福建省三明市石碑職業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

福建省三明市石碑職業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.對于函數(shù)，現(xiàn)給出四個命題，其中所有正確命題的序號是（

）①

時，為奇函數(shù)

②

的圖像關(guān)于對稱③

有且只有一個零點

④

至多有兩個零點A

①④

B

①②③

C

②③

D

①②③④參考答案：B2.已知正六邊形ABCDEF，下列向量的數(shù)量積最大的是

(

)A．

B.

C.

D.參考答案：A3.已知全集集合則等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略4.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C．

D．參考答案：A由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得，，所以可得，故選A.

5.對于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：【知識點】充分條件、必要條件A2【答案解析】A

非零向量，，∥推不出“+=0，+=0?““∥，由此可知“∥”是“+=0成立的充分不必要條件【思路點撥】非零向量，，∥推不出“+=0，+=0?““∥，由此可知“∥”是“+=0成立的充分不必要條件6.已知的三頂點坐標為,,,點的坐標為,向內(nèi)部投一點,那么點落在內(nèi)的概率為(

).

A.

B.

C.

D.參考答案：A略7.某次知識競賽中，四個參賽小隊的初始積分都是100分，在答題過程中，各小組每答對1題都可以使自己小隊的積分增加5分，若答題過程中四個小隊答對的題數(shù)分別是4道，7道，7道，2道，則四個小組積分的方差為（）A．50 B．75.5 C．112.5 D．225參考答案：C【考點】極差、方差與標準差．【分析】先求四個小組積分的平均值，再求四個小組積分的方差．【解答】解：由已知得四個小組積分分別為：120，135，135，110，∴四個小組積分的平均值為==125，∴四個小組積分的方差為：S2=[2+2+2+2]=112.5．故選：C．8.已知O是△ABC所在平面上一點，滿足||2+||2=||2+||2，則點O(

)A．在與邊AB垂直的直線上 B．在∠A的平分線所在直線上C．在邊AB的中線所在直線上 D．以上都不對參考答案：A【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)向量的減法分別設(shè)=，=，=，表示，利用數(shù)量積運算和題意代入式子進行化簡，證出OC⊥AB．【解答】解：設(shè)=，=，=，則=，．由||2+||2=||2+||2，∴||2+||2=||2+||2，化簡可得，即（））?=0，∴∴AB⊥OC．故選A．【點評】本題考查了向量在幾何中應(yīng)用，主要利用向量的線性運算以及數(shù)量積進行化簡證明，證明垂直主要根據(jù)題意構(gòu)造向量利用數(shù)量積為零進行證明．9.設(shè)函數(shù)，其中θ∈，則導(dǎo)數(shù)的取值范圍是（

）A．[－2,2]

B．[，]

C．[，2]

D．[，2]參考答案：D略10.設(shè)全集為，集合，則(

)

參考答案：C，所以二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若向量,,則的最大值為

.參考答案：因為向量,,所以，所以，所以的最大值為9，因此的最大值為4.12.（5分）（2015?南昌校級模擬）已知一個正三棱錐P﹣ABC的正視圖如圖所示，若AC=BC=，PC=，則此正三棱錐的表面積為．參考答案：9【考點】：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積．【專題】：空間位置關(guān)系與距離．【分析】：求正三棱錐的表面積即求三個側(cè)面面積與底面面積的和，故求解本題需要求出底面三角形的邊長，側(cè)面上的斜高，然后求解表面積．解：由題設(shè)條件及主視圖知底面三角形的邊長是3，頂點到底面的距離是，故底面三角形各邊上的高為3×=，令頂點P在底面上的投影為M，由正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征知M到三角形各邊中點的距離是底面三角形高的，計算得其值為，故斜高為=，故此正三棱錐的表面積為：=9．故答案為：9．【點評】：本題考查由三視圖求面積與體積，三視圖的作圖規(guī)則是主視圖與俯視圖長對正，主視圖與側(cè)視圖高平齊，側(cè)視圖與俯視圖是寬相等，本題是考查利用三視圖的作圖規(guī)則把三視圖中的數(shù)據(jù)還原到原始圖形中來，求面積與體積，做題時要注意正確利用三視圖中所提供的信息．13.冪函數(shù)y=（m2﹣3m+3）xm過點（2，4），則m=

．參考答案：2【考點】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由題意得，由此能求出m=2．解：∵冪函數(shù)y=（m2﹣3m+3）xm過點（2，4），∴，解得m=2．故答案為：2．【點評】本題考查實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意冪函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．14.在中，已知，則=

.參考答案：15.在的二項展開式中，含x11的項的系數(shù)是

．參考答案：15【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】令二項展開式的通項中x的指數(shù)為11，求出r值，再計算系數(shù)．【解答】解：的二項展開式的通項為Tr+1==．由20﹣3r=11，r=3．含x11的項的系數(shù)是=15．故答案為：15．【點評】本題考查二項式定理的簡單直接應(yīng)用．牢記公式是前提，準確計算是關(guān)鍵．16.若向量a、b滿足a＋b＝(2，－1)，a＝(1,2)，則向量a與b的夾角等于

