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文檔簡(jiǎn)介

2021年高考理數(shù)真題試卷(北京卷)

一、選擇題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目

要求的一項(xiàng).

1.已知集合A={x||x|V2},B={-1,0,1,2,3},則AnB=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

2x—y<0,

2?若x,y滿足{%+yW3,,則2x+y的最大值為()

%>0,

A.0B.3C.4D.5

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的a值為1,則輸出的k值為()

B.2C.3D.4

4,設(shè)a,b是向量,貝『'|a|二|b|〃是〃|a+b|=|a-b|〃的(

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知x,yWR,且x>y>0,則()

1111

A.--->0B.sinx-siny>0C.(-)x-(-)v<0D.lnx+lny>0

6,某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為()

C-1D.1

7.將函數(shù)y=sin%后)圖像上的點(diǎn)P(/t)向左平移s(s>。)個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)[若P,位

于函數(shù)y=sin2x的圖像上,則()

A.t=is的最小值為±B.t=3,s的最小值為三

2626

c.t=is的最小值為±D.t=在,s的最小值為上

2323

8.袋中裝有偶數(shù)個(gè)球,其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個(gè)空盒.每次從袋中任意取出兩個(gè)球,將

其中一個(gè)球放入甲盒,如果這個(gè)球是紅球,就將另一個(gè)球放入乙盒,否則就放入丙盒.重復(fù)上述過(guò)程,直

到袋中所有球都被放入盒中,則()

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多

C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多

二、填空題共6小題,每小題5分,共30分.

9.設(shè)a&R,若復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上,則a=。

10.在(1-2x)6的展開(kāi)式中,%2的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

10

11.在極坐標(biāo)系中,直線pcos0-Kpsin。-=與圓p=2cos。交于A,B兩點(diǎn),貝I]|AB|

12.己知{aj為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,若%=6,a3+a5=0,貝ijS6=

13.雙曲線1-芍=1(a>0,b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,0C所在的直線,點(diǎn)B為該雙曲線

的焦點(diǎn)。若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,則a=.

x3-3x,x<a,

14.設(shè)函數(shù){

—2x,x>ao

①若a=0,則f(x)的最大值為;

②若f(x)無(wú)最大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

三、解答題(共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程)

15.在4ABC中,a3+c3=b3+\[2ac

(1)求ZB的大小

(2)求V2cosA+cosC的最大值

16.A、B、C三個(gè)班共有100名學(xué)生,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,通過(guò)分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛

煉時(shí)間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時(shí));

A班66.577.58

B班6789101112

C班34.567.5910.51213.5

(1)試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù);

(2)從A班和C班抽出的學(xué)生中,各隨機(jī)選取一人,A班選出的人記為甲,C班選出的人記為乙,假設(shè)所

有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相對(duì)獨(dú)立,求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率;

(3)再?gòu)腁、B、C三個(gè)班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生,他們?cè)撝艿腻憻挄r(shí)間分別是7,9,8.25(單位:小時(shí)),

這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記〃1,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為40,試判斷

Mo和Mi的大小,(結(jié)論不要求證明)

17.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD1平面ABCD,PA1PD,PA=PD,AB1AD,AB=1,AD=2,AC=CD=

V5

(1)求證:PD1平面PAB;

(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;

(在棱上是否存在點(diǎn)使得平面若存在,求翳的值;若不存在,說(shuō)明理由。

3)PAM,BMIIPCD?AP

18.設(shè)函數(shù)f(x)=xe。-*+bx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f⑵)處的切線方程為y=(e-l)x+4,

(1)求a,b的值;

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間。

19.已知橢圓C:4+4=1(a>b>0)的離心率為—,A(a,0),B(O,b),0(0,0),△OAB的面積為

a2b22

1.

(I)求橢圓c的方程;

(2)設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn),直線PA與Y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N。求證:IANI?IBMI為定

值。

設(shè)數(shù)列,aa如果對(duì)小于的每個(gè)正整數(shù)都有a<a,則稱

20.A:%2N(N>2)on(2VnSN)kknn

是數(shù)歹UA的一個(gè)"G時(shí)刻"。記"G(A)是數(shù)歹UA的所有“G時(shí)刻”組成的集合。

(1)對(duì)數(shù)列A:-2,2,-1,1,3,寫出G(A)的所有元素;

(2)證明:若數(shù)列A中存在an使得〃>%,則G(A)#0;

證明:若數(shù)列滿足,則的元素個(gè)數(shù)不小于a-%。

(3)Aan-an_x<1(n=2,3,.,N)GA.N

答案解析部分

一、選擇題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).

