2021年高考理數(shù)真題試卷（北京卷）508帶答案解析

2021年高考理數(shù)真題試卷（北京卷）

一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目

要求的一項.

1.已知集合A={x||x|V2},B={-1,0,1,2,3},則AnB=（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

2x—y<0,

2?若x,y滿足{%+yW3,,則2x+y的最大值為（）

%>0,

A.0B.3C.4D.5

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a值為1,則輸出的k值為（）

B.2C.3D.4

4,設a,b是向量，貝『'|a|二|b|〃是〃|a+b|=|a-b|〃的(

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知x,yWR,且x>y>0,則（）

1111

A.--->0B.sinx-siny>0C.(-)x-(-)v<0D.lnx+lny>0

6,某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）

C-1D.1

7.將函數(shù)y=sin%后）圖像上的點P（/t）向左平移s（s>。）個單位長度得到點[若P，位

于函數(shù)y=sin2x的圖像上,則（）

A.t=is的最小值為±B.t=3，s的最小值為三

2626

c.t=is的最小值為±D.t=在，s的最小值為上

2323

8.袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將

其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復上述過程，直

到袋中所有球都被放入盒中，則（）

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多

C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.

9.設a&R,若復數(shù)（1+i）（a+i）在復平面內(nèi)對應的點位于實軸上，則a=。

10.在（1-2x）6的展開式中，%2的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

10

11.在極坐標系中，直線pcos0-Kpsin。-=與圓p=2cos。交于A,B兩點，貝I]|AB|

12.己知｛aj為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若%=6,a3+a5=0,貝ijS6=

13.雙曲線1-芍=1（a>0,b>0）的漸近線為正方形OABC的邊OA,0C所在的直線，點B為該雙曲線

的焦點。若正方形OABC的邊長為2,則a=.

x3-3x,x<a,

14.設函數(shù)｛

—2x,x>ao

①若a=0,則f(x)的最大值為；

②若f(x)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是。

三、解答題(共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程)

15.在4ABC中，a3+c3=b3+\[2ac

(1)求ZB的大小

(2)求V2cosA+cosC的最大值

16.A、B、C三個班共有100名學生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛

煉時間，數(shù)據(jù)如下表(單位：小時)；

A班66.577.58

B班6789101112

C班34.567.5910.51213.5

(1)試估計C班的學生人數(shù);

(2)從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙，假設所

有學生的鍛煉時間相對獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；

(3)再從A、B、C三個班中各隨機抽取一名學生，他們該周的鍛煉時間分別是7,9,8.25(單位：小時),

這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構成的新樣本的平均數(shù)記〃1,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為40,試判斷

Mo和Mi的大小，(結(jié)論不要求證明)

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD1平面ABCD,PA1PD,PA=PD,AB1AD,AB=1,AD=2,AC=CD=

V5

(1)求證：PD1平面PAB;

(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;

(在棱上是否存在點使得平面若存在，求翳的值；若不存在，說明理由。

3)PAM,BMIIPCD?AP

18.設函數(shù)f(x)=xe。-*+bx,曲線y=f(x)在點(2,f⑵)處的切線方程為y=(e-l)x+4,

(1)求a,b的值；

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間。

19.已知橢圓C：4+4=1(a>b>0)的離心率為—,A(a,0),B(O,b),0(0,0),△OAB的面積為

a2b22

1.

(I)求橢圓c的方程；

(2)設P的橢圓C上一點，直線PA與Y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N。求證：IANI?IBMI為定

值。

設數(shù)列,aa如果對小于的每個正整數(shù)都有a<a,則稱

20.A：%2N(N>2)on(2VnSN)kknn

是數(shù)歹UA的一個"G時刻"。記"G(A)是數(shù)歹UA的所有“G時刻”組成的集合。

(1)對數(shù)列A：-2,2,-1,1,3,寫出G(A)的所有元素；

(2)證明：若數(shù)列A中存在an使得〃>%,則G(A)#0；

證明：若數(shù)列滿足，則的元素個數(shù)不小于a-%。

(3)Aan-an_x<1(n=2,3,.,N)GA.N

答案解析部分

一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.

1.【答案】C

【考點】交集及其運算

【解析】【解答】集合4={x|—2<x<2},集合8={x|-1,0,1,2,3},所以4nB={-1,0,1}

【分析】先求出集合A和B,由此利用交集的定義能求出ACB.

