采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ)

采樣控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ)

應(yīng)該指出，多數(shù)實際采樣系統(tǒng)的輸出信號是連續(xù)信號，在這種情況下，可以在輸出端虛設(shè)一個采樣開關(guān)，并設(shè)它與輸入采樣開關(guān)以相同的采樣周期T同步工作。這樣就可以沿用脈沖傳遞函數(shù)的概念。第2頁,共41頁，2024年2月25日，星期天

脈沖傳遞函數(shù)和連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一樣表征了采樣系統(tǒng)的固有特性；它除了與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)系，還與采樣開關(guān)在系統(tǒng)中的具體位置有關(guān)。第3頁,共41頁，2024年2月25日，星期天1、兩個環(huán)節(jié)有采樣開關(guān)時

當(dāng)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時，等效脈沖傳遞函數(shù)為各串聯(lián)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之積。二、串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳函根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義：第4頁,共41頁，2024年2月25日，星期天2、兩個環(huán)節(jié)沒有采樣開關(guān)時

當(dāng)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)時,系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積的z變換。第5頁,共41頁，2024年2月25日，星期天3、有零階保持器時的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

有零階保持器時的開環(huán)采樣系統(tǒng)

第6頁,共41頁，2024年2月25日，星期天有零階保持器時，開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)第7頁,共41頁，2024年2月25日，星期天三、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)第8頁,共41頁，2024年2月25日，星期天閉環(huán)系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)

閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)輸出第9頁,共41頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)系統(tǒng)有擾動作用時

,可得閉環(huán)系統(tǒng)的誤差與擾動間的脈沖傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)輸出與擾動之間的脈沖傳遞函數(shù)

由于系統(tǒng)中有采樣器的存在，所以一般情況下

第10頁,共41頁，2024年2月25日，星期天對于有些采樣控制系統(tǒng)，無法寫出閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)只能寫出輸出的Z變換第11頁,共41頁，2024年2月25日，星期天1）穩(wěn)定性的基本概念穩(wěn)定性是指在擾動的作用下，系統(tǒng)會偏離原來的平衡位置，在擾動撤除后，系統(tǒng)恢復(fù)到原來平衡狀態(tài)的能力；根據(jù)穩(wěn)定性的定義，可以采用脈沖響應(yīng)的情況來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性；7.5采樣控制系統(tǒng)的性能分析7.5.1采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析第12頁,共41頁，2024年2月25日，星期天系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)如果能夠衰減到0，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第13頁,共41頁，2024年2月25日，星期天Z變換稱為采樣拉氏變換,它是從拉氏變換直接引申出來的一種變換方法。

為了把連續(xù)系統(tǒng)在s平面上分析穩(wěn)態(tài)性能的結(jié)果移植到z平面上分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能,首先需要研究這兩個復(fù)平面的關(guān)系。

2）s平面與z平面的映射關(guān)系第14頁,共41頁，2024年2月25日，星期天S平面的左半平面，z的幅值在0和1之間變化，對應(yīng)z平面單位圓內(nèi)；S平面的虛軸，對應(yīng)z平面的單位圓；當(dāng)由變到時，第15頁,共41頁，2024年2月25日，星期天圖s平面上虛軸在z平面上的映像第16頁,共41頁，2024年2月25日，星期天對于采樣控制系統(tǒng),其特征方程式為1+GH(z)=0系統(tǒng)的特征根為z1,z2,…,zn即為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點。3）穩(wěn)定條件第17頁,共41頁，2024年2月25日，星期天

根據(jù)以上分析可知,閉環(huán)采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:系統(tǒng)特征方程的所有根均分布在z平面的單位圓內(nèi),或者所有根的模均小于1,即|zi|＜1(i=1,2,…,n)。

第18頁,共41頁，2024年2月25日，星期天

對于線性采樣系統(tǒng),不能直接應(yīng)用勞斯判據(jù),因為勞斯判據(jù)只能判斷系統(tǒng)特征方程式的根是否在s平面虛軸的左半部,

而采樣系統(tǒng)中希望判別的是特征方程式的根是否在z平面單位圓的內(nèi)部。4）線性采樣系統(tǒng)勞斯判據(jù)第19頁,共41頁，2024年2月25日，星期天

因此,必須采用一種線性變換方法,使z平面上的單位圓映射為新坐標(biāo)系的虛軸。這種坐標(biāo)變換稱為雙線性變換,又稱為W變換。則

注意,因z=eTs是超越方程,故不能將特征方程式變換為代數(shù)方程。令第20頁,共41頁，2024年2月25日，星期天令復(fù)變量z=x+jy

w=u+jv

代入雙線性變換公式得對于w平面上的虛軸,實部u=0,即x2+y2-1=0這就是z平面上以坐標(biāo)原點為圓心的單位圓的方程。單位圓內(nèi)x2+y2＜1,對應(yīng)于w平面上u為負(fù)數(shù)的虛軸左半部;單位圓外x2+y2＞1,對應(yīng)于w平面上u為正數(shù)的虛軸右半部。第21頁,共41頁，2024年2月25日，星期天z平面上單位圓內(nèi)(x2+y2＜1)對應(yīng)著w平面實部為負(fù)數(shù)的左半平面。z平面上單位圓外(x2+y2＞1)對應(yīng)著w平面實部為正數(shù)的右半平面。z平面與w平面的映射關(guān)系所示。第22頁,共41頁，2024年2月25日，星期天例7-10

