福建省南平市建陽(yáng)第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析

福建省南平市建陽(yáng)第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最大邊長(zhǎng)為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B2.圓C的圓心在y軸正半軸上，且與x軸相切，被雙曲線的漸近線截得的弦長(zhǎng)為，則圓C的方程為A．x2+(y-1)2=1 B．x2+(y-)2=3C．x2+(y-)2= D．x2+(y-2)2=4參考答案：A3.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，在定義域x∈[﹣2，2]上表示的曲線過(guò)原點(diǎn)，且在x=±1處的切線斜率均為﹣1．有以下命題：①f（x）是奇函數(shù)；②若f（x）在[s，t]內(nèi)遞減，則|t﹣s|的最大值為4；③f（x）的最大值為M，最小值為m，則M+m=0．④若對(duì)?x∈[﹣2，2]，k≤f′（x）恒成立，則k的最大值為2．其中正確命題的個(gè)數(shù)有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷．【專題】計(jì)算題．【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)f（x）過(guò)原點(diǎn)，列方程組求出f（x）的解析式；然后根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，則命題①④得出判斷；最后令f′（x）=0，求出f（x）的極值點(diǎn)，進(jìn)而求得f（x）的單調(diào)區(qū)間與最值，則命題②③得出判斷．【解答】解：函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c的圖象過(guò)原點(diǎn)，可得c=0；又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1處的切線斜率均為﹣1，則有，解得a=0，b=﹣4．所以f（x）=x3﹣4x，f′（x）=3x2﹣4．①可見(jiàn)f（x）=x3﹣4x是奇函數(shù)，因此①正確；x∈[﹣2，2]時(shí)，[f′（x）]min=﹣4，則k≤f'（x）恒成立，需k≤﹣4，因此④錯(cuò)誤．②令f′（x）=0，得x=±．所以f（x）在[﹣，]內(nèi)遞減，則|t﹣s|的最大值為，因此②錯(cuò)誤；且f（x）的極大值為f（﹣）=，極小值為f（）=﹣，兩端點(diǎn)處f（﹣2）=f（2）=0，所以f（x）的最大值為M=，最小值為m=﹣，則M+m=0，因此③正確．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值的方法．4.設(shè)集合

，，若，則實(shí)數(shù)的值為(C)(A)或

(B)或

(C)或

(D)或或參考答案：C5.若均為單位向量，且，則的最小值是（

）A．

B．1

C．

D．參考答案：A6.設(shè)集合，則

(

)

（Ａ）（Ｂ）

（Ｃ）（Ｄ）參考答案：B略7.命題“若，則”的逆命題是（A）若，則

（B）若，則

（C）若，則

（D）若，則參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】四種命題A2D解析：“若p則q”的逆命題是“若q則p”,故選D.【思路點(diǎn)撥】將原命題的條件和結(jié)論互換位置即可得到逆命題.8.四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，若AB=2，PA=1，則此四棱錐的外接球的體積為（）A．36π B．16π C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】球內(nèi)接多面體．【分析】把四棱錐P﹣ABCD補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，可知：此長(zhǎng)方體的對(duì)角線為四棱錐P﹣ABCD的外接球的直徑2R．利用勾股定理得出R，即可得出此四棱錐的外接球的體積．【解答】解：把四棱錐P﹣ABCD補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，可知：此長(zhǎng)方體的對(duì)角線為四棱錐P﹣ABCD的外接球的直徑2R．∴（2R）2=22+22+12=9，∴R=，∴此四棱錐的外接球的體積為=．故選：C．9.已知向量，且a+b與阿a共線，那么的值為

A.l

B.2

C.3

D.4參考答案：10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖所表示的程序，則所得的結(jié)果為A.

B.

C.

D.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若（x+）n的二項(xiàng)展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則常數(shù)n的值為

．參考答案：8【考點(diǎn)】DB：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)（x+）n的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，寫出它的前三項(xiàng)系數(shù)，利用等差數(shù)列求出n的值．【解答】解：∵（x+）n的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為Tr+1=?xn﹣r?=??xn﹣2r，前三項(xiàng)的系數(shù)為1，，，∴n=1+，解得n=8或n=1（不合題意，舍去），∴常數(shù)n的值為8．故答案為：8．12.已知集合，，若，則的值為_(kāi)_____________。參考答案：013.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，點(diǎn)P是斜邊AB上的一個(gè)三等分點(diǎn)，則=

．參考答案：4【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】由題意建立直角坐標(biāo)系，可得及，的坐標(biāo)，而原式可化為，代入化簡(jiǎn)可得答案．【解答】解：由題意可建立如圖所示的坐標(biāo)系可得A（2，0）B（0，2），P（，）或P（，），故可得=（，）或（，），=（2，0），=（0，2），所以+=（2，0）+（0，2）=（2，2），故==（，）?（2，2）=4或=（，）?（2，2）=4，故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，建立坐標(biāo)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．14.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

.參考答案：【考點(diǎn)】空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的三視圖與直觀圖【試題解析】該幾何體是正方體削去兩個(gè)三棱錐得到的組合體。

所以15.已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（）⊥（﹣），則λ=．參考答案：﹣3【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【分析】由向量的坐標(biāo)加減法運(yùn)算求出（），（﹣）的坐標(biāo)，然后由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算列式求出λ的值．【解答】解：由向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），得，由（）⊥（﹣），得（2λ+3）×（﹣1）+3×（﹣1）=0，解得：λ=﹣3．故答案為：﹣3．16.已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，這兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形．若|PF1|=10，橢圓與雙曲線的離心率分別為e1、e2，則e1?e2的取值范圍為

