǎn)，分析C點(diǎn)加速度：第24頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天A450BECDA450BECD解：FNmgFBDaCyy3.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理；得：練習(xí)1：

質(zhì)量50kg，長(zhǎng)度2m的均質(zhì)桿A端擱在光滑水平面上，另一端B與水平桿BD鉸接并用鉛直繩BE懸掛。已知系統(tǒng)靜止于圖示位置，在繩突然剪斷瞬間，B點(diǎn)的加速度為7.35m/s2，方向鉛垂向下。試求此瞬時(shí)水平面對(duì)AB桿的反力。BD桿質(zhì)量不計(jì)。第25頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天§2質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量、沖量1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量2.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量質(zhì)系在某瞬時(shí)的動(dòng)量等于該瞬時(shí)質(zhì)系所有質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和。也等于質(zhì)系質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。量綱：ML/T單位：kg·m/s或N·s第26頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天§2質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量、沖量質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量

對(duì)于剛體系統(tǒng)，若各剛體質(zhì)心的速度已知，則整個(gè)剛體系統(tǒng)的動(dòng)量為：第27頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4：均質(zhì)丁字桿重W，AB＝OD＝2a，已知

，求桿在圖示瞬時(shí)的動(dòng)量。CvCOC=a/2解：解法一解法二方向沿vC先確定剛體的質(zhì)心位置：則：由于AB部分質(zhì)心在O點(diǎn)，因此動(dòng)量為零，則：方向沿vC第28頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)2：已知物體A的速度，求圖示剛體系統(tǒng)的動(dòng)量。設(shè)繩與輪間無(wú)滑動(dòng)。CθmAmemBxy解：

R第29頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天§2質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量、沖量1.常力的沖量：沖量是力在一段時(shí)間內(nèi)作用的累積的度量。物理學(xué)中稱之為過(guò)程量。量綱及單位與動(dòng)量相同。Kg.m/s

或N.s第30頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天§2質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量、沖量元沖量沖量2.變力的沖量：將上式向固定坐標(biāo)軸上投影：第31頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天元沖量沖量2.變力的沖量：

在任一段時(shí)間內(nèi)，合力的沖量等于所有分力的沖量的矢量和。若作用于質(zhì)點(diǎn)的力是若干個(gè)分力的合力，有：§2質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量、沖量第32頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5：已知力F1＝5kN，F(xiàn)2＝2sin(

t)kN，求二力在4s內(nèi)的合沖量。xy解：第33頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3動(dòng)量（沖量）定理質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)系的的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和第34頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天積分形式的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，也稱為質(zhì)點(diǎn)系的沖量定理：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量在某個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的改變量等于質(zhì)點(diǎn)系所受外力的沖量。微分形式的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于質(zhì)點(diǎn)系所受外力的矢量和。若作用于質(zhì)系上外力的矢量和恒為零，則質(zhì)系動(dòng)量守恒。第35頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天θCA例6：三棱柱質(zhì)量m2，置于光滑地面上；質(zhì)量m1、半徑r的圓柱在其上純滾動(dòng)，系統(tǒng)初始時(shí)刻靜止。試求圓心C相對(duì)于三棱柱速度為vr時(shí)，三棱柱的速度。m1gm2gFNvAvrvA解：由受力分析可知系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量守恒，即px=const。由初始條件可知，px=0。x以C為動(dòng)點(diǎn)，三棱柱為動(dòng)系，可知：質(zhì)心的速度為絕對(duì)速度第36頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天Fy例7:電動(dòng)機(jī)重W1，外殼用螺栓固定在基礎(chǔ)上，如圖所示。另有一均質(zhì)桿，長(zhǎng)l，重W2，一端固連在電動(dòng)機(jī)軸上，并與機(jī)軸垂直，另一端剛連一重W3的小球。設(shè)電動(dòng)機(jī)軸以勻角速ω轉(zhuǎn)動(dòng)，求螺栓和基礎(chǔ)作用于電動(dòng)機(jī)的最大總水平力及鉛直力。解：動(dòng)量定理求解v2v3第37頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例8：水流流過(guò)彎管時(shí)，在AB、CD面處平均流速分別為、（大小以m/s計(jì)），已知體積流量qv(m3/s),水密度為

（kg/m3）,若水流是恒定的即水流流過(guò)管內(nèi)每一點(diǎn)的速度不隨時(shí)間改變，因而流量是常量。求水流對(duì)彎管的動(dòng)壓力。F1F2PF解：對(duì)于水之類的流體，分析時(shí)總是假想取出其中的一部分作為質(zhì)點(diǎn)系來(lái)考察?，F(xiàn)在知道水流在AB、CD兩斷面處的速度，所以取AB、CD兩斷面之間的流體ABCD作為考察的質(zhì)點(diǎn)系。因?yàn)槭歉鶕?jù)速度的變化來(lái)求動(dòng)壓力，所以用動(dòng)量定理來(lái)求解。設(shè)經(jīng)過(guò)Δt后，流體由ABCD位置運(yùn)動(dòng)到abcd位置.l流體在兩個(gè)位置的速度不同，動(dòng)量也相應(yīng)改變，根據(jù)動(dòng)量的改變可以求出管壁作用于流體的力，就是流體作用于管壁的力。第38頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變F1F2FW因水流是恒定的，流量是常量，故在時(shí)間Δt內(nèi)流經(jīng)AB、CD兩斷面的體積都是qVΔt，質(zhì)量都是ρqVΔt，由于時(shí)間隔很小可認(rèn)vAB=vab=v1,vCD=