2.【答案】C

【考點】簡單線性規(guī)劃

【解析】【解答】可行域如圖陰影部分，目標函數(shù)平移到虛線處取得最大值，對應的點為（1，2）,最大

值為2x1+2=4.

【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，目標函數(shù)的幾何意義是直線的縱截距，利用數(shù)形結(jié)合即可求z的

取值范圍.

3.【答案】B

【考點】程序框圖

【解析】【解答】開始a=1,k=0；第一次循環(huán)。=一；，k=l；第二次循環(huán)a=-2,k=

2,第三次循環(huán)a=l,條件判斷為"是"跳出，此時k=2

【分析】根據(jù)已知的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構計算并輸出變量S的值，模擬程序的運

行過程，可得答案.

4.【答案】D

【考點】充要條件，向量的模

【解析】【解答】若\a\=\b\成立，則以a,b為邊組成平行四邊形，那么該平行四邊形為菱形，

a+b，a-b表示的是該菱形的對角線，而菱形的對角線不一定相等，所以|a+6|=|a-b|不一定成

立，從而不是充分條件；反之，\a+b\=\a-b\成立，則以五，b為邊組成平行四邊形，則該平行四

邊形為矩形，矩形的鄰邊不一定相等，所以|a|=|b|不一定成立，從而不是必要條件.

【分析】根據(jù)向量模相等的幾何意義，結(jié)合充要條件的定義，可得答案

5.【答案】C

【考點】不等關系與不等式

【解析】【解答】A.考查的是反比例函數(shù)y=工在（0,+8）單調(diào)遞減，所以:〈;即:一:<。所

Xxyxy

以A錯；

B.考查的是三角函數(shù)y=sinx在（0,+°0）單調(diào)性，不是單調(diào)的，所以不一定有sinx>siny,B

錯；

C.考查的是指數(shù)函數(shù)'=?尸在（0,+8）單調(diào)遞減，所以有（2尸<（］，即G尸一（］〃<0所以c

對；

D.考查的是對數(shù)函數(shù)y=Inx的性質(zhì)，Inx+Iny=Inxy，當％>y>°時，xy>0不一定有

Inxy>0,所以D錯

【分析】x,yWR,且x>y>0,可得：工<工，sinx與siny的大小關系不確定，（士）x<（《）

xy22

Inx+lny與0的大小關系不確定，即可判斷出結(jié)論.

6.【答案】A

【考點】由三視圖求面積、體積

【解析】【解答】通過三視圖可還原幾何體為如圖所示三棱錐，則通過側(cè)視圖得高力=1,底面積S=：x

lxl=J,所以體積==；.

ZDO

【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，進而可得答案.

7.【答案】A

【考點】函數(shù)y=Asin（3X+4>）的圖象變換

【解析】【解答】點P(—,t)在函數(shù)y=sin(2x—y)上，所以t=sin(2x-y)=sin(-^-)=:，然

后y=sin(2x-y)向左平移s個單位，即y=sin(2(x4-s)-y)=sin2x，所以s=看+々兀,ke

Z,所以s的最小值為三

6

【分析】將*=二代入得：t=5,進而求出平移后P'的坐標，進而得到S的最小值.

42

8.【答案】B

【考點】進行簡單的演繹推理

【解析】【解答】取兩個球往盒子中放有4種情況：

①紅+紅，則乙盒中紅球數(shù)加1個；

②黑+黑，則丙盒中黑球數(shù)加1個；

③紅+黑(紅球放入甲盒中)，則乙盒中黑球數(shù)加1個；

④黑+紅(黑球放入甲盒中)，則丙盒中紅球數(shù)加1個.

因為紅球和黑球個數(shù)一樣，所以①和②的情況一樣多，③和④的情況完全隨機.

③和④對B選項中的乙盒中的紅球與丙盒中的黑球數(shù)沒有任何影響.

①和②出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的，所以對B選項中的乙盒中的紅球與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣.

綜上，選B

【分析】分析理解題意：乙中放紅球，則甲中也肯定是放紅球；往丙中放球的前提是放入甲中的不是紅

球，據(jù)此可以從乙中的紅球個數(shù)為切入點進行分析

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.

9.【答案】-1

【考點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

【解析】【解答】(1+j)(a+j)=a—1+(a+

???其對應點在實軸上

a+1=0,a=-1

【分析】(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i,則a+l=0,解得答案

10.【答案】60

【考點】二項式定理的應用

【解析】【解答】由二項式定理得含X2的項為c氫—2x)2=60/

【分析】利用二項式定理展開式的通項公式即可得出.