判斷圖7-17所示系統(tǒng)在采樣周期T=1s和T=4s

時的穩(wěn)定性圖7-17采樣系統(tǒng)第23頁,共41頁，2024年2月25日，星期天解開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為第24頁,共41頁，2024年2月25日，星期天閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為即z2+(T-2)z+1-Te-T=0當(dāng)T=1s時,系統(tǒng)的特征方程為z2-z+0.632=0第25頁,共41頁，2024年2月25日，星期天

直接解得極點為z1,2=0.5±j0.618。由于極點都在單位圓內(nèi),所以系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)T=4s時,系統(tǒng)的特征方程為z2+2z+0.927=0

解得極點為z1=-0.73,z2=-1.27。有一個極點在單位圓外,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。

第26頁,共41頁，2024年2月25日，星期天

從這個例子可以看出,一個原來穩(wěn)定的系統(tǒng),如果加長采樣周期,超過一定程度后,系統(tǒng)就會不穩(wěn)定。通常,T越大,系統(tǒng)的穩(wěn)定性就越差。第27頁,共41頁，2024年2月25日，星期天圖7-18采樣系統(tǒng)

例7-11

設(shè)采樣系統(tǒng)如圖7-18所示,采樣周期T=0.25s,求能使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。第28頁,共41頁，2024年2月25日，星期天

解開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為第29頁,共41頁，2024年2月25日，星期天閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為令代入上式得第30頁,共41頁，2024年2月25日，星期天整理后可得0.158Kω2+1.264ω+(2.736-0.158K)=0勞斯表為w2 0.158K 2.736-0.158K

w1 1.264w002.736-0.158K

要使系統(tǒng)穩(wěn)定,必須使勞斯表中第一列各項大于零,即0.158K＞0和2.736-0.158K＞0所以使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍是0＜K＜17.3。第31頁,共41頁，2024年2月25日，星期天

開環(huán)增益K和采樣周期T對采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性有如下影響：(1)采樣周期T一定時，增加開環(huán)增益K會使采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性變差，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。(2)開環(huán)增益K一定時,采樣周期T越長，丟失的信息越多，對采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性及動態(tài)性能均不利，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。第32頁,共41頁，2024年2月25日，星期天5）數(shù)字控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差圖單位反饋采樣控制系統(tǒng)第33頁,共41頁，2024年2月25日，星期天與連續(xù)系統(tǒng)類似,系統(tǒng)的誤差設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,根據(jù)終值定理可以求出在輸入信號作用下采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值

第34頁,共41頁，2024年2月25日，星期天

在連續(xù)系統(tǒng)中,如果開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)具有ν個s=0的極點,則由z=eTs可知相應(yīng)G(z)必有ν個z=1的極點。把開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)具有s=0的極點數(shù)作為劃分系統(tǒng)型別的標(biāo)準(zhǔn),并分別把ν=0,1,2,…的系統(tǒng)稱為0型、Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)等。

第35頁,共41頁，2024年2月25日，星期天

同樣,在離散系統(tǒng)中,

也可把開環(huán)傳遞函數(shù)G(z)具有z=1的極點數(shù)ν作為劃分系統(tǒng)型別的標(biāo)準(zhǔn),分別把G(z)中ν=0,1,2,…的系統(tǒng)稱為0型、Ⅰ型和Ⅱ型(離散)系統(tǒng)等。第36頁,共41頁，2024年2月25日，星期天穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù):

穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù):穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù):

與連續(xù)系統(tǒng)對應(yīng)的離散系統(tǒng)的3種誤差系數(shù)以及不同型別的穩(wěn)態(tài)誤差(表7-1)直接列出如下,不再推導(dǎo)。第37頁,共41頁，2024年2月25日，星期天表7-1單位反饋離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差采樣系統(tǒng)誤差除了與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和輸入信號有關(guān)外，還與采樣周期有關(guān)，縮小采樣周期可以減小穩(wěn)態(tài)誤差。第38頁,共41頁，2024年2月25日，星期天

如果離散系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)Gc(z)=C(z)/R(z),其中R(z)=z/(z-1)通常為單位階躍函數(shù),則系統(tǒng)輸出量的Z變換函數(shù)將上式展成冪級數(shù),通過Z反變換,可以求出輸出信號的脈沖序列c(k)或c*(t)。由于離散系統(tǒng)的時域指標(biāo)與連續(xù)系統(tǒng)相同,故根據(jù)單位階躍響應(yīng)曲線c(k)可以方便地分析離散系統(tǒng)的動態(tài)性能。7.5.2采樣控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析第39頁,共41頁，2024年2月25日，星期天例7-12

設(shè)采樣系統(tǒng)如圖7-19所示,其中,采樣周期T=0.1s,求系統(tǒng)指標(biāo)ts和σ的近似值。

解閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為第40頁,共41頁，2024年2月25日，星期天用長除法得C(z)=1.264z-1+1.395z-2+