參考答案：135°略17.觀察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，則的末四位數(shù)字為

.參考答案：3125三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）某市為增強市民的環(huán)境保護意識，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場的宣傳活動，應(yīng)從第3，4，5組各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的條件下，該縣決定在這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率.參考答案：（1）3人，2人，1人；（2）

【知識點】等可能事件的概率；頻率分布直方圖B4（1）第3組的人數(shù)為0.3×100=30，第4組的人數(shù)為0.2×100=20，第5組的人數(shù)為0.1×100=10．因為第3，4，5組共有60名志愿者，所以利用分層抽樣的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每組抽取的人數(shù)分別為：第3組：×6=3；第4組：×6=2；第5組：×6=1．所以應(yīng)從第3，4，5組中分別抽取3人，2人，1人；（2）記第3組的3名志愿者為A1，A2，A3，第4組的2名志愿者為B1，B2，．第5組的1名志愿者為C;在這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）(A1,C)，(A2,C)，(A3,C)，(B1,C)，(B2,C)，共有15種．其中第4組的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），(B1,C)，(B2,C)，共有9種,所以第4組至少有一名志愿者被抽中的概率為．【思路點撥】（1）先分別求出這3組的人數(shù)，再利用分層抽樣的方法即可得出答案；（2）設(shè)出3組的人數(shù)符號，然后列出所有基本事件，求出基本事件的數(shù)目，滿足題意的數(shù)目，求出所求概率即可．19.（本小題滿分12分）某校高二年級共有學(xué)生1000名,其中走讀生750名,住宿生250名,現(xiàn)從該年級采用分層抽樣的方法從該年級抽取n名學(xué)生進行問卷調(diào)查.根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)每天晚上有效學(xué)習(xí)時間(單位:分鐘)的數(shù)據(jù),按照以下區(qū)間分為八組①[0,30),②[30,60),③[60,90),④[90,120),⑤[120,150),⑥[150,180),⑦[180,210),⑧[210,240),得到頻率分布直方圖如下.已知抽取的學(xué)生中每天晚上有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘的人數(shù)為5人；（1）求n的值并補全下列頻率分布直方圖；（2）如果把“學(xué)生晚上有效時間達到兩小時”作為是否充分利用時間的標準，對抽取的n名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表：

利用時間充分利用時間不充分總計走讀生502575住宿生101525總計6040100是否有95%的把握認為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)？參考公式：參考列表：0.500.400.250.150.100.050.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024（3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時間的原因，記抽到“有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及期望；參考答案：解：（1）設(shè)第i組的頻率為Pi（i=1,2,…,8),則由圖可知：P1=×30=,P2=×30=∴學(xué)習(xí)時間少于60鐘的頻率為：P1+P2=

由題n×=5∴n=100…(2分)又P3=×30=,P5=×30=,P6=×30=,P7=×30=,P8=×30=,∴P4=1-(P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8)=1-=1-=第④組的高度h=×==

頻率分布直方圖如圖：（未標明高度1/120扣1分）……4分（2）K2=≈5.556由于K2>3.841,所以有95%的把握認為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)………8分（3）由（1）知：第①組1人，第②組4人，第⑦組15人，第⑧組10人，總計20人。則X的所有可能取值為0，1，2，3P（X=i)=(i=0，1，2，3)∴P(X=0)===,P(X=1)====,P(X=2)====,P(X=3)====∴X的分布列為：P0123XEX=0×+1×+2×+3×===(或由X服從20，5，3的超幾何分布，∴EX=3×=)…12分20.已知函數(shù)f（x）＝|x+2|﹣2|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＞ax只有一個正整數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：(1)不等式的解集為{或};(2).試題分析：（1）對分三種情況討論，分別去掉絕對值符號，然后求解不等式組，再求并集即可得結(jié)果；（2）作出函數(shù)與的圖象，由圖象可知當時，不等式只有一個正整數(shù)解.試題解析：（1）當時，，解得，∴；當時，，解得，∴；當時，，解得，∴.綜上，不等式的解集為或.（2）作出函數(shù)與的圖象，由圖象可知當時，不等式只有一個正整數(shù)解，∴.21.（本小題滿分14分）在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知，，在底面的射影是線段的中點．（Ⅰ）證明：在側(cè)棱上存在一點，使得⊥平面，并求出的長；（II）求二面角的余弦值．參考答案：【知識點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．G5G11答案（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）解析：(Ⅰ)證明:連接AO,再中,作于點E,因為,所以,因為,所以,所以,所以，又得.(Ⅱ)如圖,分別以O(shè)A,OB,所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,則,由,得點E的坐標是,由(Ⅰ)知平面的一個法向量為設(shè)平面的法向量是,由得可取,所以.【思路點撥】(Ⅰ)連接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于點E，則E為所求．可以證出OE⊥BB1，BC⊥OE而得以證明．在RT中，利用直角三角形射影定理得出EO．(Ⅱ)如圖，分別以O(shè)A，OB，OA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，求出平面A1B1C的法向量是，利用夾角求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值．22.（