可測函數(shù)的定義與性質(zhì)概述省公開課一等獎全國示范課微課金獎

第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)目標(biāo)：熟練掌握可測函數(shù)定義，熟悉其性質(zhì)，掌握常見一些可測函數(shù)。重點(diǎn)與難點(diǎn)：可測函數(shù)引入，性質(zhì)證明。第1頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)基本內(nèi)容：一．可測函數(shù)定義為了定義新積分，我們已經(jīng)對Rn中普通集合定義了測度概念，但同時也看到了，Rn中確存在一些集合，它們是不可測，所以，有必要對定義于Rn中某個可測子集E上函數(shù)f，考查形如第2頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)

集合這可測性,假如對一切上述集合都是可測，則下面和式就有意義了（見本書引言），從而能夠討論其極限存在性，本章目標(biāo)，就是研究使得集合第3頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)

對一切都可測函數(shù)之結(jié)構(gòu)。（1）關(guān)于∞運(yùn)算因?yàn)槲覀冊试S函數(shù)值取，所以需作一些要求，我們所討論函數(shù)都是指單值實(shí)函數(shù)，而且要求（i）（ii）對任意第4頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)（iii）對任意（iv）不過第5頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)

及是沒有意義，所以，不允許作這種運(yùn)算。（2）定義定義1假設(shè)是可測集，是E上函數(shù)，假如對任意常數(shù)a，集合都是可測集，則稱f是E上可測函數(shù)。第6頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)問題1：為了定義函數(shù)Lebesgue積分，須要求這些函數(shù)滿足什么條件？問題2：列舉幾類可測函數(shù)例子？第7頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)（3）簡單函數(shù)可測性定義設(shè)是可測集,E1，E2，…，En

是E互不相交可測子集，且

C1,C2，…,Cn是常數(shù)，則稱E上函數(shù)為簡單函數(shù)。/dx//dx/150910/4694207.html/dx/151205/4738748.html/dx/151205/4738750.html/dx/151205/4738751.html/dx/150910/4694176.html/dx/150907/4692216.html/dx/150905/4691645.html/dx/150902/4691147.html/dx/151207/4739192.html/dx/151207/4739197.html/dx/151207/4739201.html/dx/151207/4739215.html/dx/150902/4691141.html/dx/151208/4740618.html/dx/151208/4740619.html/dx/151209/4741159.html/dx/151209/4741163.html/dx/151209/4741170.html/dx/151209/4741172.html/dx/151210/4741687.html第8頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)記為特征函數(shù)，則顯然有命題1對任意可測集E，E上簡單函數(shù)是可測。證實(shí)：設(shè)是E上簡單函數(shù)，不失普通性，假設(shè)第9頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)（若，則將看作某個Ek

），往證對任意

是可測集。顯然，

第10頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)

所以是可測集。證畢。（4）非負(fù)函數(shù)可測性等價定義假如可測函數(shù)，則稱其為非負(fù)可測函數(shù)。定理1假如是可測集上非負(fù)函數(shù)，則以下各陳說相互等價：第11頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)（i）在E上非負(fù)可測；（ii）存在E上非負(fù)簡單函數(shù)列使得證實(shí)，其中第12頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)是E上非負(fù)簡單函數(shù)，滿足則對任意實(shí)數(shù)a及任意是可測集，但故是可測集。(i)

(ii)假設(shè)f是E上非負(fù)可測函數(shù)，即第13頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)任意實(shí)數(shù)a,是可測集,不難看到故是可測集，于是對任意常數(shù)a，b，集合也是可測。第14頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)對任意正整數(shù)m及令則是互不相交可測集，且定義簡單函數(shù)

第15頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)能夠證實(shí)（請讀者自行驗(yàn)證）。下面證實(shí)若使則對任意，所以若則可取正整數(shù)則當(dāng)時，第16頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)所以。證畢。因?yàn)槎ɡ?中（i）與(ii)等價性，所以，也可將（ii）作為非負(fù)可測函數(shù)定義。第17頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)（5）普通可測函數(shù)等價定義而對普通實(shí)值函數(shù)，能夠作正負(fù)部分解：第18頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)

則,于是又可利用可測性來定義f可測性。即稱可測當(dāng)且僅當(dāng)都是可測函數(shù)。能夠證實(shí)該定義與定義1是等價。第19頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)定理2設(shè)是Rn中可測集E個函數(shù)，則在E上可測當(dāng)且僅當(dāng)以下條件之一成立。

(i)對任意常數(shù)a,可測；

(ii)對任意常數(shù)a,可測；第20頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)(iii)對任意常數(shù)a,可測；證實(shí)：因?yàn)榈?1頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)

故可測

(i)

(ii)

(iii)

可測。證畢。問題3：可否用E{x|f(x)=α}(α∈R)可測性作為可測函數(shù)定義？為何？第22頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)問題4：可否用E{x|α≤f(x)<β}可測性作為可測函數(shù)定義？問題5：若f是可測函數(shù)，則E{f(x)=±∞}是否可測？第23頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)命題2若是E上可測函數(shù)，則都是可測集。證實(shí)由立得證實(shí)。第24頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)

二．可測函數(shù)性質(zhì)（1）幾乎處處相等函數(shù)下面討論可測函數(shù)基本性質(zhì)。普通地，假如E是可測集，是與x相關(guān)命題，且存在E零測子集E0，使得對任意，命題成立，則說在E上幾乎處處成立。第25頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)性質(zhì)1假如兩個函數(shù)與在上幾乎處處相等，則當(dāng)其中一個在E上可測時，另一個也可測。證實(shí)：假設(shè)可測，則對任意實(shí)數(shù)是可測集，因?yàn)?/p>

是零測集，且

第26頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)故是可測集與一個零測集并，它當(dāng)然可測。證畢。第27頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)

從性質(zhì)1能夠看到，函數(shù)可測性與其在零測集上取值無關(guān)，所以，討論函數(shù)可測性允許在任何零測集上改變其值，比如，我們來看看Dirichlet函數(shù)。第28頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)

因?yàn)?，故能夠在上重新定義D值，從而得新函數(shù)這是常值函數(shù)，它與幾乎處處相等，所以與可測性相同。盡管處處不連續(xù)，但和一個常值函數(shù)卻是幾乎處處相等。在第四章中將會看到，這么函數(shù)即使不是Riemann可積，卻是最簡單Lebesgue可積函數(shù)。事實(shí)第29頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)

上，它正是我們前面定義簡單函數(shù)。（2）

可測函數(shù)定義域分割性質(zhì)2假如是E上可測函數(shù)，E0是E可測子集，則也是E0上可測函數(shù)。反之，假如已知在每一個Ei上都可測，i=1,2,3,…,則在可測。第30頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)證實(shí)：由立得性質(zhì)2。因?yàn)槲覀冊试S可測函數(shù)取值為，所以討論兩個可積函數(shù)和、差、商可第31頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)

測性，需假定這些運(yùn)算是被允許。（3）

可測函數(shù)和與差可測性性質(zhì)3若，都是E上可測函數(shù)則（i）在E上可測。

(ii)當(dāng)在E上幾乎處處有意義時，在E上可測；第32頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)證實(shí)：若，則，它當(dāng)然在E上可測。若，則對任意

從而由可測性知可測。

第33頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)若則故仍可測。（i）證畢。為證(ii)，不妨設(shè)處處有意義，將R1中全體有理數(shù)排成序列，則對任意第34頁第11講可測函數(shù)定義與性質(zhì)

由可測