．參考答案：（，+∞）考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由條件可得m=10，n=2c，再由橢圓和雙曲線的定義可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系求得c的范圍，再由離心率公式，計(jì)算即可得到所求范圍．解答： 解：設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由橢圓的定義可得m+n=2a1，由雙曲線的定義可得m﹣n=2a2，即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），再由三角形的兩邊之和大于第三邊，可得2c+2c＞10，可得c＞，即有＜c＜5．由離心率公式可得e1?e2=?==，由于1＜＜4，則有＞．則e1?e2的取值范圍為（，+∞）．故答案為：（，+∞）．點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查三角形的三邊關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．17.在等差數(shù)列{an}中，若an+an+2=4n+6（n∈N*），則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an=．參考答案：2n+1考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由已知條件易得數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可得通項(xiàng)公式．解答：解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵an+an+2=4n+6，①∴an+2+an+4=4（n+2）+6，②②﹣①可得an+4﹣an=8，即4d=8，解得d=2，把n=1代入an+an+2=4n+6可得2a1+4=10，解得a1=3，∴通項(xiàng)公式an=3+2（n﹣1）=2n+1故答案為：2n+1點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列的首項(xiàng)和公比是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD所在平面與等腰直角三角形ABE所在平面互相垂直，AE⊥AB，且，．（Ⅰ）求證：MN∥平面BEC；（Ⅱ）求二面角N﹣ME﹣C的大?。畢⒖即鸢福骸痉治觥浚á瘢┻^(guò)M作MF∥DC交CE于F，連接MF，BF，推導(dǎo)出四邊形NBFM為平行四邊形，從而MN∥BF，由此能證明MN∥平面BEC．（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在方向?yàn)閤，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的大?。窘獯稹孔C明：（Ⅰ）過(guò)M作MF∥DC交CE于F，連接MF，BF．因?yàn)镸F∥DC，，所以．…（2分）又，所以．故，…（4分）所以四邊形NBFM為平行四邊形，故MN∥BF，而B(niǎo)F?平面BEC，MN?平面BEC，所以MN∥平面BEC；…（6分）解：（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在方向?yàn)閤，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，直角坐標(biāo)系，則E（3，0，0），N（0，1，0），M（1，0，2），C（0，3，3），=（2，0，﹣2），=（﹣1，3，1），=（﹣2，0，2），=（﹣3，1，0），設(shè)平面MEC的法向量為=（x，y，z），則，取x=1，得，設(shè)平面MNE的法向量為，則，即，取x1=1，得，，所求二面角的大小為…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．19.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.已知以為圓心，半徑為4的圓與交于、兩點(diǎn)，是該圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，.（1）求的值；（2）已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－1且在上，、是上異于點(diǎn)的另兩點(diǎn)，且滿足直線和直線的斜率之和為－1，試問(wèn)直線是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：（1）由題意及拋物線定義，，為邊長(zhǎng)為4的正三角形，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，.（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，.由，得，則，，.又點(diǎn)在拋物線上，則，同理可得.因?yàn)?，所以，解?由，解得.所以直線的方程為，則直線過(guò)定點(diǎn).20.如圖，在三棱錐A﹣BCD中，AD=DC=2，AD⊥DC，AC=CB，AB=4，平面ADC⊥平面ABC，M為AB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BC⊥平面ADC；（Ⅱ）求直線AD與平面DMC所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）證明BC⊥AC，利用平面ABC⊥平面ADC，即可證明：BC⊥平面ADC；（Ⅱ）取AC中點(diǎn)N，連MN，DN．由VA﹣DMC=VD﹣AMC得點(diǎn)A到平面DMC的距離，即可求直線AD與平面DMC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）證明：∵AD=DC=2且AD⊥DC，∴，又AB=4，滿足AC2+BC2=AB2，∴BC⊥AC…∵平面ABC⊥平面ADC，BC?平面ABC，平面ABC∩平面ADC=AC，∴BC⊥平面ADC…（Ⅱ）解：取AC中點(diǎn)N，連MN，DN．在Rt△ADC中，DN⊥AC且，又平面ABC⊥平面ADC，∴DN⊥平面ABC，在△ABC中，MN∥BC且=由（Ⅰ）知BC⊥平面ADC，則MN⊥平面ADC，又∵DN?平面ADC，∴MN⊥DN，即，…在△ABC中，，∴…設(shè)點(diǎn)A到平面DMC的距離為h，則由VA﹣DMC=VD﹣AMC得解得，設(shè)AD與平面DMC所成角為θ，則，∴直線AD與平面DMC所成角正弦值為．…21.在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，其前項(xiàng)和滿足．（1）證明：為等差數(shù)列，并求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和． （3）是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意，都有成立？若存在求出m的最

大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。參考答案：解：（1）當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，即數(shù)列為等差數(shù)列，，∴，∴當(dāng)時(shí)，，（2）=，

（3） 而是單增數(shù)列，其最小值為因此即存在自然數(shù)，使得對(duì)任意n∈N*，都有成立，且的最大值為9.

略22.如圖,某市擬在長(zhǎng)為的道路的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段,該曲線段為函數(shù)的圖象,且圖象的最高點(diǎn)為;賽道的后一部分為折線段.為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全,限定.(1)求的值和兩點(diǎn)間的距離;(2)應(yīng)如何設(shè)計(jì),才能使折線段線段最長(zhǎng)?

參考答案：（Ⅰ）依題意，有（1’），又，。

（2’），當(dāng)時(shí)，

（4’）

又

（5’）（Ⅱ）解法一在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，設(shè)∠PMN=，則0°<<60°由正弦定理得,

（7’）故（10’）0°<<60°