11.【答案】2

【考點】簡單曲線的極坐標方程

【解析】【解答】將極坐標轉(zhuǎn)化為直角坐標進行運算》=pcosO,y=psin9

直線的直角坐標方程為x-V3y-1=0

p=2cos0,p2（sin20+cos20）=2pcos0x2+y2=2x

圓的直角坐標方程為（x一I/+y2=i

圓心（1,0）在直線上，因此AB為圓的直徑，\AB\=2

【分析】把圓與直線的極坐標方程化為直角坐標方程，利用圓心C在直線上可得|AB|.

12.【答案】6

【考點】等差數(shù)列的前n項和

【解析】【解答】a3+a5=2a4，a4=°

ax=6,a4=aj+3d：-d=-2

S6=6ax+=6

【分析】由已知條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差，由此利用等差數(shù)列的前n項和公式能求出S6.

13.【答案】2

【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)

【解析】【解答】不妨令B為雙曲線的右焦點，A在第一象限，則雙曲線圖象如圖

CM8C為正方形，\OA\=2c=\OB\=272.ZAOB

直線04是漸近線，方程為y=3=tan^AOB=1

又a2+b2=c2=8a=2

【分析】根據(jù)雙曲線漸近線在正方形的兩個邊，得到雙曲線的漸近線互相垂直，即雙曲線是等軸雙曲線,

結(jié)合等軸雙曲線的性質(zhì)進行求解即可

14.【答案】2；a<-1

【考點】分段函數(shù)的應用

【解析】【解答】由(X3-3%)=3/_3=0，得X=±1,如下圖，是/(x)的兩個函數(shù)在沒有限

制條件

時的圖象.

①f(X)max=f(T)=2;

②當a之一1時，/(%)有最大值/(-I)=2；

3

當a<-1時，一2%在％>a時無最大值，且一2a>(x-3x)max.

所以，a<—1.

【分析】①將a二0代入，求出函數(shù)的導數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得當x=-l時，(x)的最大值為2；

fa<-i卜>-1

3

②若f(X)無最大值，則q，或-2a>a-3a，解得答案.

-2a>a-3a、

-2a>2

三、解答題(共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程)

15.【答案】(1)解：：a2+c2=b2+\[2ac

a2+c2-b2=\[2ac

a2+c2-b2五acV2

COSBn=-：-------=------

2ac2ac2

(2)解：；4+8+C=

3

丁?V2cos>l+cosC

V2V2

=V2coSi4+—cos^)+—sin/l

=cos/l+-ysinA=sin（A+：）

A+C=ln

A6（0,3.）

4+?e（1頁）

sin（4+；）最大值為1

上式最大值為1

【考點】解三角形的實際應用

【解析】【分析】（1）根據(jù)已知和余弦定理，可得cosB=Y2進而得到答案：（2）由（I）得：C=衛(wèi)

24

-A,結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得&cosA+cosC的最大值.

16.【答案】⑴解：5x100=40,C班學生40人

（2）解：在A班中取到每個人的概率相同均為1

設A班中取到第I個人事件為4/=123,4,5

C班中取到第j個人事件為=1,234,5,6,7,8

A班中取到4>Cj的概率為P]

所求事件為。

1111

1--+-D

5555M

?13131314

-

X

--------一

358585858

3

=-

8

<

「

Ml

三組平均數(shù)分別為7,9,8.25,總均值的=8.2

但Mi中多加的三個數(shù)據(jù)7,9,8.25,平均值為8.08，比的小，

故拉低了平均值

【考點】用樣本的頻率分布估計總體分布，古典概型及其概率計算公式

【解析】【分析】（1）由己知先計算出抽樣比，進而可估計C班的學生人數(shù)；（2）根據(jù)古典概型概率計

算公式，可求出該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；（3）根據(jù)平均數(shù)的定義，可判斷出M＞內(nèi)

17.【答案】（1）證明：?.?平面PADJ■平面ABCD,且平面PADn平面ABCD=AD,

且ABJ_AD,AB印面ABCD,

/.AB_L平面PAD,

PDd5)2面PAD,

AB±PD,

又PDJ_PA,且PAnAB=A,

PD_L平面PAB；

（2）解：如圖:

取AD中點為。，連結(jié)CO,P0，；CD^AC=VS--CO1AD-：PA=PD：.PO1AD以。為原

點，如圖建系易知P(0,0,1),B(l,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0),則即=(1,1,-1),

")=(0,-1,-1),代：=(2,0,-1),Ct)=(-2,-1,0)設轉(zhuǎn)為面PDC的法向量，令

卷=(殉，yo>1){:黑二;=卷=(9一LD，則PB與面PCD夾角6有sin。=|cos<^,PB>\=

I上J=I金二一|=3

M時II即工刀3

（3）解：假設存在M點使得BMII面PCD

設京=4，M(0,y,z)

由(2)知4(°,l,0),P(0,0,l),ZP=(0,-l,l)，B(l,l,0),AM=(0,y/一l,z')

有箱=2而=M(0,1-4,2)

???BM=

BM||面PCD,行為PCD的法向量

???BM-n=0

即-：+；l+；l=0

1

=4

綜上，存在M點，即當普=；時，M點即為所求

AP4

【考點】空間中直線與平面之間的位置關系

【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得AB_L平面PAD,進一步得到ABJ_PD,再由PDLPA,

由線面垂直的判定得到PDJ■平面PAB；

（2）取AD中點為0,連接C。，P0,由已知可得C0J_AD,P0±AD.以。為坐標原點，建立空間直角坐

標系，求得P(0,0,1),B(l,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0),進一步求出向量PB、PD、pc

的坐標，再求出平面PCD的法向量若，設PB與平面PCD的夾角為仇由

麗>|=|%|求得直線與平面所成角的正弦值;

sine=|COs<n，PBPCD

InIIPBI

（3）假設存在M點使得BMII平面PCD,設空=入，M（0,yi,Zi）,由京二九百可得M（0,1

職時

-入，入），BM=（-1,-入，入）由BMII平面PCD,可得麗?[=0，由此列式求得當

M點即為所求.

.【答案】（）解：ax

181,?"（X）=xe-+bx

axaxax

f(%)=e~—xe~+b=(1—x)e~+b

???曲線在點處的切線方程為

y=/(x)(2,/(2))y=(e-l)x+4

/(2)=2媼-1)+4，/(2)=eT

即a2爆-

/(2)=2e-+2b=21)+4①

a2

f'(2)=(1-2)e-+b=e-1②

由①②解得：

a=2,b=e

(2)解：；a-2,b=e；

f(x)=xe2x+ex,

f(x)=e2x-xe2x+e=(1-x)e2x+e,

fn(x)=-e2x-(1-x)e2x=(x-2)e2x,

由f”(x)>0得x>2,由f"(x)<0得x<2,

即當x=2時，f(x)取得極小值f'(2)=(1-2)e22+e=e-l>0,

f(x)>0恒成立，

即函數(shù)f(x)是增函數(shù)，

即f(X)的單調(diào)區(qū)間是(-8,+8).

【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【分析】（1）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)的切線斜率以及f（2）,建立方程

組關系即可求a,b的值；（2）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系即可求f<x）的單調(diào)區(qū)

間.

19?【答案】⑴解：由已知,合爭產(chǎn)=1,又a2=〃+c2,

解得Q=2,/?=1,c=V3.

橢圓的方程為-+y2=l

4

（2）解：方法一:

設橢圓上一點P（x（）,yo），則J+%=1.

直線PA：y=（X-2）,令X=0,得.

...|喇=|1+汽

XQ-2

x

直線PB：y-^~+1,令y=0,得%N=.

XQyo~L

|硼=|2+起

%o2yo

|ZN|?|BM|=|2+

Vo-15+總

,xo+2yo-2x+2y-2

=lNQ01

x0-2y0-l

,賠+4詔+4xy-4%o-8y+4,

=------------------0---0----------------0-----

xoyo-x0-2y0+2

將9+%=1代入上式得\AN\■\BM\=4

故\AN\■\BM\為定值.

方法二：

設橢圓上一點P（2cos0,sin0）,

直線PA：y=G（x-2），令X=。，得yM=^.

\BM\=|sin0+cos0-l

1-cos。

2cosG

直線PB:y=2co?X+1,令y=0,得環(huán)

l-sin0

\AN\=2sin0+2cos0-2

l-sin0

2sin04-2cos8-2sin。+cos。—1

|皿|眄=卜-in?！猈1—一與1