離散型隨機(jī)變量均值公開課省公開課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)

離散型隨機(jī)變量的均值滕州二中劉強(qiáng)1/18

某商場(chǎng)為滿足市場(chǎng)需求要將單價(jià)分別為18元/kg，24元/kg，36元/kg

3種糖果按3：2：1百分比混合銷售，其中混合糖果中每一顆糖果質(zhì)量都相等，怎樣對(duì)混合糖果定價(jià)才合理？定價(jià)為能夠嗎？18×1/2+24×1/3+36×1/6=23元/kg2/1818×1/2+24×1/3+36×1/6X182436P1/21/31/6=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)假如你買了1kg這種混合糖果，你要付多少錢？

而你買糖果實(shí)際價(jià)值剛好是23元嗎？

隨機(jī)變量均值（概率意義下均值）樣本平均值3/181、離散型隨機(jī)變量均值定義X……P……普通地,若離散型隨機(jī)變量X概率分布為

則稱為隨機(jī)變量X均值或數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望又簡(jiǎn)稱為期望。

它反應(yīng)了離散型隨機(jī)變量取值平均水平。4/18例題1隨機(jī)拋擲一個(gè)均勻骰子，求所得骰子點(diǎn)數(shù)X均值X123456P1/61/61/61/61/61/6解：隨機(jī)變量X取值為1，2，3，4，5，6其分布列為所以隨機(jī)變量X均值為EX=1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6=3.5你能了解3.5含義嗎？你能歸納求離散型隨機(jī)變量均值步驟嗎?變式：將所得點(diǎn)數(shù)2倍加1作為得分?jǐn)?shù)，即Y=2X+1，試求Y均值？5/18例題1隨機(jī)拋擲一個(gè)均勻骰子，求所得骰子點(diǎn)數(shù)X期望

Y35791113P1/61/61/61/61/61/6解：隨機(jī)變量X取值為1，2，3，4，5，6其分布列為所以隨機(jī)變量Y均值為EY=3×1/6+5×1/6+7×1/6+9×1/6+11×1/6+13×1/6=8=2EX+1變式：將所得點(diǎn)數(shù)2倍加1作為得分?jǐn)?shù)，即Y=2X+1，試求Y均值？6/18你能猜測(cè)出結(jié)果嗎?aEX+b7/18X……P……證：設(shè)離散型隨機(jī)變量X概率分布為所以Y分布列為Y……P……8/182、離散型隨機(jī)變量均值性質(zhì)(1)隨機(jī)變量均值線性性質(zhì)

9/18解:ξ分布列為所以Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．例題2籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知姚明當(dāng)前罰球命中概率為0.85，求他罰球1次得分ξ均值？ξ01P0.150.8510/18解:ξ分布列為所以Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．例題2ξ01P0.150.85P1-PP1-PP籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知姚明當(dāng)前罰球命中概率為0.85，求他罰球1次得分ξ均值？11/18例題2變式：若姚明在某次比賽中罰球3次，求他罰球得分ξ均值？若ξ～B(1，0.85),則Eξ=0.85若ξ～B(10，0.85),則Eξ=?你能猜測(cè)出結(jié)果嗎?籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知姚明當(dāng)前罰球命中概率為0.85，求他罰球1次得分ξ均值？12/18

求證：若ξ~B(n，p)，則Eξ=np∴Eξ=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+

…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(ξ=k)=Cnkpkqn-k證實(shí)：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+

Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)ξ0

1

…k

…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0(∵kCnk=n

Cn-1k-1)=np(p+q)n-1=np/item.htm?spm=a230r.1.14.142.Onahc6&id=625181962413/18離散型隨機(jī)變量均值性質(zhì)(1)線性性質(zhì)

若X~B(n，p)，則E(X)=np(2)兩點(diǎn)分布均值(3)二項(xiàng)分布均值若X~B(1，p)，則E(X)=p14/18一次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題組成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每小題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分。學(xué)生甲選對(duì)任一題概率為0.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每小題都從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè)。求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)中成績(jī)均值。

例題315/18解：

設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中選擇了正確答案選擇題個(gè)數(shù)分別是ξ和η，則ξ～B(20，0.9)，

η～B(20，0.25)，Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．因?yàn)榇饘?duì)每小題得5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中成績(jī)分別是5ξ和5η。所以，他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中成績(jī)均值分別是E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．16/182某籃球運(yùn)動(dòng)員3分球投籃命中概率是,在某次三分遠(yuǎn)投比賽中,共投籃3次,設(shè)是他投中次數(shù).1)求E;2)若投中1次得3分,求他得分均值;

1017/18依據(jù)氣象預(yù)報(bào),某地域近期有小洪水概率為0.25,有大洪水概率為0.01.該地域某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備,碰到大洪水時(shí)損失60000元,碰到小洪水損失10000元.為保護(hù)