1.【答案】C

【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算

【解析】【解答】集合4={x|—2<x<2},集合8={x|-1,0,1,2,3},所以4nB={-1,0,1}

【分析】先求出集合A和B,由此利用交集的定義能求出ACB.

2.【答案】C

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

【解析】【解答】可行域如圖陰影部分,目標(biāo)函數(shù)平移到虛線處取得最大值,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,2),最大

值為2x1+2=4.

【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線的縱截距,利用數(shù)形結(jié)合即可求z的

取值范圍.

3.【答案】B

【考點(diǎn)】程序框圖

【解析】【解答】開(kāi)始a=1,k=0;第一次循環(huán)。=一;,k=l;第二次循環(huán)a=-2,k=

2,第三次循環(huán)a=l,條件判斷為"是"跳出,此時(shí)k=2

【分析】根據(jù)已知的程序框圖可得,該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值,模擬程序的運(yùn)

行過(guò)程,可得答案.

4.【答案】D

【考點(diǎn)】充要條件,向量的模

【解析】【解答】若\a\=\b\成立,則以a,b為邊組成平行四邊形,那么該平行四邊形為菱形,

a+b,a-b表示的是該菱形的對(duì)角線,而菱形的對(duì)角線不一定相等,所以|a+6|=|a-b|不一定成

立,從而不是充分條件;反之,\a+b\=\a-b\成立,則以五,b為邊組成平行四邊形,則該平行四

邊形為矩形,矩形的鄰邊不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,從而不是必要條件.

【分析】根據(jù)向量模相等的幾何意義,結(jié)合充要條件的定義,可得答案

5.【答案】C

【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式

【解析】【解答】A.考查的是反比例函數(shù)y=工在(0,+8)單調(diào)遞減,所以:〈;即:一:<。所

Xxyxy

以A錯(cuò);

B.考查的是三角函數(shù)y=sinx在(0,+°0)單調(diào)性,不是單調(diào)的,所以不一定有sinx>siny,B

錯(cuò);

C.考查的是指數(shù)函數(shù)'=?尸在(0,+8)單調(diào)遞減,所以有(2尸<(],即G尸一(]〃<0所以c

對(duì);

D.考查的是對(duì)數(shù)函數(shù)y=Inx的性質(zhì),Inx+Iny=Inxy,當(dāng)%>y>°時(shí),xy>0不一定有

Inxy>0,所以D錯(cuò)

【分析】x,yWR,且x>y>0,可得:工<工,sinx與siny的大小關(guān)系不確定,(士)x<(《)

xy22

Inx+lny與0的大小關(guān)系不確定,即可判斷出結(jié)論.

6.【答案】A

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積

【解析】【解答】通過(guò)三視圖可還原幾何體為如圖所示三棱錐,則通過(guò)側(cè)視圖得高力=1,底面積S=:x

lxl=J,所以體積==;.

ZDO

【分析】由已知中的三視圖可得:該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐,進(jìn)而可得答案.

7.【答案】A

【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(3X+4>)的圖象變換

【解析】【解答】點(diǎn)P(—,t)在函數(shù)y=sin(2x—y)上,所以t=sin(2x-y)=sin(-^-)=:,然

后y=sin(2x-y)向左平移s個(gè)單位,即y=sin(2(x4-s)-y)=sin2x,所以s=看+々兀,ke

Z,所以s的最小值為三

6

【分析】將*=二代入得:t=5,進(jìn)而求出平移后P'的坐標(biāo),進(jìn)而得到S的最小值.

42

8.【答案】B

【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理

【解析】【解答】取兩個(gè)球往盒子中放有4種情況:

①紅+紅,則乙盒中紅球數(shù)加1個(gè);

②黑+黑,則丙盒中黑球數(shù)加1個(gè);

③紅+黑(紅球放入甲盒中),則乙盒中黑球數(shù)加1個(gè);

④黑+紅(黑球放入甲盒中),則丙盒中紅球數(shù)加1個(gè).

因?yàn)榧t球和黑球個(gè)數(shù)一樣,所以①和②的情況一樣多,③和④的情況完全隨機(jī).

③和④對(duì)B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球與丙盒中的黑球數(shù)沒(méi)有任何影響.

①和②出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的,所以對(duì)B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣.

綜上,選B

【分析】分析理解題意:乙中放紅球,則甲中也肯定是放紅球;往丙中放球的前提是放入甲中的不是紅

球,據(jù)此可以從乙中的紅球個(gè)數(shù)為切入點(diǎn)進(jìn)行分析

二、填空題共6小題,每小題5分,共30分.

9.【答案】-1

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

【解析】【解答】(1+j)(a+j)=a—1+(a+

???其對(duì)應(yīng)點(diǎn)在實(shí)軸上

a+1=0,a=-1

【分析】(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i,則a+l=0,解得答案

10.【答案】60

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】【解答】由二項(xiàng)式定理得含X2的項(xiàng)為c氫—2x)2=60/

【分析】利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可得出.

11.【答案】2

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

【解析】【解答】將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算》=pcosO,y=psin9

直線的直角坐標(biāo)方程為x-V3y-1=0

p=2cos0,p2(sin20+cos20)=2pcos0x2+y2=2x

圓的直角坐標(biāo)方程為(x一I/+y2=i

圓心(1,0)在直線上,因此AB為圓的直徑,\AB\=2

【分析】把圓與直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,利用圓心C在直線上可得|AB|.

12.【答案】6

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】a3+a5=2a4,a4=°

ax=6,a4=aj+3d:-d=-2

S6=6ax+=6

【分析】由已知條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差,由此利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式能求出S6.

13.【答案】2

【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】不妨令B為雙曲線的右焦點(diǎn),A在第一象限,則雙曲線圖象如圖

CM8C為正方形,\OA\=2c=\OB\=272.ZAOB

直線04是漸近線,方程為y=3=tan^AOB=1

又a2+b2=c2=8a=2

【分析】根據(jù)雙曲線漸近線在正方形的兩個(gè)邊,得到雙曲線的漸近線互相垂直,即雙曲線是等軸雙曲線,

結(jié)合等軸雙曲線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可

14.【答案】2;a<-1

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用

【解析】【解答】由(X3-3%)=3/_3=0,得X=±1,如下圖,是/(x)的兩個(gè)函數(shù)在沒(méi)有限

制條件

時(shí)的圖象.

①f(X)max=f(T)=2;

②當(dāng)a之一1時(shí),/(%)有最大值/(-I)=2;

3

當(dāng)a<-1時(shí),一2%在%>a時(shí)無(wú)最大值,且一2a>(x-3x)max.

所以,a<—1.

【分析】①將a二0代入,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分析函數(shù)的單調(diào)性,可得當(dāng)x=-l時(shí),(x)的最大值為2;

fa<-i卜>-1

3

②若f(X)無(wú)最大值,則q,或-2a>a-3a,解得答案.

-2a>a-3a、

-2a>2

三、解答題(共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程)

15.【答案】(1)解::a2+c2=b2+\[2ac

a2+c2-b2=\[2ac

a2+c2-b2五acV2

COSBn=-:-------=------

2ac2ac2

(2)解:;4+8+C=

3

丁?V2cos>l+cosC

V2V2

=V2coSi4+—cos^)+—sin/l

=cos/l+-ysinA=sin(A+:)

A+C=ln

A6(0,3.)

4+?e(1頁(yè))

sin(4+;)最大值為1

上式最大值為1

【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【分析】(1)根據(jù)已知和余弦定理,可得cosB=Y2進(jìn)而得到答案:(2)由(I)得:C=衛(wèi)

24

-A,結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得&cosA+cosC的最大值.

16.【答案】⑴解:5x100=40,C班學(xué)生40人

(2)解:在A班中取到每個(gè)人的概率相同均為1

設(shè)A班中取到第I個(gè)人事件為4/=123,4,5

C班中取到第j個(gè)人事件為=1,234,5,6,7,8

A班中取到4>Cj的概率為P]

所求事件為。

1111

1--+-D

5555M

?13131314

-

X

--------一

358585858

3

=-

8

<

Ml

三組平均數(shù)分別為7,9,8.25,總均值的=8.2

但Mi中多加的三個(gè)數(shù)據(jù)7,9,8.25,平均值為8.08,比的小,

故拉低了平均值

【考點(diǎn)】用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,古典概型及其概率計(jì)算公式

【解析】【分析】(1)由己知先計(jì)算出抽樣比,進(jìn)而可估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù);(2)根據(jù)古典概型概率計(jì)

算公式,可求出該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率;(3)根據(jù)平均數(shù)的定義,可判斷出M>內(nèi)

17.【答案】(1)證明:?.?平面PADJ■平面ABCD,且平面PADn平面ABCD=AD,

且ABJ_AD,AB印面ABCD,

/.AB_L平面PAD,

PDd5)2面PAD,

AB±PD,

又PDJ_PA,且PAnAB=A,

PD_L平面PAB;

(2)解:如圖:

取AD中點(diǎn)為。,連結(jié)CO,P0,;CD^AC=VS--CO1AD-:PA=PD:.PO1AD以。為原

點(diǎn),如圖建系易知P(0,0,1),B(l,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0),則即=(1,1,-1),

")=(0,-1,-1),代:=(2,0,-1),Ct)=(-2,-1,0)設(shè)轉(zhuǎn)為面PDC的法向量,令

卷=(殉,yo>1){:黑二;=卷=(9一LD,則PB與面PCD夾角6有sin。=|cos<^,PB>\=

I上J=I金二一|=3

M時(shí)II即工刀3

(3)解:假設(shè)存在M點(diǎn)使得BMII面PCD

設(shè)京=4,M(0,y,z)

由(2)知4(°,l,0),P(0,0,l),ZP=(0,-l,l),B(l,l,0),AM=(0,y/一l,z')

有箱=2而=M(0,1-4,2)

???BM=

BM||面PCD,行為PCD的法向量

???BM-n=0

即-:+;l+;l=0

1

=4

綜上,存在M點(diǎn),即當(dāng)普=;時(shí),M點(diǎn)即為所求

AP4

【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

【解析】【分析】(1)由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得AB_L平面PAD,進(jìn)一步得到ABJ_PD,再由PDLPA,

由線面垂直的判定得到PDJ■平面PAB;

(2)取AD中點(diǎn)為0,連接C。,P0,由已知可得C0J_AD,P0±AD.以。為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐

標(biāo)系,求得P(0,0,1),B(l,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0),進(jìn)一步求出向量PB、PD、pc

的坐標(biāo),再求出平面PCD的法向量若,設(shè)PB與平面PCD的夾角為仇由

麗>|=|%|求得直線與平面所成角的正弦值;

sine=|COs<n,PBPCD

InIIPBI

(3)假設(shè)存在M點(diǎn)使得BMII平面PCD,設(shè)空=入,M(0,yi,Zi),由京二九百可得M(0,1

職時(shí)

-入,入),BM=(-1,-入,入)由BMII平面PCD,可得麗?[=0,由此列式求得當(dāng)

M點(diǎn)即為所求.

.【答案】()解:ax

181,?"(X)=xe-+bx

axaxax

f(%)=e~—xe~+b=(1—x)e~+b

???曲線在點(diǎn)處的切線方程為

y=/(x)(2,/(2))y=(e-l)x+4

/(2)=2媼-1)+4,/(2)=eT

即a2爆-

/(2)=2e-+2b=21)+4①

a2

f'(2)=(1-2)e-+b=e-1②

由①②解得:

a=2,b=e

(2)解:;a-2,b=e;

f(x)=xe2x+ex,

f(x)=e2x-xe2x+e=(1-x)e2x+e,

fn(x)=-e2x-(1-x)e2x=(x-2)e2x,

由f”(x)>0得x>2,由f"(x)<0得x<2,

即當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得極小值f'(2)=(1-2)e22+e=e-l>0,

f(x)>0恒成立,

即函數(shù)f(x)是增函數(shù),

即f(X)的單調(diào)區(qū)間是(-8,+8).

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【分析】(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)的切線斜率以及f(2),建立方程

組關(guān)系即可求a,b的值;(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求f<x)的單調(diào)區(qū)

間.

19?【答案】⑴解:由已知,合爭(zhēng)產(chǎn)=1,又a2=〃+c2,

解得Q=2,/?=1,c=V3.

橢圓的方程為-+y2=l

4

(2)解:方法一:

設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(x(),yo),則J+%=1.

直線PA:y=(X-2),令X=0,得.

...|喇=|1+汽

XQ-2

x

直線PB:y-^~+1,令y=0,得%N=.

XQyo~L

|硼=|2+起

%o2yo

|ZN|?|BM|=|2+

Vo-15+總

,xo+2yo-2x+2y-2

=lNQ01

x0-2y0-l

,賠+4詔+4xy-4%o-8y+4,

=------------------0---0----------------0-----

xoyo-x0-2y0+2

將9+%=1代入上式得\AN\■\BM\=4

故\AN\■\BM\為定值.

方法二:

設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(2cos0,sin0),

直線PA:y=G(x-2),令X=。,得yM=^.

\BM\=|sin0+cos0-l

1-cos。

2cosG

直線PB:y=2co?X+1,令y=0,得環(huán)

l-sin0

\AN\=2sin0+2cos0-2

l-sin0

2sin04-2cos8-2sin。+cos?!?

|皿|眄=卜-in?!猈1—一與1

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